View
62
Download
13
Category
Preview:
Citation preview
9-1 Koordinat Umum.
Penerapan langsung hukum Newton untuk sistem mekanis akan menghasilkan set
persamaan dalam suku koordinat Cartesian dari masing-masing partikel dalam sistem
tersebut. Dalam banyak kasus, ini bukan koordinat yang paling mudah dalam hal untuk
memecahkan masalah atau untuk menggambarkan gerakan sistem. Misalnya, dalam
masalah gerak dari partikel tunggal bertindak yang dipengaruhi oleh gaya sentral, yang
telah dikaji di Bagian 3-13, kita menemukan bahwa lebih mudah jika diperkenalkan
koordinat polar pada bidang gerak partikel. Alasannya adalah bahwa gaya dalam suku ini
dapat dinyatakan lebih sederhana dalam suku koordinat polar. Sekali lagi dalam masalah-
dua benda, dikaji di Bagian 4-7, kita merasa mudah untuk menggantikan koordinat r1, r2
dari dua partikel dengan koordinat vektor R dari pusat massa, dan vektor koordinat relatif
r yang menempatkan partikel 1 sehubungan dengan partikel 2. Kita punya dua alasan
untuk pilihan koordinat ini. Pertama, gaya mutual di mana partikel-partikel saling
mempengaruhi satu sama lain biasanya tergantung pada koordinat relatif. Kedua, dalam
banyak kasus kita tertarik pada deskripsi dari gerak satu partikel relatif terhadap yang
lain, seperti dalam kasus gerak planet. Dalam masalah yang melibatkan banyak partikel,
biasanya mudah untuk memilih set koordinat yang meliputi koordinat pusat massa,
karena gerak pusat massa ditentukan oleh persamaan yang relatif sederhana (4-
18). Dalam Bab 7, Kita menemukan persamaan gerakan partikel dalam sistem koordinat
bergerak, yang kadang-kadang lebih mudah untuk digunakan dari sistem koordinat tetap
yang dimaksud dalam persamaan asli Newton tentang gerak.
Kita harus menyertakan sistem koordinat seperti yang dijelaskan di atas, bersama
dengan sistem koordinat Kartesius, dengan nama koordinat umum. Set koordinat umum
adalah setiap himpunan koordinat yang berarti di mana posisi partikel dalam sebuah
sistem dapat ditentukan. Dalam masalah yang membutuhkan koordinat umum, kita dapat
mengatur persamaan gerak Newton dalam koordinat Cartesian, dan kemudian
mengubahnya ke koordinat umum, seperti dalam masalah-masalah yang dipelajari dalam
bab-bab sebelumnya. Alangkah baiknya jika terdapat metode umum untuk menyusun
persamaan gerak secara langsung dalam setiap set yang tepat dari koordinat
umum. Selain itu dibutuhkan untuk memiliki metode yang seragam dalam menulis, dan
Persamaan Lagrange Halaman 1
mungkin untuk memecahkan, persamaan gerak dalam sistem koordinat apapun. Metode
seperti ini ditemukan oleh Lagrange dan merupakan pokok bab ini.
Dalam setiap kasus yang disebutkan di paragraf pertama, jumlah koordinat dalam
sistem koordinat baru diperkenalkan untuk menyederhanakan masalah sama dengan
jumlah koordinat Cartesian di mana semua partikel terlibat. Kita mungkin, misalnya,
mengganti dua Cartesian koordinat x, y dari partikel yang bergerak dalam bidang dengan
dua koordinat polar r, θ, atau ruang tiga koordinat x, y, z dengan tiga koordinat bola atau
koordinat silinder. Atau kita dapat mengganti enam koordinat x1 , y1 , z1 , x2 , y2, z2 dari
sepasang partikel oleh tiga koordinat X, Y, Z dari pusat massa ditambah dengan tiga
koordinat x, y, z dari satu partikel relatif yang lain. Atau kita dapat mengganti tiga
koordinat partikel relatif terhadap sumbu sistem tetap oleh tiga koordinat relatif terhadap
sumbu bergerak. (Vektor dianggap sebagai tiga koordinat.)
Pada rotasi benda tegar terhadap suatu sumbu (Bagian 5-2), kita menggambarkan
posisi benda dalam sudut koordinat angular tunggal θ. Di sini kita memiliki kasus di
mana kita dapat mengganti banyak koordinat Cartesian, tiga untuk setiap partikel di
dalam benda, dengan koordinat tunggal θ. Hal ini dimungkinkan karena benda yang tegar
dan hanya berputar pada sumbu tetap. Sebagai hasil dari kedua fakta ini, posisi benda
sudah benar-benar ditentukan pada saat kita menentukan posisi sudut dari beberapa garis
acuan di dalam benda. Posisi benda tegar bebas dapat ditentukan oleh enam koordinat,
tiga untuk mencari pusat massa, dan tiga untuk menentukan orientasi dalam ruang. Ini
adalah penyederhanaan besar dibandingkan dengan koordinat Cartesian 3N yang
dibutuhkan untuk menemukan N partikel. Benda tegar adalah contoh dari sistem
partikel constraints (terpaksa), yaitu kondisi yang membatasi kemungkinan nilai-nilai
koordinat. Dalam kasus sebuah benda tegar, batasannya adalah bahwa jarak antara dua
partikel harus tetap. Jika benda hanya dapat berputar pada sumbu tetap, maka jarak setiap
partikel dari sumbu juga tetap. Ini adalah alasan mengapa menentukan nilai koordinat
tunggal θ sudah cukup untuk menentukan posisi dari setiap partikel dalam benda. Kita
akan menunda pembahasan sistem seperti ini yang melibatkan paksaan sampai Bagian 9-
4. Pada bagian ini, dan berikutnya, kita harus membangun sebuah teori koordinat umum,
dengan asumsi bahwa ada banyak koordinat umum seperti halnya koordinat
Persamaan Lagrange Halaman 2
Cartesian. Kita kemudian akan menemukan, dalam Bagian 9-4, bahwa teori ini berlaku
juga untuk gerakan sistem terpaksa.
Ketika kita ingin berbicara tentang sistem fisis yang dijelaskan oleh serangkaian
koordinat umum, tanpa menetapkan apa koordinatnya untuk saat ini, biasanya untuk
masing-masing koordinat ditulis dengan huruf q. Suatu kumpulan n koordinat umum
akan ditulis sebagai q1 , q2 ,…,qn. Demikian partikel bergerak dalam bidang dapat
digambarkan oleh dua koordinat q1 , q2, yang mungkin dalam kasus-kasus khusus menjadi
koordinat Cartesian x, y, atau koordinat polar r, θ, atau pasangan lain koordinat yang
cocok. Sebuah partikel bergerak dalam ruang yang lokasi dinyatakan oleh tiga koordinat,
yang mungkin dalam koordinat Cartesian x, y, z, atau koordinat bola r, θ, φ, atau
koordinat silinder ρ , z , φatau, secara umum,q1 , q2 , q3.
Konfigurasi sistem dari N partikel dapat ditentukan oleh koordinat Cartesian 3N
x1 , y1 , z1 , x2 , y2, z2, …, xN , y N , z N dari partikel, atau oleh kumpulan dari 3N buah
koordinat umum yaitu q1 , q2 ,…,q3 N. Karena untuk setiap konfigurasi sistem, koordinat
umum harus memiliki seperangkat nilai-nilai tertentu, koordinat q1 , …, q3 N akan menjadi
fungsi koordinat Cartesian, dan mungkin juga fungsi waktu dalam kasus sistem koordinat
bergerak:
q1=q 1 ( x1 , y1 , z1 , x2 , y2 ,. .. . ., y N , z N ; t ),
q2=q 2 ( x1 , y1 ,. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . . z N ; t ),
⋮ (9-1)
q3 N=q 3 N ( x1 , y1 , . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. zN ; t ) ,
Karena koordinat q1 , …, q3 N menentukan konfigurasi sistem, itu juga dapat
menggambarkan koordinat Cartesian dalam koordinat umum:
x1=x 1 (q1 , q2 , .. . .. , q3 N ; t ) ,
y1= y 1 ( q1 , .. . .. .. . ., q3 N ; t ) ,
⋮(9-2)
zN=z N (q1 ,. .. . .. . ,q3 N ; t ) ,
Persamaan Lagrange Halaman 3
Jika Persamaan. (9-1) diberikan, maka akan dapat diselesaikan untuk x1 , y1 , …, z N untuk
mendapatkan Persamaan (9-2), dan sebaliknya.
Kondisi matematika bahwa solusi ini (secara teoritis) yang mungkin adalah bahwa
determinan Jacobian dari Persamaan (9-1) tidak sama dengan nol pada semua titik, atau
hampir seluruh poin:
∂(q1 ,. . .. . , q3 N )∂ (x1 , y1 , .. . .. . z N )
=¿|∂ q1
∂ x1
∂ q2
∂ x1
⋯∂ q3 N
∂ x1
¿||∂q1
∂ y1
∂ q2
∂ y1
⋯∂q3 N
∂ y1
¿||⋮¿|¿
¿
¿¿
(9-3)
Jika persamaan ini tidak terpenuhi, maka Persamaan (9-1) tidak mendefinisikan satu set
koordinat umum yang sah. Dalam hampir semua kasus fisis, itu akan terbukti dari definisi
geometris dari koordinat umum apakah mereka adalah seperangkat koordinat yang
sah. Jadi kita tidak akan memiliki kesempatan untuk menerapkan uji di atas untuk kita
sistem koordinat.
Sebagai contoh, kita
memiliki persamaan (3-72) dan (3-
73) yang menghubungkan
koordinat polar r, θ dari partikel
tunggal dalam bidang dengan
koordinat Cartesiannya x, y.
Sebagai contoh dari sistem
koordinat bergerak, kita anggap
koordinat polar di mana sumbu acuan dari mana θ diukur berputar searah jarum jam
dengan kecepatan sudut konstan ω (Gambar 9-1):
r=( x2+ y2 )1/2,
Persamaan Lagrange Halaman 4
θ=tan−1 yx−ωt ,
(9-4)
dan sebaliknya,
x=r cos (θ+ωt )
y=rsin (θ+ωt ) (9-5)
Sebagai contoh koordinat umum untuk sistem partikel, kita memiliki pusat massa
koordinat X, Y, Z dan koordinat relatif x, y, z dari dua partikel dengan massa m1, dan m2,
seperti yang didefinisikan oleh Persamaan. (4-90) dan (4-9 1), di mana X, Y, Z adalah
komponen R, dan x, y, z adalah komponen dari r. Karena transformasi persamaan (4-90)
dan (4-91) tidak mengandung waktu secara eksplisit, kita menganggap ini sebagai sistem
koordinat tetap, meskipun x, y, z adalah koordinat m1 relatif terhadap m2. Aturan yang
digunakan untuk mendefinisikan koordinat X, Y, Z, x, y, z adalah sama sepanjang waktu.
Gambar. 9-1. Rotasi sistem koordinat polar.
Jika suatu sistem partikel dijelaskan oleh satu set koordinat umum q1 , q2 ,…,q3 N,
akan kita sebut turunan waktu dari setiap koordinat qk adalah qk, yaitu kecepatan
umum yang menyertai koordinat. Kecepatan umum yang bersesuaian dengan sebuah
koordinat Cartesian x i hanyalah merupakan komponen bersesuaian x i dari kecepatan
partikel pada koordinat. Kecepatan umum dikaitkan dengan koordinat sudut θ merupakan
kecepatan sudut yang bersesuaian dengan θ. Kecepatan yang berhubungan dengan
koordinat X dalam contoh sebelumnya adalah X yaitu komponen x dari kecepatan pusat
massa. Kecepatan umum dapat dihitung dalam suku koordinat Cartesian dan suku
kecepatan, dan sebaliknya, yaitu dengan mendeferensialkan Persamaan (9-1) atau (9-2)
terhadap waktu t sesuai dengan aturan untuk mendeferensialkan fungsi-fungsi
implisit. Misalnya, komponen kecepatan Cartesius dapat dinyatakan dalam suku
koordinat umum dan kecepatan dengan mendeferensialkan Persamaan (9-2):
x 1 =∑k=1
3 N ∂ x1
∂qk
q+∂ x1
∂ t,
Persamaan Lagrange Halaman 5
⋮
zN=∑k=1
3 Nn ∂ z N
∂ qk
qk+∂ z N
∂ t,
(9-6)
Sebagai contoh, kita miliki dari Persamaan (9-5):
x=r cos (θ+ωt )−r θ sin (θ+ωt )−rωsin (θ+ωt ) ,
y= rsin (θ+ωt )−r θ cos (θ+ωt )−rω cos (θ+ωt ) , (9-7)
Energi kinetik N sistem partikel , dalam suku koordinat Cartesian adalah,
T=∑i=1
N12
mi ( x i2+ yi
2+zi2) .
