La Integral de Lebesgue

La integral de Lebesgue en su contextohistorico

Cordero Zamorano, Pablo Martın

Diciembre 2006

Indice general

1. Hacia una nueva teorıa de integracion 21.1. El punto de partida: la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Dos nuevas caracterizaciones de integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Las aportaciones de Emile Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Problemas que motivaron la nueva integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.1. Series trigonometricas y de Fourier e integracion termino a termino 61.4.2. El teorema fundamental del calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.3. Longitud de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.4. Integrales dobles e iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5. Consecuencias durante el siglo XX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.1. Consecuencias en el Calculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.2. Consecuencias en la Probabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. La primera nota de Lebesgue sobre su teorıa 112.1. Primera nota de Lebesgue sobre su integral (texto original en frances) . . . 112.2. Primera nota de Lebesgue sobre su integral (traduccion) . . . . . . . . . . 142.3. Comentarios sobre la Nota. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4. Limitaciones de la nota. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

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Capıtulo 1

Hacia una nueva teorıa de integracion

Se podrıa decir que Lebesgue creo la primera teorıa de integracion genuina. Variasdefiniciones, teoremas y ejemplos antecededieron a su trabajo, pero carecıan de la coheren-cia y completitud de una verdadera teorıa. Sin embargo, estas contribuciones anterioresprepararon el terreno para una sofisticada teorıa de integracion. Concretamente, permi-tieron a Lebesgue tener la medida como punto de vista para la creacion de su integral y leproveyeron con una buena cantidad de problemas teoricos descubiertos en el contexto dela integral de Riemann (aunque en su momento no fueron considerados como tales).

1.1. El punto de partida: la integral de Riemann

La necesidad historica de desarrollar una teorıa de la medida es que el de propor-cionarnos un nuevo punto de vista desde el que mirar la definicion de la integral deCauchy-Riemann. De ahı que sea imprescindible comenzar con una mınima retrospecti-va de dicha integral.

Bernhard Riemann (1826-1866) adquirio su interes en problemas relacionados con lateorıa de series trigonometricas e integracion debido a su contacto con Dirichlet. Tras pasarun ano en Gottingen, se fue a Berlın, donde asistio a las clases que Dirichlet impartıasobre teorıa de numeros, teorıa de la integral definida y ecuaciones en derivadas parciales.Dirichlet rapidamente desarrollo un especial interes por el joven Riemann, quien a suvez consideraba a Dirichlet como el mejor matematico vivo despues de Gauss. Dos anosdespues, Riemann volvio a Gottingen y en 1851 presento su tesis doctoral ”Grundlagen fureine allgemeine Theorie der Functionen einer veranderlichen complexen Grosse”. El puntode partida es una definicion bastante diferente del termino de funcion cuando la variableconsiderada es real o compleja, lo cual fue imprescindible para el posterior desarrollo desu integral. Tres anos mas tarde, en su ”Habilitationsschrigt”, decidio retomar el estudiode la representacion de funciones mediante series trigonometricas. La pregunta inicial de

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La integral de Lebesgue en su contexto historico

su investigacion fue: ¿en que casos es una funcion integrable? Fue entonces cuando creo laintegral que hoy conocemos.

La teorıa de integracion de Riemann (1854) fue derivada de la Cauchy debilitando almaximo las hipotesis necesarias para que una funcion sea integrable. Mientras Cauchyrestringıa la integrabilidad a funciones continuas, Riemann dio una condion necesaria ysuficiente para ello: una funcion acotada f(x) es integrable en [a, b] si y solo si la suma deCauchy

S =n∑

k=1

f(tk)(xk − xk−1),

donde a = x0 < x1 < ... < xn = b y tk ∈ [xk−1, xk], se aproxima a un unico valor lımitecuando el tamano de la particion del intervalo se aproxima a 0. Este unico valor lımite espor definicion

∫ a

bf(x)dx.

Aunque lo que Riemann hizo nos pueda parecer ahora un paso casi trivial a partirde la integral de Cauchy, historicamente represento un gran salto, ya que involucraba unconcepto radicalmente diferente de funcion. De hecho, en su tiempo, la teorıa de Riemannparecıa la mas general posible: su condicion de integrabilidad era la mas debil usando ladefinicion tradicional de Cauchy; de hecho, permitıa extender el concepto de integral afunciones cuyos puntos de discontinuidad forman un conjunto denso, funciones cuya exis-tencia ni siquiera habıa sido sospechada por la mayorıa de los matematicos de la epoca.Una nueva generalizacion parecıa por lo tanto impensable. Impensable siempre y cuandola suma de Cauchy fuese tomada como punto de partida para la definicion de integral. Esa este respecto que la idea de medida se torna fundamental para sentar las bases de unanueva definicion de integral.

1.2. Dos nuevas caracterizaciones de integrabilidad

Definamos primero algunos conceptos que son necesarios. Sea S un conjunto acotadode numeros reales. Sean I1, I2, ..., In un conjunto finito de intervalos que cubren S. El con-

tenido externo de S, ce(S), es el ınfimo de todos los numeros reales de la forman∑

k=1

L(Ik),

donde Ik cubre S y L(Ik) es la longitud del intervalo IK . Analogamente, el contenido in-

terno de S, ci(S), se define como el supremo den∑

k=1

L(Ik), donde Ik ∩ Ik′ = ∅ y

n⋃k=1

Ik ⊂ S.

Diremos que un conjunto es Jordan-medible si ci(S) = ce(S) y, en tal caso, diremos que sucontenido es c(S) = ci(S) = ce(S). Observese que estas definiciones se pueden extender deforma natural a mas dimensiones.

