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integrales por sustitucion trigonometrica UNIVERSIDAD AERONAUTICA EN QUERETARO
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7/17/2019 integrales por sustitucion trigonometrica UNIVERSIDAD AERONAUTICA EN QUERETQARO
http://slidepdf.com/reader/full/integrales-por-sustitucion-trigonometrica-universidad-aeronautica-en-queretqaro 1/2
ACADEMIA DE CIENCIAS BASICAS
Universidad Aeronautica en Queretaro
Calculo II
Examen Primer Parcial
Nombre del Alumno: Grupo:
Resuelve lo siguiente. Justifica bien tus respuestas y detalla todo el procedimiento de
tus soluciones.
1. Supongamos que queremos resolver la integral
ba
dx
x2√
9 − x2(1)
Recordar el siguiente recuadro donde nos dice que tipo de sustitucion realizar de acuerdo al
interior de la raız que aparezca en el integrando.
Expresión Substitución Identidad
1
tan2
sec2
u
a tan
2
2
1 sin2 cos2
u
a sin
2
2
sec2 1 tan2
u
a sec
2
3
2
s u2
a2
s a2 u
2
s a2
u2
a
θ
a2 − u
2
a
u
θ
u
a 2 +
u 2
a
u
θ
u2 − a
20
Triángulo
Como la raız que aparece en (1) es
√
32
− x2
, entonces debemos utilizar la sustitucionx = 3 sin θ
de donde calculamos todos los elementos que necesitamos para nuesta integral, es decir
dx = 3 cos θdθ
x2 = 9 sin2
θ
√ 9 − x2 =
9 − 9sin2
θ =
9(1 − sin2θ) =
√ 9cos2 θ = 3 cos θ
7/17/2019 integrales por sustitucion trigonometrica UNIVERSIDAD AERONAUTICA EN QUERETQARO
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sustituyendo todo lo anterior en nuestra integral tenemos (por ahora no consideramos loslimites de integracion)
dx
x2√
9 − x2=
3cos θdθ
9sin2θ 3cos θ
= 1
9
dθ
sin2θ
= 1
9
1
sin θ
2
dθ = 1
9
csc2 θdθ = −
1
9 cot θ
(2)ahora recordar que cot θ = cat.ady.
cat.op. y observando el primer triangulo de la figura anterior tenemos
que cot θ =√ 9−x2
x . Sustituyendo esto en (2) se tiene que
dx
x2√
9 − x2= −
1
9
√ 9 − x2
x
recordando que en realidad nuestra integral era con lımites entonces
ba
dx
x2√
9 − x2= −
1
9
√ 9 − x2
x
b
a
= −1
9
√ 9 − b2
b −
√ 9 − a2
a
.
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