Introduccio´n a la Teor´ıa Cuantica de Campos Alejandro...

Introduccion a la Teorıa Cuantica de Campos

Alejandro Ayala

Instituto de Ciencias Nucleares, UNAM

ayala@nucleares.unam.mx

IX Escuela de Fısica FundamentalFacultad de Ciencias Fısico-Matematicas

Universidad Autonoma de SinaloaAgosto, 2014

¿Por que es importante la Teorıa de Campos en la Fısica Fundamental?

Descripcion de procesos que involucran partıculas elementales

Evolucion del UniversoTemprano

Produccion de partıculas encolisionadores

En este curso cubriremos aspectos introductorios que nos ayudaran aentender los elementos de la Teorıa Cuantica de Campos

• Mecanica Cuantica Relativista

• Particulas escalares, fermiones y fotones

• Ideas generales para la descripcion cuantizacion de campos

• Herramientas perturbativas

Bibliografıa

• Lewis H. Ryder, Quantum Field Theory (Cambridge UniversityPress)

• Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder, Quantum Field Theory(Addison Wesley)

Plan del curso

• Clase 1: Propiedades del espacio-tiempo1) Transformaciones de Lorentz2) El grupo de Poincare3) Generadores del grupo de Poincare

• Clase 2: Propiedades del espacio-tiempo (continuacion)1) Partıculas fısicas con y sin masa2) Masa y espın como los invariantes de Casimir del grupo de Poincare

• Clase 3: Ecuaciones relativistas1) La ecuacion de Dirac2) Importancia de la transformacion de paridad

• Clase 4: Ecuaciones relativistas (continuacion)1) La ecuacion de Dirac, partıculas con espım 1/2 (continuacion)2) La ecuacion de Klein-Gordon, partıculas escalares3) Las ecuacion de Maxwell, partıculas sin masa con espın 14) La ecuacion de Procca, partıculas con masa con espın 1

• Clase 5: Introduccion a la Teorıa de Campos1) La descripcion de teorıas campos en terminos del Lagrangiano2) De infinito numerable a infinito no-numberable

• Clase 6: Introduccion a la Teorıa de Campos (continuacion)1) Cuantizacion de campos2) La teorıa con un ejemplo: El campo escalar

La zona de interes

Transformaciones de Lorentz

• Considera dos sistemas de referencia O y O ′

• Si O mide coordenadas x y O ′ coordenadas x ′, ¿Como serelacionan las mediciones de coordenadas entre O y O ′?

x ′ν=

aνµxµ ≡ aνµx

• La transfornacion es lineal y homogenea y los coeficientes aνµdependen de la velocidad relativa y de la orientacion espacialde los dos sistemas de referencia

• El invariante basico es el intervalo de tiempo propio

ds2 = dτ2 = gµνdxµdxν = dxµdxµ

La metrica explıcita es:

gµν = gµν

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

• El hecho de que dτ2 sea invariante se obtiene de requerir quela velocidad de la luz sea la misma en cualquier sistema dereferencia.

• Notemos que

dτ2 = dx ′µdx ′µ = a

σµdx

λdxσ

= dxµdxµ

=⇒ aµλa

σµ = δσλ

• Un escalar vale lo mismo en cualquier sistema de referencia.(En particular E 2 − p2 = pµpµ = m2, c = 1)

• El producto escalar de dos cuadri-vectores

Aµ = (a0,~a) y Bµ = (b0,~b)es:

AµBµ ≡ AµBµ ≡ gµνA

µBν ≡ A · B = a0b0 −~a · ~b

• A veces convendra hablar de componentes arriba-variantes

Aµ = (a0,~a)

y abajo-variantes

Aµ = (a0,−~a)• Notemos que como

x ′ν= aνµx

entonces

∂xµ=∂x ′ν

∂xµ∂

∂x ′ν= aνµ

∂x ′ν

• Por lo tanto ∂/∂xµ se transforma como un cuadri-vectorabajo-variante (el ındice libre esta abajo)

∂xµ≡ ∂µ = (

∂t,−∇)

Por lo tanto

∂µAµ ≡ (

∂ta0+∇ ·~a)

El Grupo de Poincare

• El grupo de Poincare extiende al de Lorentz al incluirtranslaciones espacio-temporales.

• Es el grupo relevante para la fısica de partıculas elementales.

• La masa y el espın son las dos propiedades que caracterizan asistemas invariantes ante el grupo de Poincare. El espıncorresponde a rotaciones del grupo SU(2) solo si la masa mes tal que m2 > 0

• Si m2 = 0 el espın no esta descrito por SU(2). Los estados depolarizacion de una partıcula sin masa son solo Jz = ±J y elestado Jz = 0 no existe.

• Definimos una translacion espacio-temporal como:

xµ → x ′µ= xµ + bµ

donde bµ es un cuadri-vector constante

• Una transformacion general (inhomogenea) es entonces

x ′µ= aµνx

ν + bµ

• ¿Cuales son los generadores del grupo?

Definicion: Un generador es un operador que genera latransformacion. Entonces nos estamos preguntando porcuales son aquellos operadores que generan lastransformaciones de Lorentz y las translaciones y por laspropiedades de estos operadores conocidas como elalgebra que satisfacen

• Vamos a encontrar los generadores y expresarlos comooperadores diferenciales. Consideremos la transformacion(rotacion) que mezcla solo componentes espaciales

x ′ = x cos θ + y sin θ

y ′ = −x sin θ + y cos θ

z ′ = z

t ′ = t

• El generador (que llamaremos Jz) se define a partir del cambioque sucede al actuar sobre una funcion de las coordenadas enel lımite en el que el parametro que describe el cambio (elangulo θ) tiende a cero

Jz f (t, x , y , z) = i lımθ→0

f (t ′, x ′, y ′, z ′)− f (t, x , y , z)

= i lımθ→0

f (t, x + yθ, y − xθ, z)− f (t, x , y , z)

= i lımθ→0

f (t, x , y , z) + θy ∂f∂x − θx ∂f

∂y − f (t, x , y , z)

∂x− x

Es decir

Jz = −i(

∂y− y

Analogamente

Jx = −i(

∂z− z

Jy = −i(

∂x− x

notemos que estos operadores satisfacen

[Jx , Jy ] = iJz

lo cual puede escribirse de manera general como (TAREA)

[Ja, Jb] = iǫabcJc

donde ǫabc es el tesnor de Levi-Civita

• Consideremos la transformacion (transformacion propia deLorentz o ”boosts”) que mezcla una componente espacial yla componente temporal

x ′ = γ(x + vt)

y ′ = y

z ′ = z

t ′ = γ(t + vx)

Donde γ = 1/√1− v2. Notemos que γ2 − v2γ2 = 1

• Definimos el angulo α mediante las relaciones

γ ≡ coshα

vγ ≡ sinhα

que tambien satisfacen cosh2 α− sinh2 α = 1

cosh(α/2) = [(γ + 1)/2]1/2, sinh(α/2) = [(γ − 1)/2]1/2

• De este modo la transformacion puede escribirse como

x ′ = x coshα+ t sinhα

y ′ = y

z ′ = z

t ′ = x sinhα+ t coshα

• El generador (que llamaremos Kx) se define a partir del cambioque sucede al actuar sobre una funcion de las coordenadas enel lımite en el que el parametro que describe el cambio (elangulo α) tiende a cero

Kx f (t, x , y , z) = i lımα→0

f (t ′, x ′, y ′, z ′)− f (t, x , y , z)

= i lımα→0

f (t + xα, x + tα, z)− f (t, x , y , z)

= i lımα→0

f (t, x , y , z) + αt ∂f∂x + αx ∂f∂t − f (t, x , y , z)

∂x+ x

Es decir

Kx = i

∂x+ x

Analogamente

Ky = i

∂y+ y

Kz = i

∂z+ z

notemos que estos operadores satisfacen (TAREA)

[Kx ,Ky ] = −iJz[Kx , Jy ] = iKz

[Kx , Jx ] = 0 ... etc.