(9-8)
Dengan mensubstitusikan dari Persamaan (9-6), kita memperoleh energi kinetik dalam
suku koordinat umum. Jika kita mengatur ulang susunan penjumlahan, hasilnya adalah
T=∑k=1
3 N
∑l=1
3 N12
Akl qk ql+∑k=1
3 N
Bk qk +T 0 ,(9-9)
dimana
Akl=∑i=1
N
mi( ∂ xi
∂ qk
∂ x i
∂q l
+∂ y i
∂ qk
∂ yi
∂q l
+∂ zi
∂ qk
∂ zi
∂q l) ,
(9-10)
Bk=∑i=1
N
mi( ∂ xi
∂ qk
∂ x i
∂t+
∂ y i
∂ qk
∂ y i
∂t+
∂ zi
∂ qk
∂ zi
∂t ) ,(9-11)
T 0=∑i=1
N12
mi[(∂ x i
∂t)
2
+(∂ y i
∂t)2
+(∂ zi
∂t)2 ] ,
(9-12)
Koefisien Akl, Bk, dan T 0 adalah fungsi dari koordinat q1 , …, q3 N dan juga t untuk suatu
sistem koordinat bergerak. Jika Akl adalah nol kecuali k=l, maka koordinat dikatakan
ortogonal. Koefisien Bk dan T0 bernilai nol pada saat t tidak terjadi secara eksplisit di
dalam Persamaan (9-1), sebagai contoh, ketika sistem koordinat umum tidak berubah
Persamaan Lagrange Halaman 6
terhadap waktu. Kita melihat bahwa energi kinetik, pada umumnya, mengandung tiga
suku:
T=T 1+T 2+T 0 (9-13)
Di mana T2 berisi suku kuadrat dalam kecepatan umum, T1 mengandung suku linear,
dan T0 adalah tidak tergantung dari kecepatan. Suku T1 dan T0 muncul hanya dalam
sistem koordinat bergerak; untuk sistem koordinat tetap, energi kinetik adalah kuadrat
dari kecepatan umum.
Sebagai contoh, dalam koordinat polar bidang [Persamaan. (3-72)], energi kinetik
adalah
T=12
m ( x2+ y2)
=
12
(m x2+mr2 θ2)(9-14)
yang dapat diperoleh dengan mensubstitusi langsung dari Persamaan (3-72), atau kasus
khusus pada Persamaan (9-9), di mana
∂ x∂ r
=cosθ ,∂ x∂θ
=−r sin θ
(9-15)
∂ y∂ r
=sin θ,
∂ y∂θ
=r cosθ
Jika kita mengambil sistem koordinat bergerak yang didefinisikan oleh Persamaan (9-5),
kita menemukan, dengan mensubstitusi dari Persamaan (9-7), atau dengan menggunakan
Persamaan (9-9),
T=12
m ( x2+ y2)
=12
(m r2+mr2 θ2 )+mr2 ωθ+ 12
mr 2 ω2
(9-16)
Persamaan Lagrange Halaman 7
Dalam kasus ini, suku linier dalam θ dan suku independen r dan θ muncul. Energi kinetik
untuk sistem dua-partikel juga dapat dengan mudah dituliskan dalam bentuk X,Y,Z ,x, y,
z, ditunjukkan oleh Persamaan (4-90) dan (4-91)
Daripada mencari energi kinetik terlebih dahulu pada koordinat Cartesian dan
kemudian mengubahnya ke dalam koordinat umum, seperti pada contoh
di atas, seringkali lebih mudah untuk mengerjakan energi kinetik secara langsung dalam
suku koordinat umum dari pemaknaannya secara geometris. Ini akan mungkin untuk
memulai masalah dari awal dengan satu set koordinat umum yang sesuai tanpa menulis
secara eksplisit persamaan transformasi (9-1) dan (9-2) pada semuanya. Sebagai contoh,
kita dapat memperoleh Persamaan (9-14) langsung dari pemaknaan geometri
koordinat r , θ (lihat Gambar 3-20) dengan memperhatikan bahwa kecepatan linear yang
terkait dengan perubahan dalam r adalah rdan terkait dengan perubahan dalam θ
sebesar r θ. Saat arah kecepatan yang terkait dengan r dan θ tegak lurus, kuadrat total dari
kecepatan menjadi
v2=r 2+r2 θ2(9-17)
sehingga Persamaan (9-14) akan segera menyesuaikan. Dalam menerapkan metode ini
harus teliti jika kecepatan yang terkait
dengan perubahan dari berbagai koordinat
tidak tegak lurus. Sebagai contoh, mari
perhatikan sepasang sumbu koordinat u,v
yang membentuk sudut α kurang daripada
90° terhadap satu sama lain, seperti pada
Gambar 9-2. u dan v menjadi sisi dari
pararellogram yang dibentuk oleh sumbu
dan garis-garis sejajar dengan sumbu
melalui massa m seperti pada gambar 9-
2. Kemudian a dan b sebagai unit vektor
dalam arah peningkatan dari u dan v. Dengan menggunakan u dan v sebagai koordinat,
kecepatan dari massa m adalah
v = u2 a+ωb (9-18)
Persamaan Lagrange Halaman 8
Energi kinetiknya
T=12
mv . v=12
mu2+ 12
mω2+m u ωcosα(9-19)
Ini adalah contoh dari serangkaian koordinat nonorthogonal di mana suku cross product
dalam kecepatan muncul dalam energi kinetik. Alasan untuk menggunakan
suku orthogonal, yang berarti tegak lurus, jelas dari contoh ini. Ketika sistem lebih dari
satu partikel dijelaskan dalam suku koordinat umum, biasanya paling aman untuk
menulis energi kinetik pertama di koordinat Cartesian dan mengubah untuk koordinat
umum. Namun, dalam beberapa kasus, adalah mungkin untuk menulis energi kinetik
langsung pada koordinat umumnya. Sebagai contoh, jika sebuah benda tegar berputar
pada sumbunya, kita tahu bahwa energi kinetiknya adalah 12
I ω2, dimana ω adalah
kecepatan sudut dan I adalah momen inersia. Juga, kita dapat menggunakan teorema
yang telah dibuktikan dalam Bagian 4-9 bahwa energi kinetik total sistem partikel adalah
energi kinetik terhadap pusat massa ditambah dengan koordinat internal yang
bersesuaian. [Lihat Persamaan (4-127).] Sebagai contoh, energi kinetik dari sistem dua-
partikel pada koordinat X, Y, Z, x, y, z, didefinisikan oleh Persamaan (4-90) dan (4-91)
adalah
T=12
M ( X2+Y 2+Z2 )+12
μ ( x2+ y2+ z2 )(9-20)
di mana M dan μ diberikan oleh Persamaan (4-97) dan (4-98). Hasilnya menunjukkan
bahwa ini adalah sistem koordinat ortogonal. Jika kecepatan linier dari setiap partikel
dalam sistem dapat ditulis langsung dalam koordinat umum dan kecepatan, maka energi
kinetik dapat segera ditulis.
Sekarang kita perhatikan bahwa komponen momentum linear partikel i, menurut
Persamaan (9-8), adalah
pix=m x i=∂T∂ xi ,
piy=m y i=∂T∂ y i ,
piz=m zi=∂T∂ zi (9-21)
Dalam kasus partikel yang bergerak dalam bidang, turunan dari T terhadap r dan θ,
seperti yang diberikan oleh Persamaan (9-14), adalah
Persamaan Lagrange Halaman 9
pr=mr=∂T∂ r
, pθ=mr2 θ=∂T∂ θ
,(9-22)
di mana pr adalah komponen momentum linier dalam arah peningkatan r, dan pθ adalah
momentum sudut asalnya. Hasil serupa juga akan ditemukan untuk koordinat bola dan
silinder dalam tiga dimensi. Pada kenyataannya, tidaklah sulit untuk menunjukkan bahwa
untuk setiap koordinat qk yang mengukur perpindahan linier dari setiap partikel atau
kelompok partikel dalam arah tertentu, momentum linear dari partikel atau kelompok
partikel pada arah yang diberikan adalah ∂ T /∂ qk ; dan bahwa untuk setiap koordinat qk
yang mengukur perpindahan sudut dari partikel atau kelompok partikel terhadap sebuah
sumbu, momentum sudut mereka pada sumbu adalah ∂ T /∂ qk. Hal ini menunjukkan
bahwa kita menunjukkan bahwa momentum umum pk, yang bersesuaian dengan
koordinat qk adalah
pk=∂T∂ qk
,(9-23)
Energi kinetik didefinisikan oleh Persamaan (9-9) sebagai fungsi dari
q1 , …, q3 N ;q1 , …, q3 N dan mungkin dari t. Turunan fungsi T ini berkaitan dengan
variabel-variabel akan ditandai dengan simbol untuk diferensiasi parsial. Ketika
q1 , …, q3 N ; q1 , …, q3 N adalah semua fungsi dari waktu t untuk setiap gerakan yang
diberikan dari sistem, T juga merupakan fungsi t saja untuk setiap gerakan yang
diberikan. Turunan dari T terhadap waktu dalam pengertian ini akan dilambangkan
dengan d/dt. Pernyataan yang sama berlaku untuk kuantitas lain yang dapat ditulis
sebagai fungsi dari koordinat dan kecepatan dan mungkin t, dan yang juga merupakan
fungsi t saja untuk setiap gerakan yang diberikan.
Jika qk adalah jarak, maka pk adalah momentum linier yang sesuai. Jika qk adalah sudut,
pk adalah momentum sudut yang sesuai. Dalam kasus lain, pk akan memiliki arti fisis
yang sesuai lainnya. Menurut Persamaan. (9-9), momentum umum pk adalah
pk=∑i=1
3 N
Akl ql+Bk ,(9-24)
Dalam kasus koordinat X, Y, Z, x, y, z untuk sistem dua-partikel, definisi ini memberikan
Persamaan Lagrange Halaman 10
px=M X , py=M Y , pz=M Z
(9-25)
px=μ x , p y=μ y , pz=μ z
di mana pX , pY , pZ adalah komponen dari momentum linier total kedua partikel,
dan px , py , pz adalah komponen momentum linier dalam masalah satu-dimensi yang
setara dalam x, y, z di mana masalah dua benda yang direduksi dalam Bagian 4-7. Kita
akan lihat dalam bagian berikutnya bahwa analog antara momentum umum pk dan
komponen Cartesian momentum linier dapat diperpanjang dengan persamaan gerak
dalam koordinat umum.
Jika gaya F1x , F1 y , F1 z , …, FNz bekerja pada partikel, kerja yang dilakukan oleh
gaya jika partikel bergerak dari posisi x1 , y1 , z1 ,…, z N ke titik terdekat
x1+δ x1 , y1+δ y1 , z1+δ z1 ,…, zN+δ zN adalah
δW=∑i=1
N
( F ix δ xi+Fiy δ yi+F iz δ zi )(9-26)
Perpindahan kecil δ x i , δ y i , δ zi dapat dinyatakan dalam koordinat umum:
δ xi=∑k=1
3 N ∂xi
∂qkδqk
,
δ yi=∑k=1
3 N ∂ yi
∂qkδqk
(9-27)
δ zi=∑k=1
3 N ∂ zi
∂qkδ qk
di mana δ qi , …, δ q3 N adalah perbedaan dalam koordinat umum terkait dengan dua set
posisi dari partikel. Kita menyebutnya virtual displacement (perpindahan semu) sebuah
sistem karena tidak perlu untuk mewakili setiap gerakan yang sebenarnya dari sistem. Ini
mungkin adalah gerakan yang mungkin dari sistem. Dalam kasus sistem koordinat
bergerak, kita menganggap waktu adalah tetap, kita menentukan perubahan posisi dalam
Persamaan Lagrange Halaman 11
sistem koordinat pada waktu tertentu t. Jika kita substitusikan Persamaan (9-27) ke
Persamaan (9-26, setelah menata ulang suku-suku:
δW=∑k=1
3 N
Qk δqk(9-28)
di mana
Qk=∑i=1
N
(F ix
∂xi
∂qk+F iy
∂ yi
∂qk+F iz
∂ zi
∂qk)
(9-29)
Koefisien Qk tergantung pada gaya yang bekerja pada partikel, pada koordinatq1 , …, q3 N,
dan mungkin juga pada waktu t. Mengingat kesamaan dalam bentuk antara Persamaan (9-
26) dan (9-28), maka besaran Qkdapat disebut sebagai gaya umum yang terkait dengan
koordinat qk. Kita dapat menentukan gaya umum Qk secara langsung, tanpa mengacu
pada sistem koordinat Kartesius, sebagai koefisien yang menentukan usaha yang
dilakukan dalam perpindahan semu di mana qk mengubah:
δW=Q k δqk (9-30)
di mana δW adalah usaha yang dilakukan ketika sistem bergerak sedemikian rupa di
mana qk meningkat oleh δqk , semua koordinat yang lain tetap konstan. Perhatikan bahwa
usaha di Persamaan (9-26), dan karena itu juga di Persamaan (9-30), yang akan dihitung
dari nilai dari gaya untuk posisi x1 , …, zN atau q1 , …, q3 N ; kita tidak memperhitungkan
perubahan gaya selama perpindahan semu.
