Introducción a la Optimización Matemática · Maximizar (x) Sujeto a: g i(x) ≤ c i i = 1, …,...

Introducción a la Optimización Matemática

http://www.academia.utp.ac.pa/humberto-alvarez/metodos-de-optimizacion

H. R. Alvarez A., Ph. D.

Modelos de Optimización

◼ Un problema de optimización es, engeneral, un problema de decisión.

◼ Tienen como propósito seleccionar lamejor decisión de un número deposibles alternativas, sin tener queenumerar completamente todas ellas.

◼ La Teoría de Optimización es una ramade la matemática aplicada que formulay explica estos problemas

Tópicos en optimización: Programación Matemática

◼ Objetivo: ◼ Encontrar el mejor punto que optimice un modelo

económico

◼ Formulación matemática◼ Optimizar y(x)

Sujeto a (x) ≥ 0 i, x = (x1, x2, …, xn)

◼ Métodos:◼ Analíticos, Programación Geométrica, P. L.,

programación combinatoria, métodos heurísticos, métodos matemáticos discretos.

Tópicos en optimización: Métodos variacionales

◼ Objetivo:

◼ Encontrar la mejor función que optimice el modelo económico

◼ Formulación matemática

◼ Optimizar I[y(x)] = F[y(x), y’(x)]dx

Sujeto a las restricciones algebraicas de integración o matemáticas en general

◼ Métodos:

◼ Cálculo de variaciones, modelos continuos.

La teoría general de máximos y mínimos

◼ Problemas no restringidos

◼ Está dirigida a encontrar los puntos extremos de una función.

◼ Teoremas:

◼ Una función que es continua en un dominio cerrado posee unvalor máximo o mínimo en el interior del intervalo o en suslímites.

◼ Una función continua alcanza un máximo o un mínimo en elinterior de una región solo en los puntos donde su enésimaderivada ya sea se hace cero (puntos estacionarios o deinflexión) o no existe (punto de discontinuidad).

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Óptimos globales y locales

◼ Será óptimo local si tiene un máximo o mínimo en el intervalo [a, b]

◼ Será óptimo global si tiene un máximo o mínimo en el intervalo [-, ]

◼ Si el óptimo local es el global, se tiene una función con óptimo exacto.

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Condiciones suficientes para el óptimo en una variable independiente

◼ Para una función continua (x), si:

◼ ’(x) x

◼ X* es crítico si ’(x*) = 0

◼ ’’(x*) =

◼ Si ’’(x*) = 0, se examinan n derivadas de orden superior hasta que n(x*) 0

◼ Si n es par: n(x*) =

◼ Si es impar: punto de inflexión.

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> 0 → mínimo

< 0 → máximo

> 0 → mínimo

< 0 → máximo

= 0 → no hay definición

Ejemplo:

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𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑦 =𝑥4

4−

𝑥2

2

ⅆ𝑦

ⅆ𝑥= 𝑥3 − 𝑥 = 0 ;𝑥 𝑥2 − 1 = 0

𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = −1

ⅆ2𝑦

ⅆ𝑥2= 3𝑥2 − 1 = 0 ;𝑥 = 0, 𝑓"(0)=-1 es max; 𝑓"( ± 1)=2 es min

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𝑦 =𝑥4

4−

𝑥2

2

ⅆ𝑦

ⅆ𝑥= 𝑥3 − 𝑥

ⅆ2𝑦

ⅆ𝑥2= 3𝑥2 − 1

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Ejemplo:

◼ El precio de cierto producto está definido por la siguiente ecuación:

◼ donde p es el precio y q es la cantidad vendida.

◼ Encontrar la q que genera un ingreso máximo, donde el ingreso es pq.

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i = 20q-q2/4

P’ = 20-q/2q = 40 P’’ = -1/2

q → hace que el ingreso sea máximo

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En el caso de dos variables

◼ (x*, y*) serán un punto crítico de (x, y) si son solución del sistema:

◼ Sea D(x, y) = ’’x(x, y) ’’y(x,y) – [’xy(x, y)]2

◼ Entonces si:

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’x(x, y) = 0

’y(x, y) = 0

▪ Si z = (x, y) tiene un máximo o mínimo relativo en (x*, y*) y si ’x(x, y) y ’y(x, y) están definidos en los alrededores de (x*, y*), entonces

