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7/25/2019 Lab 2 Simulacion
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Laboratorio 1 MA4402-1 Simulacin Estocstica
Ral Pezoa, Cristbal Valenzuela, Joaqun Faria
3 de octubre de 2015
1. Ejercicio 1
1.1. Ejercicio 1.1
Tenemos que para todox, y R se cumple
(f(x) f(y))(g(x) g(y)) 0
La razn es sencillamente que cuandox > y, comof , g son crecientes, claramente los dos productos son positivos. Si
en cambio,x yambos productos son negativos y la desigualdad se sigue teneindo.
De modo que si reemplazamos porX, Y(variables aleatorias) en lo anterior y tomamos esperanza, tenemos que:
E((f(X) f(Y))(g(X) g(Y))) 0
Desarrollando y usando la linealidad de la esperanza:
E(f(X)g(X) + f(Y)g(Y)) E(f(X)g(Y) + f(Y)g(X))
Luego se tiene la desigualdad deseada.
Siguiendo con el ejercicio, si tomamosX1, X2 variables aleatorias i.i.d. y las reemplazamos en la desigualdad anterior
tenemos que:
E(f(X1)g(X1) + f(X2)g(X2)) E(f(X1)g(X2) + f(X1)g(X2))
E(f(X1)g(X1)) + E(f(X2)g(X2)) E(f(X1)g(X2)) + E(f(X1)g(X2)) (Linealidad)
E(f(X1)g(X1)) + E(f(X2)g(X2)) E(f(X1))E(g(X2)) + E(f(X1))E(g(X2)) (Independencia)
E(f(X)g(X)) + E(f(X)g(X)) E(f(X))E(g(X)) + E(f(X))E(g(X)) (Idnticamente distribuidas)
2E(f(X)g(X)) 2E(f(X))E(g(X))
E(f(X)g(X)) E(f(X))E(g(X))
Luego se tiene queC ov(f(X), g(Y)) 0
1.2. Ejercicio 1.2
Por induccin.El caso k = 1ya fue probado en la primera parte. Supongamos que tenemos el resultado para funciones que tienenk 1variables aleatorias.
Esto es:
E(f(X1,...,Xk1)g(X1,...,Xk1)) E(f(X1,...,Xk1))E(g(X1,...,Xk1)
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Ahora sif , gson funciones dek variables, podemos definir
(x) = E(f(X1,...,Xk1, x)g(X1,...,Xk1, x)) F(x) = E(f(X1,...,Xk1, x)) G(x) = E(g(X1,...,Xk1, x))
Por hiptesis inductiva (Pues las funciones de adentro dependen dek 1v.a) tenemos que:
(x) F(x)G(x) E((Xk)) E(F(Xk)G(Xk))
PeroF, Gson claramente montonas crecientes, luego por la parte1,1
E(F(Xk)G(Xk)) E(F(Xk))E(G(Xk))
Juntando ambas desigualdades se concluye.
E((Xk)) E(F(Xk))E(G(Xk))
Lo cual por definicin equivale a:
E(f(X1,...,Xk1, Xk)g(X1,...,Xk1, Xk)) E(f(X1,...,Xk1, Xk))E(g(X1,...,Xk1, Xk))
1.3. Ejercicio 1.3
Recalcamos que si Ues una variable aleatoria uniforme en [0, 1], entonces Uy 1U tienen la misma ley de probabilidad.Adems, sih(x1,...,xk)es una funcin creciente por coordenadas, entonces la funcin
g(x1,...,xk) = h(1 x1,..., 1 xn)
tambin lo es.
Utilizando estas ultimas dos cosas, y usando las partes anteriores tenemos que:
Cov(h(U,...,U)g(U, ...U)) 0
Pero esto por definicin es:
Cov(h(U,...,U) h(1 U, ..,1 U)) 0
Cov (h(U,...,U), h(1 U,..,1 U)) 0
e era justamente lo que queriamos mostrar.
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