Notemos que los ”boosts”no forman un subgrupo del Grupo deLorentz

Analogamente

Ky = i

∂y+ y

Kz = i

∂z+ z

notemos que estos operadores satisfacen

[Kx ,Ky ] = −iJz[Kx , Jy ] = iKz

[Kx , Jx ] = 0 ... etc.

Notemos que los ”boosts”no forman un subgrupo del Grupo deLorentz

Para escribir estas relaciones de conmutacion formemos eltensor (antisimetrico) Jµν (µ, ν = 0, . . . 3) definido por:

Jµν =

Jij = −Jji = ǫijkJkJi0 = −J0i = −Ki

(i , j , k = 1, 2, 3)

Por lo que de manera compacta podemos escribir

[Jµν , Jρσ] = i(gνρJµσ − gµρJνσ + gµσJνρ − gνσJµρ)

Notemos que un vector de estado |p〉 cambia bajo la accion dePx

Pµ|p〉 = pµ|p〉Ante una transformacion de Lorentz, que llamaremos U(a, b),tenemos

U(a, b)|p〉 = |ap〉(la transformacion no desplaza al vector p y solo lo rota con lamatriz a)

• Notemos que

Pµ|ap〉 = (ap)µ|ap〉

Aplicando una vez mas la transformacion

Pµ(Pµ|ap〉) = (ap)µ(ap)

µ|ap〉y como sabemos

(ap)2 = (ap)µ(ap)µ

= aµαpαaβµpβ

= aµαaβµp

= δβαpαpβ

= pαpα

Una transformacion de Lorentz deja PµPµ invariante. En ellenguaje de la teorıa de grupos esto es consecuencia de quePµPµ conmuta con los generadores del grupo de Poincare. Alas cantidades con esta propiedad se les denomina losinvariantes de Casimir. C1 = PµPµ es el primer invariante deCasimir del grupo de Poincare.

• Todos los estados obtenidos mediante transformaciones deLorentz a partir de un estado con p2 tienen el mismo valor dep2.

• p2 ≡ m2

• Puesto que el signo de p0 no cambia bajo una Transformacionde Lorentz, podemos catalogar los estados bajo las siguientesseis categorıas:

(i) m2 > 0, p0 > 0(ii) m2 > 0, p0 < 0(iii) m2 = 0, p0 > 0(iv) m2 = 0, p0 < 0

partıculas fısicas con y sin masa

(v) pµ = 0, vacıo

(vi) p2 < 0, partıculas virtuales

• Una vez escogido un valor de pµ que pertenece a una de lasanteriores clases ({pµ}) resulta que el subgrupo del grupo dePoincare que deja invariante a pµ tiene la mismaestructura para todo momento en la clase {pµ}.• Esta clase es un subgrupo y resulta que tal subgrupo es el derotaciones o SU(2).

• Tomemos la clase (i), m2 > 0. Una pµ particular es elmomento de la partıcula en su sistema de reposo y llamemos aeste momento kµ = (m, 0)

• El resultado se puede escribir como sigue: Para momentostemporaloides (p2 > 0) para conocer el efecto de unatransformacion de Lorentz arbitraria, basta conocer lasrepresentaciones del grupo de rotaciones.

• Tomemos un momento arbitrario pµ

• Existe una transformacion de Lorentz que transforma kµ (elmomento en el sistema en reposo) en pµ. Llamemos a taltransformacion L(p)

pµ = Lµν (p)kν

• Etiquetamos los estados en el espacio de Hilbert como

|p, σ〉|k , σ〉

• σ es el ındice que etiqueta al espın. La transformacioncorrespondiente en este espacio es

|p, σ〉 = U(L(p))|k , σ〉

• Ahora, para una transformacion de Lorentz arbitrariapµ → p′

µ = Λµνp

ν, la transformacion correspondiente en elespacio de Hilbert es

|p, σ〉 → |p′, σ〉 = U(Λ)|p, σ〉• o bien

U(Λ)|p, σ〉 = U(Λ)U(L(p))|k , σ〉• multiplicamos por la unidad

U(L(Λp))U−1(L(Λp))

• para obtener

U(Λ)|p, σ〉 = U(L(Λp))U−1(L(Λp))U(Λ)U(L(p))|k , σ〉

• Usemos la propiedad de grupo

U−1(A) = U(A−1)

• para escribir

U(Λ)|p, σ〉 = U(L(Λp))U(L−1(Λp))U(Λ)U(L(p))|k , σ〉• Usemos otra propiedad de grupo

U(A)U(B)U(C ) = U(ABC )

• para escribir

U(Λ)|p, σ〉 = U(L(Λp))U(L−1(Λp)ΛL(p))|k , σ〉

• L−1(Λp)ΛL(p) es una transformacion que al operar sobre kµ

origina kµ nuevamente puesto que:

X L(p) cambia k en p

X Λ cambia p en Λp

X L−1(Λp) cambia Λp en k

• R ≡ L−1(Λp)ΛL(p) es por lo tanto una rotacion y podemosescribir la accion de U(R) sobre |k , σ〉 como una combinacionlineal de los posibles estados de proyeccion de la componente zdel espın (σ′) que son posibles dado un espın (σ)

U(R)|k , σ〉 =∑

Dσσ′(R)|k , σ′〉

• Entonces

U(Λ)|p, σ〉 = U(L(Λp))U(L−1(Λp)ΛL(p))|k , σ〉= U(L(Λp))

Dσσ′(R)|k , σ′〉

Dσσ′(R)U(L(Λp))|k , σ′〉

Dσσ′(R)|Λp, σ′〉

• Concluimos que para conocer las representaciones delgrupo de Lorentz para un vector de estado“temporaloide”solo requerimos conocer lasrepresentaciones del grupo de rotaciones

X El ındice de spın esta dado por el grupo de rotaciones.

• Uno de los invariantes de Casimir es m2. ¿Que operadorinvariante corresponde al spin?

• Definimos el (pseudo)vector de Pauli-Lubanski

Wµ = −1

2ǫµνρσJ

νρPσ

• Wµ es ortogonal a Pµ, es decir,

WµPµ = 0

de modo que en el sistema en reposo, Wµ es espacialoide, i.e.

