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IX CONGRESO NACIONAL
DEL COLOR ALICANTE 2010
Alicante, 29 y 30 de Junio, 1 y 2 de Julio de 2010
Universidad de Alicante
PUBLICACIONES UNIVERSIDAD DE ALICANTE w
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10
C O M I T É E S P A Ñ O L D E C O L O RS O C I E D A D E S P A Ñ O L A D E Ó P T I C A
SEDOPTICA
Publicaciones de la Universidad de AlicanteCampus de San Vicente s/n
03690 San Vicente del RaspeigPublicaciones@ua.es
http://publicaciones.ua.esTeléfono: 965903480
Fax: 965909445
© Varios autores, 2010© de la presente edición: Universidad de Alicante
ISBN: 978-84-9717-144-1
Diseño de portada: candelaInk
Este libro ha sido debidamente examinado y valorado por evaluadores ajenos a la Universidad de Alicante, con el fin de garantizar la calidad científica del mismo.
Reservados todos los derechos. Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicaciónpública o transformación de esta obra sólo puede ser realizada con la autorización de sus titulares,
salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos,www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra.
IX CNC -Libro de Actas-
El IX Congreso Nacional de Color cuenta con el apoyo de las siguientes entidades:
IX CONGRESO NACIONAL DEL COLOR. ALICANTE 2010
IX CONGRESO NACIONAL DEL COLOR. ALICANTE 2010
IX Congreso Nacional de Color
Alicante,
29 y 30 de Junio, 1 y 2 de Julio
Universidad de Alicante
Departamento de Óptica, Farmacología y Anatomía Facultad de Ciencias
Instituto Universitario de Física Aplicada a las Ciencias y las Tecnologías (IUFACyT)
Universidad de Alicante
IX CNC -Libro de Actas-
IX CONGRESO NACIONAL DEL COLOR. ALICANTE 2010 COMITÉ ORGANIZADOR Presidente Francisco M. Martínez Verdú Universidad de Alicante Vicepresidente I
Vicepresidente II Secretaria Científica
Secretaria Administrativa Secretaria Técnica
Tesorero Vocal
Vocal
Vocal
Vocal Vocal
Eduardo Gilabert Pérez Joaquín Campos Acosta Esther Perales Romero Olimpia Mas Martínez
Sabrina Dal Pont
Valentín Viqueira Pérez Elísabet Chorro Calderón Verónica Marchante Bárbara Micó Vicent
Elena Marchante
Ernesto R. Baena Murillo
Universidad Politécnica de Valencia
IFA-CSIC Universidad de Alicante Universidad de Alicante Universidad de Alicante Universidad de Alicante Universidad de Alicante Universidad de Alicante Universidad de Alicante Universidad de Alicante Universidad de Alicante
COMITÉ CIENTÍFICO Natividad Alcón Gargallo Joaquín Campos Acosta
Pascual Capilla Perea Ángela García Codoner Eduardo Gilabert Pérez
José Mª González Cuasante
Francisco José Heredia Mira
Enrique Hita Villaverde Luís Jiménez del Barco Jaldo
Julio Antonio Lillo Jover
Francisco M. Martínez Verdú
Manuel Melgosa Latorre Ángel Ignacio Negueruela
Susana Otero Belmar
Jaume Pujol Ramo Javier Romero Mora
Mª Isabel Suero López
Meritxell Vilaseca Ricart
Instituto de Óptica, Color e Imagen, AIDO Instituto de Física Aplicada CSIC
Universidad de Valencia
Universidad Politécnica de Valencia Universidad Politécnica de Valencia Universidad Complutense de Madrid
Universidad de Sevilla
Universidad de Granada Universidad de Granada Universidad Complutense de Madrid Universidad de Alicante Universidad de Granada Universidad de Zaragoza
Instituto de Óptica, Color e Imagen, AIDO
Universidad Politécnica de Cataluña Universidad de Granada
Universidad de Extremadura
Universidad Politécnica de Cataluña IX CNC -Libro de Actas-
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PSEUDOMETRIZACIÓN PROBABILÍSTICA DE LOS ESPACIOS DE COLOR PARA LA CUANTIFICACIÓN DE LA DISCRIMINACIÓN
CROMÁTICA Manuel Pérez Molina1,3, Elena Fernández Varó2,3, Jorge Francés Monllor1, Sergi Gallego Rico1,
3, Manuel Ortuño Sánchez1, 3 1 Dpto. de Física, Ingeniería de Sistemas y Teoría de la Señal, Universidad de Alicante, Alicante.