Jika gaya F1x , …, FNz yang didapati dari energi potensial V ( x1 , …, zN )
[Persamaan (4-32)], kemudian
δW=−δV
=−∑
i=1
N
(∂V∂ xi
δxi+∂V∂ y i
δy i+∂V∂ zi
δzi)(9-31)
Jika V dinyatakan dalam koordinat umum, maka
δW=−δV
=∑k=1
3 N ∂V∂qk
δqk(9-32)
Persamaan Lagrange Halaman 12
Dengan membandingkan ini dengan Persamaan (9-28), kita melihat bahwa
Qk=− ∂V∂ qk (9-33)
yang menunjukkan bahwa dalam pengertian itu definisi Qksebagai gaya umum adalah
satu yang lazim. Persamaan (9-33) mungkin juga akan dibuktikan langsung
oleh perhitungan:
∂V∂qk
=∑i=1
N
(∂V∂ x i
∂ x i
∂ qk
+ ∂V∂ y i
∂ y i
∂qk
+ ∂V∂ zi
∂ zi
∂ qk)
= −∑
i=1
N
(F ix
∂xi
∂qk+Fiy
∂ yi
∂qk+F iz
∂ zi
∂qk)
= −Qk
Sebagai contoh, mari kita menghitung gaya umum yang terkait dengan koordinat
polar r, θ, untuk partikel yang dikerjakan oleh gaya
F=iFx+ jFy=nFr+ IFθ (9-34)
Jika kita menggunakan definisi (9-29), akan diperoleh dengan menggunakan persamaan
(9-15):
Qr=F x∂ x∂r
+Fy∂ y∂ r
= Fx cosθ+F y sin θ
=F r
(9-35)
Qθ=Fx∂ x∂θ
+Fy∂ y∂ θ
= - rFx sin θ+rF y cosθ
= r Fθ
Dapat dilihat bahwa Qr adalah komponen gaya dalam arah r, dan Qθ adalah torsi yang
bertindak untuk meningkatkan θ. Hal ini biasanya lebih cepat untuk menggunakan
definisi (9-30), yang memungkinkan kita tidak menggunakan koordinat Cartesian sama
Persamaan Lagrange Halaman 13
sekali. Jika kita mempertimbangkan perpindahan kecil di mana r menjadi r +δr , dengan
θ tetap konstan, usaha adalah
δW=F τ δ τ (9-36)
dari Persamaan (9-35) yang pertama. Jika kita mempertimbangkan perpindahan di
mana r adalah tetap dan θ meningkat sebesar δθ, usaha menjadi
δW=Fθ r δθ (9-37)
dari Persamaan (9-35) yang kedua. Secara umum, jika qk adalah koordinat yang
mengukur jarak perpindahan oleh beberapa bagian dari sistem mekanik dalam arah
tertentu, dan jika F k merupakan komponen dalam arah dari gaya total yang bekerja pada
bagian dari sistem, kemudian usaha yang dilakukan ketika qk, yang meningkat
sebesar δqk, semua koordinat lainnya yang tersisa konstan, maka
δW=Fk δqk (9-38)
Bandingkan ini dengan Persamaan. (9-30), kita memiliki
Qk = Fk (9-39)
Dalam suku ini, gaya umum Qk hanya merupakan gaya biasa . Jika qk mengukur rotasi
sudut bagian tertentu dari sistem sumbu tertentu, dan jika Nk adalah torsi total tentang
sumbu yang diberikan pada bagian sistem, maka usaha yang dilakukan ketika qk
meningkat sebesar δqkadalah
δW=N k δqk (9-40)
Bandingkan ini dengan Persamaan (9-30), kita memiliki
Qk = Nk (9-41)
Gaya umum Qkdikaitkan dengan koordinat sudut qk, adalah torsi yang sesuai.
9-2 Persamaan Lagrange.
Analogi yang mengarahkan menuju definisi momentum umum dan gaya umum
mendorong kita untuk menduga bahwa persamaan umum gerak akan menyamakan laju
perubahan waktu dari setiap momentum pk yang bersesuaian dengan gaya Qk. Untuk
memeriksa dugaan ini, mari kita menghitung laju perubahan terhadap waktu dari pk:
Persamaan Lagrange Halaman 14
dpk
dt= d
dt ( ∂T∂ qk
)(9-42)
Kita akan perlu untuk memulai dari persamaan gerak Newton dalam bentuk Cartesian:
mi x i=F ix
mi y i=F iy [ i=1 ,. . .. , N ] (9-43)
mi zi=F iz
Oleh karena itu kita menyatakan T di koordinat Cartesian [Persamaan. (9-8)]. Kita
kemudian memiliki
∂T∂ qk
=∑i=1
N
mi ( x i
∂ x i
∂ qk
+ y i
∂ y i
∂ qk
+ zi
∂ zi
∂ qk), (9-44)
Di mana x1 , y1 , …, z Ndiberikan sebagai fungsi dari q1 , …, q3 N ; q1 , …, q3 N ; dan t oleh
Persamaan (9-6). Karena ∂ x i /∂ qk dan ∂ x i /∂ t adalah fungsi hanya jika q1 , …, q3 N dan t
akan didapatkan, dengan mendeferensialkan Persamaan (9-6):
∂ x i
∂ qk
=∂ xi
∂ qk
,
∂ y i
∂ qk
=∂ yi
∂ qk
,[ i=1 ,. . .. , N ; k=1 , .. .. , 3 N ] (9-45)
∂ zi
∂ qk
=∂ zi
∂ qk
,
Dengan mensubstitusikan dari Persamaan (9-45) pada Persamaan (9-44), dan
mendeferensialkan lagi terhadap waktu t, akan diperoleh :
dpk
dt=∑
i=1
N
mi( x i
∂ x i
∂qk
+ y i
∂ yi
∂qk
+ zi
∂ zi
∂ qk)+∑i=1
N
mi( xiddt
∂ x i
∂qk
+ y iddt
∂ y i
∂ qk
+ ziddt
∂ zi
∂ qk) (9-46)
Menurut persamaan gerak Newton (9-43), dan definisi (9-29), suku pertama di
Persamaan (9-46) adalah
∑i=1
N
mi ( x i
∂ xi
∂ qk
+ yi
∂ y i
∂ qk
+ zi
∂ zi
∂qk)=∑
i=1
N
(Fix
∂ x i
∂qk
+F iy
∂ y i
∂ qk
+F iz
∂ zi
∂ qk)= Qk (9-47)
Persamaan Lagrange Halaman 15
Turunan yang muncul dalam suku terakhir pada Persamaan (9-46) dihitung sebagai
berikut:
ddt
∂ x i
∂ qk
=∑l=1
3 N ∂2 x i
∂ qk ∂ ql
q l+∂2 x i
∂qk ∂ t= ∂
∂ qk(∑
l=1
3 N ∂ xi
∂ ql
q l+∂ x i
' t )= ∂ x i
∂ qk (9-48)
dimana kita telah menggunakan Persamaan (9-6). Ekspresi serupa berlaku untuk y
dan z. Jadi jumlah terakhir pada Persamaan (9-46) adalah
∑i=1
N
mi ( x iddt
∂ x i
∂qk
+ y iddt
∂ y i
∂ qk
+ ziddt
∂ zi
∂qk)
= ∑i=1
N
mi ( x i
∂ xi
∂ qk
+ yi
∂ y i
∂ qk
+ zi
∂ zi
∂qk)= ∂
∂qk∑i=1
N12
mi ( x i2+ y
i2+ z
i2)
=
∂T∂qk (9-49)
Kita akhirnya mendapatkan:
dpk
dt=Qk+
∂T∂ qk
,k = 1, …., 3N (9-50)
Dugaan semula kita tidak sepenuhnya benar, untuk itu kita harus menambahi gaya umum
Qk dengan suku lain ∂ T /∂ qk dalam upaya untuk mendapatkan laju perubahan momentum
pk. Untuk melihat artinya, tinjau energi kinetik partikel dalam koordinat bidang polar,
seperti yang diberikan oleh Persamaan (9-14). Dalam hal ini,
∂T∂ r
=mr { θ2
,¿(9-51)
dan jika kita menggunakan Persamaan (9-22) dan (9-35), persamaan gerak (9-50) untuk
qk=r adalah
m r=F r+mr { θ2¿ (9-52)
Jika kita bandingkan dengan Persamaan (3-207), yang merupakan hasil dari aplikasi
langsung Hukum Newton tentang gerak, kita melihat bahwa suku ∂ T /∂ r adalah bagian
dari massa kali percepatan yang muncul di sini ditransposisikan ke sisi kanan dari
persamaan. Kenyataannya, ∂ T /∂ r adalah “gaya sentrifugal” yang harus ditambahkan
untuk menulis persamaan gerak untuk r dalam bentuk persamaan Newton untuk gerak
Persamaan Lagrange Halaman 16
dalam garis lurus. Apabila kita sedikit lebih pintar, kita harus mengharapkan bahwa
beberapa suku tersebut mungkin harus dimasukkan. Kita dapat menyebut ∂ T /∂ qk
sebagai sebuah “gaya fiktif” yang muncul jika energi kinetik tergantung pada koordinat
qk. Ini akan menjadi kasus ketika sistem koordinat melibatkan koordinat "melengkung",
yaitu, jika kecepatan umum konstan q1 , …, q3 N mengakibatkan gerakan melengkung dari
beberapa bagian dari sistem mekanis (Persamaan 9-50) yang biasanya ditulis dalam
bentuk
ddt ( ∂T
∂ qk)− ∂T
∂ qk
=Qk ,k = 1,….., 3N (9-53)
Jika ada energi potensial, maka gaya qk dapat diturunkan dari fungsi energi potensial
[Persamaan (9-33)], kita dapat memperkenalkan fungsi Lagrangian
L (q1 ,. . .. . ,q3 N ; q1 , . .. . q3 N ; t )=T−V ,(9-54)
di mana T bergantung pada q1 , …, q3 N dan q1 , …, q3 N tapi V hanya bergantung pada
q1 , …, q3 N (dan mungkin t), sehingga
ddt
∂ L∂ qk
= ddt
∂ T∂ qk
,(9-55)
∂ L∂qk
= ∂T∂ qk
− ∂V∂qk
= ∂T∂qk
+Qk(9-56)
Oleh karena itu Persamaan (9-53) dapat ditulis dalam bentuk
ddt ( ∂T
∂ qk)− ∂ L
∂ qk
=0 ,k = 1, …., 3N (9-57)
Dalam hampir semua kasus yang menarik dalam fisika (walaupun tidak dalam teknik),
persamaan gerak dapat ditulis dalam bentuk (9-57). Pengecualian yang paling penting
adalah kasus di mana gaya gesek yang terlibat, tetapi kekuatan-kekuatan itu tidak
biasanya muncul di masalah atomic atau astronomi.
