Lame’s constant E ()( )() 1 1 2 ν...

Constitutive equation of elastic solid

( )( ) ( )νμνν

νλ+

=−+

=12

,211

EELame’s constant

ijkkijij μεεδλσ 2 +=

Hooke’s law

klijklij E εσ =linear elastic solid

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線形弾性体線形弾性体

線形弾性体

応力テンソル σとひずみテンソル εの各成分が線形関係を

有する固体．

応力テンソル σとひずみテンソル εの各成分が線形関係を

有する固体．

εkl

σij

O

E ijkl

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

εεεεεεεεε

ε

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

σσσσσσσσσ

σ応力テンソル

ひずみテンソル

線形弾性体の構成式線形弾性体の構成式

εEσ :=

klijklij E εσ =指標表現

シンボリック表現

11111111 εσ E=

σ21

σ31

σ22

σ32

σ13

σ23

σ33

ε21

ε31

ε22

ε32

ε13

ε23

ε33

σ11 ε11

E1123E1122E1121

E1113E1112

E1133E1132E1131 E3323E3322E3321

E3313E3312E3311

E3333E3332E3331

E1111

12121212 εσ E=σ12 ε12E1212

ε11

σ11

O

E 1111

ε12

σ12

OE1212

９成分 ９成分８１成分

＝ ：

弾性係数テンソル

( l = n )

弾性係数テンソルの階数弾性係数テンソルの階数

εEσ :=

klijklij E εσ =指標表現

シンボリック表現

テンソル積

E

ε

縮約

４階のテンソル

６（＝４＋２）階のテンソル

mnijklE ε 縮約

４（＝６－２）階のテンソル

２（＝４－２）階のテンソル

( k = m ) knijklE ε klijklE ε２階のテンソル

テンソルの商法則により E は４階

のテンソルであることがわかる．

ひずみエネルギー密度関数の存在の仮定

ひずみの定義式

弾性係数テンソル内の独立成分弾性係数テンソル内の独立成分

σ11

σ21

σ31

σ12

σ22

σ32

σ13

σ23

σ33

σ11

σ12

σ31

σ12

σ22

σ23

σ31

σ23

σ33

ε11

ε21

ε31

ε12

ε22

ε32

ε13

ε23

ε33

ε11

ε12

ε31

ε12

ε22

ε23

ε31

ε23

ε33

E1123E1122E1121

E1113E1112

E1133E1132E1131

E1111

E3323E3322E3321

E3313E3312E3311

E3333E3332E3331

９成分 ９成分

８１成分

６成分（対称テンソル）

６成分（対称テンソル）

角運動量保存則

３６成分

２１成分

２成分（直交異方性であれば９成分）

応力とひずみの対称性

等方性

ijlkijkl

jiklijkl

EE

EE

=

=

応力テンソル ひずみテンソル

klijijkl EE =

任意の座標変換において不変

一般化フックの法則（ひずみから応力を計算）一般化フックの法則（ひずみから応力を計算）

tr211

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

+= Iεεσ

νν

νE

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

+= ijkkijij

E δεν

νεν

σ211

指標表現

シンボリック表現

展開表現 ( )( ) ( ) ( ){ }

LL

LL

==+

=

==++−−+

=

31231212

332233221111

,,1

,,1211

σσεν

σ

σσεενεννν

σ

E

E

( )⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡++

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

100010001

211 332211

332331

232212

311211

332331

232212

311211

εεεν

ν

εεεεεεεεε

νσσσσσσσσσ

E

Εと νが独立な２成分

縦弾性係数

ポアソン比

等方線形弾性体の構成式

一般化フックの法則と弾性係数テンソルの対応一般化フックの法則と弾性係数テンソルの対応

klijklij E εσ =

( )( ) ( )

