View
843
Download
3
Category
Preview:
DESCRIPTION
media
Citation preview
Hoofdstuk 15 Golven
In dit hoofstuk:
wiskundige beschrijving en eigenschappen
welke soorten golven zijn er?
•water
•touwtje/ veer
•geluid
•licht
•Schrödingervergelijking (quantum mechanica)
ieder punt in een golf trilt om vast evenwichtspunt
golven in zee verplaatsen geen water, het water gaat alleen maar op en neer.
eigenschappen van golven
De golf verplaatst zich wel door het medium met de golfsnelheid
Golven verplaatsen geen materiaal, wel energie!
eigenschappen van golven
eigenschappen van golven
een golf ontstaat doordat er ergens een kracht op het medium wordt uitgeoefend
als de kracht harmonisch is (een trilling) dan ontstaat er een sinusvormige golf met een snelheid v=f
eigenschappen van golven
Er zij transversale en longitudinale golven
geluid is een longitudinale golf
luchtdichtheid heeft een sinusverloop
wat is de snelheid van een transversale golf.
we bekijken een touw met spankracht Ft en drijvende kracht Fy
golf is aangekomen bij punt A in tijd t beweegt golf vt naar rechts en touw v’t omhoog
Fy/Ft=v’t/vt=v’/v
voor kleine t: p=Fyt
mv’=Ftv’/v t
wat is de snelheid van een transversale golf.
mv’=Ftv’/v t
m=vt met lineaire massadichtheid
vt =Ft/v t
tFv
m
k
vergelijk met
voorbeeld: een golf met golflengte 30 cm beweegt door een kabel met lengte 300 m en totale massa 15 kg. De spankracht in de kabel is 1000N. Bereken golfsnelheid en frequentie van de golf.
tFv
kg/m
=(1000/0.05)1/2 =140 m/s
v=f dus frequentie f= 140/0.3=470 Hz
andere golventFv transversale golf in touw
longitudinale golf
inertie
krachtelastischev
vgeluid =340 m/s
water golven
hoeveel energie transporteert een golf?
trillende deeltjes geven energie aan elkaar door
trillingsenergie=1/2 k D2max
met Dmax maximale uitwijking displacement
m
kf 2
mfk 224
2222 mDfEvib
hoeveel energie transporteert een golf?
2222 mDfEvib
voor een 3-D golf: m=V =l =vt
2222 AvtDfEgolf evenredig met D2
hoeveel energie transporteert een golf?
2222 AvtDfEgolf 2222/vermogen AvDftEPgolf 2222/t intensitei vDfAPI golf
intensiteit van een sferische golf
24// rPAPI brongolf
voorbeeld r2=2r1
wat is de verhouding I2/I1
I2/I1 = (P/4r22) / (P/4r2
1)
= (r1/ r2)2
intensiteit van een sferische golf 2/1 rI golf 2DI golf
amplitude sferische golf
rDgolf /1
wiskundige beschrijving lineaire golf
stel op t=0: D(x)= Dmaxsin(2x)
golf naar rechts met snelheid v na tijd t is de golf dus vt opgeschoven
dus D(xi,0)=D(xi+vt,t)
D(x,t)=Dmaxsin(2x-vt))
D(x,t)=Dmaxsin(2x-vt))
vormen van de golfvergelijking
D(x,t)=Dmaxsin(2(x/– t/T))
D(x,t)=Dmaxsin(kx-t)
golfgetal k=2
hoekfrequentie =2
D(x,t)=Dmaxsin(2x+vt))
beschrijf deze golf
D(x,t)=Dmaxsin(kx-t
fase van de golf is alles na de (co)sinus
fase snelheid v= k)/(k
D(x,t)=Dmaxcos(kx-t)
voorbeeld: een lopende golf
f=250Hz; D=2.6cm; Fspan=140N, kg/m
op t=0: D=1.6 cm en gaat omlaag.
bepaal de golflengte
tFv sm /34
12.0
140
mfv 14.0250/34/
voorbeeld: een lopende golf
f=250Hz; Dmax=2.6cm; Fspan=140N, kg/m
op t=0,x=0: D=1.6 cm en gaat omlaag.