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El primer matematico que introdujo la definicion de contenido exterior de un conjuntofue Otto Stolz (1842-1905) en 1881, Profesor de matematicas de la Universidad de Inns-bruck. Tres anos mas tarde, e independientemente de Stolz, Cantor publico una definicionequivalente conceptualmente, pero en el contexto mas general de los espacios euclideosenedimensionales. En un escrito publicado poco despues de que Cantor diera su definicion,el matematico Harnack propuso su propia definicion, la cual era bastante similar a la deStolz (aunque aparentemente no conocıa nada acerca de ella). Por otra parte, el conceptode medible definido anteriormente fue introducido, como su nombre indica, por Jordan aprincipios de la decada de 1890.

Estas nociones sugirieron dos nuevas caracterizaciones de la condicion de integrabilidadde Riemann. La primera de ellas adopta una vision geometrica, considerando la integral deuna funcion en terminos del area delimitada por su grafica. Dada una funcion f definiday acotada en el intervalo [a, b], sea E el conjunto de puntos del plano delimitado por elgrafico de f , el eje de abcisas y las rectas x = a y x = b. Entonces f es Riemann-integrablesi y solo si el conjunto E es Jordan-medible, y

a∫

b

|f | = c(E),

a∫

b

f = c(E+)− c(E−),

donde E+ y E− denotan el semiplano positivo y negativo del eje de ordenadas, respec-tivamente.

La segunda caracterizacion de la condicion de integrabilidad de Riemann consiste enque las integrales superior e inferior de f sean iguales, esto es,

∫ a

b

f =

∫ a

b

f,

siendo∫ a

bf y

∫ a

bf el supremo y el ınfimo, respectivamente, de

L =n∑

i=1

mi(xi − xi−1), U =n∑

i=1

Mi(xi − xi−1),

donde a = x0 < x1 < ... < xn = b denota una particion de [a, b], y mi y Mi denotan,respectivamente, el ınfimo y supremo de f(x) en [a, b]. La introduccıon del concepto deconjunto medible causo la siguiente variacion en esta caracterizacion de integrabilidad.Consideremos las sumas mas generales:

L =n∑

i=1

mic(Ei), U =n∑

i=1

Mic(Ei),

donde los conjuntos Ei son Jordan-medibles, disjuntos dos a dos y tales que [a, b] =⋃ni=1 Ei. Entonces el supremo de L y el ınfimo de U son aun las integrales inferior y supe-

rior de f y, por tanto, la condicion de integrabilidad de Riemann puede ser enunciada en

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terminos de estas sumas mas generales.

Las dos caracterizaciones expuestas anteriormente hicieron ver que una generalizacionde los conceptos de medida y medible permitirıan una generalizacion de los conceptosde integral e integrabilidad. En otras palabras, supongamos que M denota la clase deconjuntos medibles que contiene la clase de conjuntos Jordan-medibles, y supongamosque una medida, m(E), ha sido definida para todos los elementos de M de tal maneraque m(E) coincide con c(E) cuando E es Jordan-medible. Ası, la primera caracterizacionde funciones integrables Riemann, sugiere que el concepto de integrabilidad se podrıaextender a cualquier funcion acotada f , cuyo conjunto correspondiente E pertenezca aM. La integral de f vendrıa ası definida por

∫ a

bf = m(E+) −m(E−). Analogamente, la

segunda caracterizacion, sugiere definir las integrales superior e inferior ∗∫ a

bf y ∗∫ a

bf con

respecto a M como el supremo de L∗ y el ınfimo de U∗ para las sumas

L∗ =n∑

i=1

mim(Ei), U∗ =n∑

i=1

Mim(Ei),

donde ahora Ei pertenece a M. Entonces

∫ a

b

f ≤ ∗∫ a

b

f ∗∫ a

b

f ≤∫ a

b

f,

y se podrıa definir f como integrable si se cumple ∗∫ a

bf ∗ ∫ a

bf .

Claramente, las dos definiciones anteriores, basadas en un concepto mas amplio de me-dida, representan generalizaciones de la integral de Riemann; cuando M denota la clasede conjuntos Lebesgue-medibles, las definiciones resultan ser la de la integral de Lebesguepara funciones acotadas.

1.3. Las aportaciones de Emile Borel

Fue esencialmente a traves de las consideraciones anteriores por las que Lebesgue (e,independientemente, W. H. Young) obtuvo su generalizacion de la integral, despues de queEmile Borel sugiriese la lista de propiedades que una medida generalizada debıa tener. Dehecho, una vez que dichas ideas se desarrollaron, fue completamente inevitable que alguienlas aplicara al concepto de integral, y es por esta razon que se pone especial atencion aldesarrollo de la nocion de medida que precede a Lebesgue (y de todas las ideas que suby-acen bajo o se derivan de ella).

Ası, el nacimiento de medida puede ser atribuıdo a Emile Borel. Antes de hacer publi-cos Lebesgue sus trabajos, en 1898, Emile Borel publico el libro Lecons sur la theoriedes fonctions, donde investigaba sobre ciertos conjuntos del intervalo [0, 1] (seccion Les

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ensembles mesurables). Pretendıa asignar medidas a subconjuntos mas generales que lossubintervalos, especialmente a aquellos engendrados mediante uniones numerables o pasoal complementario de intervalos. De forma paralela pedıa que estos subconjuntos cumpli-eran que si Xn es una familia finita o numerable de tales conjuntos disjuntos dos a dos, suunion tiene como medida la suma de sus medidas; y por otra parte, todos los subintervalostienen como medida su longitud. Como podemos observar, esta definicion de Borel es ladefinicion de premedida, nombre que mas adelante asignarıa Lebesgue.

