View
255
Download
4
Category
Preview:
Citation preview
CAPITOLUL 3
INTEGRALA LEBESGUE1. Integrarea functiilor simpleFie (X, A, ) un spatiu cu masura nita, f : X R o functie simpla, adican
f (x) =j=1
cj 1Aj (x),
(60)
unden
Aj = {x X | f (x) = cj },
Ai Aj = , i = j,
Aj A, j = 1, n,j=1
Aj = X. (61)
Denitie 3.1.1.(notatieX
Vom numi integrala Lebesgue de la functia simpla f pe spatiul X
f (x)d(x) sauX
f d) suman
f d =X j=1
cj (Aj ).
(62)
Observatie 3.1.1. Fie A X multime masurabila, f functie simpla masurabila.Atunci f (x) I (x) functie simpla, masurabila. Prin denitiedef A
f (x)d(x) =A A
f d =
f IA d.
(63)
Exemplul 3.1.1. a) Fie A X, A A si IA (x) functia caracteristica a multimii A.Atunci
IA (x)d(x) = (A).X
b) Fie X = [a, b], A -algebra multimilor masurabile n sens Lebesgue, = m estemasura Lebesgue, D[0,1]
(x) restrictia functiei Dirichlet pe [0, 1]. Atunci
D[0,1]
[0,1]
(x)dm(x) = 1 m({Q [0, 1]}) + 0 m({[0, 1] \ Q}) = 1 0 + 0 1 = 0.
44
2. Proprietatile integralei LebesgueFie (X, A, ) spatiu cu masura nita.
Teorema 3.2.1.{, } R. Atunci
(linearitatea integralei) Fie f, g functii simple masurabile,
(f + g)d = X X
f d + X
gd.
Demonstratie. Fien n
f (x) =j=1 k
cj IAj (x),
Ai Aj = , i = j,j=1 k
Aj = X,
g(x) =i=1
bi IBi (x),
Bi Bk = , i = k,i=1
Bi = X.
Cum functia f + g primeste valoarea cj + bk pe multimea Cji = Aj Bi , avemn k
f (x) + g(x) =j=1 i=1
(cj + bi ) ICji (x),
unde
masurii, se obtinen k n k n k
j,k
Cjk = X , si multimile Cjk sunt disjuncte. Conform denitiei integralei si aditivitatii
(f +g)d =X n k j=1 i=1
(cj +bk )(Aj Bi ) =j=1 i=1 k n
cj (Aj Bi )+j=1 i=1 n k
bi (Aj Bi ) =
=j=1
cji=1
(Aj Bi ) + i=1
bij=1
(Aj Bi ) = j=1
cj (Aj ) + i=1
bi (Bi ) =
=X
f d + X
gd.(nenegativitatea integralei) Fie f functie simpla, masurabila si
Teorema 3.2.2.f 0 (mod ). Atunci
f d 0.X
Demonstratie. f 0 (mod ) nseamna ca daca cj < 0 pentru un careva j , atunci(Aj ) = ({x X | f = cj }) = 0, prin urmare, f d 0.X
45
Teorema 3.2.3.f g (mod ). AtunciX
(monotonia integralei) Fie f, g functii simple, masurabile si
f d X
gd.
Demonstratie. Se considera functia simpla masurabila h = f g si se aplica teorema3.2.2.
Teorema 3.2.4. Fie f functie simpla masurabila si a f (x) b (mod ). Atuncia(X) X
f d b(X).
Demonstratie. Rezulta din teorema 3.2.3. Teorema 3.2.5. (referitor integrala de la o functie echivalenta cu zero) Daca f estefunctie simpla masurabila si f = 0 (mod ), atunciX
f d = 0.
Demonstratie. Rezulta nemijlocit din denitia 3.1.1. In adevar, daca toti coecienticj sunt nuli, atunci f este identic nula, iar daca cj = 0 pentru un careva j , atunci (Aj ) = ({x X | f = cj }) = 0 sin
f d =X j=1
cj (Aj ) = 0.
Teorema 3.2.6.f d =X X
Daca f, g functii simple masurabile si f = g (mod ), atunci
gd.
Demonstratie. Se considera functia simpla, masurabila h = f g h = 0 (mod ) si Teorema 3.2.7. Daca f functie simpla masurabila, atunciX
se aplica teorema 3.2.5.
f d X
|f |d.