2 Dpto. de Óptica, Farmacología y Anatomía, Universidad de Alicante, Alicante. 3 Instituto Universitario de Física Aplicada a las Ciencias y Tecnologías, Universidad de
Alicante, Alicante manuelpm@ua.es
Resumen: Con el fin de cuantificar la discriminación cromática en el sistema visual humano, en este trabajo se propone un tipo de pseudométrica que se puede definir universalmente sobre cualquier espacio de color. Dicha pseudométrica se construye en base a la capacidad con la que el sistema visual humano distingue colores y se cuantifica mediante una probabilidad de discriminación p(a,b) para cada par de estímulos cromáticos (a,b). A partir de la probabilidad p se define una nueva aplicación d que asigna a cada par de estímulos cromáticos (a,b) el mínimo valor posible d(a,b) para las sumas de probabilidades p(a,x)+p(x,y)+p(y,v)+…+p(t,w)+p(w,b) –siendo x, y,…,v, t, w, b un conjunto finito arbitrario de estímulos cromáticos. Se demuestra que, con independencia de la naturaleza y características del espacio de color considerado, d es siempre una pseudométrica sobre dicho espacio de color, y además se llega al siguiente resultado principal: la probabilidad de discriminación cromática coincide con la pseudométrica considerada cuando esta última se define sobre el conjunto de todos los pares de estímulos con una probabilidad de discriminación mayor o igual a 0.5. Este resultado permite concluir que la probabilidad de discriminación cromática es una pseudométrica para aquellos pares de estímulos “razonablemente distinguibles” pero puede perder su carácter métrico –preservando no obstante ciertas propiedades similares a las métricas- al considerar pares de estímulos “menos distinguibles”. Palabras clave: Discriminación cromática, Métrica del color, Espacios de Color, Espacios Pseudométricos.
INTRODUCCIÓN
Desde que MacAdam demostró experimentalmente [1] la geometría elipsoidal para los umbrales de discriminación cromática del sistema visual humano, la formalización matemática de los espacios de color ha sido objeto de múltiples estudios y discusiones. Una gran parte de estos estudios se ha centrado en aplicar técnicas de Geometría Diferencial para tratar de encontrar una métrica uniforme bajo la que los umbrales de discriminación cromática sean círculos [2-6] en vez de elipses. Sin embargo, otros estudios han criticado el uso –en el ámbito de la colorimetría- de ciertos elementos de Geometría Diferencial tales como los elementos de línea [7] o bien han planteado la posibilidad de caracterizar los espacios de color mediante otras estructuras topológicas y/o algebraicas fuera del ámbito de la Geometría Diferencial: espacios métricos y/o pseudométricos, espacios topológicos, espacios vectoriales, retículos y espacios fibrados [8,9]. Entre dichas estructuras merece especial atención la de espacio pseudométrico, la cual consiste en un par ( )dX , formado por un conjunto no vacío X y una pseudométrica [ )+∞→× ,0: XXd
verificando que ( ) ( )xydyxd ,, = y ( ) ( ) ( )zydyxdzxd ,,, +≤ para cada Xzyx ∈,, , y por tanto
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(tomando zyx == en la desigualdad anterior) ( ) 0, =xxd para cualquier Xx ∈ . Un espacio
métrico es un espacio pseudométrico ( )dX , en el que ( ) 0, ≠yxd para cada yx ≠ -en este caso d es una métrica-. Siguiendo en la línea de las estructuras matemáticas no geométricas para los espacios de color, y con el fin de cuantificar la discriminación cromática en el sistema visual humano, en este trabajo se propone un tipo de pseudométrica universal para cualquier espacio de color construida en base a la probabilidad de discriminación para cada par de estímulos cromáticos. El objetivo principal del presente trabajo consiste en demostrar que: (i) la probabilidad de discriminación cromática es una pseudométrica cuando se consideran aquellos pares de estímulos cromáticos distinguibles al menos en el 50 % de los casos; (ii) para el resto de pares de estímulos cromáticos, la probabilidad de discriminación cromática pierde su carácter métrico aunque mantiene ciertas propiedades similares a las de los espacios métricos.
