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Autor: Dr. Hermann Alcazar; Funciones de discontinuidadFunciones de singularidad ProblemasPendiente y desplazamiento por el método del momento de área.Problemas
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5/20/2018 Leccion_8 RII / Mecanica - UCSM
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12.3Funciones de discontinuidad
El uso del mtodo de integracin para encontrar la ecuacin de la curva
elstica de una viga o eje resulta conveniente si la carga o momento interno
puede expresarse como una funcin continua a lo largo de toda la longitud de
la viga.
Funciones de discontinuidad
Con el fin de expresar la carga sobre la viga o el momento interno dentro de
sta usando una sola expresin se emplearan dos tipos de operadores
matemticos como funciones de discontinuidad
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Funciones de Macaulay
A fin de determinar la deflexin de una viga o un eje, pueden usarse las
funciones de Macaulay, llamadas as en honor al matemtico W. H. Macaulay
para describir las cargas distribuidas. Estas funciones pueden expresarse en
forma general como.
Aqu x representa la coordenada de posicin de un punto a lo largo de la viga
y a es la ubicacin sobre la viga que ocurre una discontinuidad,es decir , el
punto donde comienza una carga distribuida
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Funciones de singularidad
Estas funciones solo se utilizan para describir la ubicacin de las fuerzas
concentradas o momentos de par que actan sobre una viga o eje. En
especifico, una fuerza concentrada P puede considerarse como un caso
especial de una carga distribuida, donde la intensidad de la carga es w=P/de
tal manera que su longitud sea , donde -0
Para describir la fuerza P. Aqu n=-1 de modo que
las unidades de w son de fuerza por longitud , como
deban ser. Adems la funcin toma el valor de Psol en el punto x=a donde se produce la carga ,d e
lo contrario su valor es cero
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Funciones de singularidad
De manera similar un momento de par M considerado positivo en sentido
horario es un limite cuando -0 de dos cargas distribuidas como las mostradas
en la figura aqu la siguiente funcin describe su valor.
El exponente n=-2, tiene la finalidad de
garantizar que se mantengan las unidades de
w, fuerza por longitud.
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Funciones de singularidad
La integracin de las dos funciones de singularidad anteriores siguen las reglas del
calculo operacional y produce resultados diferentes a los obtenidos mediante las
funciones de Macaulay. En especifico
Usando esta formula, observe como M0Y P, que se describen en la tabla 12-2 en lasfilas 1 y 2, se integran una vez y luego dos veces para obtener la fuerza cortante y el
momento interno en la viga. La aplicacin de las ecuaciones 12-11 a 12-15
proporciona un medio mas directo para expresar las carga o el momento interno en una
viga como funcin de x
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Ejemplo 12.5
Determine la deflexin mxima de4 la viga que se muestra en al figura 12-18a. EI es
constante
Curva elsticala viga experimenta la deflexin como se muestra en la figura 12.18(a). Las condiciones de
frontera requieren desplazamiento cero A y B
Funcin de carga
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Ejemplo 12.5
Determine la deflexin mxima de4 la viga que se muestra en al figura 12-18a. EI es
constante
Pendiente y curva elstica
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Ejemplo 12.5
Determine la deflexin mxima de4 la viga que se muestra en al figura 12-18a. EI es
constante
Pendiente y curva elstica
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Ejemplo 12.5
Determine la deflexin mxima de4 la viga que se muestra en al figura 12-18a. EI es
constante
El signo negativo indica que el desplazamiento es hacia abajo como se muestra en la figura12-18(a). Para localizar el punto D ,use la ecuacin 2 con x>10pies y dv/dx=0 se obtiene
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Ejemplo 12.5
Determine la deflexin mxima de4 la viga que se muestra en al figura 12-18a. EI es
constante
Al comparar este valor con vc, se observa que vmaz=vc
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Ejemplo 12.6
Determine la ecuacin de la curva elstica para la viga en voladizo que se muestra en la
figura 12-19a. EI es constante
Curva elsticaLas curvas asen que la viga presente deflexin como se muestra en al figura 12-19(a).
