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Lezione 11: Le onde elettromagnetiche e la luce
Le onde elettromagnetiche
più importante conseguenza delle equazioni di Maxwell:
esistenza di onde elettromagnetiche
0ερ
=⋅∇ Er
tEJB
∂∂
+=×∇r
rr000 µεµ
tBE
∂∂
−=×∇r
r
0=⋅∇ Br
equazioni di Maxwell
∂∂
×∇
+×∇=×∇×∇
tE
jBr
rr
00
0)(
µε
µ
L
rr
∂∂
×−∇=×∇×∇tBE)(
⇓
0==
=
=
ρσ
µ
ε
EJ
HB
ED
rr
rr
rr
0
0
2
22
2
22
=∂
∂−
∂∂
−∇
=∂∂
−∂∂
−∇
tH
tHH
tE
tEE
rrr
rrr
σµεµ
σµεµ
equazione generale delle onde
per un mezzo isolante: 0=σ
0
0
2
22
2
22
=∂
∂−∇
=∂∂
−∇
tHH
tEEr
r
rr
εµ
εµ
εµ1
=v
E e B propagano come onde di velocità
anche nel vuoto (assenza di cariche o correnti)
campo B variabile genera un campo Ecampo E variabile ricrea il campo B variabile
il processo continua sotto forma di onda elettromagnetica che propaga nello spazio
Proprietà delle onde elettromagnetiche
onda pianaE e B costanti sui piani ortogonali
all’asse x
soluzione particolareequazioni di Maxwell
nel vuoto
E e B propagano constessa velocità
= versore asse x(direzione di propagazione)
vettore di Poynting(direzione e verso di propagazione)
EiBrrr
×=00
1µε
εµ/1=v
ir
onde trasversaliE e B non sono indipendenti
HESrrr
×=
Bonda sinusoidale E
)2cos(),( 0 φωλπ
+−= txEtxE x
Storicamente:Maxwell calcola velocità onda elettromagnetica
≡=εµ1v
velocità della luce misurata
sperimentalmente
la luce è un fenomeno elettromagnetico;è costituita da campi elettrici e magnetici
rapidamente variabili ed orientati trasversalmente alla direzione di propagazione.
unificazione di elettricità e magnetismoimplica la teoria della luce!!!
Conferma sperimentale:
1888 Hertz: scoperta delle onde radio
Marconi: applicazioni commerciali delle onde radio
Produzione di onde elettromagnetiche
carica elettrica a riposo: campo Ecarica elettrica in moto: campo E, campo B
in condizioni stazionarie:
carica in moto uniforme ≡ corrente costantedensità di energia e-m costante nello spaziola carica non trasporta segnale:(solo evidenza della sua presenza)
non trasporta energianon trasporta quantità di motonon c’è radiazione elettromagnetica
in condizioni dinamiche:
carica in moto accelerato ≡ corrente variabile
la radiazione è prodotta da correnti che
variano nel tempo
in laboratorio:vario nel tempo correnteche scorre in un filo
genero onda elettromagnetica
circuito oscillante
RLC
generatoreesterno
C
R
linea di trasmissione
(cavo coassiale)L
antenna adipolo elettrico
onda che si propaga
geometria antenna determina proprietà geometriche campi E e B irraggiati
antenna a dipolo elettrico (radio e TV)al termine di un cavo
coassiale~
due conduttori rettilineicariche fluiscono con frequenza ωdipolo elettrico oscillante con frequenza ωradiazione di dipolo elettrico
(sospinte da circuito RLC)
taqp ωsin0=
emissione onda dipolare taqp ωsin0=
p = p0t
p = 0t +T/4
p = -p0t +T/2