Demonstratie. Daca f functie simpla masurabila, atunci |f | la fel simpla masurabilasi x X :
|f (x)| f (x) |f (x)|.Conform proprietatii de monotonie a integralei
X
|f |d X
f d X
|f |d
sau, echivalent,
f d X X
|f |d.
46
Fie f o functie simpla masurabila xata, : A R o functie numerica denita prin
(A) =A
f d,
A A.
(64)
Teorema 3.2.8. Functia de multimi masura cu semn. Demonstratie. Este clar ca () = 0. Vericam -aditivitatea functiei . FieA = i = j,
Aj , X=
Aj A,n j=1
Ai Aj = , i = j,
f (x) =
n
j=1
j=1
cj IBj (x),
Bi Bj = ,
Bj .n n
Utilizand denitia integralei si -aditivitatea masurii , se obtine
(A) =A n
f d =X
f IA d =j=1 n
cj (Bj A) =j=1
cj Bj i n
Ai
=
=j=1
cj i
(Bj Ai )
=j=1
cji
(Bj Ai ) =i j=1
cj (Bj Ai ) =i A i
f d =
=i
(Ai ).
Denitie 3.2.1.
Vom spune ca functia de multimi : A R se numeste absolut
continue n raport cu masura , daca pentru orice > 0 exista un numar pozitiv , astfel ncat pentru orice E A cu (E) < se verica |(E)| < .
Teorema 3.2.9.
(continuitatea absoluta a integralei) Masura cu semn denita n
(64) este o functie absolut continua n raport cu masura .
Demonstratie. Fie f functie simpla masurabila si c = sup |f (x)|. Daca c = 0, teorema este clara. Fie c > 0. Pentru orice > 0 punem = . Atunci, pentru (E) < c avem |(E)| =E xX
f d E
|f |d c (E) < c
= . c
3. Integrala Lebesgue de la functii marginiteFie (X, A, ) un spatiu cu masura nita, f : X R o functie masurabila marginita pe X . Atunci (a se vedea teorema ??????) exista un sir de functii simple masurabile
(fn )nN uniform convergent la f pe X . Vom considera sirul integralelor respective In = fn d si vom arata ca sirul (In ) este fundamental. In adevar, cum fnX
f pe X, avem
47
> 0 n0 N m, n > n0 ,
x X avem |fm (x) fn (x)| < . (X)
Atunci, pentru m, n > n0 avem
Im In =X
fm d X
fn d =X
(fm fn )d X
fm fn d 0
k N a.. pentru m > k
(Aj ) < , unde c = sup |f (x)|. Pentru asa m avem: c xX j=m+1
j=m+1
Aj
= j=m+1
f d Aj j=m+1
|f |d cj=m+1 Aj
Aj
= c
(Aj ) < c = , c j=m+1
de undem
lim j=m+1
Aj50
= 0.
Trecand la limita n (70) cu m , se obtine -aditivitatea functiei . Asadar,
masura cu semn.
Teorema 3.3.9.
(continuitatea absoluta a integralei) Masura cu semn denita n
(67) este o functie absolut continua n raport cu masura .
Teorema 3.3.10. Daca f R([a, b]), atunci ea este integrabila si n sens Lebesgue,n plusb b
(L)a
f (x)dx = (R)a
f (x)dx.
Demonstratie. A se vedea, de exemplu, [???]. Teorema 3.3.11. (Lebesgue) Functia f , marginita pe [a, b], este integrabila Riemann,atunci si numai atunci cand multimea punctelor ei de discontinuitate are masura Lebesgue egala cu zero.
Demonstratie. A se vedea, de exemplu, [???]. 4. Integrala Lebesgue de la functii nemarginite nenegativeFie (X, A, ) spatiu cu masura nita, f functia masurabila pe X , a.p.t. nita si nenegativa pe X . Pentru N N denim functia fN prin f (x), daca f (x) < N, fN (x) = N, daca f (x) N. Este clar, ca fN M(X) si lim ({f N }) = 0.N
Cum pentru orice N N Lebesgue. In plus, deoarece
fN functie masurabila marginita, fN este integrabila
x X : f1 (x) f2 (x) f3 (x) ...conform teoremei 3.3.3
f1 d X X
f2 d X
f3 d ...
exista limita (nita sau innita)N X
lim
fN d.51
(71)
Denitie 3.4.1. Vom spune ca functia f este integrabila n sens Lebesgue (sumabila),daca limita (71) este nita. In asa caz integrala Lebesgue de la functia f se deneste prin egalitateadef
f (x)d(x) =X X
f d = lim
N X
fN d.
