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Prof. Dr.-Ing. Rolf Katzenbach Direktor des Institutes und der Versuchsanstalt für Geotechnik der TU Darmstadt Studienunterlagen Geotechnik Seite IV-1
IV Spannungen im Boden 18.12.2006
IV Spannungen im Boden
1 Einführung
Um die Spannungsverteilung im Boden infolge von Eigenlast, Wasser und Auflasten sowie
die daraus resultierenden Verformungen zu beschreiben, ist es erforderlich, das
Dreiphasensystem des Bodens mit Hilfe des Prinzips der wirksamen Spannungen zu
erfassen. Zur Berechnung der Verformung des Bodens durch zusätzliche Auflasten, z.B.
die Belastung durch ein Fundament, muss die Änderung des Spannungszustandes im
Boden, die durch diese Zusatzbelastung hervorgerufen wird, gegenüber dem Ausgangs-
zustand bestimmt werden.
2 Spannungsvektor und Spannungstensor
Ein von außen mit den Kräften Fi belasteter Körper wird geschnitten (Abb. IV-1). In dem
Schnitt wirken über die Schnittfläche verteilte, innere Kräfte. Auf das Flächenelement A
wirkt eine Schnittkraft F.
P�A
�F
Fi+1
Fi+2
Fi
�
�
t
Abb. IV-1 Geschnittener Körper
Die mittlere Spannung in dem Flächenelement ist gleich dem Quotienten F/A. Der
Spannungsvektor t im Punkt P des betrachteten Schnittes ergibt sich aus folgender
Grenzwertbetrachtung:
A 0
F dFt lim
A dA
(Gl. IV-1)
Der Spannungsvektor t lässt sich in eine normal zur Schnittfläche wirkende Komponente
und eine tangential in der Schnittfläche wirkende Komponente zerlegen. Diese
Komponenten werden Normalspannung und Schubspannung genannt.
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IV Spannungen im Boden 18.12.2006
Zur Beschreibung des Spannungszustandes in einem Punkt eines Körpers ist der
Spannungsvektor nicht ausreichend, da die Spannungen von der Schnittrichtung abhängig
sind. Zur Festlegung des Spannungszustandes in einem Punkt wird der Spannungstensor
definiert. Gleiche Indizes kennzeichnen Normalspannungen, ungleiche Indizes
Schubspannungen.
z
yx
�zz
�yy
�xx
�zx �zy
�xy
�xz �yz
�yx
bzw.
x3
x1x2
�33�31
�22
�11
�32
�21
�23
�13
�12
Abb. IV-2 Spannungen am Einheitselement
Unter Berücksichtigung der Spannungen in drei senkrecht aufeinander stehenden Schnitt-
flächen lautet der Spannungstensor:
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
bzw. 11 12 13
21 22 23
31 32 33
(Gl. IV-2)
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IV Spannungen im Boden 18.12.2006
3 Hauptspannungen und Invarianten
Die Schnittrichtungen, in denen die Normalspannungen maximal sind, heißen
Hauptrichtungen. Die zugehörigen Normalspannungen 1, 2 und 3 werden Haupt-
spannungen genannt und so nummeriert, dass 1 > 2 > 3 gilt. Die Schubspannungen sind
in diesem Fall gleich Null. Der Spannungstensor im Hauptachsensystem ist dann:
1
2
3
0 0
0 0
0 0
(Gl. IV-3)
Die maximalen Schubspannungen werden Hauptschubspannungen genannt. Sie wirken in
den Schnittflächen, deren Normale jeweils senkrecht auf einer Hauptachse und zu den
beiden anderen in einem Winkel von 45° steht.
2 31 2
3 12 2
1 23 2
(Gl. IV-4)
Grafisch kann ein dreidimensionaler Spannungszustand mit drei MOHRschen
Spannungskreisen dargestellt werden. Die Kreise beschreiben hier Schnitte, deren Normale
jeweils senkrecht zu einer der drei Hauptachsen steht.