Karena persamaan Lagrange diturunkan dari persamaan gerak Newton, mereka
tidak mewakili teori fisika baru, tetapi hanya sebuah cara yang berbeda tetapi setara
untuk mengungkapkan hukum gerak yang sama. Sebagai contoh Persamaan (9-52) dan
(3-207) mengilustrasikan, persamaan dengan metode Lagrange itu juga dapat diperoleh
Persamaan Lagrange Halaman 17
dengan penerapan langsung Hukum gerak Newton. Namun, dalam kasus-kasus yang
rumit biasanya lebih mudah untuk bekerja di luar energi kinetik dan gaya atau energi
potensial dalam koordinat umum, dan menulis dalam bentuk persamaan
Lagrangian. Khususnya dalam masalah yang melibatkan paksaan, seperti yang akan kita
lihat dalam Bagian 9-4, metode Lagrangian jauh lebih mudah untuk diterapkan. Nilai
kepala persamaan Lagrange,bagaimanapun, mungkin merupakan hal yang teoretis. Dari
cara di mana mereka berasal, jelas persamaan Lagrange (9-57) atau (9-53) terus dalam
bentuk yang sama dalam sistem koordinat umum. Fungsi Lagrangian L=T-V memiliki
nilai yang sama, untuk setiap himpunan posisi dan kecepatan partikel, tidak peduli pada
apa itu sistem koordinat dapat dinyatakan, tetapi bentuk fungsi L mungkin berbeda dalam
sistem koordinat yang berbeda. Kenyataan itu persamaan Lagrange memiliki bentuk yang
sama dalam semua sistem koordinat sebagai tanggungjawab untuk kepentingan teoretis
mereka. Persamaan Lagrange merupakan cara seragam penulisan persamaan gerak dari
suatu sistem, yang tidak tergantung dari jenis sistem koordinat yang digunakan. Mereka
membentuk sebuah titik awal untuk formulasi yang lebih maju dari mekanika. Dalam
mengembangkan teori relativitas umum, di mana koordinat Cartesian bahkan mungkin
tidak ada,persamaan Lagrange sangatlah penting.
9-3 Contoh-Contoh.
Pertama-tama ditinjau sebuah sistem partikel m1 ,… ,mN, yang lokasinya
ditentukan oleh koordinat Cartesian, dan dapat ditunjukkan bahwa dalam kasus ini
persamaan Lagrange menjadi persamaan gerak Newton. Energi kinetik adalah
T=∑i=1
N12
mi ( x i2+ yi
2+ zi2)
(9-58)
dan
∂ T∂ x i
= ∂T∂ y i
=∂ T∂ zi
=0, (9-59)
∂ T∂ x i
=mi x i,
∂T∂ y i
=mi y i,
∂T∂ zi
=mi zi(9-60)
Persamaan Lagrange Halaman 18
Gaya umum yang terkait dengan setiap koordinat Kartesius hanya gaya biasa, seperti
yang kita lihat baik dari Persamaan (9-29), atau dengan membandingkan Persamaan (9-
28) dengan Persamaan (9-26). Oleh karena itu persamaan gerak (9-53) adalah
ddt ( ∂T
∂ x i)−∂ T
∂ x i
=mi xi=F ix ,
ddt ( ∂ T
∂ yi)− ∂ T
∂ y i
=mi y i=F iy ,[ i = 1, …., N ] (9-61)
ddt (∂ T
∂ zi)−∂T
∂ zi
=mi zi=F iz ,
Untuk partikel yang bergerak pada bidang, energi kinetik dalam koordinat polar
diberikan oleh Persamaan (9-14), dan gaya Qr dan Qθ oleh Persamaan (9-35). Persamaan
Lagrange menjadi
m r−mr { θ2=F r ,¿ (9-62)
ddt
(mr2 θ)=rFθ ,(9-63)
Persamaan ini diperoleh dalam Bagian 3-13 dengan metode dasar.
Kita sekarang meninjau sistem koordinat berputar yang didefinisikan oleh
Persamaan (9-4) atau (9-5). Energi kinetik yang diberikan oleh Persamaan (9-16), dan
gaya umum Qr dan Qθ akan sama seperti pada contoh sebelumnya. Persamaan Lagrange
dalam kasus ini adalah
m r−mr { θ2−2 mωr θ−mω2r=Fr ,¿ (9-64)
ddt
(mr2 θ)+2 mωr r=rFθ .(9-65)
Pembaca harus memastikan bahwa suku ketiga di sebelah kiri pada Persamaan (9-64)
adalah negatif dari gaya Coriolis dalam arah r karena rotasi sistem koordinat, dan bahwa
suku keempat adalah negatif dari gaya sentrifugal. Suku kedua di Persamaan (9-65)
adalah negatif dari torsi Coriolis dalam arah θ. Jadi gaya fiktif yang diperlukan secara
otomatis dimasukkan ketika kita menulis persamaan Lagrange dalam sistem koordinat
bergerak. Ini harus diperhatikan, bahwa kita menggunakan energi kinetik yang
sebenarnya [Persamaan (9-16)] yang berhubungan dengan sistem koordinat dalam
Persamaan Lagrange Halaman 19
keadaan diam, yang dinyatakan dalam koordinat berputar, dan bukan energi kinetik
karena akan muncul dalam sistem berputar jika kita mengabaikan gerakan sistem
koordinat.
9-4 Systems subject to constraints (Sistem-sistem dengan gerakan terpaksa).
Sebuah permasalahan mekanik yang penting di mana persamaan Lagrange
berguna untuk sistem-sistem yang subyeknya mengalami paksaan.
Sebuah benda tegar adalah contoh yang baik dari sistem partikel paksaan. Paksaan
adalah pembatasan kebebasan gerak sistem partikel dalam bentuk kondisi yang harus
dipenuhi oleh koordinat mereka, atau oleh perubahan mereka yang diperbolehkan dalam
koordinat. Misalnya, hipotesis sederhana benda tegar akan menjadi sepasang partikel
yang terhubung oleh tongkat ringan yang kaku dengan panjang l. Partikel-partikel ini
tunduk pada paksaan yang mengharuskan mereka terpisah pada jarak l. Dalam suku
koordinat Cartesian, paksaan adalah
[( x2−x1)2+( y2− y1 )2+( z2−z1)2]1
2=l (9-66)
Jika kita menggunakan koordinat X, Y, Z dari pusat massa dan koordinat bola r , θ , φ
untuk menempatkan partikel 2 terhadap partikel 1 sebagai asal, paksaan berbentuk
sederhana:
r = l (9-67)
sehingga dengan demikian hanya ditentukan oleh lima koordinat X, Y, Z,θ ,φ . Setiap
paksaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan seperti (9-66) memungkinkan
kita untuk menghilangkan salah satu koordinat dengan memilih koordinat tertentu dengan
cara menjadikan salah satunya adalah tetap konstan oleh paksaan. Untuk benda tegar,
paksaan mengharuskan jarak awal semua pasangan partikel tetap konstan. Untuk benda
yang mengandung N partikel , ada ½N (N - 1) pasang partikel. Namun, tidak sulit untuk
menunjukkan bahwa cukup menentukan jarak awal dari 3N-6 pasang, jika N ≥ 3. Oleh
karena itu kita dapat mengganti koordinat Cartesian 3N partikel N dengan jarak awal3N-
6, 3 koordinat pusat massa, dan 3 koordinat yang menggambarkan orientasi
benda. Karena jarak awal 3N-6 semuanya konstan, masalahnya berkurang menjadi satu
yaitu menemukan gerak dalam enam suku koordinat. Contoh lain dari sistem subjek
Persamaan Lagrange Halaman 20
paksaan adalah bahwa dari manik-manik yang meluncur pada sebuah kawat. Kawat ini
terletak di sepanjang kurva dalam ruang tertentu, dan paksaan yang mengharuskan
menempatkan posisi dari manik-manik terletak pada kurva ini. Karena koordinat dari
titik-titik sepanjang kurva ruang memenuhi dua persamaan (misalnya, persamaan dari
dua permukaan yang berpotongan sepanjang kurva), ada dua paksaan dan kita dapat
menemukan posisi manik-manik oleh koordinat tunggal. Jika kawat bergerak, kita
memiliki paksaan yang bergerak, dan koordinat tunggal kita adalah relatif terhadap suatu
referensi sistem yang bergerak. Paksaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan
yang berkaitan koordinat disebut holonomic. Semua contoh di atas melibatkan paksaan
holonomic.
Paksaan juga dapat ditentukan oleh pembatasan dari kecepatan, bukan pada
koordinat. Sebagai contoh, sebuah silinder dengan jari-jari a, menggelinding dan
meluncur menuruni suatu bidang miring, dengan sumbu yang selalu horisontal, dapat
ditentukan oleh dua koordinat s dan θ, seperti pada Gambar 9-3. Koordinat s mengukur
jarak silinder yang telah dipindahkan ke bidang, dan koordinat θ adalah sudut di mana
jari-jari pada silinder telah berubah dari jari-jari ke titik kontak dengan bidang.Sekarang
anggaplah bahwa silinder menggelinding tanpa slip. Kemudian kecepatan s dan θ harus
dikaitkan dengan persamaan
s=a θ , (9-68)
yang juga dapat ditulis
ds = a dθ. (9-69)
Persamaan ini dapat diintegrasikan:
s – aθ = C (9-70)
Persamaan Lagrange Halaman 21
di mana C adalah konstanta. Persamaan ini adalah dari jenis yang sama dengan
Persamaan (9-66), dan menunjukkan bahwa paksaan adalah holonomic, meskipun
awalnya dinyatakan dalam suku kecepatan. Jika paksaan pada kecepatan, seperti
Persamaan (9-68), dapat diintegrasikan untuk memberikan hubungan antara koordinat,
seperti Persamaan (9-70) maka paksaan adalah holonomic. Terdapat suatu sistem, di
mana persamaan paksaan tersebut tidak dapat diintegrasikan. Contohnya adalah piringan
dengan jari-jari a bergulir di meja horizontal, seperti pada Gambar 9-4. Untuk
kemudahan, kita mengasumsikan bahwa piringan tidak dapat jatuh telungkup, dan
diameter meja yang tersentuh selalu vertikal. Empat koordinat diperlukan untuk
menentukan posisi piringan. Koordinat x dan y menentukan titik kontak pada bidang;
sudut φ yang menentukan orientasi bidang piringan relatif terhadap sumbu-x, dan
sudut θ adalah sudut antara jari-jari tetap pada piringan dan sumbu vertikal. Jika kita
sekarang memperhatikan gelindingan piringan tanpa slip (dapat juga dengan memutar
pada sumbu vertikal), ini berarti terdapat dua persamaan paksaan. Kecepatan titik kontak
tegak lurus terhadap bidang piringan harus nol:
x sin ϕ+ ycos ϕ=0 (9-71)
dan kecepatan sejajar terhadap bidang piringan harus
x sin ϕ+ ycos ϕ=a θ (9-72)
Tidaklah mungkin untuk mengintegrasikan persamaan ini untuk mendapatkan dua
hubungan antara koordinat x, y, θ ,φ. Untuk melihat ini, kita mencatat bahwa dengan
piringan yang menggelinding tanpa slip, dan dengan memutarnya pada sumbu vertikal,
kita dapat membawa piringan untuk setiap titik x, y, dengan sudut φ antara bidang
piringan dan sumbu-x, dan dengan titik pada keliling piringan yang kontak dengan meja,
yaitu, setiap sudut θ. Karena jika piringan dalam setiap titik x, y dan titik yang
dikehendaki pada keliling tidak kontak dengan meja, kita mungkin memutar piringan
sepanjang lingkaran dengan keliling adalah panjang sebenarnya, sehingga ketika kembali
ke x, y, titik yang diinginkan akan berhubungan dengan meja. Ini mungkin akan
digulirkan ke sudut yang dikehendaki. Hal ini menunjukkan bahwa keempat koordinat x,
y, θ ,φ tidak bergantung satu sama lain, dan tidak mungkin ada hubungan apapun antara
mereka. Oleh karena itu harus mungkin untuk mengintegrasikan Persamaan (9-71) dan
(9-72), dan akibatnya ini adalah contoh dari paksaan nonholonomic.
Persamaan Lagrange Halaman 22
Jumlah cara independen di mana sistem mekanik dapat bergerak tanpa melanggar
paksaan apapun yang dapat dikenakan disebut jumlah dari derajat kebebasan sistem.
