Upload
acika-oesodo
View
1.122
Download
232
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Mata Kuliah Kalkulus Lanjut Bab 9 Buku Karangan Purcell Edisi 9
Citation preview
ARTIKEL
Deret Taylor, Deret Maclaurin, dan Aproksimasi Taylor terhadap Fungsi
Untuk memenuhi tugas Matakuliah Kalkulus Lanjut
yang dibina oleh Bapak Sukoriyanto
Disusun oleh:
Acika Karunila - 140312604858
Fenda Rizky Utami - 140312606283
Fryska Ayu Winanthi - 140312600413
Offering G
UNIVERSITAS NEGERI MALANG
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
JURUSAN MATEMATIKA
September 2015
9.8 Deret Taylor dan Maclaurin
Jika kita mempunyai sebuah fungsi dengan satu variabel, misalkan sin x atau ln(cos2x), dapatkah fungsi ini dinyatakan sebagai suatu deret pangkat dalam x atau secara lebih umum dalam (x a) ? Atau dengan kata lain, adakah bilangan c0, c1, c2, c3, . . . sehingga,
f(x) = c0 + c1(x a) + c2(x a)2 + c3(x a)3 . . .
pada sebuah selang di sekitar x = a ?
Apabila pernyataan fungsi semacam itu ada, maka menurut teorema tentang diferensiasi deret (Teorema 9.7A) akan diperoleh pendiferensialan sebagai berikut,
f’(x) = c1 + 2c2(x a) + 3c3(x a)2 + 4c4(x a)3 . . .
f’’(x) = 2!c2 + 3!c3(x a) + 4.3c4(x a)2 + . . .
f’’’(x) = 3!c3 + 4!c4(x a) + 5.4.3c5(x a)2 + . . .
.
.
.Apabila kita subtitusikan x = a, maka diperoleh,
f(a) = c0
f’(a) = c1
f’’(a) = 2c2 = 2!c2
f’’’(a) = 6c3 = 3!c3
.
.
.Dari hasil subtitusi ini selanjutnya kita dapat menghitung cn, yaitu
c0 = f(a)c1 = f’(a)
c2 =
c3 =
.
.
.Dari penentuan cn ini, kita dapat menuliskan rumus yang lebih umum, yaitu
cn =
Catatan : Agar rumus cn ini berlaku untuk n = 0, maka kita artikan f(0)(a) sebagai f(a) dan 0! = 1.
Dari hasil di atas dapat kita lihat bahwa koefisien-koefisien cn ditentukan oleh f. Hal ini berarti bahwa suatu fungsi f tidak dapat digambarkan oleh dua deret pangkat dari x a yang berbeda seperti yang dituangkan dalam teorema berikut.
Teorema A (Teorema Ketunggalan)
Andaikan f memenuhi uraian berikut,
f(x) = c0 + c1(x a) + c2(x a)2 + c3(x a)3 . . .
untuk semua x dalam selang di sekitar a, maka
cn =
Jadi suatu fungsi tidak dapat dinyatakan oleh lebih dari satu deret pangkat dalam (x a).
Bentuk koefisien cn mirip dengan koefisien yang terdapat dalam Rumus Taylor, oleh karena itu deret pangkat dari (x a) yang menggambarkan sebuah fungsi ini dinamakan deret Taylor. Apabila a = 0, maka deret dinamakan deret Maclaurin.
Teorema B (Teorema Taylor dengan Sisa)
Misalkan f adalah sebuah fungsi yang turunan ke- (n + 1) (x) ada untuk masing – masing x interval terbuka I yang mengandung a. Maka untukmasing – masing x
dalam I,
f(x)= f(a) + (x – a )+
(x a)2 + . . .
+ + Rn(x)
dengan sisa (galat) Rn(x) di berikan oleh rumus
Rn(x) =
dengan c suatu titik di antara x dan a.
Dengan deret Taylor ini kita bisa menjawab pertanyaan di awal bagian ini yaitu apakah sebuah fungsi f dapat digambarkan sebagai deret pangkat dalam x atau (x a) seperti yang dinyatakan dalam teorema berikut.
Teorema C (Teorema Taylor)
Misalkan f adalah sebuah fungsi yang memiliki turunan dari semua tingkat dalam selang (a r, a r). Syarat perlu dan cukup supaya deret Taylor
f(a) + f’(a)(x a) + (x a)2 + (x a)3 + . . .
menggambarkan fungsi f dalam selang tersebut adalah,
dengan Rn(x) adalah suku sisa dalam Rumus taylor, yaitu
Rn(x) =
dengan c suatu bilangan dalam selang (a r, a r).
Bukti :
Untuk membuktikan teorema ini kita hanya perlu mengingat Rumus Taylor, yaitu
f(a) + f’(a)(x a) + (x a)2 + (x a)3 + . . . + + Rn(x)
dengan mengambil , maka diperoleh,
f(a) + f’(a)(x a) + (x a)2 + (x a)3 + . . .