Geef een vergelijking die de golf beschrijft
cm14
)t(kx-DD(x,t) sinmaxk=2m-1
=2f=1570s-1
)(sin6.26.1
rad66.0360
)tx-(D(x,t) 66.0157045sin026.0
De golfvergelijking
afleiding voor lineaire golf maar resultaat algemeen geldig
bekijk stukje touw dxaannames:
dx beweegt vertikaal
spankracht is overal en op alle tijden even groot
De golfvergelijking
Newton: yy maF 2
2
1sinsint
DxFF TT
partieel want D = D(x,t)
x
D
tansin
121sinsinx
D
x
D
rcx
D
2
2
t
D
x
rcFT
2
2
22
2 1
t
D
vx
D
De golfvergelijking
2
2
22
2 1
t
D
vx
D
2
2
22 1
t
D
vD
eendimensionaal
meerdimensionaal
superpositiebeginsel: D3(x,t)= aD1(x,t)+bD2(x,t)
superpositiebeginsel: D3(x,t)= aD1(x,t)+bD2(x,t)
niet sinus golven kun je opgebouwd denken uit allerlei sinusen (Fourier theorie)
bv blokgolf bestaat uit een som van sinussen
Reflectie en transmissie
vast uiteinde:
fase sprong
open uiteinde:
fase sprong
Reflectie en transmissie
golffront en voortplantingsrichting van de golf
sferische golfvlakke golf
Wet voor reflectie (spiegeling):
hoek van inval=hoek van reflectie
interferentievanwege superpositiebeginsel kunnen we golven bij elkaar optellen
golven kunnen ongestoord door elkaar heen lopen
positieve of constructieve interferentie: faseverschil 0, 2
negatieve of destructieve interferentie: faseverschil
in het algemeen partiele interferentie
staande golf
een staande golf is opgebouwd uit interfererende heen en teruggaande golven die resulteren in een “stilstaande” golf
maximale uitwijking: buikpunt
minimale uitwijking = 0 knooppunt
bij vaste uiteinden:
L/n
staande golftFv en v=f
dus in een systeem met F=const. v= const. hoort bij iedere golflengte een eigen frequentie
de frequenties waarbij een staande golf ontstaat zijn de resonantie frequenties.
a fundamentele of eerste harmonische frequentie
b eerste boventoon of tweede harmonische frequentie
c tweede tweede boventoon of derde harmonische frequentie
f1
f2=2f1
f3=3f1
algemeen: fn=nf1
Een staande golf “staat stil. Ook vanuit energetisch standpunt:
een staande golf transporteert geen energie
voorbeeld:
pianosnaar, lengte1.1 m, massa 9 gram
a wat is de spankracht als de fundamentele frequentie 131 Hz is.
b wat zijn de eerste drie harmonische frequenties
a fund. =2L v=f=2.2 131= 288 m/s
tFv F=µv2=0.009/1.1 2882 = 679 N
b f1=131 Hz f2=2f1=262Hz f3=3f1=393Hz
wiskundige vorm van staande golf
staande golf is som van twee lopende golven:
D1(x,t)=Dmsin(kx-t)
D2(x,t)=Dmsin(kx+t)
D(x,t)=D1+D2=Dm(sin(kx-t)+sin(kx+t))
pag A3: sinA+sinB=2sin(1/2(A+B))cos(1/2(A-B))
D(x,t)=2Dmsin(kx)cos(t))
voor vast uiteinde D(L,t)=2Dmsin(kL)cos(t))=0
kL=0, k= L/n zoals eerder gezien
voorbeeld
twee lopende golven interfereren:
D1(x,t)=0.2 sin(2x-4t)
D2(x,t)=0.2 sin(2x+4t)
a bepaal de vorm van de resulterende staande golf
oplossing
lopende golven zijn van vorm Asin (kx+/-t)
dus A=0.2, k=2 en
staande golf D=2Asin kx cos t = 0.4 sin2x cos 4t
voorbeeld
twee lopende golven interfereren:
D1(x,t)=0.2 sin(2x-4t)
D2(x,t)=0.2 sin(2x+4t)
b bepaal de maximale amplitude voor x = 0.45
oplossing
substitueer x=0.45
staande golf D(x,t) = 0.4 sin2x cos 4t
D(0.45,t) = 0.4 sin(2 0.45) cos 4t = 0.31 cos 4t
dus maximale uitwijking bij 0.45 m is 31 cm
voorbeeld
twee lopende golven interfereren:
D1(x,t)=0.2 sin(2x-4t)
D2(x,t)=0.2 sin(2x+4t)
c waar bevinden zich knooppunten voor x>0
oplossing
voor knooppunt D(x,t)=0 voor alle t
staande golf D(x,t) = 0.4 sin2x cos 4t
dus sin 2x = 0
dus voor een stabiele staande golf met vaste uiteinden zijn dit de mogelijke lengtes van het touw
x = 0, 0, 1.57,3.14, …n 1.57 m
voorbeeld
twee lopende golven interfereren:
D1(x,t)=0.2 sin(2x-4t)
D2(x,t)=0.2 sin(2x+4t)
c waar bevinden zich buikpunten voor x>0 en wat is de maximale uitwijkingoplossing
buikpunten zitten halverwege de knoop punten
staande golf D(x,t) = 0.4 sin2x cos 4t
of sin 2x = +/-1
de maximale uitwijking is de amplitude van de golf 0.4 m
x = n/
breking van golven (refraction)
voor licht:
wet van Snel
nisin nrsin r
algemeen:
1/vi sin vr sin r
buiging van golven (diffraction)
golven buigen om een object heen
als object kleiner is dan golflengte is er nauwelijks schaduw
hoe groter object hoe meer shaduw
buiging van golven (diffraction)
een ruwe schatting voor de buiging is
L
L geen buiging perfecte schaduw
samenvatting
trillingen zijn bron van golven met v=f
harmonische golf is oplossing van
een naar rechts lopende golf is bv
D(x,t)= A sin (kx-t)
met golfgetal k = en hoekfrequentie f
vanwege superpositiebeginsel kunnen golven interfereren en ontstaan staande golven
bij een verandering van medium kunnen golven reflecteren, en breken (refraction).
Aan een rand (of als een golf door een gat gaat) onstaat buiging
2
2
22 1
t
D
vD
Recommended