Agar lebih tepat, jumlah derajat kebebasan adalah jumlah-jumlah yang harus ditetapkan
untuk menentukan kecepatan semua partikel dalam sistem untuk setiap gerakan yang
tidak melanggar paksaan. Sebagai contoh, sebuah partikel tunggal bergerak dalam ruang
memiliki tiga derajat kebebasan, tetapi jika dibatasi untuk bergerak sepanjang kurva
tertentu, hanya ada satu. Sebuah sistem N partikel bebas memiliki 3N derajat kebebasan,
sebuah benda tegar memiliki 6 derajat kebebasan (tiga translasi dan tiga rotasi), sebuah
benda tegar dan dibatasi untuk berputar di sekitar sumbu yang memiliki satu derajat
kebebasan. Piringan yang ditunjukkan pada Gambar 9-4 memiliki empat derajat
kebebasan jika diperbolehkan mengelincir di atas meja, karena kita harus kemudian
menentukan x , y , θ , φ. Tetapi jika piringan diperlukan untuk menggelinding tanpa
tergelincir, hanya ada dua derajat kebebasan, karena jikaφ dan salah satu dari kecepatan
x , y , θ diberikan, dua yang tersisa dapat ditemukan dari Persamaan (9-71) dan (9 -
72). Piringan ini hanya bebas untuk berguling, dan berputar pada sumbu vertikal. Untuk
sistem holonomic, jumlah derajat kebebasan sama dengan jumlah minimum yang
diperlukan koordinat untuk menentukan konfigurasi sistem ketika koordinat tetap konstan
oleh paksaan yang dieliminasi. Paksaan nonholonomic terjadi pada beberapa masalah di
mana benda berguling tanpa tergelincir, tapi mereka bukan hal yang sangat penting dalam
fisika. Oleh karena itu kita akan membatasi perhatian kita pada sistem holonomic.
Untuk sistem holonomic N partikel dikenakan paksaan independen c , kita dapat
mengekspresikan kendala-kendala sebagai hubungan c yang harus terus antara koordinat
Cartesian 3N (termasuk mungkin waktu jika paksaan berubah dengan waktu):
h1 ( x1 , y1 , . .. .. , zN ; t )=a1 ,
h2 (x1 , y1 , .. . .. , zN ; t )=a2 ,
⋮hc (x1 , y1 , .. . .. , zN ; t )=ac (9-73)
di mana h1, ..., hc adalah fungsi tertentu dari c. Jumlah derajat kebebasan akan menjadi
f = 3N – c. (9-74)
Sebagai Persamaan (9-73) yang independen, kita dapat pecahkan karena c dari koordinat
Kartesius 3N dalam suku koordinat 3N-c yang lain dan konstanta a1 , …, ac. Jadi hanya
Persamaan Lagrange Halaman 23
koordinat 3N-c yang perlu ditetapkan, dan sisanya dapat ditemukan dari Persamaan (9-
73) jika konstanta a1 , …, ac diketahui. Kita dapat mengambil koordinat Cartesian 3N
- c sebagai koordinat umum dan kuantitas c a1 , …, ac yang ditetapkan oleh Persamaan (9-
73), dan tetap konstan oleh kendala. Atau kita dapat mendefinisikan koordinat umum 3N
– c q1 , …, q f dalam cara yang tepat:
q1=q1 (x1 , y1 , .. . .. , zN ; t ) ,
q2=q2 (x1 , y1 , .. .. . , zN ; t ) ,
⋮q f=q f (x1 , y1 ,. .. . ., z N ; t ) , (9-75)
Persamaan (9-73) dan (9-75) mendefinisikan satu set koordinat 3N q1 , …, q f ;a1 , …, ac,
dan analog dengan Persamaan (9-1) yang dapat dipecahkan untuk koordinat Cartesian:
x1=x1 (q1 , . .. . q f ;a1 ,. .. . ., ac ; t ) ,
y1= y1 (q1 ,. . ..q f ; a1 , .. .. . , ac ; t ) ,⋮zN=zN (q1 , .. ..q f ;a1 , .. . .. , ac ; t ) . (9-76)
Sekarang Q1 ,…Q f , Qf +1 , …, Qf +c dijadikan gaya umum yang sesuai dengan
koordinat q1 , …, q f ;a1 , …, ac. Kita kemudian memiliki satu set persamaan Lagrange untuk
membatasi koordinat dan yang lainnya untuk koordinat unconstrained:
ddt
∂ T∂ qk
− ∂T∂qk
=Q k , k = 1, …., f, (9-77)
ddt
∂T∂ a j
− ∂ T∂ a j
=Qf + j , j = 1, …., c; c + f = 3N. (9-78)
Pentingnya pemisahan masalah ini menjadi dua kelompok persamaan adalah bahwa gaya
paksaan dapat dipilih ketika tidak ada usaha kecuali paksaan dilanggar, seperti yang akan
kita tunjukkan dalam paragraf berikutnya.
Jika hal ini benar maka menurut definisi (9-30) dari gaya umum, gaya paksaan tidak
memberikan kontribusi terhadap gaya umum Qk dikaitkan dengan koordinat q k. Karena
nilai-nilai koordinat terbatas yang tetap konstan, kita dapat menyelesaikan
Persamaan (9-77) untuk gerakan sistem dalam suku koordinat q1 , …, q f , dengan
memperlakukan a1 , …, ac sebagai sebuah konstanta, tanpa mengetahui gaya paksaan. Ini
Persamaan Lagrange Halaman 24
adalah keuntungan besar, karena gaya paksaan tergantung pada bagaimana sistem
bergerak, dan umumnya tidak dapat ditentukan sampai setelah gerak diketahui. Yang
biasanya kita tahu tentang gaya paksaan adalah bahwa mereka memiliki nilai apa pun
yang diperlukan untuk mempertahankan paksaan. Dengan menyelesaikan Persamaan
Persamaan (9-77) untukq1(t) ,…,qf (t), kita kemudian dapat, jika kita ingin, mengganti
fungsi-fungsi pada Persamaan (9-78) dan menghitung gaya dari paksaan. Hal ini mungkin
merupakan masalah menarik untuk dikaji insinyur yang perlu untuk memverifikasi bahwa
komponen paksaan cukup kuat untuk menahan gaya tepaksa. Persamaan Lagrange
mengurangi masalah dalam menemukan gerak dari sistem holonomic dengan derajat
kebebasan f untuk pemecahan masalah persamaan diferensial orde dua f (9-77). Ketika
kita berbicara tentang koordinat umum, yang dibatasi koordinat a1 , …, ac mungkin atau
mungkin tidak dimasukkan, sangat tepat.
Jika manik-manik meluncur pada kawat tanpa gesekan, kawat hanya bisa
memberikan gaya paksaan tegak lurus itu sendiri, sehingga tidak ada usaha yang
dilakukan pada manik-manik selama tetap pada kabel. Jika ada gesekan, kita bisa
memisahkan gaya pada manik-manik menjadi komponen tegak lurus terhadap kawat
yang memegang manik-manik pada kawat tanpa melakukan usaha apapun, dan
komponen gesekan sepanjang kawat yang tidak melakukan usaha dan karena itu harus
dimasukkan dalam gaya umum yang terkait dengan gerakan sepanjang kawat. Jika
komponen gesekan bergantung pada komponen tegak lurus, seperti halnya bagi gesekan
kering, maka kita tidak bisa memecahkan Persamaan (9-77), terlepas dari Persamaan (9-
78), dan satu keuntungan besar dari metode Lagrange hilang. Jika dua partikel berada
pada jarak tetap terpisah oleh batang tegar, maka dengan hukum ketiga Newton, gaya
yang diberikan oleh batang pada satu partikel adalah sama dan berlawanan dengan yang
di sisi lain. Hal ini ditunjukkan dalam Bagian 5-1 di mana tidak dilakukan usaha pada
sistem oleh batang selama paksaan tersebut tidak dilanggar ketika batang tidak meregang
atau dikompresi. Situasi yang sama akan ditemukan dalam semua hal lainnya; paksaan
selalu dapat dipertahankan oleh gaya yang tidak bekerja.
Jika gaya Q1 ,…,Q f yang diturunkan dari fungsi energi potensial, maka kita dapat
mendefinisikan sebuah fungsi Lagrangian L (q1 , …, q f ; q1 , …, qf ) yang mungkin dalam
Persamaan Lagrange Halaman 25
beberapa kasus tergantung pada t dan yang juga tergantung pada konstanta a1 , …, ac
. Persamaan Lagrange pertama f (9-77) kemudian dapat ditulis dalam bentuk
ddt
∂ L∂qk
− ∂ L∂ qk
=0 , k=1 , …, f (9-79)
9-5 Contoh dari subjek sistem yang dipaksa.
Suatu sistem mekanik sederhana yang melibatkan paksaan adalah mesin Atwood
yang ditunjukkan pada Gambar 9-5. m1 ,m2 terhubung dengan tali sepanjang l pada katrol
tetap. Kita mengasumsikan massa hanya bergerak secara vertikal, sehingga kita
hanya memiliki satu derajat kebebasan. Kita mengambil jarak koordinat x dari m1 hingga
poros bawah katrol, dan l adalah panjang tali. Koordinat l adalah paksaan untuk memiliki
nilai konstan, dan bisa di luar pertimbangan awal jika kita hanya ingin menemukan
gerak. Jika kita juga ingin mencari tegangan dalam tali, kita harus menyertakan l sebagai
koordinat. Energi kinetiknya
T=12
m1 x2+12
m2 ( l− x )2 (9-80)
Satu-satunya gaya yang bekerja pada m1 dan m2 adalah tegangan τ pada tali dan gaya
gravitasi. Usaha yang dilakukan ketika x meningkat sebesar δx , l tetap konstan, adalah
δW= (m1 g−τ ) δx−(m2 g−τ ) δx
Persamaan Lagrange Halaman 26
¿ (m1−m2 ) gδx=Q x δx , (9-81)
sehingga
Q x=(m1−m2 ) g (9-82)
Perhatikan bahwa Qx tidak tergantung dari τ . Usaha yang dilakukan ketika l meningkat
sebesar δl, x tetap konstan, adalah
δW= (m2 g−τ ) δl=Ql δl (9-83)
Sehingga
Ql=m2 g−τ (9-84)
Perhatikan bahwa untuk mendapatkan sebuah persamaan yang melibatkan gaya paksaan
τ , kita harus mempertimbangkan gerakan yang melanggar paksaan. Hal ini juga berlaku
jika kita ingin mengukur gaya fisis; kita harus membiarkan setidaknya gerakan kecil di
dalam arah gaya. Persamaan gerak Lagrange (karena l= l=0)
ddt ( ∂ T
∂ x )−∂ T∂ x
=( m1−m2 ) x=( m1−m2 ) g (9-85)
ddt ( ∂ T
∂ l )−∂ T∂l
=−m2 x=m2 g−τ (9-86)
Persamaan pertama diselesaikan untuk menemukan gerak:
x=x0+vot +12
m1−m2
m1+m2
g t 2 (9-87)
Persamaan kedua kemudian dapat digunakan untuk mencari tegangan r yang diperlukan
untuk mempertahankan paksaan:
τ=m2 ( g+ x )=2m1m2
m1+m2
g (9-88)
Dalam hal ini tegangan tidak bergantung waktu dan dapat ditemukan dari Persamaan (9-
85) dan (9-86), walaupun dalam kebanyakan kasus gaya paksaan tergantung pada
gerakan dan dapat ditentukan hanya setelah gerakan itu ditemukan. Persamaan (9-85) dan
(9-86) memiliki interpretasi fisis jelas dan dapat ditulis langsung dari dasar pertimbangan,
seperti yang dilakukan di Bagian 1-7.
Persamaan Lagrange Halaman 27
Masalah praktek kecil yang penting, tapi yang cukup instruktif, adalah bahwa di mana
satu silinder menggelinding di yang atas lain, seperti ditunjukkan pada Gambar 9-6.