Perhatikanlah, apabila a = 0, maka diperoleh deret Maclaurin, yaitu
f(0) + f’(0)(x) + x2 + x3 + . . .
CONTOH 1
Tentukan deret Maclaurin untuk sin x dan buktikan bahwa deret tersebut menggambarkan sin x untuk semua x.
PENYELESAIAN:f(x) = sin x f(0) = 0f’(x) = cos x f’(0) = 1f’’(x) = sin x f’’(0) = 0f’’’(x) = cos x f’’’(0) = 1f(4)(x) = sin x f(4)(0) = 0f(5)(x) = cos x f(5)(0) = 1f(6)(x) = sin x f(6)(0) = 0
f(7)(x) = cos x f(7)(0) = 1 . . . .
Dengan memasukan harga-harga turunan ini ke deret Maclaurin diperoleh,
sin x =
Uraian deret ini akan berlaku untuk semua x, asal dapat dibuktikan bahwa
= = 0
Oleh karena atau , maka
Rn(x) =
Selain itu, menurut Uji Suku ke-n diperoleh bahwa = 0. Jadi = 0.
CONTOH 2
Tentukan deret Maclaurin untuk cos x dan buktikan bahwa deret tersebut menggambarkan cos x untuk semua x.
PENYELESAIAN
f(x) = cos x f(0) = 1f’(x) = sin x f’(0) = 0f’’(x) = cos x f’’(0) = 1f’’’(x) = sin x f’’’(0) = 0f(4)(x) = cos x f(4)(0) = 1f(5)(x) = sin x f(5)(0) = 0f(6)(x) = cos x f(6)(0) = 1f(7)(x) = sin x f(7)(0) = 0
. . . . . .
Dengan memasukan harga-harga ini ke deret Maclaurin diperoleh,
cos x =
Uraian deret ini akan berlaku untuk semua x, asal dapat dibuktikan bahwa
= = 0
Oleh karena atau , maka
Rn(x) =
Selain itu, menurut Uji Suku ke-n diperoleh bahwa = 0. Jadi = 0.
CONTOH 3
Tentukan deret Maclaurin untuk f(x) = cosh x dengan dua cara, dan buktikan bahwa uraian tersebut menggambarkan cosh x untuk semua x.
PENYELESAIAN
Cara pertama,
f(x) = cosh x f(0) = 1f’(x) = sinh x f’(0) = 0f’’(x) = cosh x f’’(0) = 1f’’’(x) = sinh x f’’’(0) = 0f(4)(x) = cosh x f(4)(0) = 1f(5)(x) = sinh x f(5)(0) = 0f(6)(x) = cosh x f(6)(0) = 1
Jadi dengan memasukan harga-harga ini ke deret Maclaurin diperoleh,
cosh x =
Untuk membuktikan bahwa uraian ini menggambarkan cosh x untuk semua x, cukup
dibuktikan bahwa .
Misalkan B sebuah bilangan sebarang, dan andaikan , maka
=
dengan jalan yang sama kita peroleh juga . Oleh karena f(n+1)(x) adalah cosh x atau sinh x maka dapat kita simpulkan bahwa
Bentuk pada ruas terakhir menuju nol apabila n atau . Akibatnya
Cara kedua :
Telah kita ketahui bahwa cosh x = (i)
Dari Contoh VI.9 telah kita peroleh bahwa,
ex = (ii)
dari persamaan (ii) ini dapat ditentukan ex , yaitu
ex = (ii)
dengan mesubtitusikan persamaan (ii) dan (iii) ke persamaan (i) diperoleh,
cosh x =
=
CONTOH 4
Tentukan deret Maclaurin untuk f(x) = sinh x dengan dua cara, dan buktikan bahwa uraian tersebut menggambarkan cosh x untuk semua x.
PENYELESAIN
Cara pertama,f(x) = sinh x f(0) = 0f’(x) = cosh x f’(0) = 1f’’(x) = sinh x f’’(0) = 0f’’’(x) = cosh x f’’’(0) = 1f(4)(x) = sinh x f(4)(0) = 0f(5)(x) = cosh x f(5)(0) = 1f(6)(x) = sinh x f(6)(0) = 1
Jadi dari deret Maclaurin diperoleh,
sinh x =
DERET BINOMIAL
Dari Rumus Binomial diketahui bahwa untuk p bilangan bulat positif berlaku,
(1 + x)p =
dengan
=
Perhatikan bahwa simbol mempunyai arti untuk setiap bilangan riil p, asal saja k bulat
positif. Dengan rumus binomial ini kita dapat menyusun teorema berikut.
