Aplicatii Integrala Definita - Manualul Profesorului

Aplicaţii ale integralei definite - Manualul profesorului Clasa a XII-a

- 2 -

Cuprins: 1.Terminologie 2. Structura generală 2.1 Obiective didactice 2.2 Conţinut 2.3 Recomăndări de structurare şi predare 3. Obiecte de conţinut – detaliere

3.1 M1 - Aria unei suprafeţe plane 3.2 M2 - Aria cercului şi aria elipsei

3.3 M3 - Volumul unui corp de rotaţie 3.4 M4 - Volumele unor corpuri de rotaţie cunoscute 3.5 M5 - Test grilă pentru evaluarea cunoştinţelor

4. Bibliografie


- 3 -

1. Terminologie Butoane instructaj – – sunt amplasate în partea din dreapta-sus a ecranului şi, atunci când sunt accesate, prezintă pas cu pas, într-o fereastră de detaliu, instrucţiuni despre folosirea unei aplicaţii. Butoane start animaţie / trecere la pasul următor – – se regăsesc în cadrul animaţiilor şi al aplicaţiilor ce conţin mai mulţi paşi. Prin apăsarea lor se începe rularea animaţiei, respectiv se trece la următorul pas al aplicaţiei. Butoane de reiniţializare a animaţiei / aplicaţiei - - Prin apăsarea lor se reiniţializează animaţia, respectiv aplicaţia. Texte de reper – – reprezintă simboluri grafice prezente intr-un text care, atunci când sunt accesate, prezintă ferestre de detaliu, în care este explicată o anumită noţiune. Ferestre detaliu – sunt ferestre care oferă informaţii suplimentare despre o anumită noţiune. Exemplu :

Butoane pentru închis ferestre - – sunt amplasate în dreapta ferestrelor de detaliu iar apăsarea lor duce la închiderea ferestrei.


- 4 -

2. Structura generală În acest capitol sunt prezentate detaliat obiectivele didactice care pot fi atinse cu ajutorul acestor lecţii. De asemenea sunt prezentate succint conţinuturile materialului şi câteva sugestii pentru folosirea lecţii. 2.1. Obiective didactice Obiectiv Detaliere Obiective de referinţă R1 Utilizarea corectă a vocabularului ştiinţific, a simbolisticii R2 Folosirea afirmaţiilor corecte referitoare la relaţii matematice R3 Formularea concluziilor ca urmare a calculelor şi

raţionamentelor efectuate R4 Aplicarea cunoştinţelor dobândite şi în alte contexte Obiective operaţionale OP1 Definirea noţiunii de arie a subgraficului unei funcţii pozitive OP2 Definirea noţiunii de arie a subgraficului dintre două funcţii OP3 Definirea noţiunii de volum al unui corp de rotaţie OP4 Aplicarea formulei de calcul a ariei subgraficului şi atunci când

funcţia ia valori negative OP5 Identificarea situaţiilor în care este necesar să reprezinte grafic

funcţiile înainte de a calcula arii OP6 Analiza corectă şi rezolvarea problemelor de calcul al ariilor

unor funcţii cu parametru OP7 Calcularea ariilor subgraficelor unor funcţii pare sau impare OP8 Identificarea cazurilor în care calculul ariilor sau volumelor

sepoate face şi cu ajutorul geometriei


- 5 -

2.2 Conţinut Se prezintă lista obiectelor de conţinut (notate cu M) şi caracteristicile lor generale. M1 – Aria unei suprafeţe plane Obiective didactice OP1, OP2, OP4, OP5 Timp de predare 40 min Tip de interacţiune cu elevii explicaţie, expunere, analiză comparativă Descriere • Definirea ariei subgraficului dintre două

funcţii cu ajutorul sumelor Riemann • Definirea ariei subgraficului unei funcţii

pozitive • Definirea ariei subgraficului unei funcţii ce

are şi părţi pozitive şi părţi negative, punându-se în evidenţă faptul că în această situaţie aria este integrală definită din modulul funcţiei

• Definirea ariei subgraficului dintre două funcţii care au mai multe puncte de intersecţie

Cuvinte cheie subgraficul unei funcţii, diviziuni, puncte intermediare, aria subgraficului, subgraficul dintre f şi g, funcţie pozitivă, funcţie negativă, modul, arie

M2 – Aria cercului şi aria elipsei Obiective didactice OP2, OP4, OP5, OP7, OP8 Timp de predare 50 min Tip de interacţiune cu elevii observaţie independentă, explicaţie Descriere • Reamintirea modului de calcul pentru aria

cercului învăţat în clasele anterioare (cu ajutorul poligoanelor regulate)

• Trecerea la aflarea ariei cercului cu ajutorul integralei definite, punând în evidenţă simetria cercului cu centrul în origine şi faptul că e mai simplu să se afle întâi un sfert din aria sa