��
�
�
1
3
2
�2
�3
�1
�max
�
Abb. IV-3 MOHRsche Spannungskreise
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IV Spannungen im Boden 18.12.2006
Die im Folgenden angegeben Größen werden Invarianten genannt. Die drei Invarianten
beschreiben den Spannungszustand in einem Punkt und sind unabhängig von der Wahl des
Koordinatensystems bzw. der Schnittrichtung:
1 ii 11 22 33I (Gl. IV-5)
12 ij ij ii jj2
2 2 212 23 31 11 22 22 33 33 11
I ( )
(Gl. IV-6)
11 12 13
3 ij 21 22 23
31 32 33
11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12
I det
(Gl. IV-7)
Die Invarianten können auch durch die Hauptspannungen ausgedrückt werden:
1 1 2 3I (Gl. IV-8)
2 1 2 2 3 3 1I ( ) (Gl. IV-9)
3 1 2 3I (Gl. IV-10)
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IV Spannungen im Boden 18.12.2006
4 Hydrostatischer Spannungszustand und Deviator
Sind die drei Normalspannungen gleich und außerdem Hauptspannungen
(1 = 2 = 3 = 0), handelt es sich um einen hydrostatischen Spannungszustand. Der
Spannungstensor ist dann:
0
0
0
0 0
0 0
0 0
(Gl. IV-11)
Die Normalspannungen haben in diesem Fall für jeden Schnitt die gleiche Größe, die
Schubspannungen sind grundsätzlich gleich Null (12 = 13 = 23 = 0).
Ein Spannungstensor lässt sich in einen hydrostatischen Teilspannungszustand infolge
einer mittleren Spannung m, den Kugeltensor, und einen Restzustand, den Deviator,
zerlegen:
11 22 33
3m
(Gl. IV-12)
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
11 12 13
21 22 23
31 32 33
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
m m
m m
m m
m
m
m
s s s
s s s
s s s
(Gl. IV-13)
Kugeltensor Deviator
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IV Spannungen im Boden 18.12.2006
Deviator
Kugeltensor
�1
�3
� � �1
23= =
�2
�
Abb. IV-4 Kugeltensor und Deviator
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IV Spannungen im Boden 18.12.2006
5 Das Prinzip der wirksamen Spannungen
Das Prinzip der wirksamen Spannungen nach TERZAGHI (1883-1963) besagt, dass für
die Festigkeit und die Formänderungen des Bodens nur die um den Porenwasserdruck
(neutrale Spannung) verminderten totalen Spannungen von Bedeutung sind. Diese
Spannungen werden wirksame oder effektive Spannungen genannt.
u (Gl. IV-14)
mit: ′ effektive Spannung [kN/m²]
totale Spannung [kN/m²]
u neutrale Spannung [kN/m²]
Der wassergesättigte Boden ist gemäß Mischungstheorie eine Materialmischung bestehend
aus fester und flüssiger Mischungskonstituente. Der Spannung in einer derartigen
Mischung ist gleich der Summe der Partialspannungen der Konstituenten. Die
Partialspannung der flüssigen Konstituente ist nach TERZAGHI gleich dem
Porenwasserdruck.
A¢
h = u/gw
(horizontale Projektionder Schnittfläche A)
gewellte Schnittfläche A
punktförmige Kornkontakte
Ki
Ki+1
Ki+2
Ki+3u
dA
F
GW
yx
z
Abb. IV-5 TERZAGHIsches Prinzip der wirksamen Spannungen
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IV Spannungen im Boden 18.12.2006
In einem Baugrund mit horizontal verlaufender Schichtung und horizontaler Oberfläche
wird durch die Kornkontakte und den Porenraum eine gewellte Schnittfläche gelegt, die
einer horizontalen Ebene möglichst nahe kommt (Abb. IV-5). Die in der Schnittfläche A
übertragene senkrechte Kraft F setzt sich aus den Kräften Ki, die durch die punktförmigen
Kornkontakte übertragen werden, und aus der Kraft U, die vom Porenwasser übertragen
wird, zusammen:
F K U (Gl. IV-15)
n
i z x yi 1
K K K K , K K 0
(Gl. IV-16)
z x y
A
U u dA U u A ', U 0, U 0 (Gl. IV-17)
z z z x yF K U K u A', F F 0
Die Summe aus dem mittleren Porenwasserdruck u in der gewellten Schnittfläche A und
der auf die Projektion der gewellten Schnittfläche A′ bezogenen Kontaktkräfte K ist:
Ku ' u
A ' (Gl. IV-18)
Die totale Spannung resultiert aus dem Eigengewicht des Bodens und dem Gewicht des
Wassers über dem betrachteten Horizont sowie aus äußeren Lasten. Die wirksame
Spannung ′ herrscht im Korngerüst in dem betrachteten Horizont.
