Kalkulus I - kuliahmatematika.my.id Teknologi Informasi/P… · PERAN KALKULUS...

Kalkulus I

Yusep Jaelani601190001

26 Nopember 2019

UNIVERSITAS BALE BANDUNGFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

BANDUNG

PENDAHULUAN

¶Kalkulus berasal dari bahas latin calculus yang berarti ”batukecil”untuk menghitung. Kalkulus adalah cabang ilmu matematikayang mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak terhingga sertailmu yang mempelajari perubahan, sebagaimana geometri yangmempelajari bentuk dan aljabar yang mempelajari operasi danpenerapannya untuk memecahkan permasalahan.

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 2 / 32

PERAN KALKULUS

¶Dalam sejarahnya, Kalkulus dikembangkan secara terpisah oleh duaorang ilmuwan pada saat itu, yaitu Sir Isaac Newton dan GottfriedWilhelm Leibniz. Newton mengaplikasikan ilmunya ke bidang fisika,dan Leibniz berkontribusi pada pengembangan notasi kalkulus sepertiyang dikenal saat ini.¶Kemudian, kalkulus juga berperan penting pada bidang-bidang yanglain, seperti di bidang sains, teknik, ekonomi, dan lain sebagainya.Biasanya, kalkulus digunakan untuk memecahkan berbagai masalahpenting yang solusinya tak dapat dipecahkan dengan metode aljabarelementer. Oleh karena itu digunakanlah kalkulus untuk memecahkanmasalah itu.

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 3 / 32

SISTEM BILANGAN REAL

Pada sistem bilangan yang kita kenal, dapat dijabarkan beberapa,sebagai berikut.

Bilangan bulat yaitu bilangan yang dimulai dari bilangan negatif,nol, dan positif, B = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}Bilangan cacah yaitu bilangan yang dimulai dari 0,C = {0, 1, 2, 3, 4, ...}Bilangan asli adalah bilangan real yang dimulai dari bilangan 1,A = {1, 2, 3, 4, 5, ...}Bilangan prima adalah bilangan yang dapat dibagi 1 danbilangan itu sendiri, P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}Bilangan genap adalah bilangan yang dapat dibagi dua,G = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...}

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 4 / 32

Bilangan ganjil adalah bilangan yang tidak dapat dibagi dua,G = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}Bilangan komposit adalah bilangan bukan nol, bukan satu danbukan prima, K = {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ...}Bilangan kosong adalah bilangan yang tidak punya anggota,K = {}Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat ditulis dalambentuk a

b atau disebut pecahan. P = {12 ,

23 , ...}

Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakandalam bentuk a

b , contoh π,√3

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 5 / 32

OPERASI BILANGAN

Sifat-sifat operasi penjumlahan dan perkalian pada bilangan sebagaiberikut.

Hukum komutatif: a + b = b + a dan ab = baHukum asosiatif: a + (b + c) = (a + b) + c dan a(bc) = (ab)cHukum distributif: a(b + c) = ab + acElemen-elemen identitas:- Terhadap penjumlahan: 0 sebab a + 0 = a- Terhadap perkalian: 1 sebab a.1 = aInvers (Balikan): a−1 yang memenuhi a.a−1 = 1.

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 6 / 32

URUTAN

Bilangan real bukan nol dibedakan menjadi dua himpunan, yaituhimpunan bilangan positif dan himpunan bilangan negatif.Berdasarkan fakta, diperkenalkan relasi urutan < (dibaca ”kurangdari”) yang didefinisikan dengan:

x < y jika dan hanya jika y − x positifx < y mempunyai arti yang sama dengan y > x

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 7 / 32

CONTOH SOAL

1 4− 3(8− 12)− 6 = 4− 6− 3(−4) = −2 + 12 = 102 5

6 − [14 + 2

3 ] = 56 − [3+8

12 ] = 56 −

1112 = 10−11

12 = − 112

3 (2x − 3)(2x + 3) = 4x2 + 6x − 6x − 9 = 4x2 − 9

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 8 / 32

PERTAKSAMAAN / KETAKSAMAAN

Menyelesaikan suatu ketaksamaan adalah mencari semua himpunanbilangan riil yang membuat ketaksamaan berlaku, biasanya terdiridari suatu keseluruhan selang bilangan, atau dalam beberapa kasus,suatu gabungan dari selang-selang demikian.Ketaksamaan pasti memiliki dua variabel a dan b. Dituliskan dengantanda kurang dari atau lebih dari seperti a < x < b, lalu dinyatakandengan lambang (a,b) dan bisa dibentuk sebuah grafik garis.

