View
246
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
1/29
FUNGSI dan GRAFIK
Kalkulus I Materi 4
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
2/29
Definisi Fungsi :
Fungsi dalam bahasa matematika dinyatakansebagai pemetaan, di mana fungsi merupakankejadian khusus dari suatu relasi. Misalkanhimpunan A dan B dengan relasi R yang
menghubungkan elemen A dengan elemen B.Suatu fungsi f dari A ke B didenisikansebagai suatu relasi antara A dan B dengansifat : f menghubungkan setiap elemen A
dengan satu dan hanya satu elemen B. Ditulis f : AB
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
3/29
!nt!h : Misalkan A " #a,b,$,d% dan B "#&,',(% maka :
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
4/29
Grafik Fungsi, Sistem Koordinat
Suatu fungsi riil dapat digambarkan graknyadengan menggambarkan pasangan)pasanganterurut dari fungsi tersebut pada sebuahsystem k!!rdinat artesius yang terdiri dari '
sumbu yang saling tegak lurus. Sumbumendatar *sumbu + menyatakan sumbu dariprapeta *sumbu -ariable bebas dan sumbutegak *sumbu menyatakan sumbu peta
*sumbu -ariable bergantung
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
5/29
Daerah Definisi dan Daerah Nilai (Domaindan Range)• Jika fungsi f memetakan setiap elemen pada himpunan A ke
elemen pada himpunan B, atau
f : A
B, maka yang dimaksud dengan :• Daerah Definisi (Domain) dari f adalah himpunan A, ditulis A
= Df (harus habis, artinya setiap elemen pada himpunan A
harus mempunyai pasangan pada himpunan B).
• edangkan himpunan B disebut !odomain dari f (tidak harushabis, artinya ada kemungkinan elemen pada himpunan Btidak mempunyai pada himpunan A).
• "impunan bagian dari B merupakan himpunan semua peta(bayangan) dari f, disebut Daerah #ilai ($ange), ditulis $ f
=%y&y=f('), '∈ A
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
6/29
Contoh :
• Dari fungsi f : A B pada gambar di atas makaDf = A = %a,b,*,d dan $ f = %,+,
• Jika f : $ - $ - di mana ' '+ maka
Df = $ - , sedangkan
$ f = %y&y/ = himpunan bilangan nonnegatif
• Jika f(') = y = maka
Df = %'&−'+ /= %'&0 ≤ ' ≤ dan
$ f = %y&/ ≤ y ≤
21 x−
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
7/29
Operasi pada Fungsi
• Jika f dan g dua fungsi maka 1umlah f 2 g, selisihf 3 g, hasil kali fg, hasil bagi f4g danperpangkatan fn adalah fungsi0fungsi dengan
daerah asal berupa irisan dari daerah asal f dandaerah asal g, dan dirumuskan sebagai berikut.
• (f 2 g)(') = f (') 2 g(')
• (f 3 g)(') = f (') 3 g(')
• (f g)(') = f (') g(')
• (f 4 g)(') = asalkan g(') ≠ /( )
( ) x g
x f
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
8/29
Jenis-jenis fungsi riil (R #) :
• 5ungsi 6olinom4suku banyak,
f(x) = a0.x n + a1.x n-1 + …… + an-1 x + an ….
• 5ungsi Al1abar,
y = f(x) = P 0(x)yn + P 1(x)yn-1 + ….. + P n-1(x)y + P n(x)
• 5ungsi 7ransenden4bukan fungsi al1abar, antaralain :8 a. fungsi 9ksponensial : f(x) = a x , a ≠ 0,1
8 b. fungsi ogaritma : f(x) = alogx , a ≠ 0,1
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
9/29
• 5ungsi 7rigonometri :
• 5ungsi iklometri (5ungsi ;n
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
10/29
Fungsi PolinomBentuk umum fungsi p!lin!m order atau pangkat
n ( n bilangan bulat positif ) dinyatakan !leh
f(x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + an-1 x n-1 + an x n
dengan an ≠ / . Berikut bentuk khusus dari fungsi
p!lin!m, yaitu:Fungsi k!nstan : f(x) = a0.