Wµ = (0, ~W )

Wi = −1

2ǫiνρ0J

νρP0

= −m

2ǫijk0J[jk

= −m

2ǫijkǫ

jklJ l

= −mJi ≡ −mΣi

• Donde Σi es el operador de espın en la direccion i y hemosusado

ǫijkǫjkl = 2δli

X El segundo invariante de Casimir es

C2 = WµWµ = −m2s(s + 1)

• Ojo: En un sistema arbitrario W µ no es el operador de espın,pero el invariante de Casimir es un escalar y no depende delsistema de referencia.

• Finalmente, consideremos el caso de partıculas “light like”,descritas por vectores nulos

Kµ = (k , ~k)

• Para este tipo de partıculas K 2 = 0• sea |k〉 un estado que describe a estas partıculas, entoncessabemos

W ·W |k〉 = 0,[

recordar WµWµ = −m2s(s + 1)

K · K |k〉 = 0

W · K |k〉 = 0

• W µ y Kµ son ortogonales y ambos son “nulos”, esto significaque son proporcionales

(W µ − λKµ)|k〉 = 0

X El resultado es que el estado de una partıcula sin masaesta caracterizado por un numero λ que es el cociente de W µ yKµ con dimensiones de momento angular. Esta es la helicidad.Si se incluye la paridad, los posibles valores son −λ y λ.

La ecuacion de Dirac

• La ecuacion de Dirac incorpora, ademas de la relacionrelativista entre la energıa y el momento, la invariancia anterotaciones del grupo de Lorentz• Para deducir la ecuacion debemos explorar las representacionesdel grupo de Lorentz. Recordemos como se ven lastransfornaciones de Lorentz.

• Recordemos como se ven las transfornaciones de Lorentz.Tomemos como ejemplo una transformacion a lo largo del eje x

t ′ = γ(t + vx)

x ′ = γ(x + vt)

y ′ = y

z ′ = z

donde γ = (1− v2)−1/2, (recordar) c = 1• Definimos el angulo de rotacion α mediante

γ = coshα

γv = sinhα

• Definimos

x0 = t

x1 = x

x2 = y

x3 = z

Entonces podemos escribir la transformacion de Lorentz como

x ′0x ′1x ′2x ′3

coshα sinhα 0 0sinhα coshα 0 00 0 1 00 0 0 1

x0x1x2x3

x ′ = Λx

• Recordamos que el generador de la transformacon es

K1 = −i∂A

= −i

0 1 0 01 0 0 00 0 0 00 0 0 0

• De la misma manera, los generadores de transformaciones a lolargo de x2 y x3 son

K2 = −i

0 0 1 00 0 0 01 0 0 00 0 0 0

, K3 = −i

0 0 0 10 0 0 00 0 0 01 0 0 0

• Notemos tambien que para rotaciones que no involucran altiempo (rotaciones tridimensionales) podemos tambien definirlos generadores

J1 = −i

0 0 0 00 0 0 00 0 0 10 0 −1 0

J2 = −i

0 0 0 00 0 0 −10 0 0 00 1 0 0

, J3 = −i

0 0 0 00 0 1 00 −1 0 00 0 0 0

• Recordemos las relaciones de conmutacion

[Ki ,Kj ] = −iǫijkJk[Ji ,Kj ] = iǫijkKk

Estos generadores se mezclan. Definimos entoncescombianciones

2(Jl + iKl)

2(Jl − iKl)

Con lo cual, las relaciones de conmutacion se vuelven TAREA

[Ai ,Aj ] = iǫijkAk

[Bi ,Bj ] = iǫijkBk

[Ai ,Bj ] = 0

• Entonces cada conjunto {Ai}, {Bi} genera por si solo un grupoSU(2).

• El grupo de Lorentz es escencialmente SU(2)⊗ SU(2)

• De este modo los objetos que se transformen bajo el grupode Lorentz pueden ser etiquetados por un par demomentos angulares (j , j ′)

• Sabemos que j , j ′ pueden ser enteros o semienteros.

El grupo SU(2)

• El grupo recibe su nombre por el hecho de que corresponde alconjunto de matrices unitarias (U tal queU U† = U† U = 1), especiales (con determinante igual a1), cuya representacion de menor dimension es de 2× 2

• Cualquier matriz de 2× 2 unitaria puede expresarse como

U(~θ) = e i~σ·~θ

• σi son las matrices de Pauli

0 11 0

, σ2 =

0 −ii 0

, σ3 =

1 00 −1

El grupo SU(2)

• Para probar que las matrices ası escritas pertenecen a SU(2),recordemos que si M es una matriz con eigenvalores {λi}

Tr M =∑

Det M =∏

Escribiendo U = eM

Det eM =∏

= e∑

= eTr M

o bien

ln Det eM = Tr M

El grupo SU(2)

• Usemos lo anterior para matrices de SU(2),

Det U(~θ) = Det e i~σ·~θ = e i

~θ·Tr~σ = 1

Ademas podemos checar que las matrices de Pauli cumplen[σi2,σj2

= iǫijkσk2

Por lo que las matrices de Pauli forman una representacion delAlgebra de Lie del grupo SU(2).

• Las representaciones irreducibles estan etiquetadas por losposibles valores de j = 1/2, 1, 3/2, 2, ... etc.

• La dimension d de la representacion es la dimension de lasmatrices que generan al grupo y esta dada por d = 2j + 1.

• Por ejemplo, para j = 1/2, la dimension es d = 2, las matricesque generan las representacion son las de Pauli.

• Para j = 1, d = 3 y las matrices del grupo son las rotacionesordinarias en 3 dimensiones.

• Vamos a concentrarnos en los objetos que se transforman bajorepresentaciones j = 1/2.

• Segun la discusion anterior hay dos tipos de estos objetos:

• Tipo I: (1/2,0), los generadores se escogen como:

~J1/2 = ~σ/2, ~K 1/2 = −i~σ/2

• Llamamos a los objetos que se transforman bajo la accion deesta respresentacion espinores tipo ξ.

• Sean (~θ, ~α) los parametros que describen las rotacionesasociadas.

• Entonces, ξ se transforma como

ξ → ξ′ =(

e~σ/2·~θ−i~σ/2·~α

≡ Mξ

• Tipo II: (0,1/2), los generadores se escogen como:

~J1/2 = ~σ/2, ~K 1/2 = i~σ/2

• Llamamos a los objetos que se transforman bajo la accion deesta respresentacion espinores tipo η.

• Entonces, η se transforma como

η → η′ =(

e~σ/2·~θ+i~σ/2·~α

≡ Nη

• Det M = Det N =1

Paridad

• Introduzcamos la Transformacion de Paridad que cambia lascoordenadas

~x → ~x ′ = −~x• Esta transformacion induce cambios en otros objetos, porejemplo

~∇ → −~∇• Los generadores de transformaciones propias de Lorentzcambian como

~K → −~K• Hay sin embargo otros tipos de objetos que no cambian bajo laaccion de la paridad. Por ejemplo, los generadores asociados alas rotaciones, i.e. el momento angular

~J = ~r × ~p → −~r ×−~p = ~r × ~p = ~J

• Esto significa en particular que ante paridad

ξ ←→ η

Paridad

• La transformacion de Paridad intercambia (mezcla) losespinores por lo cual debemos agruparlos en un solo objeto

con la propiedad

• Bajo una transformacion de Lorentz, el nuevo objeto setransforma como

ξ‘η′

e~σ/2·(~θ−i~α) 0

0 e~σ/2·(~θ+i~α)

• ξ, η son espinores de Pauli

• ψ es un espinor de Dirac

• ψ se transforma bajo una representacion irreducible del grupode Lorentz (12 ,

12) extendida por la transformacion de

paridad

• Vamos ahora a especializarnos en describir la accion de

transformaciones propias de Lorentz (i.e. ~θ = 0)

ξ → ξ′ =(

e~σ·~α/2)

= (cosh(α/2) + ~σ · n sinh(α/2)) ξdonde n es un vector unitario en la direccion del boost

• Supongamos que el espinor original esta en reposo

• El nuevo espinor describe un objeto que se mueve con velocidadv a lo largo de n, es decir, es un espinor con momento ~p = pn.