Borel no probo la existencia y unicidad de dicha definicion. Afirma que ((el lema fu-nadmental demostrado [...] nos asegura que estas definiciones nunca seran contradictoriasentre sı)), y anoto en el pie de pagina de ese mismo libro que ((He omitido toda demostracionya que la redaccion me parecio tener que ser larga y fastidiosa [...] )). Por otra parte, Borelno hace absolutamente ninguna referencia o insinuacion sobre una posible conexion entresu concepto de medida y la teorıa de integracion.

Aunque Borel no fue capaz de probar dicho resultado, gracias a las aportaciones deLebesgue el resultado de Borel queda incluido en la construccion de la integral de Lebesgue.Mas adelante, a esos conjuntos a los que se referıa Borel, Lebesgue los llamo borelianos pordeferencia a su amigo.

1.4. Problemas que motivaron la nueva integral

Para Lebesgue, la definicion generalizada de integral representa solo el inicio y la partemenos profunda de su aportacion a la teorıa de integracion. Lo que hizo el descubrimientoinicial importante fue que Lebesgue consiguio reconocer en el una herramienta analıticacapaz de hacer frente a los problemas no resueltos que habıan surgido a partir de la anteriorteorıa de integracion. Como Leguesgue explico, una generalizacion hecha no por el placerde generalizar, sino para resolver problemas previos no resueltos, es siempre una general-izacion fructıfera”. De hecho, los problemas no resueltos motivaron los mayores resultadosde Lebesgue.

1.4.1. Series trigonometricas y de Fourier e integracion terminoa termino

El primero de estos problemas surgio con Fourier en 1822: si una funcion F se puederepresentar por una serie trigonometrica, ¿es esa serie la serie de Fourier de f? Directamenterelacionado con esta pregunta, tenemos: ¿cuando podemos permitir integrar termino atermino una serie infinita de funciones? Es decir, ¿cuando es cierto que

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∫ a

b

( ∞∑n=1

un(x)

)=

∞∑n=1

(∫ a

b

un(x)

)?

Fourier asumio que la la respuesta a esta ultima pregunta es ”siempre”, y lo uso paraprobar que la respuesta a la primera pregunta es ”sı”. Hacia finales del siglo diecinuevese desmostro que no se puede integrar termino a termino ni siquiera en el caso de seriesuniformemente acotadas, precisamente porque f(x) =

∑∞i=1 un(X) no tiene porque ser

integrable Riemann; aun ası, se obtuvieron algunos resultados positivos aumentando lashipotesis, pero requerıan pruebas extremadamente largas. Estos desarrollos, sin embar-go, allanaron el camino para que Lebesgue probara elegantemente que se pueden ”inter-cambiar”la integral y la suma para cualquier serie uniformemente acotada de funcionesintegrables-Lebesgue. Y, aplicando este resultado a la primera cuestion, Lebesgue estuvoen posicion de afirmar la creencia de Fourier de que la respuesta es ”siempre”.

1.4.2. El teorema fundamental del calculo

Otro torrente de dificultades fue el teorema fundamental del calculo

∫ a

b

f ′(x)dx = f(b)− f(a)

.El trabajo de Ulisse Dini y Vito Volterra dejo claro que existen funciones con derivadas

acotadas no integrables, por lo que el teorema fundamental anterior se torna inutil paraestas nuevas funciones. Mas adelante, se descubrieron mas clases de funciones con estapropiedad. Nuebos problemas surgieron en relacion con la extension que Axel Harnack’shizo de la integral de Riemann para funciones no acotadas, dado que se descubrieronfunciones monotonas continuas con intervalos densamente distribuidos de invariavilidad.Tales funciones sirvieron como ejemplo de derivadas Harnack-integrables para las cualesel teorema fundamental no es aplicable. Algunos teoremas debidos a Lebesgue resolverıanelegantemente estos problemas.

La existencia de las funciones mencionadas anteriormente hicieron preguntarse cuandouna funcion continua es una integral. Esto incito a Alex Harnack a introducir una nuevapropiedad cuyo nombre no ha variado desde entonces: la continuidad absoluta. Durante ladecada de 1890 la continuidad absoluta se empezo a considerar como la propiedad carac-terıstica de las integrales absolutamente convergentes, aunque nadie fue capaz de probarque cualquier funcion absolutamente continua es una integral.

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1.4.3. Longitud de una curva

Una familiaridad mas profunda con los conjuntos infinitos de puntos habıan conducidoal descubrimiento de problemas relacionados con el teorema fundamental del calculo. Laincipiente teorıa de conjuntos infinitos tambien estimulo el interes de la formula clasicapara la longitud de una curva, a saber,

L =

∫ a

b

(1 + (f ′)2)12 .

Paul du Bois-Reymond, quien inicialmente se intereso por este problema, estaba con-vencido de que la teorıa de integracion era indispensable para el tratamiento la longitudde una curva, enmarcado todo ello en el contexto general derivado del concepto de fun-cion moderno. Hacia finales del siglo diecinueve este punto de vista parecıa insostenible,en particular por las crıticas y contrajemplos de Ludwig Scheeffeer. Lebesgue estaba real-mente interesado en esta cuestion y fue capaz de usar los resultados de su propia teorıa deintegracion para devolver la credibilidad a las afirmaciones de du Bois-Reymond sobre laestrecha relacion de los conceptos de integral y de curva.