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IV Spannungen im Boden 18.12.2006
6 Spannungen infolge Eigengewicht
Der Baugrund wird oft als horizontal geschichteter, weit ausgedehnter Körper idealisiert.
Die Spannungen infolge des Eigengewichts hängen somit nur von der senkrechten
Koordinate z ab. In dem in Abb. IV-6 dargestellten Fall besteht der ganze Erdkörper aus
einer homogenen Schicht, der Grundwasserspiegel liegt an der horizontalen
Geländeoberfläche des Erdkörpers. Es handelt sich um einen wassergesättigten Boden mit
Sr = 1. Die freigeschnittene Säule mit der Grundfläche a² besteht aus einer
Materialmischung aus fester und flüssiger Mischungskonstituente.
GOF
z
a²
=
Mischung feste Phase flüssige Phase
gr
GW
(1-n)gs n gw
(1-n)�w
(1-n)�w
sz s¢z u
+
Abb. IV-6 Senkrechte Normalspannungen infolge Eigengewicht
Die Partialwichte der festen Phase beträgt (1 - n) · s und die der flüssigen Phase (Wasser)
n · w. Für die Wichte der Materialmischung gilt:
r s w(1 n) n (Gl. IV-19)
mit: r Wichte des wassergesättigten Bodens [kN/m³]
n Porenanteil [-]
s Kornwichte [kN/m³]
w Wichte des Wassers [kN/m³]
Die totale Spannung ergibt sich aus der Forderung nach Gleichgewicht aller senkrecht am
freigeschnittenen Körper angreifenden Kräfte. Sie ist die auf die Flächeneinheit a²
bezogene Eigenlast der Materialmischung:
(Gl. IV-20)
r Wichte des wassergesättigten Bodens [kN/m³]
s Kornwichte [kN/m³]
w Wichte des Wassers [kN/m³]
n Porenanteil [-]
2 2z r
z r
a z a 0
z
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IV Spannungen im Boden 18.12.2006
mit: z Totale Spannung [kN/m²]
r Wichte des wassergesättigten Bodens [kN/m³]
Nach TERZAGHI ergibt sich die wirksame Spannung aus der totalen Spannung abzüglich
des Porenwasserdrucks zu:
(Gl. IV-21)
mit: ′z Wirksame Spannung [kN/m²]
r Wichte des wassergesättigten Bodens [kN/m³]
u Porenwasserdruck [kN/m²]
n Porenanteil [-]
s Kornwichte [kN/m³]
w Wichte des Wassers [kN/m³]
′ Wichte unter Auftrieb [kN/m³]
Der Porenwasserdruck setzt sich aus der Eigenlast des Wassers und dem Abtrieb der
Körner zusammen:
w w
w
u n z (1 n) z
z
(Gl. IV-22)
mit: u Porenwasserdruck [kN/m²]
n Porenanteil [-]
w Wichte des Wassers [kN/m³]
z r
s w w
s w
s w
r w
' z u
(1 n) z n z z
(1 n) z (1 n) z
(1 n) ( ) z
( ) z
' z
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IV Spannungen im Boden 18.12.2006
7 Kapillarität
Kapillarität nennt man die Gesamtheit der Effekte, die aus dem Zusammenspiel der
Grenzflächenspannungen nichtmischbarer Fluide und mindestens einer festen Phase
entstehen. Die Grenzfläche zwischen flüssiger und gasförmiger Phase stellt eine Membran
dar, die in der Lage ist, eine Oberflächenspannung TS zu übertragen. Diese
Oberflächenspannung TS ist eine Materialeigenschaft der Flüssigkeit und kann als die
Zugfestigkeit des Materials des membranartigen Flüssigkeitsspiegels aufgefasst werden.
hk
d
u = - gw hk
u = gw zw
zw
+
-g p/4)w k( d h
2
TS TS
d
a a
Abb. IV-7 Kapillare Steighöhe
Die mittlere Höhe des Spiegels im engen Kapillarrohr heißt kapillare Steighöhe hk. Sie ist
abhängig vom oberflächenspezifischen Benetzungswinkel und vom Rohrdurchmesser. Sie
ergibt sich aus der Gleichgewichtsbetrachtung der an der angehobenen Wassersäule
angreifenden Kräfte. Die senkrechte Komponente der resultierenden Kraft der
Membranspannung am Rand ist gleich der Eigenlast der angehobenen Wassersäule.