• Recordemos que

cosh(α/2) = [(γ + 1)/2]1/2

sinh(α/2) = [(γ − 1)/2]1/2

entonces

ξ′ =

γ + 1

+ ~σ · p(

γ + 1

• Si el objeto describe una partıcula con masa m, energıa E ymomento p, entonces

γ = E/m

multiplicando y dividiendo la ultima ecuacion de la paginaanterior por (E +m)1/2

ξ(p) =

E +m + ~σ · ~p[2m(E +m)]1/2

• Analogamente

η(p) =

E +m − ~σ · ~p[2m(E +m)]1/2

• ~σ · ~p es la proyeccion del espın a lo largo del momento dela partıcula

γ = E/m

multiplicando y dividiendo la ultima ecuacion de la paginaanterior

ξ(p) =

E +m + ~σ · ~p[2m(E +m)]1/2

• Analogamente

η(p) =

E +m − ~σ · ~p[2m(E +m)]1/2

• Para relacionar las anteriores ecuaciones recordemos queη(0) = ξ(0) puesto que si la partıcula esta en reposo no sepuede distinguir entre los valores de la proyeccion de ~σ ·~p.• Ası se puede mostrar TAREA (usar que

σiσj = 2ǫijkσk + 2δij )

ξ(~p) =

E + ~σ · ~pm

η(~p)

η(~p) =

E − ~σ · ~pm

ξ(~p)

estas son un par de ecuaciones algebraicas acopladas. Podemosescribirlas en forma matricial

−m E + ~σ · ~pE − ~σ · ~p −m

ξ(~p)η(~p)

• Usamos

ψ(p) =

ξ(~p)η(~p)

junto con las matrices (de Dirac) (en la base de Weyl)

0 11 0

, γi =

0 −σiσi 0

para escribir

(γ0E − γipi −m)ψ(p) = 0

• Finalmente, usando la notacion donde contraemos ındices

γ0E − γipi ≡ γµpµ, con E ≡ p0

escribimos la Ecuacion de Dirac

(γµpµ −m)ψ(p) = 0

• Si m = 0, las ecuaciones para ξ, η se desacoplan

(p0 + ~σ · ~p)η(p) = 0

(p0 − ~σ · ~p)ξ(p) = 0

o puesto que para m = 0, p0 = |~p|(~σ · p) η(p) = −η(p)(~σ · p) ξ(p) = ξ(p)

• ~σ · p es el operador de Helicidad

• Entonces

η(p) → Helicidad negativa

ξ(p) → Helicidad positiva

• Las matrices de Dirac satisfacen el algebra

{γµ, γν} = 2gµν

donde el anticonmutador esta definido como

{γµ, γν} = γµγν − γνγµ• Podemos tambien formar otros objetos a partir del espinor deDirac usando las matrices de Dirac. Por ejemplo, el espinorconjugado de Dirac es (usando γ0 en la base de Dirac-Pauli)

ψ ≡ ψ†γ0

= ( ψ∗1 , ψ∗

1 , ψ∗1 , ψ∗

1 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

Tambien se introduce la matriz γ5 que se define como

γ5 = iγ0γ1γ2γ3

• y se utiliza para formar pseudocantidades, es decir, aquellasque tienen la paridad opuesta a la cantidad correspondiente

• Algunas cantidades utiles para describir las propiedades departıculas elementales con valor del espın S = 1/2 son porejemplo:

ψψ −→ escalar

ψγ5ψ −→ pseudoescalar

ψγµψ −→ vector

ψγ5γµψ −→ pseudovector

• El Lagrangiano que origina la ecuacion de Dirac TAREA es

L = i ψγµ∂µψ −mψψ

• La corriente conservada de Noether es TAREA

jµ = ψγµψ

• de modo que la carga conservada es

d3x j0 =

d3x ψγ0ψ =

d3x ψ†ψ > 0

• puesto que la relacion relativista entre momento y energıa esE 2 = p2 +m2, la energıa puede ser negativa o positiva

E = ±√

p2 +m2

• Dirac postulo que los estados de energıa negativa estancompletamente ocupados, de modo que el principio deexclusion impide a mas electrones ocupar estos estados del marde Dirac

• Este pstulado permite predecir la existencia de antipartıculas:Si existe un lugar desocupado en el mar de Dirac (E < 0)entonces un electron con energıa positiva E puede llegar aocupar el estado, emitiendo en el proceso energıa con valorigual a la diferencia de energias entre los estados, es decir 2E .Esto puede entenderse tambien como que el lugar vacıo(agujero) es una partıcula con caga opuesta +e y energıapositiva

e− + agujero −→ energıa

e− + e+ −→ energıa

El mar de Dirac

Soluciones de la ecuacion de Dirac

• En espacio de momento, podemos escribir la ecuacion de Dirac

(pµγµ −m) ≡ (p6 −m)ψ = 0

para una part1cula en reposo

γ0p0ψ = mψ

o en forma matricial(

m − p0 00 −m − p0

ψ = 0

La ecuacion secular es

m − p0 00 −m − p0

lo que origina p0 = ±m. Cada eigenvalor es doble. De estemodo hay cuatro soluciones

ψ(1,2)u (x) = u(0)(1,2)e−imt , energıa positiva

ψ(1,2)v (x) = v(0)(1,2)e+imt , energıa negativa

• ¿A que corresponden los dos ındices para cada energıa?

• Los correspondientes eigenvectores son

u1(0) =

, u2(0) =

, v1(0) =

, v2(0) =

• Para encontrar los espinores con momento arbitrario, debemosaplicar una transformacion de Lorentz. Como vimos

cosh(α/2) ~σ · p sinh(α/2)~σ · p sinh(α/2) cosh(α/2)

cosh(α/2) =

sinh(α/2) =

E −m

• Explicitamente

1 0 pzE+m

px−ipyE+m

0 1px−ipyE+m

−pzE+m

px−ipyE+m

1 0px+ipyE+m

−pzE+m

E+mpx+ipyE+m

, u2 =

px−ipyE+m−pzE+m

pzE+mpx−ipyE+m10

, v2 =

px−ipyE+m−pzE+m

• Bajo la transformacion de Lorentz

e−imt −→ e−ipµxµ

, energıa positiva

e+imt −→ e+ipµxµ

, energıa negativa

• La normalizacion de las soluciones es TAREA

u(a)(p)u(a′)(p) = δaa′

v (a)(p)v (a′)(p) = −δaa′

u(a)(p)v (a′)(p) = 0

u(a)†(p)u(a′)(p) = v (a)†(p)v (a

′)(p) =E

mδaa′

• y ademas satisfacen TAREA

(p6 −m)u(p) = 0; u(p6 −m) = 0(p6 +m)v(p) = 0; v(p6 +m) = 0

• Existen relaciones muy utiles que involucran sumas sobreproyecciones de espines TAREA