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 9 / 32

Tabel: Penulisan Selang Grafik Ketaksamaan

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 10 / 32

CONTOH SOAL PERTAKSAMAAN

1

2x − 7 < 4x − 2−7 + 2 < 4x − 2x−5 < 2x−5

2 < x2 x−2

x+2 ≥ 0hanya berubah tanda pada pembilang dan penyebut yaitu 1 dan-2. Namun -2 mempunyai hasil tak terdefinisisehingga penyelesaiannya adalah (−∞,−2) ∪ (1,∞)

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 11 / 32

KETAKSAMAAN NILAI MUTLAK

Definisi:

|x | = x jika x ≥ 0|x | = −x jika x < 0

Misalnya, |3| = 3 dan | − 3| = −(−3) = 3. Dengan demikian, |x |tidak pernah negatif.Sifat-sifat nilai mutlak:

1 |ab| = |a||b|2 |a||b| = |a|

|b|3 |a + b| ≤ |a|+ |b| (ketaksamaan segitiga)4 |a − b| ≥ ||a| = |b||

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 12 / 32

Ketaksamaan nilai mutlak juga dapat diselesaikan denganmenggunakan sifat-sifat berikut ini.|x | < a ↔ −a < x < a|x | > a ↔ x < −a atau x > a|x | =

√x2

|x |2 = x2

|x | < |y | ↔ x2 < y 2

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 13 / 32

CONTOH SOAL NILAI MUTLAK

1. Selesaikan ketaksamaan dari |x | < 3 dan perlihatkan himpunanpenyelesaiannya pada garis riil.Jawab:|x | < 3→ −3 < x < 3← |x | < a ↔ −a < x < a

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 14 / 32

2. Andaikan ε (epsilon) adalah bilangan positif. Carilah bilanganpositif δ (delta) sedemikian sehingga |x − 3| < δ → |6x − 18| < εJawab:|6x − 18| < ε ↔ |6(x − 3)| < ε

↔ 6|x − 3| < ε (|ab| = |a||b|)↔ |x − 3| < ε

6 (kalikan 16)

Karenanya, kita pilih δ = ε6 secara mundur, terlihat bahwa:

|x − 3| < δ → |6x − 18| < ε

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 15 / 32

FUNGSI DAN GRAFIK

Fungsi f dari A ke B adalah relasi khusus yang memasangkantiap-tiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Himpunan Aselanjutnya disebut sebagai daerah asal dan himpunan B disebutdaerah kawan. Himpunan semua anggota B merupakan peta ataubayangan dari unsur A disebut himpunan nilai fungsi f dan disebutjelajah fungsi f . Jika fungsi f memetakan sebagian saja anggota A kehimpunan B maka daerah asal dari f dikatakan daerah asal alamiah.Pada notasi y = f (x), x dikatakan peubah bebas dan y dikatakanpeubah terikat.

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 16 / 32

NOTASI FUNGSI

Untuk memberi nama fungsi dipakai huruf f (x), g(x) atau F(x).Maka f (x) dibaca f dari x atau f pada x .Contoh: Diketahui f (x)=x3 − 4, berapakah jika f (2)?f (x)=x3 − 4f (2)=(2)3 − 4f (2)=8− 4f (2)=4

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 17 / 32

DAERAH ASAL DAN DAERAH HASIL

Daerah asal (domain) adalah himpunan semua bilangan real yangmenyebabkan aturan fungsi berlaku/terdefinisi, dimana himpunanelemen-elemen fungsi itu mendapat nilai. Sedangkan daerah hasiladalah himpunan nilai-nilai yang diperoleh secara demikian yangberisi semua pasangan dari daerah asal. Untuk menyebutkan suatufungsi secara lengkap, selain korespondensinya maka harusmenyebutkan daerah asal fungsi tersebut.

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 18 / 32

CONTOH SOAL DAERAH ASAL DAN DAERAHHASIL

Contoh: f (x)=x2 + 1 dengan daerah asal {−1, 0, 1, 2, 3}Sehingga daerah hasilnya adalah {1, 2, 5, 10}

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 19 / 32

DAERAH ASAL ALAMI (NATURAL DOMAIN)

Jika sebuah fungsi daerah asalnya tidak disebutkan, maka daerahasalnya adalah himpunan bilangan real terbesar sehingga aturanfungsi ada maknanya dan memberikan nilai bilangan real.Contoh: Carilah daerah asal mula (natural) dari fungsif (x) = 1√

x2−x−12Jawab:f (x)= 1√

x2−x−12 , fungsi pecahan irasonal jika bagian penyebutx2 − x − 12 > 0 atau (x − 4)(x + 3) > 0 maka x < 3 atau x > 4.Jadi, daerah asal alami fungsi adalah Df = {x |x ∈ R , x < 3 ataux > 3}.