( )( )( ) ( )( ) ( )( ) 332211

3322111111

2112112111

2111

ενν

νενν

νενν

ν

εεενν

νεν

σ

−++

−++

−+−

=

++−+

++

=

EEE

EE1212 1ε

νσ

+=

E

1133E

011131112 === LEEこれら以外の 成分は0．klE11 012131211 === LEE

と 以外の

成分は0．klE121122E1111E

12122E

E1123E1122E1121

E1113E1112

E1133E1132E1131

E1111

E3323E3322E3321

E3313E3312E3311

E3333E3332E3331klE11klE12

一般化フックの法則

弾性係数テンソル

1212E 1221E121212

211221

12121212

2 εεεσ

EEE

=+=

一般化フックの法則の式（左上）では，σijに対するεji成分（この例ではσ12に対するε21）の項がすでに消去されている．

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

+= ijkkijij

E δεν

νεν

σ211

弾性コンプライアンス係数テンソル弾性コンプライアンス係数テンソル

σCε :=

klijklij C σε =指標表現

シンボリック表現

弾性係数テンソルEと同様に弾性コンプライアンス係数テンソル C も４階のテンソルである．

弾性コンプライアンス係数テンソル

εkl

σij

O

E ijkl

εij

σklO

Cijkl

弾性コンプライアンス係数テンソルと弾性係数テンソルの関係（その１）

弾性コンプライアンス係数テンソルと弾性係数テンソルの関係（その１）

ijklijkl E

C 1≠

333312121111 εεεεσ ijklijklijijij EEEE +++++= LL

333312121111 σσσσε ijklijklijijij CCCC +++++= LL

εij

σklO

Cijkl

εkl

σij

O

E ijkl

弾性コンプライアンス係数テンソル

弾性係数テンソル

例えば

2121111 ybybx +=

弾性コンプライアンス係数テンソルと弾性係数テンソルの関係（その２）

弾性コンプライアンス係数テンソルと弾性係数テンソルの関係（その２）

の関係は，以下のaijとbijの関係と同じである．の関係は，以下のaijとbijの関係と同じである．

ijklijkl E

C 1≠

2121111 xaxay +=

2221212 xaxay += 2221212 ybybx +=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

2221

1211

2

1 xx

aaaa

yy

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

1121

1222

211222112

1 1yy

aaaa

aaaaxx

ijij b

a 1≠

22

21122211

1111

1a

aaaab

a −=≠

一般化フックの法則（応力からひずみを計算）一般化フックの法則（応力からひずみを計算）

tr1 IσσεEEνν

−+

=

ijkkijij EEδσνσνε −

+=

1指標表現

シンボリック表現

展開表現 ( ){ }

LL

LL

==+

=

==+−=

31231212

332233221111

,,1

,,1

εεσνε

εεσσνσε

E

E

( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡++−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

100010001

1332211

332331

232212

311211

332331

232212

311211

σσσν

σσσσσσσσσ

ν

εεεεεεεεε

EE

Εと νが独立な２成分

等方線形弾性体の構成式

縦弾性係数

ポアソン比

と 以外の

成分は0．

C1123C1122C1121

C1113C1112

C1133C1132C1131

C1111

C3323C3322C3321

C3313C3312C3311

C3333C3332C3331

一般化フックの法則と弾性コンプライアンス係数テンソルの対応一般化フックの法則と弾性コンプライアンス係数テンソルの対応

klijklij C σε =

( )

332211

3322111111

1

1

σνσνσ

σσσνσνε

EEE

EE

−−=

++−+

= 12121 σνε

E+

=

1133C

011131112 === LCCこれら以外の 成分は0．klC11

012131211 === LCC

1122C1111C

12122C

klC11klC12

一般化フックの法則

弾性コンプライアンス係数テンソル

ijkkijij EEδσνσνε −

+=

1

klC121212C 1221C

121212

211221

12121212

2 σσσε

CCC

=+=

一般化フックの法則の偏差応力と偏差ひずみを用いた表現一般化フックの法則の偏差応力と偏差ひずみを用いた表現

GE

ij

ij 21

=+

=′

′

νεσ

指標表現

シンボリック表現

展開表現

GE

GE

m

m

m

m

m

m 21

21

31

31

23

23

12

12

33

33

22

22

11

11

31

31

23

23

12

12

33

33

22

22

11

11

=+

====−−

=−−

=−−

=+

=′′

=′′

=′′

=′′

=′′

=′′

νεσ

εσ

εσ

εεσσ

εεσσ

εεσσ

νεσ

εσ

εσ

εσ

εσ

εσ

GE 21

=+

=′′

νεσ

kkijijij σδσσ31

−=′ kkijijij εδεε31

−=′

Iεεε tr31

−=′Iσσσ tr31

−=′

偏差応力 偏差ひずみ

平均垂直ひずみ 平均垂直応力

ラメ（Lamé）の定数ラメ（Lamé）の定数

εIεσ 2 tr μλ +=

ijijkkij μεδλεσ 2+=指標表現

シンボリック表現

展開表現 ( )( )( )