Daca limita (71) este innita, punem
f d = +.X
Teorema 3.4.1. Fie {f, g} M(X),sumabila. Atunci f sumabila si
0 f (x) g(x) (mod ) pe X si g functie
f d X X
gd.
Demonstratie.N N. Atunci
Din conditiile teoremei rezulta fN (x) gN (x) (mod ) pentru
fN d X X
gN d X
gd < +,
de unde rezulta ca lim
N X
fN d este nita si trecand la limita cu N , obtinem
inegalitatea din enuntul teoremei. Fie f functie sumabila pe X, A X multime masurabila si IA (x) functia caracteristica a lui A. Atunci f IA M(X) si cum
0 f (x) IA f (x),conform teoremei 3.4.1 f IA functie sumabila.
Denitie 3.4.2. Daca A X multime masurabila si f IA este o functie sumabila peX , integrala Lebesgue de la functia f pe multimea A se deneste prin f (x)d(x) =A A
f d =X
f IA d.
Teorema 3.4.2.
(linearitatea integralei) Fie f, g functii sumabile nenegative,
{, } R+ . Atunci f + g este sumabila siX
(f + g)d = X
f d + X
gd.
Demonstratie. A se vedea, de exemplu, [1]. Fie f functie nenegativa, sumabila peX si xata, A A si (A) =A
f d.52
Teorema 3.4.3. (continuitatea absoluta a integralei) Functia de multimi este absolutcontinua n raport cu masura .
Demonstratie. Din denitia 3.4.1 rezulta ca pentru > 0 N N astfel ncat0X
(f fN )d =X
f d X
fN d < . 2
Punem =
. Atunci pentru A A cu (A) < avem 2N f d = (f fN + fN )d =X X
0 (A) =X
(f fN )d +X
fN d
+N = . 2 2N
Teorema 3.4.4. Functia de multimi este masura. Demonstratie. A se vedea, de exemplu, [1]. 5. Integrala functiilor nemarginiteFie (X, A, ) un spatiu cu masura nita, f functia numerica masurabila, a.p.t. nita, denita pe X ,
f+ (x) = max{f (x), 0} = f (x) = min{f (x), 0} =
|f (x)| + f (x) , 2 |f (x)| f (x) . 2
Este clar, ca f+ (x), f (x) sunt functii masurabile nenegative, a.p.t. nite si
f (x) = f+ (x) f (x),
|f (x)| = f+ (x) + f (x)
(72)
Denitie 3.5.1. Functia f se numeste integrabila n sens Lebesgue (sumabila), dacaambele functii f+ (x) si f (x) sunt integrabile Lebesgue. In asa caz integrala Lebesgue se deneste prin
f d =X X
f+ d X
f d.
Teorema 3.5.1.sumabila. In asa caz
Functia masurabila f este sumabila, daca si numai daca |f | este
f d X X
|f |d.
53
Demonstratie. Necesitatea. Fie f functie sumabila. Rezulta functiile nenegative f+si f sunt functii sumabile. Atunci, conform linearitatii integralei Lebesgue de la functii nenegative, functia |f | = f+ + f este sumabila si
|f |d =X X
f+ d +X
f d.
Sucienta. Fie |f | functie sumabila. Cum f+ (x) |f (x)|, f (x) |f (x)|, conformteoremei 3.4.1, functiile f+ si f sunt sumabile, prin urmare si f este sumabila. In plus,
f d X X
f+ d X
f d X
f+ d +X
f d =X
|f |d.
Denitie 3.5.2. Fie A X multime masurabila, functia f IA sumabila pe X . Atuncifunctia f IA se numeste sumabila pe A sidef X
f d =A
f IA d.
Si n cazul integralei Lebesgue de la functii nemarginite raman valabile teoremele despre linearitatea integralei Lebesgue, continuitatea absoluta a integralei si -aditivitatea integralei.