2w k S
Sk
w
d h ( d)T cos4
4Th cos
d
(Gl. IV-23)
mit: w Wichte des Wassers [kN/m³]
d Rohrdurchmesser [m]
hk kapillare Steighöhe [m]
TS Oberflächenspannung [kN/m]
a Benetzungswinkel [°]
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IV Spannungen im Boden 18.12.2006
In der Höhe des ursprünglichen, nicht kapillar gehobenen Spiegels ist der Wasserdruck
u = 0. Folglich ist der Wasserdruck unmittelbar unter dem in der Höhe hk gehobenen
Spiegels:
k w ku(h ) h (Gl. IV-24)
mit: w Wichte des Wassers [kN/m³]
hk kapillare Steighöhe [m]
In einem Kapillarrohr mit ungleichförmigem Längsschnitt (Jaminrohr) stellt sich die
passive kapillare Steighöhe hkp ein, wenn das Rohr gefüllt ist und der Wasserspiegel im
Behälter abgesenkt wird. Ist das Kapillarrohr zunächst leer, stellt sich die aktive kapillare
Steighöhe hka ein.
d1
d2
hka
hkp
Abb. IV-8 Aktive und passive kapillare Steighöhe
Im Boden wird ein ähnliches Verhalten des Wassers wie im Jaminrohr beobachtet.
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IV Spannungen im Boden 18.12.2006
8 Spannungsverteilung im Baugrund infolge Auflast
Zur Berechnung von Baugrundverformungen infolge einer zusätzlichen Auflast ist es
erforderlich, die Änderung des Spannungszustandes im Boden zu bestimmen. Im
Folgenden werden, ausgehend von der Lösung für eine Einzellast, Vorgehensweisen zur
Bestimmung der Spannungsverteilung infolge von begrenzten Flächenlasten dargestellt.
8.1 Vertikale Einzelkraft
Der Spannungsberechnung im Bodenkontinuum liegt die Annahme eines unendlichen
Halbraums zugrunde. Unter einem Halbraum wird der Raum verstanden, der durch die
Teilung des dreidimensionalen Raumes durch eine waagerechte Ebene entsteht. Die untere
Hälfte ist mit dem Bodenmaterial gefüllt.
Die Lösung nach BOUSSINESQ beruht auf der Annahme eines linear-elastischen
Materials. Das HOOKEsche Gesetz gilt ohne Einschränkungen. Dementsprechend ist eine
Superposition von Spannungsanteilen aus mehreren einwirkenden Lasten möglich.
Es wird angenommen, dass der Halbraum homogen und isotrop ist. Der Elastizitätsmodul
E und die Poissonzahl sind an jeder Stelle gleichgroß und nicht richtungsabhängig. Das
Material kann Druck- und Zugspannungen aufnehmen.
Das Eigengewicht des Bodens bleibt unberücksichtigt. Der Boden ist vor dem Aufbringen
der Belastung spannungslos.
Die Spannungsermittlung von BOUSSINESQ für die Belastung des Halbraums durch eine
vertikale Einzellast wird in Abb. IV-9 veranschaulicht. Die Lage des Punktes Q wird durch
die Polarkoordinaten R bzw. z und bestimmt.