Fungsi 0inear : f (x) = a0 + a1 x . * f(x) = x : fungsi
identitas Fungsi 1uadrat : f (x) = a
0 + a
1 x + a
2 x 2
Misal f*2 merupakan fungsi p!lin!m !rder n makaakan mempunyai paling banyak n buah pembuat n!lyang berbeda. 3ntuk mendapatkan pembuat n!lfungsi p!lin!m dapat digunakan aturan h!rner.
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
11/29
Fungsi RasionalBentuk umum fungsi rasi!nal adalah
dengan p*2 dan 4*2 merupakan fungsip!lin!m.
Fungsi rasi!nal f*2 tidak terdenisi padanilai 2 yang menyebabkan penyebut samadengan n!l atau 4*2 " /.
Sedangkan pembuat n!l dari pembilangatau p*2 tetapi bukan pembuat n!lpenyebut merupakan pembuat n!l darifungsi rasi!nal f*2.
!nt!h:
5entukan nilai 2 yang menyebabkan fungsi
( ) ( )( ) xq x p x f =
( )4
232
2
−
+−=
x
x x x f
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
12/29
Fungsi bernilai mutlak Bentuk dasar fungsi bernilai mutlak
dinyatakan !leh
f*2 " 6 2 6.
7rak fungsi f*2 simetris terhadap sumbu dan terletak di atas dan atau pada sumbu+. Se$ara umum fungsi bernilai mutlakdapat dinyatakan !leh :( ) ( )
( )
( )
∪=∈−
∈== C f C A A D A x x g
A x x g x g x f ;
,
,
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
13/29
!nt!h : 5entukan nilai 2 agar grak fungsi f(x) = | x 2 + 1| terletak di ba8ah garis y " '.
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
14/29
Fungsi banyak aturanFungsi ini merupakan bentuk
pengembangan dari fungsi bernilai mutlak,untuk fungsi dengan dua aturan dinyatakan!leh:
Fungsi banyak aturan dapat dikembangkansampai n buah fungsi f j*2 dengan j " &,',
9,n.
( ) ( )( )
∪=∈∈= C f C A A D A x x f A x x f x f ;
,
,
2
1
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
15/29
Fungsi Genap dan FungsiGanjilFungsi f*2 disebut fungsi genap bila f*2 " f*)2
untuk setiap 2 di d!main f*2 grak f*2 simetristerhadap sumbu y ;. Fungsi f*2 disebut fungsi ganjilbila f*2 " ) f*)2 untuk setiap 2 di d!main f*2 grakf*2 simetris terhadap titik pusat atau pusat sumbu ;.
Bila suatu fungsi bukan merupakan fungsi genap makabelum tentu merupakan fungsi ganjil.
!nt!h :
Manakah diantara fungsi berikut yang merupakanfungsi genap, ganjil atau bukan keduanya
&. f *2 " 2' < '
'. f *2 " *2' < '='
(. f *2 " 2' < '2 >&
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
16/29
Fungsi Periodik Fungsi f*2 disebut fungsi periodik jika ada
bilangan real positif p sehingga berlaku
f*2>p " f*2 untuk setiap 2 di d!main f*2.?ilai p terke$il disebut periode dari f(x).
Fungsi dasar trig!n!metri merupakan fungsiperi!dik dengan peri!de,
f*2 " sin 2 " sin * 2 > 'π " f* 2 > 'π f*2 " $!s 2 " $!s * 2 > ' π " f* 2 > 'π f*2 " tan 2 " tan * 2 > π " f* 2 > π
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
17/29
Translasi ( Pergeseran )Bila grak fungsi f*2 digeser ke kanan
* searah atau sejajar sumbu 2 sepanjang k maka hasil pergeseranmerupakan grak dari fungsi
f( x - k ).
Bila grak fungsi f*2 digeser ke atas* searah atau sejajar sumbu y
sepanjang a maka hasil pergeseranmerupakan grak fungsi
f(x) a.