6. Trecerea la limita sub semnul integralei LebesgueFie (X, A, ) un spatiu cu masura nita.
Teorema 3.6.1. (Lebesgue) Fie:1) sirul (fn ) de functii sumabile convergente n masura la functia f ; 2) exista asa o functie sumabila nenegativa g , astfel ncat n N : |fn (x)| g(x). Atunci f este sumabila sin X
lim
fn d =X
f d.
Demonstratie.
Cum fn
f , conform teoremei Riesz exista un subsir
(fnk ) : fnk f (mod ). Din conditia 2) |fnk (x)| g(x). Trecand la limita cu k , seobtine |f (x)| g(x) (mod ) si prin urmare, f este sumabila. Pentru > 0 consideram multimile
En () = {|fn f | },54
Fn () = {|fn f | < }.
Atunci
n =X
fn d X
f d X
|fn f |d =En ()
|fn f |d +Fn ()
|fn f |d
(73)
Cum
|fn (x) f (x)| |fn (x)| + |f (x)| 2g(x) (mod )din (73) se obtine
n 2En ()
gd + (X).
(74)
. Cum integrala Lebesgue este absolut continue n 2(X) gd < . raport cu masura , vom gasi asa un > 0 astfel ncat din (E) < sa avem 4Pentru > 0 punem = Cum fn f , rezulta ca n0 N astfel ncat pentru n n0 E
(En ()) = ({|fn f | }) < .Atunci pentru n n0 din (74) rezulta
n < 2 adica, n 0, n .
+ = , 4 2
Teorema 3.6.2.
(lema Fatou) Fie (fn ) un sir de functii masurabile nenegative, ce
converge n masura la functia f . Atunci
f d limX n X
fn d.
Demonstratie. A se vedea, de exemplu, [2]. Teorema 3.6.3. (Bepppo Levi) Fie (fn ) un sir crescator de functii masurabile nenegative si f (x) = lim fn (x). Atuncin
n X
lim
fn d =X
f d.
(75)
55
fn dnN
Demonstratie. Cum (fn ) sir crescator, rezulta X
sir crescator, prin
urmare, exista limita (nita sau innita) a acestui sir numeric. Conform lemei Fatou
f d = limX n X
fn d = lim
n X
fn d.
(76)
In plus, cum fn (x) f (x) avem
fn d X X
f d,
de unde trecand la limita cu n , se obtinen X
lim
fn d X
f d.
(77)
Din (76) si (77) rezulta (75).
7. Integrala Lebesgue-StieltjesFie g : [a, b] R o functie crescatoare, continue la stanga. Atunci g deneste pe
-algebra multimilor boreliene ale segmentului [a, b] o masura nita g masura LebesgueStieltjes. Integrala Lebesgue generata de aceasta masura se numeste integrala LebesgueStieltjes si se noteazab b b
f (x)dg (x) =a a
f dg =a
f (x)dg(x).
In particular, daca g este functia salturilor, g masura discrita si integrala LebesgueStieltjes se reduce la sumab
f (x)dg(x) =a
f (ck )
g
(ck ), saltul functiei g n ck . Daca
unde ck punctele de discontinuitate ale functiei g ,
g (ck )
functia g BV ([a, b]), continua la stanga, atunci g(x) = (x) (x), unde , functii crescatoare, continue la stanga si integrala Lebesgue-Stieltjes de la functia f se deneste prin egalitateab b b
f (x)dg(x) =a
def a
f (x)d(x) a
f (x)d(x).
56
Teorema 3.7.1.functia g , (R S)a
b
Fie f C([a, b]). Atunci exista integrala Riemann-Stieltjes de la
f (x)dg(x) si are loc egalitateab b
(R S)a
f (x)dg(x) = (L S)a
f (x)dg(x).
Demonstratie. A se vedea, de exemplu, [1].
57
Bibliograe[1] .., .., .. . : , 1990. [2] .. . : , 1989. [3] .. . .: , 1953. [4] .., .. . .: , 1989. [5] .. . .: , 1965. [6] ... . .: , 1976. [7] . . . : , 1990. [8] . . .: , 1974. [9] . . .: , 1983. [10] W.Rudin. Analiza reala si complexa. Bucuresti: Theta, 1998. [11] Nicolescu M. Analiza Matematica III. Bucuresti: Ed. Tehnica, 1960. [12] M. Sabac. Analiza reala. Bucuresti, 1988. [13] Chicu G. Probabilitati si procese stocastice. Bucuresti, 1979.
58
Recommended