El trabajo de Lebesgue en el teorema fundamental del calculo y en la teorıa de curvasjugo un importante papel en su descubrimiento de que una funcion continua con variacionacotada posee una derivada finita salvo quiza en un conjunto de medida cero. Este teoremagana aun mas importancia al ser visto en contraposicion a la discusion sobre las propiedadesde diferenciabilidad de las funciones continuas desarrollas en la escena matematica de todoel siglo diecinueve. Durante practicamente toda la primera mitad del siglo, la creencia gen-eral fue que las funciones continuas eran diferenciables en ”la mayorıa”de puntos, aunquehay que tener en cuenta que normalmente se asumıa continuidad y monotonıa a trozos(ası, diferenciabilidad y monotonıa estuvieron ligadas, aunque debilmente). Hacia finalesde siglo, nada menos que un matematico como Weierstrass se dio cuenta de que debıanexistir funciones continuas y monotonas que no fuesen diferenciables en ningun punto. Ası,en cierto sentido, el teorema de Lebesgue justifico las intuiciones de algunos matematicosanteriores.

1.4.4. Integrales dobles e iteradas

La extension de Riemann del concepto de integral hizo que surgieran problemas tambienen relacion con el clasico teorema sobre integrales dobles e iterada, a saber,

∫

R

f(x, y)dR =

∫ a

b

(∫ c

d

f(x, y)dy

)dx =

∫ c

d

(∫ a

b

f(x, y)dx

)dy,

donde R es el rectangulo determinado por a ≤ x ≤ b y c ≤ y ≤ d. No hizo faltamucho tiempo para descubrir que cuando f(x, y) es integrable en el rectangulo R, puede

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suceder que las funciones x −→ f(x, y) y y −→ f(x, y) no lo sean en conjuntos densos dex e y respectivamente (conjuntos con contenido exterior positivo). La formulacion clasicahabıa de ser, por lo tanto, modificada. Algo mas tarde se descubrio que las modificacionesdebıan ser cada vez mas drasticas cuando se consideran funciones no acotadas. AunqueLebesgue no resolvio este problema, su tratamiento del problema sento las bases para elbien conocido teorema de Fubini, devolviendo la simplicidad de la formulacion original.

1.5. Consecuencias durante el siglo XX

Hacia finales de la primera decada del siglo veinte, las ideas de Lebesgue habıan recibidoya bastante atencion y el numero de matematicos atraıdos por las ideas de Lebesgue cre-cio rapidamente. El propio trabajo de Lebesgue durante esta decada -particularmente susaplicaciones de la nueva integral a las series trigonometricas- fue la razon principal, pero lasinvestigaciones pioneras de otros matematicos -Guido Fubini, Pierre Fatou, Ernst Fischery F. Riesz- tambien contribuyeron sustancialmente a esta tendencia.

En 1913, J. Radon fusiona las integrales de Lebesgue y Stieljes, basadas en el conceptode conjunto de funciones numerablemente aditivas, sentando las bases para las modernasteorıas medida e integracion. El trabajo de Radon representa un verdadero triunfo de lasideas de Lebesgue, pues dejaron claro que son viables en un marco mucho mas general.

A dıa de hoy todavıa se siguen generando consecuencias de la teorıa de Lebesgue, porlo que enumerar todas las consecuencias serıa imposible. Tan solo citaremos brevementedos de los campos en los que ha tenido mas repercusion: el calculo y la probabilidad.

1.5.1. Consecuencias en el Calculo.

A parte de las consecuencias obvias, esto es, la generalizacion de la integral de Riemann,consiguio uno de sus objetivos, la ampliacion de funciones primitivas, la integracion de fun-ciones de varias variables usando el Teorema de Fubini, etc. Pero sus consecuencias no sequedan aquı, la teorıa de Lebesgue sirvio para la evolucion del Calculo. A grandes rasgospodrıamos decir que se consiguieron resolver calculos del tipo

∫ ∑,

∑ ∫, se justifico el

paso al lımite de las Serires de Fourier; en 1907 Fisher y Riesz enunciaron un resultadomuy potente: el espacio de funciones integrables es completo; etc.

La medida fue objeto de estudio en los anos posteriores a los trabajos de Lebesgue;ası Radon en 1913 pudo hablar de sus medidas, Caratheodory desarrollo los trabajos decompletacion de medidas abstractas, liberando de argumentos topologicos a la medida yfinalmente Wiener en 1922 fue el primero en hablar de medidas de probabilidad.

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Las consecuencias menos inmediatas en el Calculo fueron definir los Espacios Lp ypropiedades de los mismos, originando el analisis funcional abstracto, ası como los espaciosfuncionales de Sovolev, que es la base del Analisis y de las EDP’s de hoy en dıa.

1.5.2. Consecuencias en la Probabilidad.

Gracias a la teorıa de Lebesgue, la Probabilidad se desarrollo espectacularmente, ha-ciendo de la Teorıa de Lebesgue una herramienta indispensable para la evolucion de laProbabilidad. Hoy en dıa podemos ver que la probabilidad no es mas que un caso partic-ular de la generalizacion de la teorıa de Lebesgue.

Fue Kolmogoroff en 1933 el que axiomatizo la teorıa de la probabilidad y el que rela-ciono ambas materias.

El estudio hoy en dıa de Probabilidad pasa por el dominio de la integral de Lebesgue:sin ella, serıamos incapaces de relover muchos teoremas fundamentales de la probabilidad.

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Capıtulo 2

La primera nota de Lebesgue sobresu teorıa

Henri Lebesgue (1875-1941) asistio a la Ecole Normale Superieure (al igual que Borely Baire), y completo sus estudios allı en 1897. Los dos anos siguientes, mientras trabajaen la biblioteca de la Ecole, resultaron ser my productivos para Lebesgue, teniendo comoresultado la publicacion de un buen numero de trabajos. Tambien durante este periodoaparecio Lecons de Borel, ası como los primeros trabajos de Baire sobre funciones discon-tinuas. En 1899 Lebesgue tomo cargo como profesor en el Lycee Central en Nancy, dondepermanecio hasta 1902. Entre Junio de 1899 y Abril de 1901, la Academia de las Cienciaspublico una sere de notas escritas por Lebesgue en las Comptes Rendus, que mas adelanteformarıan la base para su tesis doctoral; es en la quinta y ultima nota en la que Lebesgueanuncia la generalizacion de la integral de Riemann. Transcribimos a continuacion estanota en su version original francesa (paginas 1025 a 1027 del tomo 132 de los ComptesRedus) y su traduccion para, por ultimo, comentar los aspectos mas relevantes, realizandoası una breve incursion la teorıa que nos ocupa.