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 20 / 32

VARIABEL BEBAS DAN VARIABEL TERIKAT

Jika aturan fungsi diberikan oleh persamaan:y = f (x)maka:x → variabel bebas (independent variable)y → variabel terikat (dependent variable)

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 21 / 32

GRAFIK FUNGSI

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 22 / 32

FUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJIL

Fungsi f disebut fungsi genap bila memenuhi f (−a)= f (a) atauf (−x)= f (x). Grafik dari fungsi genap simetri terhadap sumbu −y .

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 23 / 32

CONTOH FUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJIL

g(x)= x3 − 2xg(−x)= (−x)3 − 2(−x) = −x3 + 2x = −(x3 − 2x) = −g(x)Apakah f (x)= x3+3x

x4−3x2+4 genap, ganjil, atau bukan keduanya?f (−x)= (−x)3+3(−x)

(−x)4−3(−x)2+4 = −(x3+3x)x4−3x2+4 = −f (x)

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 24 / 32

OPERASI FUNGSI

Operasi fungsi dirumuskan sebagai berikut.(f + g)(x) = f (x) + g(x)(f − g)(x) = f (x)− g(x)(fg)(x) = f (x)g(x)( f

g )(x) = f (x)g(x) , asalkan g(x) = 0

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 25 / 32

CONTOH OPERASI FUNGSI

Jika f (x) = x2 − 2xdang(x) = x − 1, tentukan:a. f + g c. f

gb. f − g d. f 2

Jawab:a. f + g = (x2 − 2x) + (x − 1) = (x2 − x − 1)b. f − g = (x2 − 2x)− (x − 1) = (x2 − 3x + 1)c. f

g = (x2−2x)(x−1) = x(x−2)

(x−1)d. f 2 = (x2 − 2x)2 = x4 − 4x2 + 4x2 = x4

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 26 / 32

KOMPOSISI FUNGSI

Jika f dan g dua fungsi maka dengan daerah asal g merupakandaerah hasil f maka komposisi (g ◦ f ) = g(f (x))Contoh: Jika f (x) = x2 − 2x dan g(x) = x − 1, tentukan g ◦ f danf ◦ ga. (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 − 2x) = x2 − 2x − 1b. (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x − 1) = (x − 1)2 − 2(x − 1) =x2 − 2x − 1− 2x + 2 = x2 − 4x + 1

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 27 / 32

FUNGSI TRIGONOMETRI

Gambar: Fungsi Trigonometri

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 28 / 32

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 29 / 32

CONTOH SOAL FUNGSI TRIGONOMETRI

Contoh: Periksalah kebenaran dari kesamaan-kesamaan berikut.1 1 + tan2t = sec2t

1 + tan2t = 1 + sin2tcost = cos2t+sin2t

cos2t = 1cos2t = sec2t

2 1 + cot2t = csc2t1 + cot2t = 1 + cos2t

sin2t = sin2t+cos2tsin2t = 1

sin2t = csc2t

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 30 / 32

LIMIT

Perkataan limit berarti mendekati, untuk memahami limit kita awalidengan pemahaman secara intuisi.f (x) = x3−1

x−1Fungsi tersebut tidak terdefinisi di x = 1 sebab di titik ini f (x)berbentuk 0

0 . Tetapi dapat diselidiki mengenai nilai f (x) di titik-titikyang dekat dengan 1(x mendekati 1). Perhatikan nilai f(x) untukbeberapa x seperti terlihat pada daftar dan grafik y = f (x)

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 31 / 32

(Pengertian limit secara intuisi) untuk menyatakan bahwalim F (x)x→c = L berarti bahwa bilangan x dekat tetapi berlainan daric maka f (x) dekat ke L.

Definisi: suatu fungsi y = f (x) didefinisikan untuk x disekitar c ,maka limx→c f (x) = L jika dan hanya jika

limx→c− f (x) = limx→c+ f (x) = L.

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 32 / 32

CONTOH SOAL LIMIT

Fungsi f (x) = x + 1 dengan daerah asal Df = {x |x ∈ R}, akanditentukan dengan nilai fungsi f (x) jika x mendekati 2.

x 1,8 1,9 1,99 2 2,01 2,02 2,1 2,2 2,3x+1 2,8 2,9 2,99 ... 3,01 3,02 3,1 3,2 3,3

Dari tabel tampak bahwa fungsi f (x) = x + 1 mendekati nilai L = 3jika x mendekati 2, baik dari arah kiri maupun dari arah kanan.Dengan demikian dapat ditulis bahwa:limx→2 f (x) = limx→2(x + 1) = 3

Yusep Jaelani601190001 Kalkulus I 26 Nopember 2019 33 / 32