Introduzione ai filtri Filtri di Butterworth Filtri di ... · Introduzione ai filtri Filtri di...

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Filtri passivi 1

Introduzione ai filtriFiltri di ButterworthFiltri di Chebishev

Filtri passivi 2

2

Filtri passivi 3

Filtri passivi 4

3

Filtri passivi 5

Filtri passivi 6

4

Filtri passivi 7

Filtri passivi 8

5

Filtri passivi 9

N crescente

1/2

1

ωωωω0=1ωωωω

Filtri passivi 10

6

Filtri passivi 11

Filtri passivi 12

prolungando analiticamente s21(s) e s11(s)

( ))()(1)(essendo

212111 ssssss −−=

7

Filtri passivi 13

@

@ 2

2

2

Filtri passivi 14

@

@

8

Filtri passivi 15

(poli)

j

Filtri passivi 16

Hp. (R0=1)

jj

9

Filtri passivi 17

s

1

R0

Filtri passivi 18

10

Filtri passivi 19I filtri di Butterworth servono anche come base per i filtri digitali

Filtri passivi 20

L4C4L5C5

11

Filtri passivi 21

Filtri passivi 22

12

Filtri passivi 23

Filtri passivi 24

)(1)(21 sE

ssN

±=

Dal filtro passa-basso normalizzato, di cui si sono viste le tabelle, passiamo ora agli altri filtri, tramite delle trasformazioni in ω

13

Filtri passivi 25

ωωωωn ωωωω

Filtri passivi 26

L’induttanza diventa una capacità

La capacità diventa una induttanza

14

Filtri passivi 27

N.B. I filtri passa-basso avevano zeri di trasmissione all’infinito. Ora gli zeri sono nell’origine.

Filtri passivi 28

15

Filtri passivi 29

Filtri passivi 30

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Filtri passivi 31

Filtri passivi 32

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Filtri passivi 33

Filtri passivi 34

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Filtri passivi 35

Filtri passivi 36

Progetto di un filtro di Butterworth

In fase di progetto vengono fornite come specifiche

•L’ ATTENUAZIONE

• I LIMITI ESTREMI della banda passante e di quella oscura.

A partire dalle specifiche occorre determinare

•il grado del filtro N (il numero dei componenti)

•la frequenza di taglio f0

presenti nelle formule di trasformazione.

19

Filtri passivi 370>α

Filtri passivi 38

piccola attenuazione

grande attenuazione

massimo al rispettodB 3αff 0 =⇒=2N

20

Filtri passivi 39

Specifiche

Filtri passivi 40

10/2

21

21

10/2

21

21

10)(

)(log20

10)(

)(log20

s

p

js

js

js

js

ss

pp

α

α

ω

αωαα

ω

αωαα

−

−

≤

≥−⇒≥

≥

≤−⇒≤

I valori riportati in ordinate si ricavano dall’espressione di α

Si definisce inoltre la selettività del filtro

1<=s

p

ff

k

21

Filtri passivi 41

110

11010

10

−

−s

p

α

α

Filtri passivi 42

22

Filtri passivi 43

Filtri passivi 44

In cui e’ tutto noto tranne N

110

11010

10

−

−s

p

α

α

23

Filtri passivi 45

Caratteristica più ripida

Filtri passivi 46

24

Filtri passivi 47

Filtri passivi 48

HfLLL

FfCCC

nn

nn

µπω

µπω

1082

2162

00

00

===

===

n

n

LC

25

Filtri passivi 49

Specifiche

p

s

ffk =

110

11010

10

−

−s

p

α

α

Filtri passivi 50s s

p p

ffper ααffper αα

====

26

Filtri passivi 51

Filtri passivi 52

27

Filtri passivi 53

In alternativa si trasformano le specifiche dal passa-alto al passa-basso, ponendo

