Integracion por fracciones parcialesEl cociente de dos polinomios se denomina funcion racional. La derivacion de una funcion racional conduce a una nueva funcion racional que puede obtenerse por la regla de la derivada de un cociente. Por otra parte, la integracion de una funcion racional puede conducirnos a funciones que no son racionales[footnoteRef:1] por ejemplo: [1: Como puede mostrarse que determinada funcion no es racional? ]

ahora daremos un metodo para calcular la integral de una funcion racional cualquiera y se vera que el resultado puede expresarse siempre por medio de polinomios, funciones racionales, arco tangentes y logaritmos.La idea del metodo es descomponer la funcion racional en fracciones simples que pueden calcularse por medio de tecnicas ya conocidas (de debe realizar la descomposicion en fracciones parciales de la funcion racional considerada).Supongamos entonces que es una funcion racional, si es impropia podemos simplemente dividir y nos queda

donde Q es un polinomio (el cociente de la division) y R(x) es el resto de la division (note que el grado del resto es menor que el del divisor g (x)) , de esta forma toda funcion racional se puede escribir como la suma de un polinomio con una funcion racional propia.Del curso de complementos de mat021 sabemos que toda funcion racional propia se puede descomponer en suma de fracciones de la forma (0.0.1)y (0.0.2)donde k,m N, a,b,c,A,B,C,, son constates yb2 4ac < 0en (0.0.2) lo que nos dice que es una cuadratica sin races reales.Luego el calculo de la integral de una funcion racional, se reduce al calculo de integrales de polinomios (que ya sabemos calcular) y a calculo de integrales de la formay aprenderemos a calcular este tipo de integrales. Ejemplo 1. Consideremos la integral

la funcion racional

es propia (el grado del denominador es mayor que el del denominador) podemos descomponerla en suma de fracciones parciales, para ello necesitamos conocer las races reales del denominador, comox2 + 2x 3 = (x + 3)(x 1)se sigue que

luego por el metodo de las fracciones parciales, existen constantes A y B tales que

para determinar las constantes podemos utilizar alguno de los metodos conocidos, por ejemplo multiplicar ambos lados de la expresion por el denominador5x + 3 = A(x 1) + B (x + 3)evaluando la igualdad en x = 1 obtenemos8 = A 0 + 4B = B = 2evaluando la igualdad en x = 3 se obtiene15 + 3 = A(4) + B 0 = A = 3se sigue

luego

el procedimiento utilizado en este ejemplo es aplicable cuando el polinomio del denominador posee tantas races reales como el grado del polinomio y todas las races distintas.Ejemplo 2. Calcular

Como ya conocemos las races del denominador, efectuamos la descomposicion en fracciones parciales:

y aplicamos alguna tecnica que nos permita encontrar los valores de las constantes, por ejemplo multiplicar por el denominador2x 1 = A(x 2)(2x 3) + B (x 1)(2x 3) + C (x 1)(x 2)evaluando tal igualdad en x = 1 obtenemos2 1 = A(1 2)(2 3) + B 0 + C 0as1 = A(1)(1) = A = 1evaluando en x = 2 se obtiene4 1 = A 0 + B (2 1)(4 3) + C 0as3 = By finalmente, evaluando en se obtieneas se sigue luegodonde (recuerde que al derivar por la regla de la cadena se debe multiplicar por 2).Ejercicio 1. Calcular

Ejercicio 2. Calcular

Ejercicio 3. Calcular

veamos ahora que pasa si la races se repiten: Ejemplo 3. Calcular

notemos que es una funcion racional propia, luego podemos efectuar directamente la descomposicion en fracciones parciales (no necesitamos dividir los polinomios) luego

desarrollando encontramos

se sigue

Es posible calcular sin problemas las integrales del tipo

para k = 1 la integral es

para k > 1 podemos efectuar un cambio de variables u = x+ eso implica du = dx de donde

Ejemplo 4. Calcular

Desarrollo: Podemos hacer la sustitucion u = 2x 1 = du = 2dx se sigue

Ahora veamos que pasa con las integrales del tipo

con b2 4ac < 0.Ejemplo 5. Calcular

note que en este caso, es denominador no posee races reales = 4 8 =4 < 0 y

ya es una fraccion parcial (no tenemos que aplicar la tecnica de descomposicion), para calcular este tipo de integrales intentamos llavarla a una de la forma

que sabemos calcular (arctanv) completemos cuadrados en el denominador,

luego

si hacemos el cambio de variableu = x + 1 = du = dxluego

note que la primera es calculable por una simple sustitucion v = u2 +1 ( esto es general para las integrales del tipo

las cuales pueden ser calculadas mediante el cambio de variables v = x2 +) y la segunda es conocida, luego

volvemos a la variable original

entonces, toda integral de la forma

la podemos escribir como

pero

de esta forma

la integral

se puede calcular mediante la sustitucion u = ax2 + bx + c = du = (2ax + b)dx, por lo que no presenta mayor dificultad.El problema ahora, es calcular integrales del tipo

completemos cuadrado de binomio

note que b2 4ac < 0 = 4ac b2 > 0 obtenemos

hagamos el cambio de variablesentonces se sigue

de donde obtenemos que el calculo de las integrales de la forma

puede ser reducido al calculo de integrales de la forma

y estas pueden ser abordadas a traves de integracion por partes, en efecto

pongamos

as

es decir

si en lugar de m ponemos m 1 entonces

es decir

Ejemplo 6. Calcular

Desarrollo: Aplicando la formula de recurrencia anterior

Ejemplo 7. Calcular

Desarrollo: con la formula de recurrencia

utilizando el ejercicio anterior

Con todo esto estamos en condiciones de calcular la integral de una funcion racional cualquiera (aunque nuestros calculos se ven limitados por tener que encontrar las races que nos permitan hacer la descomposicion en fracciones parciales, para encontrar una descomposicion de polinomios muy generales necesitariamos la ayuda de un computador y aproximar las races)Ejemplos resueltos1. Calcular

Desarrollo: Primero notamos que la funcion racional es propia, luego podemos efectuar directamente la descomposicion en fracciones parciales sin necesidad de dividir. Ahora busquemos las races del denominador

notemos que el segundo factor no tiene races reales, as

desarrollando encontramosA = 1,B = 2 y C = 3luego

luego

para calcular la integral

reordenamos en la forma

ahora debemos calcular

para ello completamos cuadrados

hacemos el cambio de variable

as

as

2. Calcular

Desarrollo: La funcion racional es propia. Efectuamos la descomposicion en fracciones parciales:

las constantes nos dan

se sigue

luego

peroy la podemos calcular con el cambio de variable 2u = x = 2du = dx as

luego

y para

es simplemente hacer la sustitucionu = x2 + 1 = du = 2xdxas

as

Nelson Cifuentes F.

Nelson Cifuentes F.

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g) h)

c)

d) e) f) i)