Teorema D (Deret Binomial)
Untuk setiap bilangan riil p dan 1 berlaku ,
(1 + x)p =
dengan seperti yang dibicarakan di atas.
Bukti :
Andaikan f(x) = (1 + x)p. Jika kita diferensialkan fungsi ini maka diperoleh,f(x) = (1 + x)p f(0) = 1f’(x) = p(1 + x)p 1 f’(0) = pf’’(x) = p(p 1)(1 + x)p 2 f’’(0) = p(p 1)f’’’(x) = p(p 1)(p 2)(1 + x)p 2 f’’’(0) = p(p 1)(p 2)
. .
. .
. .Dengan memasukan harga-harga diferensial ini ke deret Maclaurin yaitu,
f(x) = f(0) + f’(0)x + x2 + x3 + . . .
maka diperoleh,
(1 + x)p = 1 + px + x2 + x3 + . . . (i)
Karena,
maka persamaan (i) menjadi
(1 + x)p =
CONTOH 5Tuliskanlah (1 x)2 sebagai suatu deret Maclaurin pada selang 1 x 1.PENYELESAIANDengan menggunakan Teorema D diperoleh,
(1 + x)2 =
= 1 + x + x2 + x3 + . .
.
= 1 2x + x2 + x3 +. . .
= 1 2x + 3x2 4 x3 + . . .Selanjutnya ganti x dengan x, maka diperoleh,
(1 x)2 = 1 + 2x + 3x2 + 4 x3 + . . .CONTOH 7Tulislah sebagai suatu deret Maclaurin dan gunakan hasilnya untuk menghampiri sampai 5 angka desimal
PENYELESAIAN: =
Dengan menggunakan deret Binomial diperoleh,
= 1 +
= 1 + x + x2 + x3 + x4 + . . .
= 1 + x + x2 + x3 + x4 + . . .
= 1 + x x2 + x3 x4 + . . .
Hasil ini akan kita gunakan untuk menghampiri sampai 5 angka desimal, yaitu
= = = 1 + (0,1) (0,1)2 + (0,1)3 (0,1)4 + . . .
= 1,04881
CONTOH 7
Hitunglah sampai 5 angka desimal.
PENYELESAIAN: =
Dari Contoh 6 kita peroleh.
= 1 + x x2 + x3 x4 + . . .
Ganti x dengan x4, diperoleh
= 1 + x4 x8 + x12 x16 + . . .
Jadi,
= = dx
=
9.9 Aproksimasi Taylor terhadap Fungsi
Polinomial Taylor Orde 1 Di subbab 2.9 kita
menekankan bahwa suatu fungsi f dapat
diaproksimasikan dekat titik a oleh garis singgungnya
yang melalui titik (a, f (a)) (Gambar 1)
Kita sebut garis seperti ini sebagai aproksimasi linier
terhadap f dekat a dan kita akan mendapatkan bahwa
Setelah mempelajari deret Taylor, Anda seharusnya mengenali bahwa P1(x) disusun oleh dua
suku pertama, yakni suku-suku orde 0 dan 1, dari deret Taylor dari f yang diuraikan di sekitar
a. Karenanya kita menyebut P1 sebagai polinomial Taylor orde 1 yang terletak di a. Seperti
diperlihatkan pada Gambar 1,kita dapat mengharapkan P1 (x) sebagai aproksimasi yang baik
terhadap f(x) hanya di dekat x = a.
CONTOH 1
Carilah P1 (x) yang terletak di a=1 untuk f(x) = ln x dan gunakan untuk mengaproksimasi ln
0,9 dan ln 1,5
PENYELESAIAN Karena f(x) = ln x, f’(x)=1/x; jadi f (1) = 0 dan f’(x)=1. Karenanya
P1 (x) = 0 + 1(x-1) = x – 1
Akibatnya (lihat Gambar 2), untuk x di dekat 1,
ln x ≈ x – 1
dan
ln 0,9 ≈ 0,9 – 1 = -0,1
ln 1,5 ≈ 1,5 – 1 = 0,5
nilai yang benar dari ln 0,9 dan ln 1,5 sampai
empat angka dibelakang koma adlah – 0,1054 dan
0,4055. Seperti diharapkan, aproksimasi untuk ln
0,9 lebih baik daripada aproksimasi untuk ln 1,5,
karena 0,9 lebih dekat ke 1 daripada 1,5.
Gambar 1
Gambar 2
Polynomial Taylor Orde n
Aproksimasi linear P1 (x) bekerja dengan baik ketika x di dekat a, tetapi kurang baik ketika x
tidak berada di dekat a. Seperti yang mungkin Anda harapkan, penjumlahan sampai suku-
suku yang berorde lebih tinggi dalam deret Taylor biasanya akan memberikan aproksimasi
yang lebih baik. Jadi, polinomial kuadrat
Yang tersusun dari tiga suku pertama deret Taylor untuk f, akan memberikan aproksimasi
yang lebih baik terhadap f ketimbang aproksimasi linear P1 (x0. Polinomial Taylor orde n
yang terletak di a adalah
CONTOH 2
Carilah P2 (x) berdasarkan pada a=1 untuk f(x) = ln x dan gunakan untuk mengaproksimasi ln
0,9 dan ln 1,5.