Silinder dengan jari-jari a adalah tetap dan silinder dengan radius αa menggelinding
sebagai aksi gaya gravitasi. Misalkan koefisien gesekan statik antara silinder adalah μ
,koefisien gesekan kinetik adalah nol, dan bahwa silinder mulai bergerak dari keadaan
diam dengan pusat secara vertikal di atas pusat silinder tetap. Kita akan
mengasumsikan bahwa sumbu dari silinder tetap bergerak horizontal selama
gerakan. Disarankan dalam semua masalah, dan penting di sini adalah berpikir dengan
cermat tentang gerak sebelum mencoba menemukan solusi matematika. Sudah jelas
bahwa silinder bergerak tidak dapat menggulung sepanjang jalan di sekitar silinder tetap,
gaya normal F yang diberikan oleh silinder tetap pada saat yang satu bergerak hanya
dapat diarahkan ke luar, tidak pernah masuk. Oleh karena itu di beberapa titik, silinder
bergerak lepas dari silinder lain yang diam. Titik di mana ia lepas adalah titik di mana
F=0 (9-89)
Selanjutnya, silinder tidak dapat terus bergulir tanpa slip sampai ke titik lepas, untuk gaya
gesek f yang mencegah slip yang dibatasi oleh kondisi
f ≤ μF (9-90)
Persamaan Lagrange Halaman 28
dan tentu akan menjadi terlalu kecil untuk mencegah slip sebelum titik di mana
Persamaan (9-89) berlaku. Oleh karena itu gerak dibagi menjadi tiga bagian. Pada
awalnya silinder bergulir tanpa tergelincir melalui sudut θ1ditentukan oleh kondisi
f =μF (9-91)
Di luar sudut θ1, silinder bergelinding tanpa gesekan sampai mencapai sudut θ2
ditentukan oleh Persamaan (9-89), setelah itu meninggalkan silinder tetap dan jatuh
bebas. Kita mungkin mengantisipasi beberapa kesulitan matematika pada bagian awal
gerakan karena kenyataan posisi awal dari silinder yang bergerak merupakan salah satu
kesetimbangan yang tidak stabil. Secara fisis tidak ada kesulitan, saat gangguan kecil
akan menyebabkan silinder bergulir ke bawah, tapi secara matematis mungkin ada
kesulitan di mana kita harus cermat, karena gangguan kecil yang dibutuhkan tidak akan
muncul dalam persamaan.
Jika dicari bagian dari gerakan ketika silinder bergerak bergulir tanpa tergelincir,
maka hanya ada satu derajat kebebasan, dan kita akan menentukan posisi silinder dengan
sudut θ antara sumbu vertikal dan garis yang menghubungkan pusat-pusat dari dua
silinder. Untuk menghitung energi kinetik, kita memperkenalkan sudut bantu φ melalui
silinder bergerak yang telah berputar pada porosnya. Kondisi di mana silinder bergulir
tanpa slip mengarah pada persamaan paksaan:
a θ=αa φ (9-92)
yang dapat diintegrasikan dalam bentuk
θ=α φ (9-93)
Jika kita hanya peduli dengan gerakan bergulir, sekarang kita bisa melanjutkan untuk
membuat persamaan Lagrange untuk θ, tapi karena kita perlu mengetahui gaya dari
paksaan F dan f, untuk itu diperkenalkan koordinat tambahan yang dipertahankan
konstan oleh gaya paksaan ini. Gaya gesekan f mempertahankan paksaan (9-93), dan
koordinat yang tepat adalah
γ=θ−αφ (9-94)
Selama silinder bergulir tanpa slip, γ=0; γ mengukur sudut slip sekitar silinder
tetap. gaya normal F mempertahankan jarak r antara pusat silinder:
r=a+αa= (1+α ) a (9-95)
Persamaan Lagrange Halaman 29
Energi kinetik silinder bergulir adalah energi terkait dengan gerak pusat massa ditambah
energi rotasi tentang pusat massa:
T=12
m ( r2+r2 θ2)+ 12
I φ2 (9-96)
setelah mengganti φ dari Persamaan (9-94) dan karena I=12
m α2 a2, untuk silinder padat
dengan jari-jari αa, kita memiliki
T=12
m r2+ 12 (r2+ 1
2a
2)θ2−12
m a2 θ γ+ 14
m a2 γ 2 (9-97)
Persamaan paksaan [Persamaan (9-95) dan γ=0] tidak harus digunakan sampai setelah
persamaan gerak dituliskan. Gaya umum paling mudah ditentukan dengan bantuan dari
Persamaan (90-30); yaitu
Qθ=mgr sin θ , (9-98)
Qγ=−fa , (9-99)
Qr=F−mg sinθ (9-100)
Persamaan Lagrange untuk θ , γ dan r sekarang menjadi
m(r2+ 12
a2) θ−12
m a2 γ=mgr sinθ , (9-101)
−12
m a2θ+12
ma2 γ=−fa , (9-102)
m r−mr θ2=F−mg cosθ (9-103)
Kita sekarang dapat menyisipkan paksaanγ=0 dan r = (1 + α)a, sehingga persamaan ini
menjadi
[ (1+α )2+ 12 ]ma2 θ= (1+α ) mga sinθ , (9-104)
f =12
maθ , (9-105)
F=mg cosθ−(1+α )ma θ2 (9-106)
Apakah kita mengabaikan suku yang terlibat γ dalam energi kinetik, persamaan θ, yang
menentukan gerakan tersebut, akan muncul dengan tepat, tetapi persamaan untuk gaya
paksaan f akan hilang sukunya. Hal ini terjadi ketika koordinat paksaan tidak ortogonal
Persamaan Lagrange Halaman 30
dibanding koordinat tak paksaan, karena suku cross ( γ θ ) kemudian muncul dalam energi
kinetik.
Persamaan gerak (9-104) dapat diselesaikan dengan metode energi. Energi total, asalkan
silinder bergulir tanpa slip, adalah
(α+1 )2+ 12
2m a2θ2+(1+α ) mg cosθ=E
(9-107)
dan adalah konstan, karena dengan mudah dapat ditampilkan dari Persamaan (9-104), dan
seperti yang kita juga tahu karena gaya gravitasi adalah konservatif dan gaya paksaan
tidak melakukan usaha. Karena silinder mulai bergerak dari keadaan diam di θ = 0 yaitu,
E=(1+α )mga (9-108)
disubstitusikan pada Persamaan (9-107) dan memecahkan untuk θ:
θ=2( βga )
1 /2
sinθ2
(9-109)
di mana
β= α+1
(α+1 )2+ 12
(9-110)
sekarang dapat diintegrasikan untuk menemukan θ(t):
∫0
θ12
dθ
sin θ/2=¿ ( βg
a )1/2
∫0
t
dt ¿ (9-111)
[ ln tanθ4 ]
0
θ
=( βga )
1/2
t (9-112)
Ketika kita mengganti batas bawah θ = 0, kita menemui kesulitan, karena dalam
ln 0=−∞! Ini adalah kesulitan yang terjadi karena fakta bahwa θ = 0 adalah titik
keseimbangan, meskipun tidak stabil. Jika tidak ada gangguan apapun, maka silinder
bergulir dari titik ekuilibrium dalam waktu yang tak terbatas. Mari kita bayangkan,
bagaimanapun, tidak mungkin bergulir karena beberapa gangguan kecil, dan mari kita
mengambil waktu t = 0 sebagai waktu ketika sudut θ memiliki nilai yang kecil θ0. Saat ini
sudah tidak ada kesulitan, dan kita mempunyai
tanθ4=( tan
θ0
4 )exp[( βga )
1/2
t ] (9-113)
Persamaan Lagrange Halaman 31
Seperti t → ∞ ,θ → 2 π ,dan silinder bergerak bergulir sepanjang jalan di sekitar silinder
yang satu tetap, jika paksaan terus dilakukan. Paksaan bergulir terjadi, namun, hanya
selama Persamaan (90-90) terjadi. Ketika kita mengganti dari Persamaan (9-105), (9-
106), dan (9-109), Persamaan. (9-90) menjadi
β2
mgsin θ ≤ μmg [cos θ−2 β (1+α ) (1−cosθ ) ] (9-114)
θ = 0, ini pasti terjadi, sehingga pada awalnya silinder tidak bergulir. Pada θ=π /2,
namun, tentu saja tidak berlaku, karena anggota kiri menjadi positif dan kanan, negatif.
Sudut θ1 pada yang tergelincir dimulai ditentukan oleh persamaan
β2 μ
sin θ1=cosθ1−2 β (1+α ) (1−cosθ1) (9-115)
yang solusinya
tanθ1
2=
[ β2
4 μ2 +1+4 β (1+α )]12−
β2 μ
1+4 β (1+α ) (9-116)
Bagian kedua dari gerakan, selama silinder bergerak tergelincir tanpa gesekan di sekitar
silinder tetap, dapat ditemukan dengan menyelesaikan Persamaan (9-101) dan (9-102)
untuk θ(t), γ (t), dengan f = 0 dan dengan hanya satu paksaan r = (1 + α)a, dan dengan
nilai awal θ=θ1, θ=θ1, ditentukan dari Persamaan (9-116) dan (9-109). Solusinya dapat
ditemukan tanpa kesulitan yang berarti, dan sudut θ2 di mana silinder bergerak
meninggalkan silinder tetap yang dapat ditentukan dari Persamaan (9-106) dan (9-89).
9-6 Konstanta gerak dan koordinat yang diabaikan.
Dalam Bab 3 dijelaskan bahwa salah satu metode umum untuk memecahkan
masalah dinamik adalah mencari konstanta gerak, yaitu, fungsi koordinat dan kecepatan
yang konstan dalam waktu. Satu kasus umum di mana konstanta tersebut dapat
ditemukan muncul ketika sistem dinamik dicirikan oleh fungsi Lagrangian di mana
beberapa koordinat qk tidak terjadi secara eksplisit. Persamaan Lagrange yang sesuai (9-
57) kemudian direduksi menjadi
ddt ( ∂ L
∂ qk)=0 (9-117)
Persamaan ini dapat diintegrasikan menjadi:
Persamaan Lagrange Halaman 32
∂ L∂ qk
=pk=a konstan (9-118)
Jadi, setiap kali koordinatqk tidak muncul secara eksplisit dalam fungsi Lagrangian,
momentum pkyang sesuai adalah konstan dalam gerak. Seperti koordinat qk dikatakan
diabaikan. Jika qk diabaikan, kita bisa memecahkan Persamaan (9-118) untuk qk dalam
suku koordinat yang lain dan kecepatan, dan momentum konstan pk, dan substitusikan
dalam persamaan Lagrange yang tersisa untuk mengeliminasiqk dan mengurangi salah
satu variabel dalam masalah, (qk sudah hilang dari persamaan, karena kita asumsikan
diabaikan). Ketika sisa variabel telah didapatkan, mereka bisa disubstitusikan pada
Persamaan (9-118), untuk memberikanqk sebagai fungsi dari t, qk kemdian diperoleh
dengan pengintegrasian. Jika semua kecuali satu dari koordinat yang diabaikan, masalah
dapat berkurang menjadi masalah satu dimensi dan diselesaikan dengan metode integral
energi, jika L tidak tergantung pada waktu t secara eksplisit.
Misalnya, dalam kasus gaya sentral, energi potensial hanya bergantung pada jarak r dari
titik asal, sehingga jika kita menggunakan koordinat polar r,θ dalam bidang, V adalah
tidak tergantung dari θ. Karena T juga tidak tergantung dari θ menurut Persamaan (9-14)
(T tentu saja tergantung pada θ), kita akan memiliki
∂ L∂θ
= ∂∂ θ
(T−V )=0 (9-119)
dan karenanya
∂ L∂θ
=mr2 θ=pθ=a konstan (9-120)
hasil yang kita diperoleh dalam Bagian 3-13 dengan argumen yang berbeda. Kita melihat
bahwa munculnya pθ adalah hasil dari fakta di mana sistem simetris terhadap asal,
sehingga L tidak dapat bergantung pada θ. Jika suatu sistem partikel yang bertindak oleh
gaya-gaya eksternal, maka jika kita menggantikan seluruh sistem di arah mana saja, tanpa
mengubah kecepatan dan posisi relatif partikel, tidak akan ada perubahan pada T atau V,
atau dalam L. Jika X, Y, dan Z adalah koordinat empat persegi panjang dari pusat massa,
dan jika koordinat yang tersisa adalah relatif terhadap pusat massa, sehingga perubahan X
berdampak pada seluruh sistem, kemudian
∂ L∂ X
=0 (9-121)
Persamaan Lagrange Halaman 33
dan karena px, momentum linier total dalam arah-x, akan konstan.