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
18/29
Fungsi !omposisi1!mp!sisi dari fungsi f*2 dan g*2
didenisikan sebagai
( g o f ) ( x ) " g ( f (x) )
Sebagai $atatan bah8a tidak semua fungsidapat dilakukan k!mp!sisi. Agar dapatdilakukan k!mp!sisi antara fungsi f dan gyaitu g ! f maka syarat yang harusdipenuhi adalah
Rf ∩ #g
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
19/29
!nt!h :Diketahui fungsi dan
&. 5entukan d!main dan range dari fungsif*2 dan g*2.
'. Apakah g ! f terdenisi @ Bila yatentukan rumusannya.
(. Apakah f ! g terdenisi @ Bila ya,
tentukan rumusannya.
( ) x x f −= 1 ( ) x x x g −= 1
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
20/29
$ifat-sifat %
&. f ! g ≠ g ! f '. * f ! g ! h " f ! * g ! h
(. Dg ! f ⊆ Df dan Dg ⊆ Rf . Bila Dg " Rf maka Dg!f " Df
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
21/29
Menggambar 7rak
>
≤≤
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
22/29
Menggambar grak
4.5
.4
−== x y
x y
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
23/29
Fungsi n-ers#e&nisi %Misal dua fungsi f dan g berlaku k!mp!sisi
berikut :
*i f * g*2 " 2 , untuk setiap 2 ∈ Dg.
*ii g * f*y " y, untuk setiap y ∈ Df.Maka f disebut in'ers dari g ( notasi f " g
- ) atau g disebut in'ers dari f ( g " f - ).
Sehingga diper!leh hubungan,
f ! f )& " f )& ! f "
merupakan fungsi identitas, yaitu fungsi yangmemetakan ke dirinya sendiri.
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
24/29
Berikut merupakan $!nt!h fungsi danin-ersnya.
Fungsi f*2 " & > 2 mempunyai in-ers
f )&*2 " 2 )&, sebab *f ! f )&*2 " f *f )&*2" f*2 ) & " &> *2 )& " 2 " *2 .
Satu hal yang menarik bagi kita, apakahsetiap fungsi punya in-ers @ Bagaimana
$ara mendapatkan in-ers dari suatu fungsi@Beberapa sifat berikut dapat digunakanuntuk menja8ab pertanyaan ini.
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
25/29
Sifat)sifat :&. Sifat antara fungsi dan in-ersnya.
*i 7rak fungsi f dan f )& simetri terhadapgaris y " 2.*ii D!main f sama dengan range f )& atau
range f sama dengan d!main f )&.
'. Sifat 1eberadaan fungsi in-ers*i Fungsi f*2 punya in-ers jika dan hanya jika tidak ada garis mendatar yang
mem!t!ng grak f*2 lebih dari satu titik.*ii Fungsi f*2 punya in-ers jika dan hanya jika f*2 berk!resp!ndensi satu)satu yaitubila f*2& ≠ f*2' maka 2& ≠ 2' ;.
*iii Misal inter-al merupakan d!main f*2
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
26/29
!nt!h 5entukan in-ers dari fungsi
( )
( )
( )1
12
1
12
2
1
:
2
1
1
−
−−=
−
−−=
+−=
+−=
−
x
x x f
x
x
y
y
y y f
Jawab
x
x x f
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
27/29
n'ers Fungsi Trigonometri
!nt!h:
&. ( ) x x f y sin==
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
28/29
$e*ant
Cerlu di$atat bah8a )&sin 2& sehingga argumen untukin-ers fungsi
trig!n!metri adalah berbatas
x x y
sec
1cos ==
x x
1cossec
11 −−=
x x 1sincsc 11 −− =
x x
1tancot
11 −−=
1cos1
8/18/2019 Kalkulus I 04 Fungsi
29/29
Sifat)sifat lain
2111cossin x x −= −−
( ) 21 1cossin x x −=−
( ) 21 1sincos x x −=−
( ) 1tansec 21 +=− x x
( ) 1sectan 21 −±=− x x
Recommended