View
31
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Integrale curbilinii
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Integrale curbilinii
1 Curbe
2 Integrala curbilinie de speta I
3 Integrala curbilinie de speta II
4 Independenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Curbe
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Fie γ o curba ın spatiu, definita prin ecuatiile parametrice:
(γ)
x = f (t)y = g(t)z = h(t), t ∈ [a,b ],
(1.1)
unde f ,g,h sunt functii continue pe [a,b ].
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Curba γ se numeste ınchisa daca f (a) = f (b), g(a) = g(b),h(a) = h(b). Curba γ se numeste simpla daca nu are punctemultiple (nu se autointersecteaza – cu exceptia eventuala acapetelor), adica nu exista doua puncte distincte t ′, t ′′ ∈ [a,b ],a ≤ t ′ < t ′′ ≤ b, cu cel putin una din inegalitatile extreme stricte,astfel ıncat f (t ′) = f (t ′′), g(t ′) = g(t ′′), h(t ′) = h(t ′′).Curba γ se numeste neteda daca functiile f ,g,h sunt de clasaC1 pe [a,b ] (sunt functii continue cu derivate continue). Ocurba se numeste neteda pe portiuni, daca exista un numarfinit de subintervale ale intervalului [a,b ] determinate dea = t0 < t1 < . . . < tn = b astfel ca restrictia curbei la[ ti−1, ti ], ∀ i = 1, . . . ,n sa fie neteda.
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
A orienta o curba ınseamna a alege un sens de parcurs pe ea.O asemanea curba se numeste orientata. Unul dintre sensuriıl numim pozitiv, iar sensul contrar se numeste negativ. Deobicei orientam curba pozitiv ın sensul cresterii parametrului t .Daca curba γ este ınchisa si margineste un domeniu oarecare,vom spune ca parcurgem curba ın sens direct sau senstrigonometric daca prin deplasarea de-a lungul curbei domeniulmarginit este lasat la stanga.
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Numim lungime a curbei γ, marginea superioara a multimiituturor lungimilor liniilor poligonale ınscrise ın γ. Daca lungimeaunei curbe este finita spunem ca respectiva curba esterectificabila.
Teorema 1.1
Daca γ definita de (1.1) este o curba neteda, atunci ea esterectificabila si lungimea ei este data de:
L(γ) =∫ b
a
√(f ′(t))2 + (g′(t))2 + (h′(t))2 dt . (1.2)
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Expresia
ds =√(f ′(t))2 + (g′(t))2 + (h′(t))2 dt (1.3)
se numeste elementul de arc al curbei γ.
Exemplul 1.1Sa aratam ca lungimea cercului de raza a > 0 este L = 2πa.
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Integrala curbilinie de speta I
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Definitia 2.1
Fie γ o curba neteda definita de ecuatiile (1.1) si fieF : D ⊆ R3 → R o functie continua pe domeniul D ce continepe γ. Numim integrala curbilinie de speta I sau ın raport culungimea arcului ∫
γF (x , y , z)ds =
=
∫ b
aF (f (t),g(t),h(t))·
√(f ′(t))2 + (g′(t))2 + (h′(t))2 dt . (2.1)
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Propozitia 2.1
i. Daca γ este o curba neteda si F1,F2 : D ⊆ R3 → R suntfunctii continue pe domeniul D ce contine pe γ iar α ∈ R, atunci∫γ[F1(x , y , z)+F2(x , y , z)]ds =
∫γ
F1(x , y , z)ds+∫γ
F2(x , y , z)ds;
∫γαF1(x , y , z)ds = α
∫γ
F1(x , y , z)ds.
ii. Fie γ = γ1 ∪ γ2, cu γ1, γ2 curbe netede si fie F : D ⊆ R3 → Ro functie continua pe domeniul D ce contine pe γ. Atunci∫
γF (x , y , z)ds =
∫γ1
F (x , y , z)ds +
∫γ2
F (x , y , z)ds.
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Observatia 2.1Valoarea integralei curbilinii de speta I, (2.1), nu depinde dei. orientarea curbei γ.ii. parametrizarea aleasa pentru curba.
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Aplicatii ale integralei curbilinii de speta I
Daca ρ = ρ(x , y , z) > 0 este o functie continua ce reprezintadensitatea de masa a unui fir material γ. Atunci:
1. masa firului material γ este M =
∫γρ(x , y , z)ds.