Menarik untuk diketahui bagaimana menunjukkan dari persamaan Lagrange bahwa
energi total adalah konstanta gerak. Dalam rangka untuk mencari energi yang tidak
terpisahkan dari persamaan gerak dalam bentuk Lagrangian, perlu diketahui bagaimana
mengungkapkan energi total dalam suku fungsi Lagrangian L. Untuk tujuan ini, marilah
kita mempertimbangkan sistem yang dijelaskan dalam kaitannya dengan sistem koordinat
tetap, sehingga energi kinetik T merupakan fungsi kuadrat homogen dari koordinat
kecepatan q1 , …, q f [yaitu, T 1=T 0=0 pada Persamaan (9-13)]. Dengan Teorema Euler,
kita mendapatkan
∑k =1
f
qk∂ T∂ qk
=2 T (9-122)
Jadi jika
L=T 2−V (9-123)
dimana V adalah fungsi dari koordinat q1 , …, q f sendiri, kemudian, dengan Persamaan (9-
122),
∑k =1
f
qk∂ L∂ qk
−L=T +V=E (9-124)
Kita sekarang mempertimbangkan turunan waktu dari ruas kiri Persamaan (9-124). Untuk
keadaan umum yang lebih besar, kita pada awalnya akan memungkinkan L bergantung
secara eksplisit pada t. Dalam kasus yang telah kita pertimbangkan, L tidak tergantung
secara eksplisit pada t. Ada beberapa kasus, ketika sistem dikenakan gaya eksternal yang
berubah terhadap waktu dan yang dapat diperoleh dari potensial V yang bervariasi
terhadap waktu. Sebuah contoh adalah subjek atom pada medan listrik eksternal yang
beragam. Dalam kasus tersebut, persamaan gerak dapat ditulis dalam bentuk Lagrangian
(9-57) dengan Lagrangian secara eksplisit tergantung pada waktu t. Dalam kasus sistem
koordinat bergerak juga, Lagrangian tergantung pada waktu meskipun gaya bersifat
konservatif. Turunan waktu dari ruas kiri Persamaan (9-124) adalah
ddt (∑k=1
f
qk∂ L∂ qk
−L)=∑k=1
f [ qk∂ L∂ qk
+ qkddt ( ∂ L
∂ qk)− ∂ L
∂ qk
qk−∂ L∂ qk
qk ]−∂ L∂t
¿∑k=1
f
qk [ ddt ( ∂ L
∂ qk )− ∂ L∂ qk ]−∂ L
∂ t
Persamaan Lagrange Halaman 34
¿−∂ L∂t
(9-125)
Jika L secara eksplisit tidak tergantung pada t, sisi kanan dari Persamaan (9-125) adalah
nol, dan
∑k =1
f
qk∂ L∂ qk
−L=a konstan (9-126)
Ketika L memiliki bentuk (T2 - V), seperti dalam sistem koordinat diam, ini adalah
teorema konservasi energi. Apapun bentuk L, Persamaan (9-126) merupakan integral dari
persamaan Lagrange (9-57), di mana L tidak mengandung t secara eksplisit, tetapi jumlah
konstan di sebelah kiri tidak selalu total energi. Perhatikan analogi antara konservasi
momentum umum pk saat L adalah tidak tergantung qk, dan konservasi energi
ketika L adalah tidak bergantung pada t. Ada banyak cara dimana hubungan antara waktu
dan energi beranalogi dengan hubungan antara koordinat dan momentum yang sesuai.
9-7 Contoh Lebih Lanjut.
Bola pendulum merupakan pendulum sederhana yang bebas berayunan melalui
seluruh sudut pasti di sekitar titik. Pendulum dibatasi untuk bergerak pada permukaan
bola yang berjari-jari R. Kita menempatkan bulir bandul dengan koordinat bola
θ, (Gambar 9-7). Kita dapat memasukan panjang pendulum R sebagai koordinat jika kita
ingin menemukan tegangan tali, tetapi kita abaikan di sini, karena kita fokus dengan
mencari gerak. Jika bulir bandul berayunan di atas sumbu horizontal, kita akan
menganggap bahwa itu masih tetap pada bola, yang akan benar jika tali itu diganti
dengan batang yang kaku. Sebaliknya paksaan menghilang setiap kali tegangan tekan
diperlukan untuk mempertahankannya, karena tali hanya akan mendukung tegangan dan
tidak kompresi. Kecepatan bulir bandul adalah
v=R θ l+R sin θ φ m (9-127)
Persamaan Lagrange Halaman 35
Oleh karena itu energi kinetiknya
T=12
m v2=12
m R2θ2+ 12
mR sin2 θ φ2 (9-128)
Energi potensial gravitasi, relatif terhadap bidang horizontal, adalah
V=mgRcos θ (9-129)
Oleh karena itu fungsi Lagrangian adalah
L=T−V =12
m R2 θ2+ 12
mR sin2θ φ2−¿mgR cosθ ¿ (9-130)
Persamaan Lagrangenya
ddt
(m R2 θ2 )−m R2 φ2sin2 θ cosθ−mgRsin θ (9-131)
ddt
(m R2sin2 θ φ )=0 (9-132)
Koordinat φ adalah diabaikan, dan persamaan kedua dapat diintegrasikan:
m R2sin2θ φ=pφ=a konstan (9-133)
Juga, karena
∂ L∂ t
=0 (9-134)
Kuantitasnya
θ∂ L∂θ
+φ∂ L∂ φ
−L=12
m R2 θ2+ 12
mR sin2θ φ2−¿mgR cosθ ¿ (9-135)
Persamaan Lagrange Halaman 36
adalah konstan, oleh Persamaan (9-126). Kita menyadari kuantitas yang di sebelah kanan
sebagai energi total, sebagaimana mestinya, karena kita tetap menggunakan sistem
koordinat. Konstanta ini disebut dengan E, dan disubstitusikan untuk φ dari
Persamaan (9-133), kita mendapatkan
12
m R2 θ2+pφ
2
2 m R2 sin2θ+mgR cosθ=E (9-136)
Kita bisa memperkenalkan potensial efektif 'V' (θ) untuk gerak:
' V ' (θ )=mgR cosθ+pφ
2
2m R2sin2 θ ' (9-137)
sehingga
12
m R2 θ2=E−' V ' (θ ) (9-138)
Karena ruas kiri tidak dapat negatif, gerak terbatas pada nilai-nilai dari θ untuk
yang ' V '(θ)≤ E. Potensial efektif 'V' (θ) digambarkan pada Gambar 9-8. Kita melihat
bahwa untuk pφ=0, 'V' (θ) adalah kurva potensial pendulum sederhana, dengan nilai
minimum pada θ=π dan maksimum di θ = 0. Untuk E=−mgR, pendulum diam
pada θ=π . Untuk mgR> E>-mgR, pendulum berosilasi sekitar θ=π . Untuk E>mgR,
pendulum berayunan dalam gerakan berputar melalui bagian atas dan bawah titik θ=0
dan π. Ketika pφ ≠ 0, gerak tidak lagi suatu pendulum sederhana, dan 'V' (θ) kini bernilai
minimal di sebuah titik θ0 di antara π2
dan π, dan meningkat hingga tak terbatas pada θ =
0 dan θ=¿. pφ yang besar, semakin besar nilai minimum 'V' (θ), dan mendekati hingga
π/2. Jika E = 'V'(θ0), maka θ adalah konstan dan sama dengan θ0, dan pendulum
berayunan dalam lingkaran terhadap sumbu vertikal. Sebagai pφ → ∞, pendulum semakin
berayun dan makin mendekati bidang horizontal. Untuk E>'V'(θ0), θ berosilasi antara
nilai maksimum dan minimum sedangkan pendulum berayun terhadap sumbu
vertikal. Pembaca harus membandingkan hasil dengan intuisi mekaniknya atau
pengalamannya mengenai gerakan bola pendulum. Solusi dari Persamaan (9-138)
untuk θ(t) tidak dapat dilakukan dalam suku fungsi dasar, tapi kita bisa memperlakukan
melingkar dan hampir gerakan melingkar yang sangat mudah. Hubungan antara pφ dan θ0
untuk gerak melingkar yang seragam dari pendulum terhadap sumbu-z adalah
Persamaan Lagrange Halaman 37
[ d ' V 'dθ ]=−mgRsin θ0−
pφ2 cosθ0
m R2 sin2θ0
=0 (9-139)
Hal ini terbukti dari persamaan bahwa θ0>π /2, dan bahwa θ0 → π /2 sebagai pφ → ∞
. Dengan mensubstitusikan dari Persamaan (9-133), kita mendapatkan hubungan antara φ
dan θ0 untuk gerak melingkar yang seragam:
φ2= gR
1
(−cosθ0 ) (9-140)
Energi untuk gerak melingkar seragam pada sudut θ0, jika kita menggunakan
Persamaan (9-136) dan (9-139), dan fakta bahwa θ=0, adalah
E0=mgR
2 ( 2−3sin2 θ0
cosθ0) (9-141)
Untuk energi sedikit lebih besar dari E0, dan momentum sudut pφ diberikan oleh
Persamaan (9-139), sudut θ akan melakukan osilasi harmonik sederhana pada nilai θ0.
Karena jika kita mengatur
k=[ d2 ' V 'd θ2 ]
θ0
= mgR−cos θ0
(1+3cos2 θ0 ) (9-142)
kemudian, untuk nilai-nilai kecil θ−θ0, kita dapat memperluas 'V'(θ) dalam deret Taylor:
' V ' (θ ) ¿ E0+12
k (θ−θ0 )2 (9-143)
Persamaan energi (9-138) sekarang menjadi
12
m R2 θ2+ 12
k (θ−θ0 )2=E−E0 (9-144)
Ini adalah energi untuk osilator harmonik dengan energi E - E0, koordinat θ−θ0, massa
mR2, konstanta pegas k. Frekuensi osilasi dalam θ karena itu diberikan oleh
ω2= km R2 =
gR
1+3cos2 θ0
−cosθ0
(9-145)
Osilasi di θ disuperposisikan pada gerakan melingkar di sekitar sumbu z dengan
kecepatan sudut diberikan oleh Persamaan (9-133); φ akan sedikit berbeda sebagai osilasi
θ, tapi akan tetap hampir sangat sama dengan nilai konstanta yang diberikan oleh
Persamaan (9-140). Menarik untuk membandingkan φ dan ω:
Persamaan Lagrange Halaman 38
φ2
ω2 =1
1+3 cos2 θ0
(9-146)
Jika θ0>π /2, rasio ini kurang dari 1, sehingga ω>φ, dan pendulum bergoyang ke atas dan
ke bawah saat melintas di sekitar lingkaran. Jika ω lebih kecil dari φ, pendulum akan
bergerak spiral ke atas dan ke bawah. Pada θ0=π /2,φ=ω, dan pendulum bergerak dalam
lingkaran di mana bidang dimiringkan sedikit dari horizontal; hal ini terjadi hanya dalam
batas nilai-nilai pφ yang sangat besar. Secara fisik bahwa ketika pφ begitu besar maka
gravitasi dapat diabaikan, gerakan dapat melingkar pada bidang apapun melalui titik
asal.
Sebagai contoh terakhir, kita mempertimbangkan sistem di mana terdapat gerak paksaan.
Setitik massa m meluncur tanpa gesekan pada lintasan melingkar dengan jari-jari a.
Lintasan terletak pada bidang vertikal yang terpaksa untuk berotasi pada diameter
vertikal dengan kecepatan sudut konstan ω. Hanya ada satu derajat kebebasan, dan
karena kita tidak memhitungkan pada gaya paksaan, kita memilih koordinat
tunggal θ yang mengukur sudut di sekitar lingkaran dari bagian bawah diameter vertikal
dengan titik (Gbr. 9-9 ). Energi kinetik ini kemudian
T=12
m a2 θ2+ 12
ma2 ω2sin2 θ (9-147)
dan energi potensial
V=−mgacos θ (9-148)
Fungsi Lagrangian adalah
Persamaan Lagrange Halaman 39
L=12
m a2 θ2+12
m a2ω2sin2θ+mgacosθ (9-149)
Persamaan gerak Lagrange dapat ditulis dengan mudah, tapi ini tidak perlu, karena kita
melihat bahwa
∂ L∂ t
=0
dan karena itu, dengan Persamaan (9-126), kuantitas
θ∂ L∂θ
−L=12
ma2 θ2−12
ma2 ω2sin2 θ−mgacosθ=' E ' (9-150)
adalah konstan. Konstanta 'E' bukanlah energi total T + V, untuk suku tengah yang
memiliki tanda yang salah. Energi total adalah jelas tidaklah konstan dalam kasus ini.
Kita dapat mencatat, bagaimanapun, bahwa kita dapat menafsirkan Persamaan (9-149)
sebagai fungsi Lagrangian dalam suku sistem koordinat tetap dengan suku tengah
dianggap sebagai bagian dari energi potensial yang efektif:
' V ' (θ )=−12
ma2ω2sin2 θ−mgacosθ (9-151)
Energi sesuai dengan penafsiran ini adalah 'E'. Suku pertama dalam 'V'(θ) adalah energi
potensial yang berkaitan dengan gaya sentrifugal yang harus ditambahkan jika kita
menganggap sistem berotasi tetap. Potensial efektif diplot pada Gambar. 9-10. Bentuk
kurva potensial tergantung pada apakah ω lebih besar atau lebih kecil dari kecepatan
sudut kritis
ωc=( g/a )12 (9-152)
9-8 Gaya elektromagnetik dan kecepatan yang tergantung pada potensial.