2.1. Primera nota de Lebesgue sobre su integral (tex-

to original en frances)

ANALYSE MATHEMATIQUE.- Sur une generalisation de l’integrale definie.

Note de M. H. Lebesgue, presentee par M. Picard.

Dans le cas des fonctions continues, il y a identite entre les notions d’integraleet de fonction primitive. Riemann a defini l’integrale de certaines fonctionsdiscontinues, mais toutes les fonctions derivees ne sont pas integrables, au sensde Riemann. Le probleme de la recherche des fonctions primitives n’est doncpas resolu par l’integration, et lon peut desirer une definition de l’integralecomprenant comme cas particulier celle de Riemann et permettant de resoudre

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le probleme des fonctions primitives1.Pour definir l´integrale d’une fonction continue croissante

γ(x) (a 5 x 5 b),

on divise l’intervalle (a, b) en intervalles partiels et l’on fait la somme desquantites obtenues en multipliant la longueur de chaque intervalle partiel parl’une des valeurs de γ quand x est dans cet intervalle. Si x est dans l’intervalle(ai, ai+1), γ varie entre certaines limites mi, mi+1, et reciproquement si γ estentre mi et mi+1, x est entre ai et ai+1. De sorte qu’au lieu de se donner ladivision de la variation de x, c’est-a-dire de se donner les nombres ai, on auraitpu se donner la division de la variation de γ, c’est-a-dire les nombres mi. De ladeux manieres de generaliser la notion d’integrale. On sait que la premiere (sedonner les ai) conduit a la definition donnee par Riemann et aux definitions desintegrales par exces et par defaut donnes par M. Darboux. Voyons la seconde.Soit la fonction γ comprise entre m et M . Donnons-nous

m = m0 < m1 < m2 < ... < mp−1 < M = mp

γ = m quand x fait partie d’un ensemble E0; mi−1 < γ 5 mi quand x faitpartie d’un ensemble Ei.Nous definirons plus loin les mesures λ0, λi de ces ensembles. Considerons l’uneou lautre des deux sommes

m0λ0 + Σmiλi ; m0λ0 + Σmi−1λi ;

si, quand l’ecart maximum entre deux mi consecutifs tend vers zero, ces sommestendent vers une meme limite intependante des mi choisis, cette limite sera pardefinition l’integrale des γ qui sera dite integrable.Considerons un esemble de points de (a, b); on pent d’une infinite de manieresenfermer ces points dans une infinite denombrable d’intervalles; la limite inferieurede la somme des longueurs de ces intervalles est la mesure de l’ensemble. Unensemble E est dit mesurable si sa mesure augmentee de celle de l’ensemble despoints ne faisant pes partie de E donne la mesure de (a, b)2. Voici deux pro-prietes de ces ensembles: une infinita d’ensembles mesurables Ei etant donnee,l’esemble des points qui font partie de l’un au moins d’entre eux est mesurable;si les Ei n’ont deux a deux aucun point commun, la mesure de l’ensembleobtenu est la somme des mesures Ei. L’ensemble des points communs a tousles Ei est mesurable.

1Ces deux conditions imposees a priori a toute generalisation de l’integrale sont evidemment compat-ibles, car toute fonction derivee integrable, au sens de Riemann, a pour integrale une de ses fonctionsprimitives.

2Si lon ajoute a ces ensembles des ensembles de mesures nulles convenablement choisis, on a des en-sembles mesurables au sens de M. Borel (Lecons sur la theorie des fonctions).

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Il est naturel de considerer d’abord les fonctions telles que les ensembles quifigurent dans la definition de l’integrale soient mesurables. On trouve que: siune fonction limitee superieurement en valeur absolue est telle que, quels quesoient A et B, l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles on a A < γ 5 B estmesurable, elle est integrable par le procede indique. Une telle fontion sera ditesommable. L’integrale d’une fonction sommable est comprise entre l’integralepar default et l’integrale par exces. De sorte que si une fonction integrable ausens de Riemann est sommable, l’integrale est la meme avec les deux definitions.Or, totte fonction integrable au sens de Riemann est sommable car l’ensemblede ses points de discontinuite est de mesure nulle, et l’on peut demontrer que si,en faisant abstaction d’un ensemble de valeurs de x de mesure nulle, il reste unensemble en chaque point duquel une fonction est continue, cette fonction estsommable. Cette propriete permer de former immediatement des fonctions nonintegrables au sens de Riemann et cependant sommables. Soient f(x) et ϕ(x)deux fonctions continues, ϕ(x) n’etant pas toujours nulle; une fonction qui nediffere de f(x) qu’aux points d’un ensemble de mesure nulle partout dense etqui en ces points est egale a f(x) + ϕ(x) est sommable sans etre integrable ausens de Riemann. Exemple: La fonction egale a 0 si x irrationnel, egale a 1 si xrationnel. Le procede de formation qui precede montre que lensemble des fonc-tions sommables a une puissance superieure au continu. Voici deux proprietesdes fonctions de cet ensemble.

1o Si f et ϕ sont sommables, f + ϕ et fϕ le sont et l’integrale f + ϕ est lasomme des integrales de f et de ϕ.

2o Si une suite de fonctions sommables a une limite, c’est une fonctionsommable.