PENYELESAIAN
Di sini f(x) = ln x, f’ (x) = - 1 / x2 , sehingga f(1) = 0, f’ (1) = 1 dan f’’ (1)= -1. Karenanya,
P2 (x) = 0 + 1 ( x – 1 ) – ½ ( x – 1 )2
Akibatnya untuk x dekat 1,
dan
Seperti diharapkan, ini adalah aproksimasi-
aproksimasi yang lebih baik daripada yang
kita peroleh menggunakan aproksimasi
linear P1 (x) (contoh 1). Gambar 3
memperlihatkan grafik y = ln x dan
aproksimasi P2 (x)
Gambar 3
Polinomial Maclaurin
Ketika a = 0, polynomial Taylor orde n menyerdehanakan polynomial Maclaurin orde n,
yang memberikan aproksimasi secara khusus dekat x = 0.
CONTOH 3
Carilah polynomial Maclaurin orde n untuk ex dan cos x. kemudian aproksimasi e0,2 dan cos
(0,2) menggunakan n = 4.
PENYELESAIAN
Perhitungan turunan-turunan yang diperlukan diperlihatkan dalam table.
Oleh karena itu
ex ≈ 1 + x +
cos (n genap)
Jadi, dengan menggunakan n = 4 dan x = 0,2 , kita peroleh
e0,2
Bandingkan hasil-hasil ini dengan nilai benar sampai tujuh angka dibelakang koma
1,2214028 dan 0,9800666.
Untuk gagasan visual bagaimana polynomial Taylor memberikan aproksimasi
terhadap cos x, kita telah mensketsakan grafik-grafik P1(x) sampai P5(x) dan P8(x), bersama
dengan grafik cos dalam Gambar 4.
Gambar 4
Galat Metode
Di subbab 9.8 kita memberikan rumus untuk galat dalam mengaproksimasi fungsi dengan
polynomial Taylornya. Rumus Taylor dengan suku sisa ada;ah
Galat atau sisa Rn(x) diberikan oleh
Dimana c suatu bilangan real di antara a dan x . Ketika a = 0, Rumus Taylor disebut Rumus
Maclaurin.
CONTOH 4
Aproksimasi e0,8 dengan galat yang lebih kecil daripada 0.001.
PENYELESAIAN Untuk f(x) = ex, Rumus Maclaurin akan menghasilkan suku sisa
Sehingga
Dengan 0<c<0,8 > sasaran kita adalah memilih n yang cukup besar sedemikian rupa sehingga
│Rn (0,8)│<0,001. Sekarang ec < e0,8 <3 dan (0,8)n+1 < (1)n+1 , sehingga
Mudah untuk memeriksa bahwa 3/(n+1)! < 0,001 ketika n ≥ 6, sehingga memperoleh akurasi
yang diinginkan dengan menggunakan polynomial Maclaurin
Kalkulator memberikan jawaban 2,2254948 untuk jumlah ini.
Alat yang Bermanfaat untuk Pembatasan Rn
Nilai │Rn (x)│ yang pasti hamper tidak pernah diperoleh, karena kita tidak mengetahui c,
selain hanya bahwa c hanya terletak dalam suatu interval tertentu. Karena itu tugas kita
adalah mencari nilai maksimum Rn yang mungkin untuk c dalam interval yang diketahui itu.
Untuk melakukan ini secara eksak seringkali sukar, kita biasanya membatasi diri dengan
memperoleh batas-batas “bagus” untuk Rn. Ini melibatkan penggunaan pertidaksamaan
secara bijaksana. Alat utama kita adalah pertidaksamaan segitiga, │ a ± b│≤ │ a + │b│, dan
fakta bahwa persamaan ini menjadi semakin besar ketika kita membuat pembilangnya lebih
besar atau lebih kecil.
CONTOH 5
Jika c diketahui berada dalam [2,4], berikanlah batas yang bagus untuk nilai maksimum dari
PENYELESAIAN
Batas yang berlainan dan yang lebih bagus diperoleh sebagai berikut.
CONTOH 6
Gunakan polinomial Taylor orde 2 untuk mengaproksimasi cos 62° kemudian memberi batas
untuk galat dri aproksimasi tersebut.
PENYELESAIAN
Karena 62° dekat dengan 60°(yang kosinus dan sinusnya diketahui), kita gunakan ukuran
radial dan polinomial Taylor yang terletak di a = /3
Sekarang 62° = + radian
Jadi
Dan
Dan