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IV Spannungen im Boden 18.12.2006
P
r
z
Q
R
O
�
�
�
�� r
z
zr
rz
t
�
Abb. IV-9 Spannungen im Punkt Q im elastisch-isotropen Halbraum
infolge der Einzellast P
Am Bodenelement (Abb. IV-9) werden die Gleichgewichtsbedingungen in radialer und
axialer Richtung aufgestellt. In der Meridianebene werden aufgrund der Axialsymmetrie
keine Schubspannungen übertragen.
dr
dz
�z
�zr
�r
�rz
r
z
�z+
�zr+
d�
�t
�t
�rr
dr
r
�r+
(r+dr)d�
rd�
�rz+ dr��rz
�r
dr��r
�r
dz��z
�z
dz��zr
�z
�r+ dr��r
�r
Abb. IV-10 Gleichgewichtsbedingungen am Bodenelement
Aus den Gleichgewichtsbedingungen ergibt sich für die Schubspannungen:
P Last r Radius (waagerechter Abstand von
der Lastachse) Winkel zwischen Radiusvektor OQ
und Lastachse z lotrechter Abstand von der
Oberfläche des Halbraumes z lotrechte Normalspannung r waagrechte radiale Normalspannung t waagrechte tangentiale
Normalspannung
rz Schubspannung in Richtung von r und z
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IV Spannungen im Boden 18.12.2006
rz zr (Gl. IV-25)
In axialer Richtung z gilt:
rzrz rz
zz z
z
r d dz dr (r dr)d dzr
r d dr dz r d dr 0z
r r 0z r
(Gl. IV-26)
In radialer Richtung r gilt:
rr r zr
zrzr t
r d dz dr (r dr)d dz r d drr
ddz r d dr 2 sin dr dz 0
z 2
(Gl. IV-27)
mit: d d
sin2 2
rr tr r 0
r z
Die Bedingungen für die geometrische Verträglichkeit der Formänderungen des
Bodenelements werden gemäß Abb. IV-11 aufgestellt.
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IV Spannungen im Boden 18.12.2006
dr
dz
d�
d�
r( )
r
d�
rd�
r()
z( )
z
r
dr�
�r
dz�
�z
�2
�1
rd�
Abb. IV-11 Deformation des Bodenelements
Die radialen, axialen und tangentialen Dehnungen sowie die Winkelverzerrung ergeben
sich zu:
r r
z z
t
(r d d ) r d
r d r
rz 1 2 r z
(Gl. IV-28)
Das HOOKEsche Gesetz verknüpft die Verzerrungen mit den Spannungen:
r r t z
1
E
t t z r
1
E
(Gl. IV-29)
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IV Spannungen im Boden 18.12.2006
z z r t
1
E
rz G
mit: Querkontraktionszahl od. POISSONsche Zahl [-]
G Schubmodul [kN/m²]
Für die Volumendehnung gilt:
v r t z (Gl. IV-30)
Der Zusammenhang zwischen Schubmodul und Elastizitätsmodul ist gegeben durch:
EG
2(1 )
(Gl. IV-31)
Die Spannungen lassen sich nun durch die Verzerrungen ausdrücken:
vr r2G
1 2
vt t2G
1 2
vz z2G
1 2
G
(Gl. IV-32)
Aus den Spannungs-Verzerrungsgleichungen ergeben sich unter Berücksichtigung der
Verträglichkeitsbedingungen die Spannungs-Verformungs-Gleichungen:
vr 2G
1r 2
vt 2G
1r 2
(Gl. IV-33)
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IV Spannungen im Boden 18.12.2006
vz 2G
1z 2
Gz r
Durch das Einsetzen der Spannungs-Verformungs-Gleichungen in die Gleichgewichts-
bedingungen ergeben sich mit dem dreidimensionalen LAPLACEschen Operator Δ für
rotationssymmetrische Probleme in Zylinderkoordinaten folgende Gleichungen:
v10
1 2 z
(Gl. IV-34)
v2
10
1 2 r r
(Gl. IV-35)
Diese Gleichungen stellen die von den Verschiebungen und innerhalb des Halbraums
zu erfüllenden Bedingungen dar. Die sich aus den Spannungs-Verzerrungsgleichungen
ergebenden Spannungen müssen die folgenden Randbedingungen erfüllen:
In der Grenzfläche des mit einer Einzellast belasteten Halbraumes (z = 0)
können mit Ausnahme des Lastangriffspunktes der Last P weder
Schubspannungen rz noch lotrechte Normalspannungen z auftreten. Der
Lastangriffspunkt ist ein singulärer Punkt. Wegen der Definition der
Einzellast muss dort z = sein.
In jedem horizontalen Schnitt (z = const) muss zur Einhaltung des
Gleichgewichtes die äußere Last P übertragen werden. Für R = müssen alle
Spannungen und Verschiebungen verschwinden.