u(a)(p)u(a)(p) ≡ P+ =p6 +m

v (a)(p)v (a)(p) ≡ P+ =−p6 +m

• Los proyectores P± cumplen la propiedad TAREA

P2± = P±

La ecuacion de Klein-Gordon

• Notemos que si partimos de la ecuacin de Dirac

(p6 −m)ψ = 0

y multiplicamos por la izquierda por el operador (p6 +m),obtenemos

(p6 +m)(p6 −m)ψ = 0

(p2 −m2)ψ = 0

donde hemos usado la propiedad

p6 p6 = pµγµpνγν

= pµpνγµγν

= pµpν × 1

2([γµ, γν ] + {γµ, γν})

puesto que {γµ, γν} = 2gµν y que [γµ, γν ] es antisimetrico enlos ındices µ, ν, mientras que pµpν es semetrico.

• La matriz p2 −m2 es proporcional a 1 en cuatro dimensionespor lo que cada componente de ψ(p) satisface la mismaecuacion. Llamamos a la funcion que satisface la ecucion φ

• Notemos que p2 = E 2 − ~p2, por lo que el factor p2 −m2 no esmas que la relacion relativista entre la energıa y elmomento. Escribiendo

E −→ i∂

∂t~p −→ −i∇

obtenemos(

− ∂2

∂t2+∇2 −m2

φ = 0

�+m2)

φ = 0

• La ecuacion puede obtenerse a partir del Lagrangiano

2(∂µφ)(∂

µφ)− 1

2m2φ2

la corriente conservada de Noether es

Jµ = −iφ∗↔

∂µφ

∂µJµ = −i(φ∗�φ− φ�φ∗) = 0

• Notemos que la densidad

φ = −i(

φ∗∂

∂tφ− φ ∂

∂tφ∗)

no tiene un signo definido por lo que no puede interpretarsecomo una densidad de probabilidad.

• Historicamente esta fue la razon que propicio la busqueda deuna ecuacion relativista que permitiera una densidad positivadefinida, busqueda que rindio frutos con la ecuacion de Dirac.

El campo de Maxwell

• Las ecuaciones de Maxwell

∇ · ~B = 0, No hay cargas magneticas

∇× ~E +∂~B

∂t= 0, Ley de Faraday

∇ · ~E = ρ, Ley de Gauss

∇× ~B − ∂~E

∂t= ~j , Ley de Ampere

• Introducimos el cuadrivector Aµ = (φ, ~A) a partir del que se

obtienen los campos ~E y ~B

~B = ∇× ~A~E = −∂

∂t− ~∇φ

El campo de Maxwell

• Las primeras dos ecuaciones de Maxwell se satisfacenautomaticamente

• Ademas podemos definir

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ

F 0i = ∂0Ai − ∂iA0 =∂A

∂t+∂φ

∂i= −E i

F ij = ∂iAj − ∂j∂i = −ǫijkBk

• Fµν se puede representar como una matriz antisimetrica de4× 4

Fµν =

0 −E1 −E2 −E3

E1 0 −B3 B2

E2 B3 0 −B1

E3 −B2 B1 0

• Fµν es el tensor de campos electrico y magnetico

El campo de Maxwell

• Bajo transformaciones de Lorentz aνµ,

Fµν −→ F′µν = aµαa

• Las ecuacinoes inhomogeneas se escriben

∂µFµν = jν

donde jµ = (ρ,~j)

• Definimos el tensor dual de campos electricos y magneticoscomo

Fµν =1

2ǫµνρσFρσ

• Las ecuaciones homogeneas se escriben como

∂µFµν = 0

Transformaciones de norma

• ~A y φ no son unicos, puesto que ante la transformacion

~A → ~A− ~∇χ

φ → φ+∂χ

que se pueden escribir como una ecuacion

Aµ → Aµ + ∂µχ

• ~E y ~B permanecen invariantes pues

Fµν → Fµν + (∂µ∂ν − ∂ν∂µ)χ = Fµν

• Sustituyendo Fµν = ∂µAν − ∂νAµ en ∂µFµν = jν obtenemos

�Aν − ∂ν(∂µAµ) = jν

que se pueden escribir como una ecuacion

Aµ → Aµ + ∂µχ

• Podemos usar la libertad de norma y escoger una χ particularde modo que Aµ satisfaga la “Condicion de Lorentz”

∂µAµ =

∂t+ ~∇ · ~A = 0

• En esta norma y en terminos de Aµ, las ecuaciones de Maxwellse escriben como

�Aµ = jµ i.e.

∂2φ

∂t2−∇2φ = ρ

∂2~A

∂t2−∇2~A = ~j

• Lo anterior significa cuatro ecuaciones para dos grados delibertad• Al implementar la naturaleza cuantica del campoelectromagnetico libertad de norma con cuidado.• Finalmente, partıculas masivas de espın 1 obedecen lageneralizacion de Maxwell, las ecuaciones de Procca

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ;

∂µFµν +m2Aν = 0

• Tomando la divergencia de esta ultima ecuacion tenemos

m2∂νAν = 0

• Como m2 6= 0 tenemos que ∂νAµ = 0 (condicion de Lorentz)

se satisface siempre. Hemos perdido la libertad de norma.Sustituyendo en la anterior ecuacion en la de Procca, tenemos

(�+m2)Aµ = 0

∂µAµ =

• Solo tres ecuaciones independientes tal cual corresponde apartıculas masivas con espın 1.

En resumen, las ecuaciones relativistas

(�+m2)φ = 0 Klein-Gordon

(p6 −m)ψ = 0 Dirac

∂µFµν = jν

∂µFµν = 0 Maxwell

Introduccion a la Teorıa de Campos

• Existen muchos sistemas que pueden ser descritos en terminosde una teorıa de campos

• En mecanica clasica existen cantidades macroscopicas queforman campos: fuerzas, velocidades, temperaturas

• En nuestro caso estamos interesados en la descripcion decampos fundamentales que describen la materia a nivelmiscroscopico

• Vamos a promover las funciones de onda de la mecanicacuantica relativista al rango de operadores

• Las partıculas seran los “cuantos”o modos de excitaciondel campo

• Estos campos experimentan “fluctuaciones”que suceden inclusoen ausencia de partıculas y la descripcion de las mismas es unode los temas centrales de las teorıas de campos

• ¿Como se realiza la transicion de la descripcion de la mecanicade partıculas masivas y localizadas a la descripcion de lamecanica de campos en el lımite continuo?