2. coordonatele centrului de greutate G(xG, yG, zG) sunt
xG =1M
∫γ
x · ρ(x , y , z)ds,
yG =1M
∫γ
y · ρ(x , y , z)ds,
zG =1M
∫γ
z · ρ(x , y , z)ds.
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
3. momentele de inertie ale curbei γ ın raport cu un plan (α), odreapta (d) sau un punct P se exprima prin integrale de forma
I =∫γ
r2 · ρ(x , y , z)ds
unde r este distanta punctului curent (x , y , z) de pe curba laplanul (α), dreapta (d) si respectiv, la punctul P.
Ixoy =
∫γ
z2 ρ(x , y , z)ds (2.2)
Iox =
∫γ(y2 + z2) ρ(x , y , z)ds (2.3)
Io =
∫γ(x2 + y2 + z2) ρ(x , y , z)ds. (2.4)
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Integrala curbilinie de speta II
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Definitia 3.1
Fie γ = AB o curba neteda data de
(γ)
x = f (t)y = g(t)z = h(t), t ∈ [a,b ],
(3.1)
orientata de la A(t = a) la B(t = b). Fie P, Q, R : D ⊆ R3 → Rfunctii continue pe domeniul D ce contine curba γ. Numimintegrala curbilinie de speta II∫
γP(x , y , z)dx + Q(x , y , z)dy + R(x , y , z)dz =
=
∫ b
a
[P · f ′(t) + Q · g′(t) + R · h′(t)
]dt . (3.2)
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Propozitia 3.1
i. Daca γ este o curba neteda si Pi , Qi , Ri : D ⊆ R3 → R,i = 1,2 sunt functii continue pe domeniul D ce contine pe γ iarα ∈ R, atunci∫γ(P1+P2)dx+(Q1+Q2)dy+(R1+R2)dz =
∫γ
P1 dx+Q1 dy+R1 dz+∫γ
P2 dx+Q2 dy+R2 dz;
∫γ(αP1)dx +(αQ1)dy +(αR1)dz = α
∫γ
P1 dx +Q1 dy +R1 dz.
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
ii. Fie γ = γ1 ∪ γ2, cu γ1, γ2 curbe netede si fie functiile continueP, Q, R : D ⊆ R3 → R γ ⊂ D. Atunci∫
γP dx + Q dy + R dz =
∫γ1
P dx + Q dy + R dz +
∫γ2
P dx + Q dy + R dz.
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Valoarea integralei curbilinii de speta II depinde de orientareacurbei γ. Mai precis∫
ABP dx + Q dy + R dz = −
∫BA
P dx + Q dy + R dz.
Daca curba γ este ınchisa si se alege un sens de parcurs pecurba (daca nu se precizeaza contrariul, se alege sensul directsau sensul trigonometric) integrala de speta II se noteaza∮
γP dx + Q dy + R dz.
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Aplicatii ale integralei curbilinii de speta II
1. Aria unui domeniu plan D, marginit de o curba neteda,ınchisa, simpla γ este:
Aria(D) =12
∮γ
xdy − ydx . (3.3)
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
2. Lucrul mecanic L, al campului vectorial
−→F (−→r ) = P(x , y , z)
−→i + Q(x , y , z)
−→j + R(x , y , z)
−→k , (3.4)
de-a lungul curbei γ este:
L =
∫γ
−→F (−→r ) · d−→r =
∫γ
P dx + Q dy + R dz, (3.5)
−→r = x−→i + y
−→j + z
−→k , Daca curba este ınchisa, lucrul mecanic
se mai numeste circulatia campului−→F de-a lungul curbei γ:
C =∮γ
P dx + Q dy + R dz. (3.6)
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Independenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Definitia 4.1
Fie D ⊆ R3 un domeniu si fie P, Q, R : D → R functii continue
pe D. Integrala∫
P dx + Q dy + R dz se numeste
independenta de drum pe domeniul D daca pentru oriceA,B ∈ D si orice doua curbe simple γ1, γ2 din D care unescpunctele A si B, are loc relatia∫
γ1
P dx + Q dy + R dz =
∫γ2
P dx + Q dy + R dz. (4.1)
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Propozitia 4.1
Fie D ⊆ R3 un domeniu si fie P, Q, R : D → R functii continuepe D. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
i. Integrala∫
P dx + Q dy + R dz este independenta de drum;
ii. pentru orice curba C simpla si ınchisa continuta ın D are loc:∮C
P dx + Q dy + R dz = 0. (4.2)
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Definitia 4.2
Expresia P(x , y , z)dx + Q(x , y , z)dy + R(x , y , z)dz senumeste diferentiala totala exacta daca exista o functiediferentiabila F : D ⊆ R3 → R, astfel ıncat
dF (x , y , z) = P(x , y , z)dx +Q(x , y , z)dy +R(x , y , z)dz. (4.3)
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Daca avem ın vedere formula diferentialei
dF (x , y , z) =∂F∂x
(x , y , z)dx +∂F∂y
(x , y , z)dy +∂F∂z
(x , y , z)dz
deducem ca relatia (4.3) revine la
∂F∂x
(x , y , z) = P(x , y , z),
∂F∂y
(x , y , z) = Q(x , y , z),
∂F∂z
(x , y , z) = R(x , y , z), ∀ (x , y , z) ∈ D.