Las condiciones d4e frontera requieren que la pendiente y el desplazamiento sean
iguales a cero en A
Funcin de carga
j l
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Ejemplo 12.6
Determine la ecuacin de la curva elstica para la viga en voladizo que se muestra en la
figura 12-19a. EI es constante
Funcin de carga
En este mismos resultado puede obtenerse directamente de la tabla 12-2
Ej l 12 6
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Ejemplo 12.6
Determine la ecuacin de la curva elstica para la viga en voladizo que se muestra en la
figura 12-19a. EI es constante
Pendiente y curva elstica
P bl 12 35
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Problema 12.35
El eje esta fabricado de acero y tiene un dimetro de 15 mm. Determine su deflexin
mxima. Los cojinetes en A y B ejercen solo reacciones verticales sobre el eje. Eac=200GPa
Curva elstica y la pendiente
P bl 12 35
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Problema 12.35
El eje esta fabricado de acero y tiene un dimetro de 15 mm. Determine su deflexin
mxima. Los cojinetes en A y B ejercen solo reacciones verticales sobre el eje. Eac=200GPa
Condiciones de contorno
De Eq.(1)
P bl 12 35
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Problema 12.35
El eje esta fabricado de acero y tiene un dimetro de 15 mm. Determine su deflexin
mxima. Los cojinetes en A y B ejercen solo reacciones verticales sobre el eje. Eac=200GPa
Asumir Vmax se produce a
Sustituir x=0.3300m en la curva elastica
P oblema 12 39
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Problema 12.39
Determine la deflexin mxima de la viga simplemente apoyada.
E=200GPa e I=65.0(10)6 mm4
Apoyar reacciones y la curva elstica: como se muestra en la Fig.(a)
Momento en funcin: De Fig.(a) obtenemos
Problema 12 39
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Problema 12.39
Determine la deflexin mxima de la viga simplemente apoyada.
E=200GPa e I=65.0(10)6 mm4
Ecuaciones de pendiente y curva elstica
Condiciones de contorno: en x=0; v=0.Entonces Eq(2) da.
Problema 12 39
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Problema 12.39
Determine la deflexin mxima de la viga simplemente apoyada.
E=200GPa e I=65.0(10)6 mm4
sustituyendo el valor de C1 en Eq(1)
Condiciones de contorno: en x=6; v=0.Entonces Eq(2) da.
Problema 12 39
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Problema 12.39
Determine la deflexin mxima de la viga simplemente apoyada.
E=200GPa e I=65.0(10)6 mm4
Solucin para la raz
Suponiendo que se produce en la regin entonces
Problema 12 39
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Problema 12.39
Determine la deflexin mxima de la viga simplemente apoyada.
E=200GPa e I=65.0(10)6 mm4
Vmax se produce a x=2.9079m donde . as
sustituyendo el valor de C1y C2 en Eq(2)
Problema 12 43
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Problema 12.43
Determine la deflexin mxima de la viga en voladizo. La viga es de un material que tiene
E=200GPa e I=65.0(10)6 mm6
Problema 12 43
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Problema 12.43
Determine la deflexin mxima de la viga en voladizo. La viga es de un material que tiene
E=200GPa e I=65.0(10)6 mm6
Apoyar reacciones y la curva elstica: como se
muestra en la Fig.(a)
Momento en funcin: De Fig.(b) obtenemos
Ecuaciones de pendiente y curva elstica
Problema 12 43
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Problema 12.43
Determine la deflexin mxima de la viga en voladizo. La viga es de un material que tiene
E=200GPa e I=65.0(10)6 mm6
Condiciones de contorno: en x=0;
. Entonces Eq(1) da.
Condiciones de contorno: en x=0;
v=0.Entonces Eq(2) da.
sustituyendo el valor de C1y C2 en Eq(2)
Problema 12 43
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Problema 12.43
Determine la deflexin mxima de la viga en voladizo. La viga es de un material que tiene
E=200GPa e I=65.0(10)6 mm6
Vmax se produce a x=3m donde
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12.4 Pendiente y desplazamiento por el mtodo del
momento de rea
El mtodo de rea proporciona una tcnica semigrafica para encontrar la pendiente yel desplazamiento en puntos especficos sobre la curva elstica de una viga o eje
Teorema 1Considera la viga simplemente apoyada con su curva elstica asociada, que se
muestra en la figura 12-20(a). Un segmento diferencial dx de la viga se asla en la
figura 12-20(b)
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12.4 Pendiente y desplazamiento por el mtodo del
momento de rea
Teorema 1Como la pendiente es pequea , =dv/dx y por lo tanto
(12-16)
Si se construye el diagrama de momentos para la viga y se divide entre la rigidez a la
flexin, EI, figura 12-20(c), entonces esta ecuacin indica que d es igual al rea
bajo el diagrama M/EI para el segmento dx de la viga. Al integrar desde un punto A
seleccionada sobre la curva elstica hasta otro punto B se tiene
(12-17)
Teorema 1: El ngulo entre las tangentes en dos puntos cualesquiera sobre la
curva elstica es igual al rea bajo el diagrama M/EI entre estos dos puntos.