Jika gaya yang bekerja pada sistem dinamik tergantung pada kecepatan,
dimungkinkan untuk mencari fungsi U(q1 , …, q f ; q1 ,…, q f ; t) yaitu
Qk=ddt
∂ U∂ qk
− ∂U∂ qk
.[k=1 ,…, f ] (9-153)
Jika seperti fungsi U dapat ditemukan, maka kita dapat mendefinisikan fungsi Lagrangian
L=T−U , (9-154)
sehingga persamaan gerak (9-53) dapat ditulis dalam bentuk (9-57):
Persamaan Lagrange Halaman 40
ddt
∂U∂qk
−∂ U∂ qk
=0. [k=1 , …, f ] (9-155)
Fungsi U dapat disebut sebagai kecepatan tergantung pada potensial. Jika ada juga gaya
diturunkan dari energi potensial biasa V(q1 , …, q f ), V mungkin termasuk dalam U karena
Persamaan (9-153) direduksi menjadi Persamaan (9-33) untuk suku-suku yang tidak
mengandung kecepatan. Fungsi U dapat tergantung secara eksplisit pada waktu t. Jika
tidak, dan jika sistem koordinat yang tetap, maka L akan tidak tergantung dari t, dan
kuantitas
E=∑k=1
f
qk∂ L∂ qk
−L , (9-156)
akan menjadi gerak konstan, menurut Persamaan (9-126). Dalam hal ini, kita dapat
mengatakan bahwa kekuatan yang konservatif meskipun mereka bergantung pada
kecepatan. Hal ini jelas dari hasil ini yang tidak dapat mungkin untuk mengekspresikan
gaya gesek dalam bentuk (9-153), untuk total energi yang tidak konstan ketika ada
gesekan kecuali kita masukkan energi panas, dan energi panas tidak dapat didefinisikan
dalam suku koordinat dan kecepatan q1 , …, q f ; q1 ,…, q f dan karenanya tidak dapat
dimasukkan dalam Persamaan (9-156). Tidak sulit untuk menunjukkan bahwa jika
kecepatan bergantung pada bagian U yang linear pada kecepatan, di mana energi E
didefinisikan oleh Persamaan (9-156) adalah T + V, dimana V adalah energi potensial
biasa dan berisi suku-suku dalam U yang tidak tergantung terhadap kecepatan. Sebagai
contoh, sebuah partikel yang bermuatan q dikenakan medan magnetik B bertindak pada
oleh gaya (unit Gaussian)
F=qc
v ×B, (9-157)
F x=qc
( y B z− z B y ) ,
F y=qc
( z Bx− x Bz ) , (9-158)
F z=qc
( x B y− y Bx ) .
Persamaan (9-158) mempunyai bentuk (9-153) jika
Persamaan Lagrange Halaman 41
U =qc
( ˙zy Bx+x z By+LINK Word . Document .12 D:\\_sKuLL_\\Magister\\Mekanika\\lagrange equation Final Destination.docxOLE_LINK2¿¿ yx Bz )
(9-159)
Hal ini, pada kenyataannya, mungkin untuk mengekspresikan gaya
elektromagnetik dalam bentuk (9-153) untuk listrik dan medan magnetik. Gaya
elektromagnetik pada partikel yang muatan q diberikan oleh Persamaan (3-283):
F=qE+ qc
v×B (9-160)
Hal ini ditunjukkan dalam teori elektromagnetik bahwa untuk setiap medan
elektromagnetik, adalah mungkin untuk mendefinisikan sebuah fungsi scalar ϕ ( x , y , z , t )
dan fungsi vektor A(x,y,z,t) yaitu
E=−∇ ϕ−1c
∂ A∂t
, (9-161)
B=∇× A (9-162)
Fungsi ϕ disebut potensial skalar, dan A disebut potensial vektor. Jika ungkapan-
ungkapan ini disubstitusikan pada Persamaan (9-160), kita memperoleh
F=−q∇ϕ−qc
∂ A∂ t
+ qc
v × (∇× A ) (9-163)
Suku terakhir bisa ditulis dengan menggunakan rumus (3-35) untuk triple cross product:
F=−q∇ϕ−qc
∂ A∂ t
−qc
v ∙∇ A+ qc∇ ( v ∙ A ) (9-164)
[Komponen v adalah ( x y z ) dan tidak bergantung dari x,y,z, sehingga v tidak dibedakan
oleh operator∇.] Dua suku tengah dapat dikombinasikan sesuai dengan Persamaan (8-
113):
F=−q∇ϕ−qc
d Adt
+ qc∇ (v ∙ A ) (9-165)
dimana dA/dt adalah turunan waktu dari A dihitung pada posisi dari partikel
bergerak. Sekarang dapat diverifikasi dengan perhitungan langsung bahwa fungsi
potensial
U =qϕ−qc
v ∙ A (9-166)
ketika disubstitusi pada Persamaan (9-153), dengan q1 , q2 , q3=x , y , z, menghasilkan
komponen-komponen gaya F yang diberikan oleh Persamaan (9-165). Hal ini dengan
Persamaan Lagrange Halaman 42
mudah menunjukkan bahwa E didefinisikan oleh persamaan energi (9-156)
dengan L=T−U adalah
E=T+qϕ (9-167)
Jika A dan ϕ tidak tergantung t, maka L tidak tergantung t dalam sistem koordinat tetap
dan energi E adalah konstan.
Ketika kecepatan tergantung potensial, biasanya untuk menentukan momentum
dalam suku fungsi Lagrangian, bukan dari segi energi kinetik:
pk=∂ L∂ qk
(9-168)
Jika potensi tidak tergantung kecepatan, maka definisi ini setara dengan Persamaan (9-
23). Dalam kasus apapun, ∂ L/ qk adalah turunan waktu yang muncul dalam persamaan
Lagrange untuk qk, dan konstan jika qk diabaikan. Dalam kasus subjek partikel yaitu gaya
elektromagnetik, komponen momentum px , py , pz akan terjadi, dengan Persamaan (9-
168) dan (9-166),
px=m x+ qc
Ax ,
py=m y+ qc
A y , (9-169)
pz=m z+ qc
A z ,
Suku kedua memainkan peran sebagai momentum potensial.
Tampaknya gaya gravitasi, gaya elektromagnetik, dan memang semua gaya
fundamental dalam fisika dapat dinyatakan dalam bentuk (9-13), untuk dipilih sesuai
fungsi potensial U. Persamaan gerak sistem partikel selalu dapat dinyatakan dalam
bentuk Lagrangian (9-155), bahkan ketika gaya tergantung kecepatan muncul.
Tampaknya ada sesuatu yang mendasar tentang bentuk Persamaan (9-155). Salah satu
sifat penting dari persamaan tersebut, seperti yang telah kita ketahui, adalah bahwa
mereka mempertahankan bentuk yang sama jika kita mensubstitusikan setiap himpunan
baru dari koordinat untuk q1 , …, q f .
9-9. Persamaan Hamiltonian
Persamaan Lagrange Halaman 43
Persamaan gerak Hamilton, disebut juga persamaan gerak kanonik, akan dibahas
pada bagian ini. Lagrangan L merupakan fungsi dari koordinat umum dan kecepatan umu
dan secara eksplisit bisa merupakan fungsi dari waktu yaitu
L=L (q1 , q2, …, qn; q1 ,q2 ,…, qn; t ) (9-170)
Turunan dari L adalah
dL=∑i=1
N
( ∂ L∂ q i
d qi+∂ L∂ qi
d q i)+ ∂ L∂ t
dt (9-171)
Menggunakan hubungan di bawah, telah dibuktikan melalui definisi momentum umum
dan persamaan Lagrange,
pi=∂ L∂ q i
dan ∂ L∂ q i
=p i (9-172)
Kita dapatkan
dL=∑i=1
N
( pi dq i+ pi d q i )+∂ L∂ t
dt (9-173)
jumlahkan q id pi pada kedua ruas persamaan, dan setelah mengaturnya kita dapatkan
d (∑i=1
N
p i q i−L)=∑i=1
N
(q i d pi− p id q i)−∂ L∂ t
dt (9-174)
Seperti sebelumnya, fungsi Hamiltonan H didefinisikan sebagai
H=∑i=1
N
p i q i−L (q1 , q2 , …, qn; q1 , q2 ,…, qn; t ) (9-175)
Dan persamaan (9-174) akan berbentuk
dH =∑i=1
N
(q i d pi+ pi d q i )−∂ L∂ t
dt (9-176)
L merupakan fungsi eksplisit dari (q1 ,q2 ,…, qn; q1 , q2 , …, qn ; t ). Dalam banyak kasus
dapat dimungkinkan untuk menyatakan H sebagai fungsi eksplisit dari
(q1 ,q2 ,…, qn; q1 , q2 , …, qn ; t ). Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan hubungan
yang mendefinisikan momentum umum yaitu ∂ L∂ qi
=pi; sehingga q i dapat dinyatakan
dalam suku pi. Ketika hal ini mungkin, dapat dituliskan
dH =∑i=1
N
( ∂ H∂ qi
dq i+∂ H∂ p i
d pi)+ ∂ H∂ t
dt (9-177)
Persamaan Lagrange Halaman 44
Dengan membandingkan persamaan (9-177) dan (9-176) diperoleh
q i=∂ H∂ pi
(9-178)
−pi=∂ H∂ q i
(9-179)
dan
∂ H∂ t
=−∂ L∂t
(9-180)
Persamaan (9-178) dan (9-179) merupakan persamaan gerak Hamiltonan dank arena
memiliki sifat simetri, kedua persamaan juga disebut persamaan gerak katonik. Prosedur
menggambarkan gerak melalui kedua persamaan ini disebut dengan dinamika
Hamiltonan. Ke-2n persamaan diferensial orde pertama ini lebih mudah diselesaikan
dibanding dengan n persamaan diferensial orde kedua dalam rumusan Lagrange.
Ditinjau dari kasus di mana L, dan juga H tidak bergantung dengan waktu. Dalam
keadaan ini ∂ H∂ t
=0 dan persamaan (9-177) berkurang menjadi
dH =∑i=1
N
( ∂ H∂ qi
qi+∂ H∂ pi
p i) (9-181)
Menggunakan persamaan Hamiltonan (9-178) dan (9-179) diperoleh
dHdt
=∑i=1
N
( ∂ H∂ qi
∂ H∂ p i
−∂ H∂ pi
∂ H∂ qi
)=0 (9-182)
Sehingga H merupakan konstanta gerak jika tidak bergantung pada waktu merupakan
konstanta gerak jika tidak bergantung pada waktu t secara eksplisit. Selanjutnya, seperti
yang ditunjukkan sebelumnya, H adalah identik dengan E jika
1) Persamaan yang menggambarkan transformasi koordinat umum tidak memuat
waktu secara eksplisit (bukan merupakan fungsi waktu t).
2) Energi potensial bukan merupakan fungsi dari kecepatan umum.
Contoh
Dengan menggunakan metode Hamiltonan, tentukan pernyataan yang menggambarkan
gerak partiel yang mengalami gerak harmonic sederhana.
Jawab
Persamaan Lagrange Halaman 45
Dalam koordinat Kartesan, untuk gerak harmonic sederhana
T=12
m x2 ,V =12
k x2 (9-183)
dan L ( x , x )=T−V=12
m x2−12
k x2 (9-184)
untuk menuliskan Hamiltonan-nya, kita harus mengganti x dengan momentum umum px
px=dLd x
=m x atau x=px
m (9-185)
sehingga
T=12
m x2=px
2
m (9-186)
maka H=H ( x , px )=T +V=px
2
m+ 1
2k x2 (9-187)
Dari persamaan (9-178) dan (9-179) persamaan Hamiltonan atau kanoniknya adalah
x= ∂ H∂ px
=px
m atau px=m x (9-188)
− px=∂ H∂ x
=kx atau px=−kx (9-189)
substitusikan untuk px dari persamaan (9-188) ke persamaan (9-189)
ddt
m x=−kx atau m x+kx=0 (9-190)
yang merupakan persamaan osilator harmonic sederhana dengan frekuensi osilasi:
ω=√ km
atau f = 12 π √ k
m.
Persamaan Lagrange Halaman 46
Recommended