Für die unbekannten Verschiebungen (r,z) und (r,z) infolge der Einzellast P erhält
BOUSSINESQ unter Einhaltung der Randbedingungen die nachstehenden Beziehungen:
2
3
P 1 z(1 ) 2 (1 )
2 E R R
(Gl. IV-36)
3
P r r z(1 ) (1 2 )
2 E (z R)R R
(Gl. IV-37)
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IV Spannungen im Boden 18.12.2006
2 2R r z
Die vier unbekannten Spannungen können aus den Spannungs-Verzerrungs-Gleichungen
berechnet werden:
2
r 2 3
P r z R3 (1 2 )
2 R R z R
t 2
P R z(1 2 )
2 R z R R
3
z 2 3
P z3
2 R R
2
rz 2 3
P rz3
2 R R
(Gl. IV-38)
Mit dem Winkel des Radiusvektors R gegen die Lastachse können die Gleichungen für
die Verschiebungen und Spannungen wie folgt geschrieben werden:
2P 1(1 ) cos 2(1 )
2 E R
(Gl. IV-39)
P 1 sin(1 ) sin cos (1 2 )
2 E R 1 cos
(Gl. IV-40)
2r 2
P 13 sin cos (1 2 )
2 R 1 cos
t 2
P 1(1 2 ) cos
2 R 1 cos
3z 2
3Pcos
2 R
2rz 2
3Psin cos
2 R
(Gl. IV-41)
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IV Spannungen im Boden 18.12.2006
mit: r
sinR
z
cosR
2 2 2R r z
Abb. IV-12 zeigt den Verlauf der vertikalen Spannungen z infolge einer vertikalen
Einzellast P an der Geländeoberfläche in verschiedenen Horizontalschnitten. Über die
Tiefe ändert sich lediglich der Verlauf der Spannungen im jeweils betrachteten
Horizontalschnitt, das Flächenintegral über die Spannungen in der horizontalen Ebene
bleibt jedoch wegen des Gleichgewichtes der Vertikalkräfte unverändert.
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IV Spannungen im Boden 18.12.2006
Abstand r [m] von der Lastachse
-2 -1 0 1 2
0
-0.5
-1
-1.5
-2
Tiefe z [m]
z = 2.0 m
z = 1.5 m
z = 1.0 m
z = 0.5 m
Lastachse
P
Abb. IV-12 Verlauf der vertikalen Normalspannungen z in verschiedenen
Horizontalschnitten
Die von BOUSSINESQ aufgestellten Formeln sind für die Berechnung von Spannungen
und Verformungen nicht direkt anwendbar, da die gesuchten Größen an der
Lastangriffsstelle wegen der singulären Krafteinleitung unbestimmte Werte annehmen.
Die Tatsache, dass ein Lastkörper den Boden nicht punktförmig, sondern flächenförmig
belastet, wird durch Integration berücksichtigt. Diese Form der Superposition ist zulässig,
da der Halbraum nach der Theorie von BOUSSINESQ als linear-elastisch angenommen
wird.
8.2 Kreisförmige Lastflächen
Ein mit der Spannung 0 belastetes Flächenelement dF ruft in der Tiefe z unter dem
Mittelpunkt einer kreisförmigen Lastfläche mit dem Radius a die Spannung dz hervor:
30z 2
3d (z, r 0) cos dF
2 R
(Gl. IV-42)
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IV Spannungen im Boden 18.12.2006
dF
d�dr
a
r�
r( )�
a
R
r dr
z
�
�z
�0
Abb. IV-13 Vertikalspannungen unter dem Mittelpunkt einer kreisförmigen Flächenlast
Durch Integration über die Kreisfläche ergibt sich für die Gesamtspannung z:
52
32
2 a30
z 2 20 0
02a
z
3 r(z, r 0) z dr d
2 (r z )
11
1 ( )
(Gl. IV-43)
Für die Halbraumoberfläche erhält man durch Grenzwertbildung:
z zz 0
0
(z r 0) lim (z, r 0)
(Gl. IV-44)
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IV Spannungen im Boden 18.12.2006
Die Berechnung der Spannungen und Verschiebungen für beliebige Punkte, die außerhalb
der Plattenmitte liegen (r 0), ist grundsätzlich auf dieselbe Weise möglich. Diagramme
für die Spannungsermittlung unter einigen ausgewählten Punkten innerhalb und außerhalb
kreisförmiger Lastflächen in der Tiefe z sind von LORENZ und NEUMEUER aufgestellt
worden (Abb. IV-14). Die Lage des kennzeichnenden Punktes ermittelte GRASSHOFF im
Abstand 0,845r vom Kreismittelpunkt (siehe Kapitel „Setzungen“). Die Einflusswerte ir
können dem Diagramm in Abb. IV-15 entnommen werden.