• Calcularea ariei elipsei cu ajutorul integralei definite, folosindu-se simetria faţa de axe a acestei conice

• Punerea în evidenţă a faptului că elipsa se poate obţine şi ca proiecţie a unui cerc

Cuvinte cheie arie, cerc, elipsă, grafice reunite, funcţii pare, funcţii impare, integrală definită, proiecţie


- 6 -

M3 – Volumul unui corp de rotaţie - definire Obiective didactice OP3 Timp de predare 25 min Tip de interacţiune cu elevii expunere, explicaţie, exemplificare Descriere • Definirea noţiunii de corp de rotaţie ca şi a

celei de volum al unui corp de rotaţie Cuvinte cheie corp de rotaţie, volum M4 – Volumul unor corpuri de rotaţie cunoscute Obiective didactice OP3, OP8 Timp de predare 35 min Tip de interacţiune cu elevii analiză comparativă, explicaţie, observaţie Descriere • Calcularea, cu ajutorul integralei definite,

a volumului unor corpuri rotunde uzuale (corpuri de rotaţie): cilindrul, conul, trunchiul de con, sfera

Cuvinte cheie funcţie, corp de rotaţie, cilindru, con, trunchi de con, sferă.

M5 – Test grilă pentru evaluarea cunoştinţelor Obiective didactice OP1, OP2, OP3, OP4, OP5, OP6, OP7, OP8 Timp de predare 25 min Tip de interacţiune cu elevii observaţie independentă, problematizare. Descriere • Prezentarea unui test cu probleme la

rezolvarea cărora trebuie aplicate cunoştinţele acumulate pe parcursul lecţiei

Cuvinte cheie arie, cerc, elipsă, funcţie, subgrafic, corp de rotaţie, cilindru, con, trunchi de con, sferă.


- 7 -

2.3. Recomăndări de structurare şi predare

Lecţia 1 – Plan de lecţie 1 Timp: 1 oră

Obiect de conţinut Obiective Timp (min) M1 OP1, OP2, OP4, OP5 40

Lecţia 2 – Plan de lecţie 2 Timp: 2 ore


M3 OP3 25

M4 OP3, OP8 35


Obiect de conţinut Obiective Timp (min) M2 OP2, OP4, OP5, OP7,

OP8 50

M3 OP3 25

M4 OP3, OP8 35



M2 OP2, OP4, OP5, OP7, OP8

50

M3 OP3 25

M4 OP3, OP8 35

M5 OP1- OP8 25


- 8 -

3. Obiecte de conţinut – detaliere În continuare vom prezenta în detaliu modul de utilizare a elementelor din ferestrele lecţiei. (navigare, elemente specifice, funcţionarea aplicaţiilor, etc.). Subliniem că navigarea elementară se face cu ajutorul butoanelor descrise în Cap. 1 – Terminologie, al acestui manual. Nu ne vom referi la acestea decât spicuitiv. 3.1 Aria unei suprafeţe plane În acest obiect de conţinut este prezentat modul de determinare a suprafeţelor de sub graficele funcţiilor cu ajutorul integralelor definite. Momentului îi sunt ataşate 3 aplicaţii :

- Aproximarea prin dreptunghiuri a ariei subgraficului dintre funcţiile f şi g → σ( Γf,g )

- Reprezentarea grafică a ariei subgraficului funcţiei f → σ( Γf ) - Reprezentarea grafică a ariei subgraficului dintre funcţiile f şi

g → σ( Γf,g ) Fiecărei alplicaţii în parte îi este ataşată teoria corespunzătoare în partea stângă a ecranului. • Aplicaţia 1 : Aproximarea prin dreptunghiuri a ariei

subgraficului dintre funcţiile f şi g → σ( Γf,g ) În cadru acestei aplicaţii se doreşte familiarizarea utilizatorului cu modul de stabilire a diviziunilor unui interval [a,b] dat, poziţionarea punctelor intermediare asociate fiecărei diviziuni şi trasarea dreptunghiurilor prin care poate fi aproximată aria dintre graficele a două funcţii, în funcţie de diviziunile şi punctele intermediare alese.


- 9 -

Aplicaţia se desfăşoară pe trei paşi. Trecerea de la un pas la altul se face apăsând pe butonul . Reluarea aplcaţiei se face apăsând pe butonul .

• Pasul 1 :

La acest pas se stabilesc punctele diviziunii ∆ , xk . Adăugarea punctelor se face prin apăsare pe butonul , iar ştergerea lor prin apăsare pe butonul .

Punctele adăugate sunt aşezate direct pe axa Ox. Ele pot fi poziţionate pe axă prin mişcarea lor în stânga sau în dreapta cu ajutorul mouse-ului. Trecerea la pasul următor se face doar dacă există cel puţin un punct al diviziunii pe axă.