L’ensemble des fonctions sommables contient evidemment γ = k et γ = x;donc, d’apres 1o, il contient donc toutes les polynomes et comme, d’apres 2o, ilcontient toutes ses limites, il contient donc toutes les fonctions continues, toutesles limites de fonctions continues, c’est-a-dire les fonctions de premiere classe(voir Baire, Annali di Matematica, 1899), il contient toutes celles de secondeclasse, etc.En particulier, toute fonction derivee, limetee superieurement en valeur absolue,etant de premiere classe, est sommable, et l’on peut demontrer que son integrale,consideree comme fonction de sa limite superieure, est une de ses fonctionsprimitives.Voici maintenant une application geometrique: si |f ′|, |ϕ′|, |ψ′| sont limiteessuperieurement, la courbe

x = f(t), y = ϕ(t), z = ψ(t)

a pour longueur l’integrale de√

f ′2 + ϕ′2 + ψ′2. Si ϕ = ψ = 0, on a la variationtotale de la fonction f a variation limitee. Dans le cas ou f ′, ϕ′, ψ′ n’existent

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pas, on peut obtenir un theoreme presque identique en remplacant les deriveespar les nombres derives de Dini.

2.2. Primera nota de Lebesgue sobre su integral (tra-

duccion)

Analisis Matematico.- Sobre la Generalizacion de la integral definida.

Nota de M. H. Lebesgue, presentada por M. Picard.

En el caso de las funciones continuas, existe una identidad entre las nociones deintegral y funcion primitiva. Riemann definio la integral de algunas funcionesdiscontinuas, pero no todas las funciones derivadas son integrables, en el sentidoRiemann. La integracion no resuelve por tanto el problema de la busqueda defunciones primitivas, y es deseable una definicion de la integral que comprendacomo caso particular la de Riemann y permita resolver el problema de lasfunciones primitivas1.Para definir la integral de una funcion continua creciente

γ(x) (a 5 x 5 b)

se divide el intervalo (a, b) en intervalos parciales y se hace la suma de las canti-dades obtenidas multiplicando la longitud de cada intervalo parcial por uno delos valores de γ cuando x esta en el intervalo. Si x esta en el intervalo (ai, ai+1),γ varıa entre ciertos lımites mi, mi+1 y, recıprocamente, si γ esta entre mi ymi+1, x esta entre ai y ai+1. De tal manera que en lugar de darnos la divisionde la variacion de x, es decir darnos los numeros ai, nos hubieramos podido darla division de la variacion de γ, esto es, los numeros mi. De ahı dos manerasde generalizar la nocion de integral. Sabemos que la primera (darnos los ai)conduce a la definicion dada por Riemann y a las definiciones de integrales porexceso y por defecto dadas por el Sr. Darboux. Veamos la segunda.Sea la funcion γ comprendida entre m y M . Demonos

m = m0 < m1 < m2 < ... < mp−1 < M = mp

γ = m cuando x forma parte del conjunto E0; mi−1 < γ 5 mi cuando x formaparte de un conjunto Ei.Definiremos mas adelante las medidas λ0, λi de estos conjuntos. Consideremosuna u otra de las dos sumas

m0λ0 + Σmiλi ; m0λ0 + Σmi−1λi ;

1Estas dos condiciones puestas a priori a toda generalizacion son evidentemente compatibles, ya quetoda toda funcion derivada integrable, en el sentido Riemann, tiene como integral una de sus funcionesprimitivas.

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si, cuando la distancia maxima entre dos mi consecutivos tiende hacia cero,estas sumas tienden hacia un mismo lımite independiente de los mi elegidos,este lımite sera por definicion la integral de las γ de la que diremos es integrable.

Consideremos un conjunto de puntos de (a, b); es posible encerrar estos puntosen un numero infinito numerable de intervalos de una infinidad de maneras; ellımite inferior de la suma de las longitudes de estos intervalos es la medida delconjunto. Se dice que un conjunto E es medible si su medida aumentada de ladel conjunto de los puntos que no forman parte de E da la medida de (a, b)2.He aquı dos propiedades de estos conjuntos: dada una infinidad de conjuntosmedibles Ei, el conjunto de los puntos que forman parte de uno al menos detodos ellos es medible; si los Ei no tienen ningun punto comun dos a dos, lamedida del conjunto obtenido es la suma de las medidas de los Ei. El conjuntode los puntos comunes a todos los Ei es medible.Es natural considerar primero las funciones tales que los conjuntos que figuranen la definicion de integral sean medibles. Se obtiene: si una funcion limitadasuperiormente en valor absoluto es tal que, cualesquiera que sean A y B, el con-junto de los valores de x para los que se tiene A < γ 5 B es medible, entonceses integrable por el procedimiento indicado. Tal funcion sera llamada sumable.La integral de una funcion sumable esta comprendida entre la integral por de-fecto y la integral por exceso. De manera que si una funcion integrable en elsentido de Riemann es sumable, la integral es la misma con las dos definiciones.Ahora bien, toda funcion integrable en el sentido Riemann es sumable ya queel conjunto de sus puntos de discontinuidad es de medida nula, y se puede de-mostrar que si, haciendo abstraccion de un conjunto de valores de x de medidanula, queda un conjunto en cada punto del cual una funcion es continua, estafuncion es sumable. Esta propiedad permite obtener inmediatamente funcionesno integrables en el sentido de Riemann y sin embargo sumables. Sean f(x)y ϕ(x) dos funciones continuas, no siendo ϕ(x) siempre nula; una funcion queno difiere de f(x) mas que en los puntos de un conjunto de medida nula densoen todas partes y que en esos puntos es igual a f(x) + ϕ(x) es sumable sinser integrable en el sentido de Riemann. Ejemplo: La funcion igual a 0 si x esirracional, igual a 1 si x es racional. El procedimiento de construccion antesexpuesto demuestra que el conjunto de las funciones sumables tiene una po-tencia superior al continuo. He aquı dos propiedades de las funciones de esteconjunto.