p = 0t +3/4T
p = p0t +T
Scoperta delle onde radio(Hertz 1888)
trasmettitore:corrente oscillanteprodotta da scintille
emesse da un terminale ad alta tensione(frequenza di
risonanza ≈ 108 Hz)
ricevitore:circuito isolato
le onde inducono una correnteanaloga
(frequenza di risonanza ≈ 108 Hz)
onde e-mpropagano per metri
Radiazione di una carica in moto accelerato
Carica in moto emette radiazione em:potenza irradiata
⇓flusso vettore di Poyntingattraverso sup. sfericacontenente la carica al centro
danHEPS
rrr⋅×= ∫ )(
Calcolo E ed H su S a partire dai potenziali A, φ:
HE
tAgradE
0
0
εµ
φ
=
∂∂
−−=r
r
onda piana
''
)'
,'(
4),(
''
)'
,'(
41),(
0
0
dvrrcrr
trJtrA
dvrrcrr
trtr
V
V
∫
∫
−
−−
=
−
−−
=
rr
rrrr
rr
rr
rrr
r
πµ
ρ
πεφ potenziali
ritardati
=∫ ')','( dvtrV
rρ quantità di carica nello spazio,tenente conto del moto di cariche
Esempio di calcolo integrale:
r-r’ u
P
θdrdS, dv’
Superficie sferica che si contrae con velocità c
se u=0 dSdrdq ρ=
dSdtrrrrudtudS
')'(cos rr
rrr
−−⋅
=ρθρ
se u≠0 → diminuzione di carica
')')'(1( dv
rrcrrudq ρrs
rsr
−−⋅
−= ',/ dvdSdrdtcdr ==
)')'(1(
'
rrcrru
dqdvrs
rsr
−−⋅
−=ρ
crrurr
ecrrurr
dqtrV
)'('41
)'('41),(
0
0
rrrrr
rrrrr
r
−⋅−−
=
−⋅−−
= ∫
πε
πεφ
per distribuzioni dqlimitate a piccoli volumi
(integrando costante)
crrurr
uetrA )'('4),( 0 rrr
rr
rrr
−⋅−−
=π
µ Potenziali diLienard-Wickert
per elettrone
per velocità non relativistiche ( u<<c):
Re
rretr
Rue
rruetrA
00
00
41
'41),(
4'4),(
πεπεφ
πµ
πµ
=−
≈
=−
≈
rrr
r
rr
rrr
Potenza totale istantanea irradiata dall’elettrone:
φθθππ
ddsenRHEP n2
0
2
0
)(∫∫ ×=rr
HE
tA
tAgradE
0
0
εµ
φ
=
∂∂
−≈∂∂
−−=rr
r
2222
202
0
0
0
0
sin)4(
)(
sin4
)sin4
(
uuRe
cEHEHE
dtdu
Re
uRe
ttAE
n &&rr
θπ
µµε
θπ
µ
θπ
µ
θφθ
θθ
===×
=
−∂∂
−=∂
∂−=
∼massima in θ=π/2
Potenza irradiata:
eu θ
RAθ
⇒ trascuro componenti di E e H ∼ 1/R2, 1/R3…
sapendo che:
222
22/1
0
0
0
322
22/1
0
0
4)(
32
sin)(81
uuce
duceP
&&
&
πεµ
θθεµ π
=
= ∫
∼
irraggiamento solo se la carica è accelerata
irraggiamento in direzione ⊥ moto
Onde elettromagnetiche in un conduttore
equazione generale delle onde
0
0
2
22
2
22
=∂
∂−
∂∂
−∇
=∂∂
−∂∂
−∇
tH
tHH
tE
tEE
rrr
rrr
σµεµ
σµεµ 0≠σ
soluzione per onda piana monocromatica:)(
0),( txieEtxE ωα −= e -β x
onda smorzata nella direzione x
basse frequenze
alte frequenzenon c’è assorbimento (il metallo è trasparente)
)();( ωββωαα ==)sec104( 113 −⋅<<ω
βωσµβ
/12/
=
=
dcoefficiente di assorbimento
cammino di assorbimento(conduttore perfetto: σ=∞, d=0onda riflessa totalmente)
)sec104( 113 −⋅>>ω
Ionosfera: parte di atmosfera 100-400 Km dalla terraaria ionizzata da radiazione solare ultraviolettaelettroni si muovono di moto armonico
mHz
srad
p
p
p
7.18
106.1
/107
8
≅
⋅≅
≅
λ
ν
ω
frequenza di taglioν < νp onda riflessaν > νp onda trasmessa
Applicazioni:
onde radio(modulazione di ampiezza)vengono trasmesse anche molto lontano per riflessionedalla ionosfera