ωω 1' e

f1f' ==

Le specifiche del passa-basso sono

'

ss

'

p p

f1 ' f

f'1per

f1 ' f

f'1per

ss

pp

ff

ff

=≥→≤≥

=≤→≥≤

αα

αα

Si calcolano N e f0 per il passa-basso imponendo

==

=='s

'p

ff' per

ff' per

s

p

αααα

Si realizza la rete e si effettuano le trasformazioni per tornare al passa-alto

nnn

nnn

n

CCfLC

LLfCL

sfsf

ss

00

00

'0

00

12

1

12

1

22

ωπ

ωπ

ππω

==→

==→

===

Filtri passivi 54

EsempioProgettare un filtro passa-alto che soddisfi le seguenti specifiche

≤≥≥≤

1kHz fper 5010kHzfper 1

dBdB

αα

Le specifiche del passa-basso corrispondente

≥≥≤≤

Hz10 fper 50Hz10f'per 1

-3

-4

dBdB

αα

382.21

)1052.1log(log

log

1052.110

23.0110110

1.01010

31

32/510/

10/

1

3

4

'

'

=⇒=⋅=≥

⋅=≅−−=

====

−

−

−

−

NkKN

k

ff

ff

k

s

p

p

s

s

p

α

α

28

Filtri passivi 55

Sovraspecificando in banda passante, si impone

40

3'

00

4'0

6

0

's

's

1028.4 Hz;10813.61f

Hz101.468fff

110log50

cui daff'per

−−

−

⋅=⋅==

⋅=→

+=

==

ω

αα

f

s

1 1

2

10-4/4.28 10-4/4.28

10-4/8.56

Passa-basso normalizzato Passa-alto

Filtri passivi 56

Specifiche

29

Filtri passivi 57

ωωωωns

ωωωωnp

−−−−ωωωωnp

−−−−ωωωωns

Filtri passivi 58

30

Filtri passivi 59

DiminuireAumentare

Filtri passivi 60

110110

10/

10/

−−

s

p

α

α

31

Filtri passivi 61

Filtri passivi 62

32

Filtri passivi 63

Filtri passivi 64

αα

33

Filtri passivi 65

Filtri passivi 66

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Filtri passivi 67

Filtri passivi 68

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Filtri passivi 69

Filtri passivi 70

arccos(x)]cos[N(x)TN ⋅=

ℜ∈ℜ∈=+==

∈>≥=

pb,a,con ,cosh(p)jb)cos(as(x)]cos[Narcco(x)T cui da C,arccos(x) 1,xPer

1cosh(x)cos(jx) essendo

N

36

Filtri passivi 71

Filtri passivi 72

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Filtri passivi 73

Filtri passivi 74

ε

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Filtri passivi 75

Filtri passivi 76

e(s)ℜ

Im(s)

POLI

il cui numero dipende da N. Il rapporto tra i 2 assi dipende da ε.

39

Filtri passivi 77

ε

PN,ε è un polinomio con le radici nel semipiano sinistro

Filtri passivi 78

[ Per N pari, s21(0)=1/(1+εεεε2) ]

40

Filtri passivi 79

Filtri passivi 80

41

Filtri passivi 81

ε (ovvero da αp come vedremo).

Specifiche

Filtri passivi 82

Passa-basso normalizzato

2

21

2

21 )1(s)(s passante banda la in tutta che nota Si ≥ω

42

Filtri passivi 83

.

2

p

222p

11

10

)1log(10))1(1log(10)1(Dim.

εα

εεωαα

+=−

+=+=== Nnp T

Filtri passivi 84

43

Filtri passivi 85

Filtri passivi 86

pα

44

Filtri passivi 87

0.83 H

1.68 F1.68 F

Filtri passivi 88

0< )1(6 −≅ N

Chebyshev funziona quindi meglio di Butterworth, nel senso che le stesse prestazioni sono ottenute con meno componenti (N minore)

45

Filtri passivi 89

Specifiche

Filtri passivi 90

per il passa-basso era k=fp/fsp

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Filtri passivi 91

sono apici, non esponenti

pαα = pαα =pα

Filtri passivi 92

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Filtri passivi 93

Specifiche

Filtri passivi 94

48

Filtri passivi 95

Filtri passivi 96

49

Filtri passivi 97

Filtri passivi 98

Utilizzando un Chebyshev ed un Chebyshev inverso si hanno i FILTRI ELLITTICI. Essi permettono di ottenere la massima ripidità nella transizione tra le 2 bande, col n. minore di componenti.