(4.4)
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Teorema 4.1
Fie P, Q, R : D → R functii continue pe domeniul D ⊆ R3.Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
(i) Integrala∫
P dx + Q dy + R dz este independenta de
drum.(ii) Expresia P(x , y , z)dx + Q(x , y , z)dy + R(x , y , z)dz este
o diferentiala totala exacta.
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
In acest caz functia F este data de:
F (x , y , z) =
(x ,y ,z)∫(x0,y0,z0)
P(x , y , z)dx + Q(x , y , z)dy + R(x , y , z)dz,
(4.5)pentru orice (x , y , z) ∈ D, integrala fiind calculata pe oricecurba neteda cu extremitatile (x0, y0, z0), (x , y , z) din domeniulD, punctul (x0, y0, z0) fiind ales arbitrar.Integrala este:∫
AB
P(x , y , z)dx + Q(x , y , z)dy + R(x , y , z)dz =
= F (xB, yB, zB)− F (xA, yA, zA). (4.6)
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Daca integrala este independenta de drum, atunci calculamprimitiva F (unic determinata pana la o constanta aditiva) prinintegrare ın (4.5) pe un drum convenabil ales. Daca alegemdrumul care uneste (x0, y0, z0) cu (x , y , z) prin segmente dedreapta paralele cu axele de coordonate, adica
[(x0, y0, z0), (x , y0, z0)]∪[(x , y0, z0), (x , y , z0)]∪[(x , y , z0), (x , y , z)],
din (4.5) deducem formula de calcul a primitivei F :
F (x , y , z) =
x∫x0
P(t , y0, z0)dt +
y∫y0
Q(x , t , z0)dt +
z∫z0
R(x , y , t)dt ,
(4.7)pentru orice (x , y , z) ∈ D, unde (x0, y0, z0) ∈ D este un punctarbitrar ales.
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Teorema 4.2
Fie D ⊆ R3 un domeniu simplu conex si fie P, Q, R : D → Rfunctii continue cu derivatele partiale de ordinul ıntai continue.Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
(i) Pdx + Qdy + Rdz este o diferentiala totala exacta.(ii) Au loc relatiile
∂P∂y
(x , y , z) =∂Q∂x
(x , y , z),
∂Q∂z
(x , y , z) =∂R∂y
(x , y , z),
∂R∂x
(x , y , z) =∂P∂z
(x , y , z),
(4.8)
pentru orice (x , y , z) ∈ D. Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Pentru a verifica independenta de drum si pentru a calculaintegrala
I =∫
AB
P(x , y , z)dx + Q(x , y , z)dy + R(x , y , z)dz,
urmam etapele:1◦ stabilim daca functiile P,Q,R sunt de clasa C1 pe undomeniu simplu conex D ⊆ R3 si verificam egalitatile (4.8) ınorice punct din D,2◦ determinam primitiva F : D → R folosind formula (4.7) unde(x0, y0, z0) ∈ D este arbitrar ales,3◦ calculam valoarea integralei folosind formula (4.6)
I = F (B)− F (A) = F (xB, yB, zB)− F (xA, yA, zA).