• Pasul 2 :

La acest pas se stabilesc punctele intermediare. Adăugarea punctelor se face prin apăsare pe butonul , iar ştergerea lor prin apăsare pe butonul . Poziţioarea punctelor pe axa Ox se face prin tragerea acestora cu mouse-ul şi aşezarea lor pe linia roşie care pulseazã. Ele pot fi repoziţionate pe axă prin mişcarea lor în stânga sau în dreapta cu ajutorul mouse-ului. Trecerea la pasul următor se face doar dacă în fiecare interval de forma [xk , xk+1] există un singur punct intermediar ξk .

• Pasul 3 :

La acest pas se haşurează dreptunghiurile care formează aria căutată.


- 10 -

• Aplicaţia 2 : Reprezentarea grafică a ariei subgraficului funcţiei f → σ( Γf )

Această aplicaţie oferă utilizatorului posibilitatea de a “desena” funcţia dorită şi de a-i observa subgraficul.

Pătratele roşii şi punctele albastre asociate determină forma curbei corespunzătoare. Pătratele roşii pot fi mişcate cu ajutorul mouse-ului, însă numai pe verticală. Apăsarea pe oricare dintre aceste pătrate determină apariţia tangentei la curbă în acel punct. Tangenta la curbă într-un punct este reprezentată grafic printr-o linie de culoare albastră, care are în capete unul sau două puncte de culoare tot albastră. Mişcarea acestor puncte cu ajutorul mouse-ului (ţinând cont că dreapta determinată de ele rămâne mereu tangentă la curbă) duce la modificarea curburii în acel punct.


- 11 -

• Aplicaţia 3 : Reprezentarea grafică a ariei subgraficului dintre funcţiile f şi g → σ( Γf,g )

Această aplicaţie oferă utilizatorului posibilitatea de a “desena” graficele a două funcţii şi de observa subgraficul dintre de cele 2 grafice.

Modul de interacţiune a utilizatorului cu aplicaţia este acelaşi cu cel din aplicaţia anterioară. 3.2 Aria cercului şi aria elipsei În acest obiect de conţinut este prezentat modul de determinare a ariei cercului şi a ariei elipsei cu ajutorul sumelor de integrale. Momentului îi sunt ataşate 3 aplicaţii :

- Determinarea ariei unui cerc cu ajutorul integralelor definite. - Determinarea ariei unei elipse cu ajutorul integralelor definite. - Proecţia unui cerc pe planul dat de axa Ox.

Fiecare alplicaţie în parte are, în partea stângă a ecranului, teoria corespunzătoare. • Aplicaţia 1 : Determinarea ariei unui cerc cu ajutorul

integralelor definite. Aplicaţia se desfăşoară pe trei paşi. Trecerea de la un pas la altul se face apăsând pe butonul .

• Pasul 1 : La acest pas se trasează graficele a 2 funcţii f şi g , care , împreună


- 12 -

formează un cerc cu centrul în origine şi rază r .

• Pasul 2 : Se stabilesc ariile de sub graficele celor două funcţii ca sume de integrale.

• Pasul 3 : Se pune în evidenţă că ariile date de cele patru integrale sunt egale. Astfel aria cercului se determina ca o suma de 4 integrale egale. • Aplicaţia 2 : Determinarea ariei unei elipse cu ajutorul

integralelor definite. Aplicaţia se desfăşoară pe trei paşi. Trecerea de la un pas la altul se face apăsând pe butonul . Modul de determinare a ariei elipsei este acelaşi cu modul de determinare a ariei cercului de la aplicaţia anterioară.


- 13 -

• Aplicaţia 3 : Proecţia unui cerc pe planul dat de axa Ox Prin intermediul acestei aplicaţii se pune accentul pe faptul că proiecţia unui cerc, care face cu planul dat de axa Ox un unghi α, este, pe acest plan, o elipsă. Astfel aria elipsei poate fi determinată ştiind aria cercului si unghiul α .

Utilizatorul poate varia unghiul α pe care îl face cercul de culoare roşie cu planul dat de Ox prin intermediul „indicatorului de unghi”. Proecţia cercului este elipsa de culoare albastră.

Indicatorul de unghi


- 14 -

Această aplicaţie este tridimensională, utilizatorul putând să observe proecţia cercului din diferite unghiuri şi la diferite mărimi . Astfel, prin mişcarea cursorului, dacă este ţinut apăsat butonul stâng al mouse-ului se poate roti sistemul de axe. Dacă în acelaşi timp este apăsat şi butonul ALT, atunci efectul va fi unul de marire sau de micşorare. Dacă este apăsat butonul din dreapta al mouse-ului atunci când este mişcat cursorul, atunci efectul fa fi acela de deplasare a sistemului de axe spre stânga sau spre dreapta. 3.3 Volumul unui corp de rotaţie Acest obiect de conţinut prezintă, într-un mod tridimensional, corpurile generate de rotirea graficelor funcţiilor sinus şi logaritm în jurul axei Ox. Teoria ataşată conţine formula generală pentru calcularea volumului unui corp de rotaţie generat de una dintre funcţiile ce prezintă proprietăţile expuse în teorie.