• Consideremos una partıcula “puntual”de masa m moviendoseen una dimension bajo la influencia de un potencial V (q)independiente del tiempo

• La trayectoria de la partıcula esta determinada por la segundaley de Newton

mq = −∂V∂q

Sujeto a las condiciones iniciales

q(t0) = q0

• Un metodo alternativo para la descripcion del mismo sistemase obtiene usando el Lagrangiano

L(q, q) = T − V =1

2mq2 − V (q)

que origina la accion

∫ t1

dt L(q, q)

• La ecuacuon de movimiento se obtiene de un principiovariacional (Hamilton): La trayectoria cumple

δS = 0

sujeta a la condicion que en los extremos

δq(t0) = δq(t1) = 0

∫ t1

dt δL(q(t), q(t))

∫ t1

∂qδq +

∂qδq

pero, puesto que

δq = δd

podemos integrar por partes el ultimo termino∫ t1

dt∂L

∂qδq =

∫ t1

∂qδq

−∫ t1

El primer termino se anula dadas las condiciones en losextremos

• El resultado es:∫ t1

∂q− d

δq = 0

Entonces, puesto que la variacion δq es arbitraria (sujeta a lascondiciones en los extremos)

∂q− d

∂q= 0

Estas son las ecuaciones de Euler-Lagrange

• La discusion anterior puede extenderse a un sistema de Npartıculas puntuales caracterizadas por coordenadas yvelocidades (qi , qi), i = 1, . . . ,N. El Lagrangiano es

L(q1, . . . , qN ; q1, . . . , qN)

• La dinamica esta dada por el sistema de ecuaciones acopladas

∂qi− d

∂qi= 0

• Para generalizar la discusion al caso de campos, necesitamosprimero introducir el concepto que describe a estos objetos

• Un campo es un mapeo de cada punto de una regionespacio-temporal a una funcion continua φ(~x , t)

• Un sistema descrito mediante un campo puedeconsiderarse como el “lımite”del ındice discreto “i”alındice continuo ~x. En otras palabras, la variable ~xetiqueta los valores del campo φ(~x) que ahora pasan a servariables dinamicas de la teorıa

• El Lagrangiano se convierte ahora en una funcional (unafuncion de funciones)

L[φ(~x , t), φ(~x , t)]

• Para deducir la dinamica a partir de un principio variacional,necesitamos definir la variacion de una funcional F [φ(x)]

δF [φ] = F [φ+ δφ]− F [φ]

≡∫

d3xδF [φ]

δφ(~x)δφ(~x)

(hemos multiplicado y dividido por δφ(~x), ademas de que la variacion debe tomar en cuenta

la region espacial donde esta definida φ)

δF [φ]

δφ(~x)

es la derivada funcional de F [φ] con respecto a φ en el punto ~x

• Para entender el concepto de una derivada funcional,pensemos por lo pronto en terminos de ındices discretos

• Dividimos el epacio en pequenas celdas de dimension ∆Vi yasociamos con cada celda el valor promedio de la funcionφ(~x , t), es decir

φi (t) ≡1

d3x φ(~x , t)

• Ahora F depende del conjunto discreto de “coordenadas”φi• La variacion de F es la suma de la variacion de F con respectoa cada φi .

δF [φ] =∑

δφiδφi

• Ahora tomamos el lımite al continuo∑

∆Vi −→∫

δF [φ]

δφ(~x , t)= lım

∆Vi→0

• Ahora aplicamos el principio variacional a la accion

S [φ, φ] =

∫ t1

dtL[φ, φ]

• que involucra la derivada funcional del Lagrangiano

δL[φ, φ] =

δφ(~x , t)δφ(~x , t) +

δφ(~x , t)δφ(~x , t)

δS [φ, φ] =

∫ t1

δφ(~x , t)− ∂

δφ(~x , t)

• Este ultimo paso se obtiene integrando por partes usando

δφ = δ∂

∂tφ =

∂tδφ

• Con las condiciones de frontera

δφ(~x , t1) = δφ(~x , t0) = 0

• requiriendo δS [φ, φ] = 0

δφ(~x , t)− ∂

δφ(~x , t)= 0

• Expresamos ahora el Lagrangiano en terminos de una densidadlocal L, que solo depende de un punto espacio-temporal

L(t) =

d3x L(

φ(~x , t), ~∇(~x , t), φ(~x , t))

• La variacion de L(t) se escribe ahora mediante

δL(t) =

∂L∂φ(~x , t)

δφ(~x , t) +∂L

∂(~∇φ(~x , t))δ~∇φ(~x , t)

∂(φ(~x , t))δφ(~x , t)

∂L∂φ(~x , t)

− ~∇ ∂L∂(~∇φ(~x , t))

δφ(~x , t)

∂(φ(~x , t))δφ(~x , t)

donde se ha usado δ~∇φ = ~∇δφ, ası como integracion porpartes

• Entonces, las expresiones explıcitas de las derivadas funcionalesse convierten en

δL(t)

δφ(~x , t)−→ ∂L

∂φ(~x , t)− ~∇ ∂L

∂(~∇φ(~x , t))δL(t)

δφ(~x , t)−→ ∂L

∂(φ(~x , t))

• Como las variaciones son independientes, las Ecuaciones deEuler-Lagrange son

∂L∂φ(~x , t)

− ~∇ ∂L∂(~∇φ(~x , t))

− ∂L∂(φ(~x , t))

∂L∂φ(~x , t)

− ∂

∂xµ∂L

∂(∂µφ)= 0

• Sera util introducir tambien el Hamiltoniano. Definimosprimero la densidad de momento canonico conjugado

Π(~x , t) =∂L

∂φ(~x , t)

• El Hamiltoniano (o densidad Hamiltoniana) es

H(~x , t) = Π(~x , t)φ(~x , t)− L(~x , t)

Cuantizacion de Campos: El campo de Klein-Gordon

• Recordemos que para un sistema discreto compuesto por npartıculas tenemos

[qi , pj ] = iδij[qi , qj ] = [pi , pj ] = 0

• La generalizacion de estas relaciones de conmutacion para unsistema continuo, descrito por un campo es

[φ(~x),Π(~y )] = iδ3(~x − ~y)[φ(~x), φ(~y )] = [Π(~x),Π(~y )] = 0

Esto significa que promovemos las funciones φ(~x),Π(~x) aoperadores

• ¿Como encontramos el espectro y por lo tanto el tipo deexcitaciones permitidas? El campo libre (real) de Klein-Gordonsatisface la ecuacion

(�+m2)φ(~x , t) = 0

alternativamente, el Lagrangiano que describe este campo es

2(∂µφ)(∂

µφ)− m2

• Escribimos el campo representado en modos de Fourier

φ(~x) =

(2π)31

apei~p·~x + a†pe

−i~p·~x)

• El momento canonico conjugado

Π(~x) = (−i)∫

(2π)3

apei~p·~x − a†pe

−i~p·~x)

• Podemos utilizar estas expresiones para despejar los operadores

ap y a†p y encontrar sus relaciones de conmutacion para obtener

ap, a†p′

= (2π)3δ3(~p − ~p′)

• el Hamiltoniano se puede escribir

(2π)3ωp

a†pap +1

Un grado de libertad

• Considera un estado de un boson |n〉 con energıa ω.

• El estado del vacıo (el estado sin partıculas) es |0〉.• Podrıa ser que existan n = 0, 1, 2, . . . bosones. Considera elcaso sin interaccion. Encontremos el estado con n bosones, |n〉,y su correspondiente energıa

• Los estados satisfacen

〈n|n′〉 = δnn′∞∑

|n〉〈n| = 1.