D(x*, y*) =

> 0 y ’’x(x*, y*) < 0, (x, y) tiene un máximo en x*, y*

> 0 y ’’x(x*, y*) > 0, (x, y) tiene un mínimo en x*, y*

< 0 (x, y), x*, y* es punto de inflexión

= 0 (x, y), hay que hacer un análisis adicional

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max𝑦 = 5 + 3𝑥 − 4𝑦 − 𝑥2 + 𝑥𝑦 − 𝑦2

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Máximo

Mínimo

Inflexión

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El problema general de optimización: el problema no lineal con restricciones

◼ Maximizar (x)

◼ Sujeto a:

◼ gi(x) ≤ ci i = 1, …, m

◼ Donde y gi son funciones generales del parámetro x n ≥ 0

◼ Cuando es convexa, gi cóncava, el problema es un problema de programación convexa

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Condiciones de Kuhn-Tucker◼ A fin de que el problema tenga solución óptima, debe cumplir,

como condiciones necesarias las Condiciones de Kuhn-Tucker:

◼ Sea el Lagrangiano de la función de maximización dado por:

◼ Este debe cumplir con las siguientes condiciones

◼ Para todo i, j. En este caso i es conocido como el coeficiente de Lagrange para el lagrangiano L

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Ejemplo:◼ (Construcción de una caja con volumen máximo)

◼ Se quiere determinar las dimensiones de una caja rectangular de forma que contenga el mayor volumen posible utilizando para ello una cantidad fija de material.

◼ El problema en forma abstracta se podría plantear en los siguientes términos

◼ Sea V el volumen total y A el área total de las caras.

◼ Sean x, y, z el largo, ancho y espesor de la caja

◼ Entonces

Maximizar Volumen de la caja

sujeto a Área lateral fija

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𝑀𝑎𝑥 𝑉 = 𝑥𝑦𝑧sujeto a: 2 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 = 𝐴

∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ≥ 0𝑀𝑎𝑥 𝑧 = 𝑥𝑦𝑧 − (𝐴 − 2 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 )𝑥, 𝑦, 𝑧 ≥ 0

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Si se asume que A = 20 cm2

Ejemplo

◼ Max Z =3x + 5y

◼ Sujeto a:

x ≤ 4

9x2 + 5y2 ≤ 216

x , y ≥ 0

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AMPL

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Ejemplo

◼ Max Z = 126x -9x2 + 182y – 13y2

◼ Sujeto a

x 4

2y 12

3x + 2y 18

x, y 0

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AMPL

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Ejemplo

◼ Encontrar los puntos críticos

f(x, y) = xy

Sujeto a:

x2 + y2 = 1

Aplicando el Lagrangiano

L = xy + (x2 + y2 – 1)

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Ejemplo 3

◼ Optimizar z = xy

◼ Sujeto a:

x + y ≤ 1

-x + y ≤ 1

-x – y ≤ 1

x – y ≤ 1

x, y

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Programación lineal

◼ Si y gi son lineales y convexas, se tiene un problema de programación lineal.

◼ Características:

◼ Reduce sus soluciones a un número finito de éstas.

◼ Es un problema combinatorio, ya que las posibles soluciones yacen en las intersecciones de un hiperplano convexo definido por las restricciones convexas.

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hiperplano convexo definido por las restricciones convexas

Contexto del curso

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Problema no lineal

Problema convexo

Problema lineal

Problema de flujo máximo

Problema entero

Métodos de solución

Inicio

Encontrar punto o

función óptimas

Programación

Matemática

Métodos

variacionalesPunto Función

¿Hay restrcciones

involucradas?

¿Hay condiciones para

Lagrange?

¿Son las funciones de

utiidad y restriccones

lineales?

¿Son las funciones de

utiidad polinómicas?

¿Es posible forumular el

modelo por etapas?

SI

NO

NO

NO

Conslruir la

función de

Lagrange

Diferenciar y

resolver por

ecuaciones

simultáneas

SI

NO

Resolver por P. L.SI

Resolver por

Programación No

Lineal

SI

Utilizar

progrmación

dinámica

SI

Resolver mediante

técnicas de

búsqueda

multivariada

NO

¿Es la respuesta

satisfactoria?

NO

FIN

SI

Solución del modelo de optimización

◼ Analítica

◼ Métodos numéricos

◼ Heurística

◼ Simulación

◼ Discreta

◼ Dinámica