Interacţiunea utilizatorului cu aplicaţia se face prin intermediul “indicatorului de cilindrii” şi prin apăsarea unuia dintre butoanele Logaritm sau Sinus . Indicatorul de cilindrii specifică numărul de cilindrii cu care va fi aproximat volumul generat de rotirea funcţiei selectată.

Prin mişcarea cursorului, dacă este ţinut apăsat butonul stâng al mouse-ului, se poate roti sistemul de axe. Dacă , mişcând cursorul,

Indicatorul de cilindrii

Butoanele pentru selectarea funcţiilor.


- 15 -

este apăsat şi butonul ALT, atunci efectul va fi unul de marire sau de micşorare iar dacă este apăsat butonul din dreapta al mouse-ului, efectul va fi acela de deplasare a sistemului de axe spre stânga sau spre dreapta. 3.4 Volumele unor corpuri de rotaţie cunoscute În cadrul acestui obiect de conţinut sunt prezentate, într-un mod tridimensional, volumele câtorva corpuri de rotaţie clasice (cilindru, con, trunchi de con, sferă). Partea de teorie ataşată conţine, pentru fiecare corp în parte, funcţia a cărui grafic, prin rotire în jurul axei Ox, generează respectivul corp precum şi ecuaţia volumului corespunzătoare. Interacţiunea utilizatorului cu acest obiect de conţinut se face prin intermediul meniului derulant aflat în partea din stânga ecranului sau folosind butoanele aplicaţiei din dreapta.

Odată cu selectarea corpului dorit, în partea din dreapta ecranului va apărea şi reprezentarea lui tridimensională, utilizatorul putând roti, mari sau micşora o anumită zonă sau poate deplasa sistemul de axe al acestei aplicaţii utilizând aceleaşi comenzi ca la precedentele doua aplicaţii de acest gen.

Meniu derulant

Reprezentarea în două dimensiuni a graficului corpului selectat în meniul derulant.


- 16 -

3.5 Test grilă pentru evaluarea cunoştinţelor Acest modul conţine un test grilă cu răspunsuri de tip “complement simplu”, adică doar o variantă de răspuns corectă.

Pentru a trece de la o problemă la alta poziţionaţi mouse-ul pe numărul problemei dorite. Bifarea răspunsurilor se face prin apăsarea cu mouse-ul pe căsuţa corespunzătoare raspunsului dorit. Se poate reveni asupra răspunsului la oricare dintre întrebări, atâta timp cât nu s-a răspuns la toate. După bifarea răspunsurilor pentru fiecare problemă, în dreapta butoanelor cu numărul problemelor vor apărea indicatori de validare a răspunsului :

pentru răspuns corect şi pentru răspuns greşit Pentru a vedea rezolvarea apăsaţi butonul Rezolvare. În locul variantelor de răspuns ale fiecărei probleme vor apărea rezolvările corespunzătoare. În partea din dreapta-jos a ferestrei va fi specificat răspunsul corect. În locul butonului de rezolvare va apărea butonul Înapoi. Apăsaţi acest buton pentru ca în locul rezolvărilor să fie afişate din nou variantele de răspuns.


- 17 -

4. Bibliografie • Ion D. Ion, Eugen Câmpu & comp – Matematică M1 – Manual

pentru clasa a XII-a , Editura Sigma 2002, Bucureşti. • Marius Burtea, Georgeta Burtea – Matematică M1 – Manual

pentru clasa a XII-a, Editura Carminis 2003 ,Piteşti • Marius Burtea, Georgeta Burtea – Matematică M1 – Exerciţii şi

probleme - clasa a XII -a, Editura Carminis 2003, Piteşti • Solomon Marcus, Costel Chiteş, Petruş Alexandrescu, Sorin

Rădulescu, Marius Rădulescu, Daniel Petriceanu – Matematică M1 – Manual pentru clasa a XII-a , Editura Paralela 45 2002, Piteşti

• Ion Petrică, Emil Constantinescu, Dumitru Petre – Probleme de

Analiză Matematică, Editura Petrion, Bucureşti • Nicu Boboc, Ion Colojoară – Matematică – Elemente de analiză

matematică – Manual pentru clasa a XII-a , Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti 2000

• Mircea Ganga – Matematică M1 – Manual pentru clasa a XII-a –

Elemente de analiză matematică – Editura Mathpress 2003, Ploieşti

Documents

Aplicatii Integrala Definita - Manualul Profesorului