z r 0i (Gl. IV-45)
1,0 r
1,0 r
0,25 r
0,5 r
3,0 r
2,0 r
1,5 r
2,5 r
0,75 r
0,845 r
�0
12345678910
z
Kurve Nr.
Abb. IV-14 Ausgewählte Punkte innerhalb und außerhalb einer kreisförmigen Lastfläche
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IV Spannungen im Boden 18.12.2006
i =r
sz
zr
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,000,10 0,30 0,50 0,70 0,90
0,00 0,04 0,08 0,12 0,16 0,200,02 0,06 0,10 0,14 0,18
Maßstab für die Kurven 1 bis 6
Maßstab für die Kurven 7 bis 10
123
45
6
78910
s0
i =r
sz
s0
Abb. IV-15 Einflusswerte ir zur Ermittlung der vertikalen Normalspannungen ´z unter
ausgewählten Punkten innerhalb und außerhalb kreisförmiger Lastflächen
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IV Spannungen im Boden 18.12.2006
8.3 Rechteckige Lastflächen
STEINBRENNER erhält die Spannung z in der Tiefe z unter dem Eckpunkt A einer
rechteckigen Lastfläche mit den Seiten a und b für a > b durch Integration der Gleichungen
von BOUSSINESQ für die Spannungen infolge einer Einzellast.
A
b
D
B CE F
a
r
dr�
d�
2 2 2R r z
Abb. IV-16 Rechteckige Lastfläche
2 2 2 20
z 2 2 2 2 2 2 2
b a(a b ) 2az(R z) bz a(R z )arctan
2 z (a b )(R z) z(R z) b z (a z )R
(Gl. IV-46)
z kann unter Verwendung eines Einflusswertes i berechnet werden. Der Einflusswert i
kann in Abhängigkeit von der Fundamentgeometrie und der betrachteten Tiefenlage z ab
Belastungsniveau aus Abb. IV-18 abgelesen werden.
a
b
N
�0
Abb. IV-17 Lage des Eckpunktes einer rechteckigen Lastfläche
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IV Spannungen im Boden 18.12.2006
i =sz
s0
z
b
z
b
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,250,0
2,01,5
1,5
2
2
a/b=1
a/b=1
3
3
5
5
10
10, 20, ¥
20
¥
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
20,0
22,0
24,0
26,0
28,0
30,0
32,0
34,0
36,0
38,0
40,00,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
i =sz
s0
Abb. IV-18 Einflusswerte i zur Ermittlung der vertikalen Normalspannungen ´z unter
dem Eckpunkt einer rechteckigen Flächenlast 0
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IV Spannungen im Boden 18.12.2006
Für die Berechnung von Vertikalspannungen an beliebigen Punkten innerhalb einer
rechteckigen Flächenlast wird diese Fläche in vier Rechtecke unterteilt, so dass der
entsprechende Punkt Eckpunkt dieser vier Rechtecke ist. Die gesuchte Spannung ergibt
sich dann aus der Addition der für die vier Rechtecke berechneten Spannungsanteile:
I II III IVz z z z z
I II III IV0 0 0 0
I II III IV0
(N)
i i i i
(i i i i )
(Gl. IV-47)
N
z
Ds’z
s0
mit: a > b
a1 a2
a3
a4
b1 b2
b3
b4
II
IV
I
III
N
Abb. IV-19 Ermittlung der vertikalen Normalspannung ´z unter dem Punkt N innerhalb
einer rechteckigen Lastfläche
Die Berechnung der Vertikalspannung in einem Punkt außerhalb der rechteckigen
Flächenlast erfolgt analog:
(ABN'D) (FBN'E) (GHN'D) (JHN'E)z 0' (N ') (i i i i ) (Gl. IV-48)
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A B
D E N¢
HJ
G
b
a F
mit: a > b
Flächenlast
Abb. IV-20 Ermittlung der Vertikalspannung unter dem Punkt N´ ausserhalb einer
rechteckigen Lastfläche
In Abb. IV-21 ist die Lage des kennzeichnenden Punktes einer rechteckigen Lastfläche
nach GRASSHOFF/KANY dargestellt:
0,74 a/2
0,74 b/2C
a
b
�0
Abb. IV-21 Lage des kennzeichnenden Punktes einer rechteckigen Lastfläche
Die Berechnung der vertikalen Normalspannung unter dem kennzeichnenden Punkt kann
mit Hilfe der Einflusswerte ic nach Abb. IV-22 erfolgen.