1o Si f y ϕ son sumables, f +ϕ y fϕ lo son y la integral de f +ϕ es la sumade la integrales de f y de ϕ.

2Si a estos conjuntos se anaden conjuntos de medida nula convenientemente elegidos, se obtienenconjuntos medibles en el sentido del Sr. Borel (Lecons sur la theorie des fonctions).

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2o Si una sucesion de funciones sumables tiene lımite, es una funcion sum-able.

El conjunto de las funciones sumables contiene claro esta γ = k e γ = x; luegopor 1o, contiene todos los polinomios y como, segun 2o, contiene todos suslımites, contiene por tanto todas las funciones continuas, todos los lımites defunciones continuas, es decir las funciones de primera clase (ver Baire, Annalidi Matematica, 1899), contiene todas las de segunda clase, etc.En particular, toda funcion derivada limitada superiormente en valor absolu-to, por ser de primera clase, es sumable, y se puede demostrar que su integralconsiderada como funcion de su lımite superior, es una de sus funciones prim-itivas.He aqui ahora una aplicacion geometrica: si |f ′|, |ϕ′|, |ψ′| estan limitadas su-periormente, la curva

x = f(t), y = ϕ(t), z = ψ(t)

tiene por longitud la integral de√

f ′2 + ϕ′2 + ψ′2. Si ϕ = ψ = 0, se tienela variacion total de la funcion f de variacion limitada. En el caso en que f ′,ϕ′, ψ′ no existen, se puede obtener un teorema casi identico sustituyendo lasderivadas por los numeros derivados de Dini.

2.3. Comentarios sobre la Nota.

La nota esta escrita con sumo cuidado, sin grandes adornos, todo con sencillez y clar-idad. En ningun momento enuncia teoremas o definiciones, simplemente describe sus ideas.

Obviamente, la nota no puede contener todos los resultados de la teorıa tal y como hoyla conocemos. En esencia se compone de:

Motivacion a partir del teorema fundamental del calculo para la integral de Riemann.

Construccion tecnica de su integral a partir de la la integral de Riemann.

Primeras definiciones de medida, funcion (acotada) medible e integrable.

Inclusion de la integral de Riemann en la construccion hecha por Lebesgue.

Algunas propiedades basicas de las funciones integrables segun Lebesgue.

El ejemplo de una funcion no integrable Riemann e integrable Lebesgue.

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Integral

Lebesgue parte del Teorema Fundamental del Calculo ya que en aquella epoca conocıantodas las derivadas de funciones derivables y pretendıan hallar todas sus primitivas, paralo cual utilizaban dicho teorema. Ademas eran conscientes de las limitaciones de la integralde Riemann. Una de esas limitaciones, integrar funciones discontinuas, es descrita perfec-tamente por Lebesgue en las lıneas 2 y 3.

El autor narra con sumo cuidado gramatical y matematico la integral de Riemann paraconstatar la diferencia sustancial con su nueva definicion de integral; para ello le dedicaonce lıneas, un parrafo entero (teniendo en cuenta que el texto ocupa algo mas de dospaginas, es mucho).

Con mucha naturalidad Lebesgue enuncia su construccion, explicando en ocho lıneas sunueva integral. Al hacerlo tan claro y con tanta nitidez, no requiere de explicacion alguna:

Sea la funcion γ comprendida entre m y M . Demonos m = m0 < m1 < m2 < ... <mp−1 < M = mp. γ = m cuando x forma parte del conjunto E0; mi−1 < γ ≤ mi cuando xforma parte de un conjunto Ei.

Definiremos mas adelante las medidas λ0, λi de estos conjuntos. Consideremos una uotra de las dos sumas m0λ0 + Σmiλi ; m0λ0 + Σmi−1λi; si, cuando la distancia maximaentre dos mi consecutivos tiende hacia cero, estas sumas tienden hacia un mismo lımiteindependiente de los mi, elegidos, este lımite sera por definicion la integral de las γ de laque diremos es integrable.

Esta construccion ası escrita lleva implıcitos los primeros esbozos de la definicion defuncion simple, integral de funcion simple e integral de funcion positiva; ası mismo, el lectorpuede interpretar un borrador o una primera idea del conocido lema tecnico de la teorıade la medida, a saber, el paso de funciones simples a funciones positivas. Lebesgue, masadelante, en su tesis, desarrollara perfectamente estos primeros conceptos.

Medida

A continuacion Lebesgue se preocupa de definir la medida como parte integrante desu construccion. Enuncia que en un intervalo (a, b) se pueden encerrar un numero infinitonumerable de subintervalos de infinidad de maneras, y la medida del conjunto (a, b) es ellımite inferior de la suma de las longitudes de estos subintervalos. Aquı Lebesgue intro-duce sutilmente lo que serıa mas adelante las algebras y σ-algebras y define medida. Noes la definicion de medida que hoy conocemos como podemos observar, es la definicion demedida exterior, que el propio Lebesgue cambiara en su tesis doctoral, llamando medida alo que hoy conocemos como tal.

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Define conjunto medible ası: se dice que un conjunto E es medible si su medida au-mentada de la del conjunto de los puntos que no forman parte de E da la medida de(a, b). Anade una nota al pie de pagina fundamental: si a estos conjuntos se anaden con-juntos de medida nula convenientemente elegidos, se obtienen conjuntos medibles en elsentido del Sr. Borel (Lecons sur la theorie des fonctions). Aquı Lebesgue por primeravez habla de los conjuntos de medida cero, ası mismo, con su construccion generaliza losmedibles Borel, lo que mas adelante se probarıa gracias a las aportaciones de Caratheodory.