MATERIALES Y MÉTODOS
Al abordar el estudio de la discriminación cromática en el sistema visual humano debemos identificar dos elementos conceptualmente diferenciados [8]: el espacio de los estímulos cromáticos (o sencillamente espacio del color) y el espacio de las sensaciones de color. Por un lado, el espacio de los estímulos cromáticos representa un conjunto físico de señales luminosas que siempre se pueden caracterizar mediante tres parámetros reales en distintos sistemas de representación del color: CIE XYZ, RGB, CIELAB, CIELUV, etc. Este carácter tridimensional de los estímulos permite definir el espacio del color independientemente del sistema de representación como un subconjunto 3R⊂ζ del espacio euclídeo tridimensional usual. Por otro lado, el espacio de las sensaciones de color –respuestas psicofísicas a estímulos cromáticos- es subjetivo y puede variar considerablemente de una persona a otra debido a las diferencias fisiológicas, anomalías en la percepción del color, etc. Por ello resulta apropiado introducir una probabilidad de discriminación cromática [ ]1,0:p →×ζζ que asigna a cada par de estímulos
cromáticos ( ) ζζ ×∈ba, la probabilidad ( )ba,p de que una persona sea capaz de distinguir los
estímulos a y b ( ( ) 1,p0 ≤≤ ba ). Resulta claro que dos estímulos cromáticos iguales son indistinguibles, lo cual se expresa diciendo que:
( ) ζ∈= aaa cada para 0,p (Ec. 1)
Por simplicidad en nuestro estudio no consideraremos el orden de los estímulos cromáticos en la discriminación, de forma que:
( ) ( ) ( ) ζζ ×∈= baabba , cada para ,p,p (Ec. 2)
Para cualquier subconjunto ℑ del conjunto ζζ × de todos los pares de estímulos
cromáticos definimos ahora una aplicación R→ℑℑ :d dada por:
( ) ( ) ( )
=ℑ∈==∈= ++
=+ℑ ∑ niuubuauNnuuba iin
n
iii ,...,1 ,,y ,,:,pinf,d 111
11 (Ec. 3)
La ecuación (3) indica que ( )ba,d ℑ es la mayor de las cotas inferiores para las sumas de
probabilidades de series formadas por pares de estímulos de ℑ comenzando en a y acabando en b. De las ecuaciones (1)-(3) se deduce fácilmente que:
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( ) ( ) ( ) 1,p,d,d0 ≤≤=≤ ℑℑ baabba y ( ) 0,d =ℑ aa para cada ( ) ℑ∈ba, (Ec. 4)
Sean ahora ( ) ( ) ( ) 0y ca,,cb,,, >ℑ∈ εba cualesquiera. Como la ecuación (3) indica que
podemos encontrar sumas finitas de probabilidades arbitrariamente próximas a ( )ba,d ℑ , existen
estímulos cromáticos ( ) ( ) ℑ∈− mm uuuu ,,...,, 121 y ( ) ( ) ℑ∈− nn vvvv ,,...,, 121 tales que
nm vcvubua ==== ,, 11 y además se cumple que ( ) ( )∑−
=ℑ+ℑ +≤
1
11 2
,d,dm
iii bauu
ε y
( ) ( )∑−
=ℑ+ℑ +≤
1
11 2
,d,dn
iii cbvv
ε. Luego de la ecuación (3) se deduce que
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑−
=ℑℑ
−
=+ℑ+ℑℑ ++≤+≤
1
1
1
111 ,d,d,d,d,d
m
i
n
jjjii cbbavvuuca ε . El razonamiento precedente no
depende del valor (positivo) elegido para ε , lo cual demuestra que ( ) ( ) ( ) ε++≤ ℑℑℑ cbbaca ,d,d,d para cualquier 0>ε . Esto implica que ( )ca,d ℑ no puede ser
mayor que ( ) ( )cbba ,d,d ℑℑ + y por tanto llegamos a que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ℑ∈+≤ ℑℑℑ cacbbacbbaca ,,,,, cada para ,d,d,d (Ec. 5)
Las ecuaciones (4) y (5) indican que ℑd cumple las propiedades matemáticas de una
pseudométrica independientemente del conjunto ℑ . En este sentido podemos definir esta aplicación para el conjunto total ζζ ×=ℑ de pares de estímulos, es decir ζζ ×≡ dd . En este caso
tendremos que d es una pseudométrica sobre el espacio de color ζ y así ( )d,ζ es un espacio pseudométrico, es decir, un espacio métrico con la salvedad de que pueden existir ζ∈ba, tales
que ba ≠ pero ( ) 0, =bad .