12 4 Pendiente y desplazamiento por el mtodo del
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12.4 Pendiente y desplazamiento por el mtodo del
momento de reaTeorema 2
El segundo teorema del momento de rea se basa en la desviacin relativa de las tangentes
a la curva elstica. En la figura 12-21(a) se muestra una vista muy exagerada de la
desviacin vertical dt de las tangentes a cada lado del elemento diferencial dx.
(12-18)
12 4 Pendiente y desplazamiento por el mtodo del
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12.4 Pendiente y desplazamiento por el mtodo del
momento de reaTeorema 2
Como el centroide de un rea se encuentra a partir de dx
representa el rea bajo el diagrama M/EI, tambin se puede escribir
(12-19)
Aqu x es la distancia desde A hasta el centroide del rea bajo el diagrama M/EI entre A Yb
figura 12-21(b)
Ejemplo 12.7
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Ejemplo 12.7
Determine la pendiente de la viga mostrada en la figura 12-22(a) en el punto B. EI es
constante
Diagrama M/EI Vea la figura 12-22(b)
Curva elstica
La fuerza P hace que la viga experimente deflexin como se muestra en la figura
12-22(c).(la curva elstica es cncava hacia abajo, puesto que M/EI es negativo)
Ejemplo 12.7
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Ejemplo 12.7
Determine la pendiente de la viga mostrada en la figura 12-22(a) en el punto B. EI es
constante
Teorema del momento de rea
Al aplicar el teorema 1, B/A es igual al area bajo el diagrama M/EI entre los puntos A y B,
es decir
B=B/A
Ejemplo 12.8
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j p
Determine el desplazamiento de los puntos B y C de la viga mostrada en la figura 12-23(a).
EI es constante
Diagrama M/EI Vea la figura12-23(b)
Curva elstica El momento de par 12-23(b)en C hace que la viga sufra deflexin,como se muestra en la figura 13-23(c)
Ejemplo 12.8
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j p
Determine el desplazamiento de los puntos B y C de la viga mostrada en la figura 12-23(a).
EI es constante
Teorema delmomento de rea
Al aplicar el teorema 2, t(B/A) es igual al momento del rea en
gris oscuro bajo el diagrama M/EI entre A y B calculado con
respecto al punto B(el punto sobre la curva elstica) ya que es elpunto donde debe determinarse la distancia vertical. Por lo tanto
a partir de la figura 12-23(b)
Del mismo modo, para t(C/A) se debe determinar el momento del rea bajo todo el
diagrama M/EI desde A hasta C con respecto al punto C (el punto de la curva elstica).
Se tiene
Ejemplo 12.9
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j p
Determine la pendiente en el punto C del eje en la figura 12-24(a). EI es constante
Diagrama M/EI Vea la figura12-24(b)
Curva elstica
Como la carga se aplica simtricamente en la viga, la curva elstica es
simtrica y la tangente en D es horizontal, figura
12-24(c). Adems, se dibuja la tangente en C porque se desea
encontrar la pendiente c mediante la construccin, el Angulo C/D
entre las tangentes en tan D y C es igual a c , es decir
Ejemplo 12.9
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j p
Determine la pendiente en el punto C del eje en la figura 12-24(a). EI es constante
Teorema del momento de rea
Si se usa el teorema 1, C/D es igual al rea en gris bajo el diagrama M/EI entre lospuntos D y C,. Se tiene
Ejemplo 12.10
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j p
Determine la pendiente en el punto C para la viga de acero mostrada en la figura 12-25(a).
Considere Eac=200 Gpa, I=17(10)6 mm4
Curva elstica
La curva elstica se muestra en la figura
12-25(c). Se indica la tangente en C porque
se desea encontrar c. Tambin construyen
las tangentes en los soportes, A y B, como
se muestra en la figura. El ngulo C/A es
el ngulo entre las tangentes en A y C. lapendiente en A, A, en la figura 12-25(c)
puede encontrarse usando
Esta ecuacin es valida puesto que tB/A es
realmente muy pequea de modo que el
valor de tB/A en metros puede
aproximarse mediante la longitud de unarco circular definido por un radio de
L(A/B)=8m y una amplitud de A en
radianes.(recuerde que s=r). A partir de la
geometra de la figura 12-25(c) se tiene
Diagrama M/EI Vea la figura12-25(b)
Ejemplo 12.10
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Determine la pendiente en el punto C para la viga de acero mostrada en la figura 12-25(a).