313123231212

3333221133

2233221122

1133221111

2,2,2222

μεσμεσμεσμεεεελσμεεεελσμεεεελσ

===+++=+++=+++=

( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡++=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

332331

232212

311211

332211

332331

232212

311211

2100010001

εεεεεεεεε

μεεελσσσσσσσσσ

( )( )νννλ

211 −+=

E

( ) GE=

+=

νμ

12ラメの定数

λと μが独立な２成分

V

σm

V+dV

σm σm

σm

σm

σm

εv=dV/V

体積弾性係数体積弾性係数

体積弾性係数

( )ν213 −=

EK

vm K εσ =

332211 εεεεε

++== kkv

( )3322113131

σσσ

σσ

++=

= kkm

平均応力

体積ひずみ

平均応力と体積ひずみの関係式

材料を単位の体積ひずみだけ変形させるのに要する平均応力

G K E ν μ λ

G and K G K KGGK

39+

( )KGGK

3223

+−

G GK32

−

E and ν ( )ν+12E ( )ν213 −

E E ν ( )ν+12E ( )( )νν

ν211 −+

E

μ and λ μ μλ32

+ ( )μλμλμ

++ 23 ( )μλ

λ+2

μ λ

弾性係数間の関係弾性係数間の関係

等方弾性体では独立な弾性係数は２つ

等方弾性体における各弾性係数間の関係

構成式の行列表現構成式の行列表現

εEσ :=

klijklij E εσ =指標表現

シンボリック表現

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12

31

23

33

22

11

121212311223123312221211

311231313123313331223111

231223312323233323222311

331233313323333333223311

221222312223223322222211

111211311123113311221111

12

31

23

33

22

11

222

εεεεεε

σσσσσσ

EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

行列表現

４階のテンソルである弾性係数テンソルは，本来であれば行列で表現することはできないが，応力テンソルとひずみテンソルを列行列の形に並べ替えることにより行列表現が可能となる．

klijijkl EE =

Voigtの表記Voigtの表記

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12

31

23

33

22

11

1212

31123131

231223312323

3312333133233333

22122231222322332222

111211311123113311221111

12

31

23

33

22

11

222

sym.εεεεεε

σσσσσσ

EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE行列表現

( ) ( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6

5

4

3

2

1

66

5655

464544

36353433

2625242322

161514131211

6

5

4

3

2

1

66

5655

464544

36353433

2625242322

161514131211

6

5

4

3

2

1

sym.sym.εεεεεε

εεεεεε

σσσσσσ

ccccccccccccccccccccc

EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

行列表現（Voigtの表記）

Voigtの表記に

基づく添字の変更

612531423 2,2,2 εεεεεε ===

612531423333222111

→→→→→→

εi (i = 4 ~ 6)：工学せん断ひずみ（γyz, γzx, γxy）と同じ

物体の対称性物体の対称性

物体（結晶，格子）をある軸周りに回転させたとき，2π/n [rad]で元と重なるとき，その物体は，n回の回転対称であると言い，また，その回転軸をn回対称軸と言う．

物体（結晶，格子）をある軸周りに回転させたとき，2π/n [rad]で元と重なるとき，その物体は，n回の回転対称であると言い，また，その回転軸をn回対称軸と言う．

Axis of rotation(n=6)