Un grado de libertad

• Los operadores de creacion y aniquilacion a†, a, satisfacen

[a, a†] = aa† − a†a = 1

a†|n〉 = (n + 1)1/2|n + 1〉a|n〉 = n1/2|n − 1〉

• El operator de numero N = a†a es tal que

N|n〉 = a†a|n〉 = n|n〉• Un estado con n bosones puede obtenerse del vacıo como

|n〉 = 1

(n!)1/2(a†)n = |0〉

• El Hamiltoniano es

H = ω(a†a +1

2) = ω(N +

Todos los grados de libertad

• Si ahora consideramos todos los grados de libertad etiquetadospor ~p

(2π)3ωp(a

†pap +

obtenemos el resultado ya mencionado.

El espectro es el siguiente:

X El estado |0〉 para el cual ap|0〉 = 0 para toda ~p. Este es elestado base o vacıo cuya energıa es E = 0 (despues de ignorarla energıa del punto cero).

X El estado general (a†p1)n1(a†p2)

n2 , . . . |0〉 ∼ |n1n2 . . .〉• Notemos que los estados pueden tener un nmuero arbitrario departıculas lo que es una caracterıstica de de la estadıstica deBose-Einstein

Todos los grados de libertad

• ¿Cual es la interpretacion de φ(x)|0〉?• Puesto que ap|0〉 = 0, vemos que

φ(x)|0〉 =

(2π)31

e−i~p·~xa†p|0〉

(2π)31

2ωpe−i~p·~x |~p〉

• de modo que el estado es una superposicion lineal de estadosde una partıcula con momento definido

• Actuando con 〈~x ′| y usando que

〈~x ′|~p〉 = (2π)32ωpei~p·~x ′

obtenemos

〈~x ′|φ(x)|0〉 = (2π)3δ3(~x − ~x ′)X φ(x) actuando sobre |0〉 crea una partıcula en la posicion ~x

Dependencia temporal

• La dependencia temporal se obtiene considerando la imagen deHeisenberg

φ(~x , t) = e iHtφ(~x)e−iHt

• Necesitamos encontrar

e iHtape−iHt

e iHta†pe−iHt

• El resultado de esta ultima operacion es

e iHtape−iHt = ape

−iEp t

e iHta†pe−iHt = a†pe

por lo tanto

φ(~x) =

(2π)31

ape−ip·x + a†pe

ip·x)

Interpretacion

• Notemos el doble papel que juegan los campos:

1) Estan escritos en terminos de soluciones de onda (de partıculalibre)

2) Las soluciones setan acompanadas de operadores de creacion yaniquilacion de partıculas

X Ambos signos de la dependencia temporal se encuentran

X Una solucion con frecuencia positiva (e−iEp t) es elcoeficiente del operador de destruccion

X Una solucion con frecuencia negativa (e iEp t) es elcoeficiente del operador de creacion

X Crear una partıcula en un estado con energıa negativa seinterpreta como la aparicion de una antipartıcula

El propagador

• Pongamos atencion a la funcion

DR(x − y) = θ(x0 − y0)〈0|[φ(x), φ(y)]|0〉• Esta funcion satisface TAREA

(�x +m2)DR(x − y) = −iδ4(x − y)

y por lo tanto es una funcion de Green de la ecuacion deKlein-Gordon o un propagador

• Existe otra funcion de Green que es muy importante

DF (x − y) = θ(x0 − y0)〈0|φ(x)φ(y)|0〉 + θ(y0 − x0)〈0|φ(y)φ(x)|0〉• DF es una amplitud de transicion entre los puntos x , y

• ¿Cual es el significado fısico de esta funcion?

El propagador

• Para dilucidar el significado, consideremos que el campo encuestion sea cargado. Esto se logra si el campo no es real sinomas bien complejo

φ(x) =

(2π)31

ape−ip·x + b†pe

−ip·x)

• b† (a†) crea una carga positiva (negativa), por lo tanto{

φ(x) incrementa la carga de un estado por una unidadφ†(x) decrementa la carga de un estado por una unidad

〈0|φ†(y)φ(x)|0〉θ(y0 − x0)

amplitud para primero crear carga positiva en x y despuesdestruirla en y

〈0|φ(x)φ†(y)|0〉θ(x0 − y0)

amplitud para primero crear carga negativa en y y despuesdestruirla en x

El propagador de Feynman

• Regresando al propagador de Feynman

DF (x − y)=θ(y0 − x0)〈0|φ†(y)φ(x)|0〉 + θ(x0 − y0)〈0|φ(x)φ†(y)|0〉≡〈0|T [φ†(y)φ(x)]|0〉

• T es el operador que ordena el producto de operadores, deizquierda a derecha, de acuerdo al tiempo del que cada factordepende de mayor a menor.

X El propagador de Feynman incluye ambos procesos depropagacion, el de la partıcula y el de la antipartıcula

Campos escalares: Representacion funcional de la funcion generatriz

• Operadores de campo en la representacion de Schrodingerφ(~x , 0), π(~x , 0).

φ(~x , 0)|φ〉 = φ(~x , 0)|φ〉〈φa|φb〉 = δ[φa(~x)− φb(~x)]

dφ(~x)|φ〉〈φ| = 1

π(~x , 0)|π〉 = π(~x , 0)|π〉〈πa|πb〉 = δ[πa(~x)− πb(~x)]

dπ(~x)

2π|π〉〈π| = 1

〈φ|π〉 = exp

d3xπ(~x)φ(~x)

• Esta ultima relacion es el analogo de 〈x |p〉 = e ipx .

• El Hamiltoniano

d3xH(π, φ)

• Evolucion temporal determinada por H . A t = 0 estado |φa〉. At = tf estado dado por

e−i Htf |φa〉• La amplitud de transicion a un estado |φb〉 despues de tf es

〈φb |e−i Htf |φa〉• Busquemos una representacion en terminos de una integral detrayectoria

• Divide intervalo temporal (0, tf ) en N pasos de igual longitud

∆t = tf /N. Calcula 〈φa|e−i Htf |φa〉

〈φa|e−i Htf |φa〉 = 〈φa|e−i H∆t . . . e−i H∆t |φa〉• Insertar “1”

〈φa|e−i Htf |φa〉 =∫

dφ1〈φa|e−i H∆t . . . e−i H∆t |φ1〉〈φ1|φa〉

• Insertar “1” una vez mas

〈φa|e−i Htf |φa〉 =

dφ1dφ2dπ1(2π)〈φa|e−i H∆t . . . e−i H∆t |φ2〉

× 〈φ2|π1〉〈π1|e−i H∆t |φ1〉〈φ1|φa〉

• Proceder de igual modo despues de cada intervalo ∆t

〈φa|e−i Htf |φa〉 =

dφidπi(2π)

× 〈φa|πN〉〈πN |e−i H∆t |φN〉〈φN |πN−1〉× 〈πN−1|e−i H∆t |φN−1〉 . . .× 〈φ2|π1〉〈π1|e−i H∆t |φ1〉〈φ1|φa〉

• Notar que puesto que ∆t es pequeno

• Hi es una funcion, ya no es un operador

d3xH(πi (~x), φi (~x))

• Tambien usar que

〈φi+1|πi〉 = exp

d3xπi(~x)φi+1(~x)