onde radio e TV(modulazione di frequenza)passano la ionosfera ⇒utilizzo satelliti oltre la ionosfera
Hz610≅ν
Hz810≅ν
ionosfera
Onde elettromagnetiche in un dielettrico
× 2
2
002
0
2
002
2 1)(11tPPE
tE
∂∂
−⋅∇∇=∇−∂∂
rrr
r
εµεµε
In un dielettrico:considero cariche di polarizzazione;trascuro effetti di magnetizzazione(suscettività magnetica piccola)
equazioni di Maxwell0=⋅∇ D
r
tDB
∂∂
=×∇r
r0µ
tBE
∂∂
−=×∇r
r0=⋅∇ B
r
PED
Jrrr
r
+=
=
=
0
0
0
ε
ρ
onde nel vuotomezzi
omogenei
per campi funzioni armoniche)cos,(sin tt ωω
EP e
rr)(0 ωχε=
P dipende dalla frequenza ωdiminuisce all’aumentare di ωla fase di P non è la stessa di E(l’effetto di polarizzazione è in ritardo)
)(0
)(0
),(
),(δω
ω
+⋅−
⋅−
=
=rkti
rkti
ePtrP
eEtrErr
rr
rrr
rrr
2
2
0
2
002
2 11tPE
tE
∂∂
−=∇−∂∂
rr
r
εµεequazione onde
× × × ),()(),(),(),( 2
0
2222 trEtrPtrEkctrE e
rrrrrrrrωχω
εωω ==+−
onda pianamonocromatica
)()(
)(
)()(1)(
)(12
22
ωεω
ω
ωεωχωω
ωχω
rf
ref
e
vcn
cck
v
kc
==
=+
==
+=
mezzo dispersivo
I potenziali del campo elettromagnetico
elettrostatica magnetostatica
00
=
=
Erot
Edivr
r
ερ
JBrot
Bdivrr
r
0
0
µ=
=
0
2
ερφ
φ
−=∇
−= gradEr
JA
ArotBrr
rr
02 µ−=∇
=
0=Adivr
in condizioni dinamiche:
0)(
)(
=∂∂
+
∂∂
−=
tAErot
tArotErot
rr
rr
ArotBtBErotrr
r
=∂∂
−=r
irrotazionale
ArotBtAgradE
rrr
r=
∂∂
−−= φ
L
rrr
rrr
)()( 000
000
tAgrad
tJArotrot
tEJBrot
∂∂
−−∂∂
+=
∂∂
+=
φµεµ
µεµ
dalle equazioni di Maxwell:
L
r
r
0
0
)(ερφ
ερ
=∂∂
−−
=
tAgraddiv
Ediv
ερφεµφ −=
∂∂
−∇ 2
22
t
JtAA
rr
rµεµ −=
∂∂
−∇ 2
22
equazioni delle onde
per i potenziali !!
0=∂∂
+t
Adiv φεµr condizione di Lorentz
(elimina arbitrarietà di A e φ)
i potenziali φ ed A generati da una distribuzione di cariche e correnti si fanno sentire nello spazio con ritardo, legato alla velocità di propagazione.
Invarianza dell’elettromagnetismo sotto trasformazioni di Lorentz
sistema S sistema S’
x’z’
O’
vr
xz
Oy y’
moto rettilineo uniformerispetto ad S
O ≡ O’ per t = t’ = 0
trasformazioni di Lorentz
;1
'
;';'
;1
'
22
2
22
cv
xcvt
t
zzyy
cvvtxx
−
−=
==
−
−=
la norma del quadrivettoreè invariata
mantengono velocità della luceuguale nei due sistemi
2222222222 ''' tczyxtczyx −++−++
),,,( ictzyx
=
equazioni delle ondeper i potenziali
2
2
2
2
2
22
,,
zyx
kyx
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
∂∂
∂∂
∂∂
=∇ερφεµφ −=
∂∂
−∇ 2
22
t
JtAA
rr
rµεµ −=
∂∂
−∇ 2
22
2
2
22
2
2
22
2
2
2
2
2 11
)(,,,
tctczyx
ictkyx
∂∂
−∇=∂∂
−∂∂
+∂∂
+∂∂
=
∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
=∇ quadrivettore
operatore (quadrato del quadrivettore ∇)è invariante per trasformazioni di Lorentz
),(),(cUipciJ
r
rρ
JA
icci
rr0
0 )()(
µ
ρµφ
−=
−=
quadrivettore densità carica-correntequadrivettore momento-energia
)4,3,2,1(
)4,3,2,1(),(
0 =−=
=≡
µµ
µφ
µµ
µ
jAciAA
r
il potenziale e-m è invariante
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