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Exemplul 4.1Constatand ın prealabil independenta de drum a urmatoarelorintegrale, sa se calculeze:
1. I =∫
AB
yz dx + xz dy + xy dz, A(1,−1,2), B(3,2,1),
2. I =∫
AB
yz
dx +xz
dy − xyz2 xy dz, A(−1,2,1), B(1,−2,3), pe o
curba ce nu intersecteaza planul z = 0.
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Cazul plan∫P(x , y)dx + Q(x , y)dy , P, Q : D ⊆ R2 → R sunt functii
continue.
Teorema 4.3
Fie D ⊆ R2 un domeniu plan ın care functiile P, Q : D → R suntcontinue. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
(i) Integrala∫
P dx + Q dy este independenta de drum.
(ii) Expresia P(x , y)dx + Q(x , y)dy este o diferentiala totalaexacta adica exista o functie diferentiabila F : D → Rastfel ıncat
dF (x , y) =∂F∂x
(x , y)dx+∂F∂y
(x , y)dy = P(x , y)dx+Q(x , y)dy ,
(4.9)pentru orice (x , y) ∈ D.
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Aceasta functie este data de:
F (x , y) =
(x ,y)∫(x0,y0)
P(x , y)dx + Q(x , y)dy (4.10)
integrala fiind calculata pe orice curba neteda cu extremitatile(x0, y0), (x , y) din domeniul D.
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Daca∫
P dx + Q dy este independenta de drum atunci
∫AB
P(x , y)dx+Q(x , y)dy = F∣∣∣∣BA= F (xB, yB)−F (xA, yA) (4.11)
unde F este data de (4.10).Formula ce determina primitiva F :
F (x , y) =
x∫x0
P(t , y0)dt +
y∫y0
Q(x , t)dt , (x , y) ∈ D, (4.12)
unde (x0, y0) ∈ D este un punct arbitrar fixat. Functia F esteunic determinata pana la o constanta aditiva.
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Teorema 4.4
Fie D ⊆ R2 un domeniu simplu conex ın care functiileP, Q : D → R sunt continue cu derivatele partiale de ordinulıntai continue. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
(i) Expresia P(x , y , z)dx + Q(x , y , z)dy este o diferentialatotala exacta.
(ii) Are loc egalitatea
∂P∂y
(x , y) =∂Q∂x
(x , y), (4.13)
pentru orice (x , y) ∈ D.
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Exemplul 4.2Sa se calculeze lucrul mecanic al unei forte elastice ındreptatecatre origine −→
F = −c−→r = −cx−→i − cy
−→j ,
c > 0, stiind ca punctul de aplicatie a fortei descrie, ın sensdirect, sfertul de elipsa
x2
a2 +y2
b2 = 1,
situat ın primul cadran, x ≥ 0, y ≥ 0.
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Observatia 4.1Ipoteza ”D este domeniu simplu conex” din Teoremele 4.2 si4.4 este esentiala pentru ca relatiile (4.8) si, respectiv, (4.13) safie suficiente pentru totala exactitate a formelor diferentialeP dx + Q dy + R dz si respectiv, P dx + Q dy si prin urmarepentru independenta de drum a integralelor∫
P dx + Q dy + R dz si, respectiv,∫
P dx + Q dy .
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Exemplul 4.3Daca
P(x , y) = − yx2 + y2 , Q(x , y) =
xx2 + y2 , (x , y) ∈ R2\{(0,0)}
atunci∂P∂y
(x , y) =∂Q∂x
(x , y) =y2 − x2
(x2 + y2)2 .
Si totusi ∫P(x , y)dx + Q(x , y)dy
nu este independenta de drum.
Integrale curbilinii
CurbeIntegrala curbilinie de speta I
Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II
Daca integram pe conturul unui cerc cu centrul ın originex2 + y2 = 1, folosind parametrizarea
(γ)
{x = cos t ,y = sin t , t ∈ [0,2π ],
obtinem
∮γ
−yx2 + y2 dx +
xx2 + y2 dy =
2π∫0
(sin2 t + cos2 t)dt = 2π.
Daca integrala ar fi independenta de drum ar trebui ca∮γ
P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0,
ceea ce contrazice calculul precedent.Integrale curbilinii
Recommended