Considere Eac=200 Gpa, I=17(10)6 mm4
Teorema del momento de rea
Si se usa el teorema 1, C/A es equivalente al rea bajo el diagrama M/EI entre los puntos
A y C,. Se tiene
Si se aplica el teorema 2, tB/A es equivalente al momento del rea bajo el diagrama M/EI
entre B y A respecto al punto B (el punto sobre la curva elstica) ya que este es el punto
donde debe determinarse la distancia vertical. Se tiene,. Se tiene
Ejemplo 12.10
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Determine la pendiente en el punto C para la viga de acero mostrada en la figura 12-25(a).
Considere Eac=200 Gpa, I=17(10)6 mm4
Al sustituir estos resultados en la ecuacin , se obtiene
Este resultado se calculo en unidades de kN y m, por lo que al convertir EI a estas unidades
resulta
Ejemplo 12.11
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Determine el desplazamiento en C para la viga mostrada en la figura 12-26(a). EI es
constante
Curva elsticaSe dibuja la tangente en C sobre la curva
elstica ya que se desea encontrar c, figura
12-26(c)(observe que C no es la ubicacin de
la deflexin mxima de la viga, debido a que
la carga y por ende la curva elstica no son
simtricas). En la figura 12-26(c) tambin seindican las tangentes en los soportes A y B.
se observa que .Si se determina
tA/B, entonces encontrarse mediante
tringulos semejantes.
Es decir. Por lo
tanto
Diagrama M/EI Vea la figura12-26(b)
Ejemplo 12.11
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Determine el desplazamiento en C para la viga mostrada en la figura 12-26(a). EI es
constante
Teorema del momento de rea
Al aplicar el teorema 2 para determinara tA/B y tC/B. Se tiene
al sustituir estos resultados en la ecuacin 1 resulta
Ejemplo 12.12
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Determine el desplazamiento en el punto C para la viga con voladizo de acero que se
muestra en la figura 12-27(a). Considere Eac=29(10)3, I= 125 pulg2
Curva elsticaLa carga hace que la viga sufra deflexin,
como se muestra en la figura 12-27(c). Se
debe encontrar c. Al construir tangentes en
C y en los soportes Ay B, se observa que
.Sin embargo, puede
relacionarse con tB/A mediante tringulossemejantes, esto es, /24= o bien
= .Por lo tanto
Diagrama M/EI Vea la figura12-27(b)
Ejemplo 12.12
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Determine el desplazamiento en el punto C para la viga con voladizo de acero que se
muestra en la figura 12-27(a). Considere Eac=29(10)3, I= 125 pulg2
Teorema del momento de rea
Si se aplica el teorema 2 para determinara tC/A y tB/A. Se tiene
Por qu estos trminos son negativos?. Al sustituir los resultados en la ecuacin 1 se obtiene
Ejemplo 12.12
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Determine el desplazamiento en el punto C para la viga con voladizo de acero que se
muestra en la figura 12-27(a). Considere Eac=29(10)3, I= 125 pulg2
Tomando en cuenta que los clculos se realizaron en unidades de kip y pis, se tiene
Problema 12.56
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Determine la pendiente en C. EI es constante
Refirindose a fig.( b)
Problema 12.56
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Determine la pendiente en C. EI es constante
A partir de la geometra mostrada en la fig.( b)
Aqu
Ans
Ans
Problema 12.58
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Determine la pendiente en A y la deflexin mxima. EI es constante
El punto D est situado en el tramo medio de laviga. Debido a la simetra, la pendiente en D es
cero. Refirindose en la Fig.(b)
Problema 12.58
5/20/2018 Leccion_8 RII / Mecanica - UCSM
50/52
Determine la pendiente en A y la deflexin mxima. EI es constante
A partir de la geometra mostrada en la Fig.(b)
Ans
Ans
Problema 12.62
5/20/2018 Leccion_8 RII / Mecanica - UCSM
51/52
Determine la deflexin y la pendiente en C. EI es constante
Ans
Ans
Problema 12.67
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52/52
La viga esta sometida a una carga P, como se muestra en la figura. Determine la magnitud de
la fuerza F que debe aplicarse al extremo C del voladizo para que la deflexin en C sea cero.
EI es constante
Ans
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