2回回転対称 3回回転対称

4回回転対称 6回回転対称

独立な弾性係数の個数（その１）独立な弾性係数の個数（その１）

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6

5

4

3

2

1

66

5655

464544

36353433

2625242322

161514131211

6

5

4

3

2

1

sym.εεεεεε

σσσσσσ

ccccccccccccccccccccc一般の線形弾性体 独立な成分は２１個

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6

5

4

3

2

1

66

55

44

33

2322

131211

6

5

4

3

2

1

0sym.00000000000

εεεεεε

σσσσσσ

cc

ccccccc直交異方線形弾性体

（斜方晶系単結晶体）独立な成分は９個

互いに直交する３本の２回対称軸を有する．

独立な弾性係数の個数（その２）独立な弾性係数の個数（その２）

立方対称線形弾性体（立方晶系単結晶体）

独立な成分は３個

六方対称線形弾性体（六方晶系単結晶体）

独立な成分は５個

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6

5

4

3

2

1

44

44

44

11

1211

121211

6

5

4

3

2

1

0sym.00000000000

εεεεεε

σσσσσσ

cc

ccccccc

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6

5

4

3

2

1

1211

44

44

33

1311

131211

6

5

4

3

2

1

2

0sym.00000000000

εεεεεε

σσσσσσ

ccc

ccccccc

互いに直交する３本の４回対称軸を有する．

６回対称軸を有する．

等方線形弾性体

独立な成分は２個

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6

5

4

3

2

1

1211

1211

1211

11

1211

121211

6

5

4

3

2

1

2

02

sym.

002

000000000

εεεεεε

σσσσσσ

cc

cc

cccccccc

構成式の行列表現（工学的表記， ひずみから応力を計算）構成式の行列表現（工学的表記， ひずみから応力を計算）

( )( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( )

( )( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−

−+−+

−+−+−

−+

−+−+−+−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

xy

zx

yz

z

y

x

xy

zx

yz

z

y

x

GG

G

EEE

EEE

EEE

γγγεεε

ννν

ννν

ννν

ννν

ννν

ννν

ννν

ννν

ννν

τττσσσ

000000000000000

000211

1211211

000211211

1211

000211211211

1

行列表現（工学的表記）

xyzxyzzyx τστστσσσσσσσ ====== 123123332211 ,,,,,

2,

2,

2,,, 312312332211

zxyzxyzyx

γεγ

εγ

εεεεεεε ======

ひずみ（応力）テンソルの各成分と工学ひずみ（応力）の関係

( )ν+=12EG Εと G と νの

うち独立なのは２つ

横弾性係数と縦弾性係数，ポアソン比の関係

構成式の行列表現（工学的表記， 応力からひずみを計算）構成式の行列表現（工学的表記， 応力からひずみを計算）

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

xy

zx

yz

z

y

x

xy

zx

yz

z

y

x

G

G

G

EEE

EEE

EEE

τττσσσ

νν

νν

νν

γγγεεε

100000

010000

001000

0001

0001

0001

行列表現（工学的表記）

xyzxyz

zyx

τστστσ

σσσσσσ

===

===

123123

332211

,,

,,,

2,

2,

2

,,,

312312

332211

zxyzxy

zyx

γεγ

εγ

ε

εεεεεε

===

===

ひずみ（応力）テンソルの各成分と工学ひずみ（応力）の関係

( )ν+=12EG

Εと G と νのうち独立なのは２つ

横弾性係数と縦弾性係数，ポアソン比の関係

各種等方材料の縦弾性係数とポアソン比各種等方材料の縦弾性係数とポアソン比

ジュラルミン：Al-Cu-Mg系アルミニウム合金

物質名 縦弾性係数

E (GPa) ポアソン比

ν

アルミニウム（Al） 70.3 0.345

金（Au） 78.0 0.44

銅（Cu） 129.8 0.343

鉄（軟鉄，Fe） 211.4 0.293

白金（Pt） 168.0 0.377

チタン（Ti） 115.7 0.321

ジュラルミン 71.5 0.335

ガラス（フリント） 80.1 0.27

ゴム（弾性） 0.0015 − 0.0050 0.46 − 0.49

ポリエチレン 0.4 − 1.3 0.458

ポリスチレン 2.7 − 4.2 0.340

金属材料の代表的な結晶格子（結晶系）と座標系金属材料の代表的な結晶格子（結晶系）と座標系

体心立方格子（立方晶系）

面心立方格子（立方晶系）

密六方格子（六方晶系）x1

x2

x3

fcc

hcp

x1x2

x3

各種単結晶金属材料の弾性係数各種単結晶金属材料の弾性係数

物質名 結晶系 温度 T(K)

c11 (GPa)

c33 (GPa)

c44 (GPa)

c66 (GPa)

c12 (GPa)

c13 (GPa)

