La fisica del moto browniano Quale e stato il contributo di Einstein alla comprensione del moto...

La fisica del moto browniano

Quale e’ stato il contributo di Einstein alla comprensione del moto browniano ?

Albert Einstein e il suo “annus mirabilis” (1905)

• Effetto fotoelettrico (“Su un punto di vista euristico riguardo la

produzione e trasformazione della luce”)

• Moto browniano (“Sul moto richiesto dalla teoria cinetica degli

atomi a piccole particelle sospese in un liquido”)

• Teoria della relativita’ ristretta

• (“Sull’ elettrodinamica dei mezzi in movimento”)

Cosa e’ il moto browniano

QuickTime™ and aCinepak decompressor

are needed to see this picture.

La teoria cinetica dei gas

• N molecole, ognuna di massa m, in un contenitore cubico di volume V (e lato L).

• Variazione di velocita’ alla parete: 2 vx

• Tempo tra collisioni: 2 L / vx

• Forza sulla parete: m vx2 / L

• In media < vx2 >= < vy

2 >= < vz2 >= < v2 >/3

• Forza media sulla parete = N m v2 /3L• Forza media per unita’ di superficie (pressione):

P = N m v2 /3V

La teoria cinetica dei gas

P V = N m v2 /3 = n R T

€

K =1

2mv 2 =

3

2

R

NAT

NA=?k=R/NA

Teoria del moto browniano:la strada di Einstein

“In questo lavoro si mostrera’ che in accordo con la teoria molecolare-cinetica del calore, corpi di dimensioni visibili al microscopio sospesi in un liquido eseguiranno movimenti di ampiezza tale da poter essere facilmente osservati al microscopio, a causa dei moto molecolari dovuti al calore.

E’ possibile che i moti che qui discuteremo siano identici al cosiddetto “moto molecolare Browniano”; tuttavia, le informazioni a me disponibili su questo mancano tanto in precisione che non posso formulare giudizi a riguardo.”

Teoria del moto browniano:la strada di Einstein

“Se il movimento qui discusso potra’ essere realmente osservato (insieme alle proprieta’ che ci si aspetta di trovare), allora la termodinamica classica non potra’ piu’ essere considerata applicabile con precisione a corpi microscopici: diverra’ possibile determinare esattamente le vere dimensioni degli atomi. D’ altra parte, se si provera’ che le predizioni di questo movimento saranno sbagliate, questo sara’ un pesante argomento contro la concezione molecolare-cinetica del calore.”

Teoria del moto browniano:la strada di Einstein

• Analisi della diffusione di una particella in un fluido• Analisi della distribuzione di probabilita’ degli

spostamenti e come questa dipende dal coefficiente di diffusione

• Formula che lega il rapporto R/NA, il coefficiente di diffusione D, la viscosita’ del solvente , la temperatura T e il raggio molecolare P:

€

D =RT

NA

1

6πηP

Teoria del moto browniano:la strada di Langevin

“ Sono stato in grado di determinare … che e’ facile dare una dimostrazione infinitamente piu’ semplice mediante un metodo completamente diverso.”

Urto elastico (1D)

€

MV + mv = MV '+mv'

1

2MV 2 +

1

2mv 2 =

1

2MV '2+

1

2mv'2

Urto elastico (1D)

MV '+ mv'=MV + mvV'=v−V + v'

€

M (V −V') =m(v'−v)

M (V2 −V'2 ) =m(v'2−v2 )M (V −V')(V +V') =m(v'−v)(v'+ v)

V +V'=v'+ v

Urto elastico (1D)

v '=m−Mm+ M

v+2M

m+ MV

V'=2m

M + mv+

M −mM + m

V

Per m<<M

m

M + m;

mM

M

M + m=

M + m−mM + m

=1−m

M + m; 1−

mM

M −mM + m

=M + m−2m

M + m=1−

2mM + m

; 1−2mM

Urto elastico (1D)

V ' ;

2m

Mv + 1−

2mM

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟V

ΔV = V '−V ;

2m

Mv −2m

MV

N collisioni

MΔV =2m(v0 + v1 + ...+ vN−1)−2m(V0 +V1 + ...+VN−1)Vi ; V

N =nΔt2mNV =2mnΔtV(t)

MΔV =2m(v0 + v1 + ...+ vN−1)−2mnΔtV(t)

Ma=MΔVΔt

=2m(v0 + v1 + ...+ vN−1)

Δt−2mnΔtV(t)

N collisioni

Ma =Fs −γV(t)γ =2mn

Fs =2m(v0 + v1 + ...+ vN−1)

Δt

Forza stocastica e attrito hanno la stessa origine!

Un algoritmo per il moto browniano

Vq+1 =Vq −γVq

ΔtM

+ ΔVs

1 collisione

ΔVs =2mv

M=2

M

v

vm2v2 =

2

M

v

vm2v2 =

=2

M

v

vmkT =

1

M

v

v

2γ kT

n

Un algoritmo per il moto browniano

ΔVN = N (rii=1

12

∑ − 0.5)⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥1

M

2γ kT

n=

= wq1

M2γ kTΔt

Vq+1 =Vq −γVq

MΔt+wq

2γkTΔtM

+Fext

MΔt

Xq+1 =Xq +Vq+1Δt

ΔX 2 =2kT

γt

Possiamo adesso risolvere le equazioni del moto sul computer

per verificare la relazione di Einstein