RESULTADOS
En primer lugar definiremos los subconjuntos ( ) ζζζχ ×⊂n de pares de estímulos con
probabilidad de discriminación mayor o igual a n
1 como:
( ) ( ) ( )
≥×∈=
nbaba
1,p:,n ζζζχ , siendo Nn ∈ (Ec. 6)
Teorema: Con la notación considerada en las ecuaciones (1)-(6) se tiene que ( ) ( ) ( )baba ,d,p2 ζχ=
para cada ( ) ( )ζχ 2, ∈ba . Además, si Nn ∈ y ( ) ( )ζχ nba ∈, se cumple que
( ) ( )∑=
+≤n
ii uuba1i
1,p,p , ( ) ( ) niuuubua niin ,...,1 para ,y , 111 =∈== ++ ζχ .
Demostración: Sean los pares ( ) ( ) ( )ζχ 21,,, ∈+ii uuba para 11 y ,,...,1 +=== nubuani . En virtud
de (6) resulta evidente que ( )2
,1
1
nuup
n
iii ≥∑
=+ , con lo que al ser ( ) ( ) 1,d0
2≤≤ abζχ en virtud de
(4), el ínfimo de la ecuación (3) (tomando ( )ζχ 2=ℑ ) se alcanza necesariamente para sumas de
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n=1 probabilidades y por tanto ( ) ( ) ( )bapba ,,d2
=ζχ . Por otro lado, con las condiciones de la
segunda parte del enunciado se tiene que ( ) ( )∑=
+≤≤n
iii uupbap
11,1, , lo cual concluye la prueba.
El teorema anterior admite dos importantes interpretaciones cualitativas. Por un lado, si nos restringimos al conjunto de pares de estímulos “razonablemente distinguibles” –con probabilidad de al menos un 50% de ser discriminados-, la probabilidad de discriminación es en sí misma una pseudométrica que permite cuantificar la distancia entre cada par de estímulos cromáticos. Por otro lado, la probabilidad de discriminación cromática puede perder su carácter (pseudo)métrico para pares de estímulos “poco distinguibles” –con menos del 50% de posibilidades de ser distinguidos-, aunque no obstante preserva propiedades similares a las de un espacio pseudométrico.
CONCLUSIONES
En este trabajo se ha propuesto un tipo de pseudométrica universal para los espacios del color basada en la probabilidad con la que el sistema visual humano puede distinguir estímulos cromáticos. A partir de esta pseudométrica se ha demostrado que la probabilidad de discriminación cromática se comporta exactamente igual que una pseudométrica cuando nos restringimos a los pares de estímulos “razonablemente distinguibles” y mantiene algunas propiedades similares a las de los espacios (pseudo)métricos en el conjunto de todos los posibles pares de estímulos cromáticos –sean distinguibles o indistinguibles-. Estos resultados abren las puertas a una posible pseudometrización de espacios de color concretos como el CIE XYZ, en el que podría ser interesante comparar nuestra pseudométrica con los resultados ya existentes [1].
AGRADECIMIENTOS
Este trabajo ha sido subvencionado por el Ministerio de Ciencia e Innovación (proyectos FIS2008-05856-C02-01 y FIS2008-05856-C02-02).
REFERENCIAS
[1] D. L. MacAdam: “Visual sensitivities to color differences in daylight”, J. Opt. Soc. Am., 32, 5, 247-273 (1942). [2] MR. Pointer: “A comparison of the CIE-1976 color space”, Color Res & Appl, 6, 108-118 (1981). [3] C. Oleari: “Uniform-scale chromaticity diagram with angular coordinates in zero-curvature space”. J. Opt. Soc.
Am. A, 8, 415-421 (1991). [4] M. Krystek y W. Erb: “Transformation of the tristimulus space into the uniform color space”, Optik, 57, 191-
198 (1980). [5] J. R. Jiménez, E. Hita, J. Romero y L. Jiménez del Barco: “Scalar curvature of color space as a source of
information of new uniformity aspects concerning to color representation Systems”, J. Optics (Paris), 24, 6, 243-279 (1993).
[6] S. Oshima, R. Mochizuki, J. Chao y R. Lenz: “Color reproduction using Riemann Coordinates”, Computational Color Imaging (Lecture Notes in Computer Science), 140-149 (2009).
[7] I. Legrand: Color 69, A.I.C, 257, Munster-Schmitt, Gottingen (1970). [8] M. Álvarez-Claro, E. Hita y G. Pardo: “Espacios de color y estructura matemática”. Opt. Pura y Aplicada, 9,
109-111 (1976). [9] M. Álvarez-Claro y E. Hita: “Espacios de color y estructura matemática. Parte Segunda”. Opt. Pura y Aplicada,
11, 119-122 (1976).
IX CONGRESO NACIONAL DEL COLOR. ALICANTE 2010
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