〈πi |φi 〉 = exp

−i∫

d3xπi (~x)φi (~x)

〈φ1|φa〉 = δ(φ1 − φa)

• Hacer φN+1 = φa

〈φa|e−i Htf |φa〉 = lımN→∞

dφidπi(2π)

δ(φ1 − φa)

× exp

−i∆t

H(πj , φj)− πj(φj+1 − φj )

• Tomar el lımite al continuo

〈φa|e−i Htf |φa〉 =∫

∫ φ(~x ,tf )=φa

φ(~x ,0)=φa

× exp

∫ tf

π∂φ(~x , t)

∂t−H(π, φ)

dφa〈φa|e−i Htf |φa〉 Funcion Generatriz

Campo escalar neutro

• Lagrangiano

2∂µφ∂

µφ− 1

2m2φ2

• Momento canonico

π =∂L

∂(∂0φ)=∂φ

∂t≡ φ

• Densidad Hamiltoniana

H = πφ− L

= π2 − 1

2π2 +

2(∇φ)2 + 1

2m2φ2

2π2 +

2(∇φ)2 + 1

2m2φ2

• Podemos integrar sobre π pues sobre estas funciones lasintegrales son “Gaussianas”

• Ademas extendamos el intervalo temporal [0, tf ] −→ [−∞,∞]

Z0 →∫

[dφ] exp

∫ ∞

d3x L}

L = −1

2(∇φ)2 + 1

2m2φ2

• Podemos integrar por partes el exponente y agregar unacorriente externa J que sirva como sonda para probar elsistema. Obtenemos

Z0[J] =

[dφ] exp {−i(S − Jφ)}

∫ ∞

d3x φ

∂t2−∇2 +m2

• Notemos que en las anteriores expresiones φ(x) no es la quesatisface la ecuacion de Klein-Gordon pues seesta integrando sobre todas las φ’s

• Para evaluar Z0 hagamos el cambio de variable

φ(x) −→ φ(x) + φ0(x)

donde φ0 sı satisface la ecuacion inhomogenea deKlein-Gordon (en presencia de la fuente J

(�+m2)φ0(x) = J(x)

• encontramos (TAREA, ver L. H. Ryder, cap. 6)∫

�+m2)

φ− φJ]

�+m2)

φ− 1

• Ahora usemos que la solucion de la Ecuacion de Klein-Gordonse puede escribir como

φ0(x) = −∫

d4yDF (x − y)J(y)

• para mostrar (TAREA, ver L. H. Ryder, cap. 6)

Z0[J] = exp

J(x)DF (x − y)J(y)d4xd4y

d [φ] exp

�+m2)

= N exp

J(x)DF (x − y)J(y)d4xd4y

• Las funciones de Green de n-puntos se pueden generarmediante

〈0|T [φ(x1)φ(x2) . . . φ(xn)]|0〉 =1

(i)nδnZ0[J]

δJ(x1)δJ(x2) . . . δJ(xn)

• En particular, notemos que

DF (x − y) = − δ2Z0[J]

δJ(x)δJ(y)

• ¿Como calculamos estas funciones cuando introducimos lasinteracciones?

X Teorıa de perturbaciones

Campos interactuantes

• Consideremos un campo scalar con autointeraccion

2∂µφ∂

µφ− 1

2m2φ2 − λ

• La accion puede escribirse como

∂t2−∇2 +m2

φ− λ

4!φ4}

• A primer order en λ podemos expandir

e−iS ≃ e−iSF

1− λ

d4z φ4(z)

Teorema de Wick

〈φ(x1)φ(x2) . . . φ(x2n)〉 = 〈φ(x1)φ(x2)〉〈φ(x3)φ(x4)〉 . . .× 〈φ(x2n−1)φ(x2n)〉+ permutaciones

• Con esta expansion consideremos el calculo de la funcion dedos puntos

I (2)(x , y) =

[dφ]φ(x)φ(y)e−iSF

1− λ

d4z φ4(z)

Factor de laspermutaciones=12

Factor de laspermutaciones=3

• Por lo tanto

I (2)(x , y) = Z0

DF (x − y)

− 12

d4zDF (x − z)DF (z = 0)DF (z − y)

d4zDF (x − y) (DF (z = 0))2]

• Para completar el calculo necesitamos dividir por la funciongeneratriz al mismo orden

Z ≃∫

[dφ]e−iSF

1− λ

d4z φ4(z)

1− 3

d4z (DF (z = 0))2]

• Por lo tanto

D(x − y) =I (2)(x , y)

DF (x − y)

− 12

d4zDF (x − z)DF (z = 0)DF (z − y)

d4zDF (x − y) (DF (z = 0))2

d4zDF (x − y) (DF (z = 0))2]

• Propagador de Feynman a orden λ

D(x − y) = DF (x − y)

− λ

d4zDF (x − z)DF (z = 0)DF (z − y)

• Diagramaticamente

• En espacio de Fourier

D(k) = DF (k)−λ

2DF (k)

d4k ′

(2π)4DF (k

DF (k)

• Definimos la auto-energıa Π(k) mediante

D−1(k) = DF−1(k) + Π(k)

• Por lo tanto

D(k) =1

DF−1(k) + Π(k)

=DF (k)

1 + Π(k)DF (k)

• Serie geometrica

D = DF − DFΠDF + DFΠDFΠDF + . . .

• Comparando, vemos que a 1-loop

Π =λ

2µ4−d

ddk ′

(2π)4DF (k

Regularizacion dimensional

• Para calcular esta expresion hacemos regularizacion dimensionalen d -dimensiones en espacio de Minkowski (TAREA)

Π =λ

(2π)4DF (k)

= − iλ

32π2m2

4πµ2

)2−d/2

Γ(1− d/2)

d→4−ǫ−→ − iλ

32π2m2

ǫ− 1 + γE

4πµ2

=iλm2

16π2ǫ+

1− γE + ln

4πµ2

Renormalizacion

• Para renormalizar pensamos que la masa original m esinfinita; es la masa desnuda que la partıcula tendrıa si nohubiese interacciones. El resultado del proceso es agregar uncontratermino al Lagrangiano original

δL = −δm2

para absorver este infinito y dejar la parte finita.

Reglas de Feynman

• Dibujar todos los diagramas topologicamente inequivalentesque representan a la funcion de n-puntos que se desee calcular

• En espacio de momento, a cada linea interna corresponde untermino

DF (p) =1

p2 −m2 + iǫ

• Por cada loop hay que integrar∫

(2π)4

• Por cada loop, multiplicar por el factor del acoplamiento

• Multiplicar por el factor que toma en cuenta las permutaciones

Conclusiones

• Teorıa Cuantica de Campos describe la naturaleza relativista ytomando en cuenta las fluctuaciones cuanticas intrınsecas delos sistemas microscopicos

• Descripcion adecuada para las entidades fundamentals(partıculas elementales) y sus interacciones

• Calculos pueden llevarse a cabo en un esquema perturbativo

• Muchos temas no han sido cubiertos y representan ampliasavenidas de la teorıa (Renormalizacion, Metodos noPerturbativos, etc.)

• Generalizacion para incluir propiedades estadısticas de sistemascon muchas partıculas, alta densidad y temperatura, TeorıaTermica de Campos

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