Para finalizar con la medida, Lebesgue enuncia lo que el llama dos propiedades, quemas adelante serıan parte integrante de la definicion de medida exterior actual: dada unainfinidad de conjuntos medibles Ei, el conjunto de los puntos que forman parte de unoal menos de todos ellos es medible; si los Ei no tienen ningun punto comun dos a dos,la medida del conjunto obtenido es la suma de las medidas de los Ei. El conjunto de lospuntos comunes a todos los Ei es medible.

Inclusion de la integral de Riemann en la integral de Lebesgue

En el sigueinte parrafo, Lebesgue enuncia un resultado de integrabilidad para funcionesacotadas y define lo que nosotros llamamos Integrable Lebesgue: si una funcion limitadasuperiormente en valor absoluto es tal que cualesquiera que sean A y B, el conjunto delos valores de x para los que se tiene A < γ < B es medible, entonces integrable por elprocedimiento indicado. Tal funcion sera llamada sumable. A continuacion se preocupa deobservar que la integral de Riemann esta contenida en la integral que el ha construido.Esta observacion es fundamental para entender lo potente que es la integral de Lebesgue:si una funcion integrable en el sentido de Riemann es sumable, la integral es la misma conlas dos definiciones. Ahora bien, toda funcion integrable en el sentido Riemann es sum-able, ya que el conjunto de sus puntos de discontinuidad es de medida nula; y se puededemostrar que si, haciendo abstraccion de un conjunto de valores de x de medida nula,queda un conjunto en cada punto del cual una funcion es continua, esta funcion es sumable.

El ejemplo (clasico hoy en dıa) para entender dicha inclusion, es enunciado con sumocuidado como sigue: sean f(x) y ϕ(x) dos funciones continuas, no siendo ϕ(x) siemprenula; una funcion que no difiere de f(x) mas que en los puntos de un conjunto de medidanula denso en todas partes y que en esos puntos es igual a f(x) + ϕ(x) es sumable sinser integrable en el sentido de Riemann. Ejemplo: La funcion igual a 0 si x es irracional,igual a 1 si x es racional. El procedimiento de construccion antes expuesto demuestra queel conjunto de las funciones sumables tiene una potencia superior al continuo.

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Primeras propiedades la integral de Lebesgue

Finalmente Lebesgue enuncia las primeras propiedades de su integral. Lo hace de formatan sencilla que no requiere de explicacion. He aquı dos propiedades de las funciones deeste conjunto.

1o Si f y ϕ son sumables, f + ϕ y fϕ lo son y la integral de f + ϕ es la suma de laintegrales de f y de ϕ.

2o Si una sucesion de funciones sumables tiene lımite, es una funcion sumable.

El conjunto de las funciones sumables contiene, claro esta, γ = k e γ = x; luego por 1o,contiene todos los polinomios y, como segun 2o, contiene todos sus lımites, contiene portanto todas las funciones continuas, todos los lımites de funciones continuas, es decir lasfunciones de primera clase (ver Baire, Annali di Matematica, 1899), las de segunda clase,etc.En particular, toda funcion derivada limitada superiormente en valor absoluto, por ser deprimera clase, es sumable, y se puede demostrar que su integral considerada como funcionde su lımite superior, es una de sus funciones primitivas.

2.4. Limitaciones de la nota.

Como es obvio, toda teorıa de esta embergadura no puede ser descrita de una solavez y con toda la nitidez y claridad con la que hoy la conocemos. Podemos observar losresultados ausentes en ella, que son:

1. Definicion de algebras y σ-algebras

2. Teoremas de convergencia dominada y monotona

3. Medidas e integrales en varias dimensiones

4. Teorema Fundamental del Calculo para su integral

Pero no por ello le tenemos que quitar merito a dicha nota. Los trabajos de la integralde Lebesgue los completarıa mas adelante, estructurando y matizando todos los conceptosque se incluen en la Nota Fundacional.

Hay que resenar que al hacer una lectura mas pausada de la nota, observamos quelas funciones que toma Lebesgue en todo el texto son acotadas, lo cual es producto de laincapacidad que tenıa Lebesgue para generalizar a funciones en general. Hasta su tesis nofue capaz de englobar a todas las funciones.

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Hacemos notar que la Teorıa de Lebesgue, tal y como hemos visto, no usa propiedadestopologicas ni algebraicas, lo que la convierte en mas general, si cabe, ya que no necesitaestas disciplinas para su construccion.

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Bibliografıa

Haw

[1] Hawkins, T. Lebesgue theory of integration. Its origins and development , 1970, ChelseaPublishing Company.

Bo1

[2] Borel, E. Lecons sur la theorie des fonctions , 1898, Editions Jacques Gabay , paginas46 - 50.

Esc

[3] Escobedo, M. El centenario de la integral de Lebesgue. Conmemoracion, 2002, Boletınde la Sociedad Espanola de Matematica Aplicada, Mayo 2002, Numero 20, paginas 23- 29.

Le2

[4] Lebesgue, H. Sur une generalisation de l’integrale definie, 1901, Annales scientifiquesde L’Ecole Normale Superiore de Parıs, Tomo 132, paginas 1025 - 1027.

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Nota a la Bibliografıa:

Paginas webs visitadas para acceder a algunas de las obras citadas en la Bibliografıa :

http://www.numdan.org http://math-adrar.ujf-grenoble.fr

Pagina web visitada para acceder a la Biografıa de Henri Lebesgue :

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Lebesgue.html

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Documents

La Integral de Lebesgue