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z
b
z
b
0,0 0,0
0,9
1,8
1,0 0,1
1,0
1,9
2,0 0,2
1,1
2,0
3,0 0,3
1,2
4,0 0,4
1,3
5,0 0,5
1,4
6,0 0,6
1,5
7,0 0,7
1,6
8,0 0,8
1,7
9,0
10,0
11,0
12,0
13,0
14,0
15,0
16,0
17,0
18,0
19,0
20,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,1 0,3 0,5 0,7 0,9
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,1 0,3 0,5 0,7 0,9
1a / b=
235
10¥
11,5
a/b=11,5
23
510
¥
i =c
sz
s0
i =c
sz
s0
Abb. IV-22 Einflusswerte ic zur Ermittlung der vertikalen Normalspannungen ´z unter
dem kennzeichnenden Punkt einer rechteckigen Flächenlast 0
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8.4 Horizontale Einzellast
CERUTTI erhält unter Verwendung kartesischer Koordinaten eine Lösung zur
Bestimmung der Spannungen infolge einer horizontalen Einzellast T:
Tx
y
z
R
�
�z
�xy
�x
�xz�yz�y
�
Abb. IV-23 Spannungen infolge einer waagrechten Einzellast auf der Oberfläche des
Halbraums
2
z 2 3
3T x z
2 R R
(Gl. IV-49)
3 2 2
x 2 3 2 3
T x x R x (z 3R)3 1 2 1 3
2 R R R (z R) (z R)
(Gl. IV-50)
2 2 2
y 2 3 3 3
T x y x R y (z 3R)3 1 2 1
2 R R R (z R) (z R)
(Gl. IV-51)
yz 2 3
T x y z3
2 R R
(Gl. IV-52)
2
xz 2 3
T x z3
2 R R
(Gl. IV-53)
2 2
xz 2 3 2 3
T x y y R x (z 3R)3 1 2 1
2 R R (z R) (z R)R
(Gl. IV-54)
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Literatur:
[1] Boussinesq, J. (1885)
Application des Potentiels à l’Etude de l’Equilibre et du Mouvement des
Solides Elastiques, Gauthier-Villard, Paris
[2] Caquot, A., Kérisel, J. (1967)
Grundlagen der Geotechnik
[3] EVB (1993)
Empfehlungen „Verformungen des Baugrunds bei baulichen Anlagen“,
Arbeitskreis Berechnungsverfahren der Deutschen Gesellschaft für Erd- und
Grundbau e.V. · Ernst & Sohn, Berlin
[4] Kany, M. (1974)
Berechnung von Flächengründungen , Teil 1 und 2, 2. Aufl., Berlin
[5] Kollbrunner, C.F. (1946)
Fundation und Konsolidation, Band 1, Zürich
[6] Lorenz, H., Neumeuer, H. (1953)
Spannungsberechnung infolge Kreislasten unter beliebigen Punkten innerhalb
und ausserhalb der Kreisfläche, Bautechnik 30
[7] Steinbrenner, W. (1934)
Tafeln zur Setzungsberechnung, Die Strasse, Heft 1
[8] Szabó, I. (1964).
Höhere technische Mechanik, 4. Auflage, Berlin
[9] Széchy, K. (1963)
Der Grundbau, Untersuchung und Festigkeitslehre des Baugrundes, 1. Band,
2. Auflage, Wien
[10] Terzaghi, K., Jelinek, R. (1954)
Theoretische Bodenmechanik, München
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