アルミニウム

（Al） 立方晶 300 106.8 (=c11) 28.2 (=c44) 60.7 (=c12)

金

（Au） 立方晶 300 192.3 (=c11) 42.0 (=c44) 163.1 (=c12)

銅

（Cu） 立方晶 300 168.4 (=c11) 75.4 (=c44) 121.4 (=c12)

マグネシウム

（Mg） 六方晶 298 59.7 61.7 16.4 (=(c11−c12)/2) 26.2 21.7

チタン

（Ti） 六方晶 298 162.4 180.7 46.7 (=(c11−c12)/2) 92.0 69.0

独立な成分は３個

独立な成分は５個

ijijkkijij TE δβδεν

νεν

σ 211

Δ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

+=

等方線形熱弾性体の構成式（ひずみと温度変化幅からひずみを計算）等方線形熱弾性体の構成式（ひずみと温度変化幅からひずみを計算）

指標表現

シンボリック表現

ijijijkkij T δβμεδλεσ 2 Δ−+=

IεIεσ 2 tr TΔ−+= βμλ

（ラメの定数を用いた表現）

（ラメの定数を用いた表現）

IIεεσ tr211

TEΔ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

+= β

νν

ν

（応力）＝ （力学的ひずみによって生じる応力）＋ （熱ひずみによって生じる応力）

温度変化幅

等方線形熱弾性体の構成式（応力と温度変化幅からひずみを計算）等方線形熱弾性体の構成式（応力と温度変化幅からひずみを計算）

指標表現

シンボリック表現 IIσσε tr1 T

EEΔ+−

+= ανν

ijijkkijij TEE

δαδσνσνε 1Δ+−

+=

μλβα

23 +=線膨張係数

（ひずみ）＝（力学的応力によって生じるひずみ） ＋（熱によって生じるひずみ）

温度変化幅

物体の温度が1K上昇した

ときに生じるひずみ

dTdl

l⋅=

1α

各種材料の線膨張係数各種材料の線膨張係数

物質名 線膨張係数 α (×10-6 K-1)

アルミニウム（Al） 23.1

金（Au） 14.2

銅（Cu） 16.5

鉄（Fe） 11.8

白金（Pt） 8.8

チタン（Ti） 8.6

ジュラルミン 21.6

ガラス（フリント） 8 − 9

ゴム（弾性） 77

ポリエチレン 100 − 200

ポリスチレン 34 − 210

Rigid body

Heat

Constraint direction 1

熱応力（１軸拘束）熱応力（１軸拘束）

１軸拘束

ET

ασ−=

ΔΔ ：1Kの温度変動によって

生じる熱応力TΔΔσ

( )

( )TE

TEE

Δ−=

=Δ+−+

=

ασ

ασνσνε

11

111111 0 1

ΔTが正（温度上昇）のときに発生する応力は負（圧縮）

熱応力（２軸拘束）熱応力（２軸拘束）

２軸拘束

ET

αν

σ−

−=ΔΔ

11

( ) ( )

( )TE

TEE

Δ−

−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=Δ++−+

=

νασ

σσ

ασσνσνε

1

0 1

11

2211

22111111

Rigid body

Heat

Constraint direction 1

Constraint direction 2

３軸拘束

熱応力（３軸拘束）熱応力（３軸拘束）

ET

αν

σ21

1−

−=ΔΔ

( ) ( )

( )TE

TEE

Δ−

−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

=Δ+++−+

=

νασ

σσσ

ασσσνσνε

21

0 1

11

332211

3322111111

Rigid bodyHeat

Constraint direction 1

Constraint direction 2Constraint

direction 3

0.01 0.1 1 10 100 10000.1

1

10

100

1000

10000

E

-6-1 E=constant

Lower thermal stressHigher thermal stress

Al

TiPt

CuAu

PEPS

線膨張係数と縦弾性係数の関係線膨張係数と縦弾性係数の関係

等しい熱応力を生じさせるα－E関係