Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353 Bøyning av bjelker

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Bøyemoment• Bøyespenninger

• Skjærkrefter• Skjærspenninger

• Skjærkraft- og bøyemomentdiagrammer• Dimensjonering av bjelker

• Deformasjoner (nedbøyning)

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Bøyemoment• Bøyespenninger

y

xF

1

1

Snitt 1-1A B

FAx

FAy FB

la

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Bøyemoment• Bøyespenninger

1

1

1

1

MbMb

Ft Ft

Fs Fs

Nøytrallag

Nøytralaksea

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Bøyemoment• Bøyespenninger

1

1

Mb

Ft

Fs

Nøytrallag a

Indre moment:

aFM ti

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Bøyemoment• Bøyespenninger

F

1

1

Snitt 1-1A B

FAx

FAy FB

la

Ytre moment:

aAyb lFM 1

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Bøyemoment Nm

F

1

1

Snitt 1-1A B

FAx

FAy FB

la

Det indre momentet Mi i snittet 1-1 er i likevekt med det ytre momentet Mb1

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Bøyemoment Nm

1

1

1

1

MbMb

Ft Ft

Fs Fs

a

Bjelkesnittet 1-1 er påvirket av et bøyemoment både på venstreside av snittet og på høyre side av snittet. Disse er like store ogopphever hverandre

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Bøyemoment NmF

1

1

Snitt 1-1A B

FAx

FAy FB

la

Bøyemomentet om et tverrsnitt er lik momentet om snittetav de ytre kreftene til venstre for snittet eller lik momentet om snittet av de ytre kreftene til høyre for snittet

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Bøyemoment NmF

1

1

Snitt 1-1A B

FAx

FAy FB

la

aaBaAyb ll

FllFlFM21

2

l

2

l

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Bøyespenninger N/mm2

yI

M

x

bb

0

1

x0

y0

TP - tyngdepunkt

Nøytralakse

0xI Arealmoment om nøytralaksen

y

y Avstand fra nøytralaksentil spenningen

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Bøyespenninger N/mm2• Spenningsfordeling over bjelketverrsnittet

yI

M

x

bb

0

1

b

by

x

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Skjærkrefter• Skjærspenninger

y

xF

1

1

Snitt 1-1A B

FAx

FAy FB

la

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Skjærkrefter N

1

1

1

1

V1

V1

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Skjærkrefter N

1

1

V1

Indre kraft (skjærkraft): V1

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Skjærkrefter N

1

1

V1

FAx

FAy Den indre kraften Vi i snittet 1-1 er i likevekt med den ytre kraften FAy

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Skjærkrefter N

1

1

1

1

V1

V1

Bjelkesnittet 1-1 er påvirket av et skjærkraft både på venstreside av snittet og på høyre side av snittet. Disse er like store ogopphever hverandre

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Skjærkrefter NF

1

1

Snitt 1-1A B

FAx

FAy FB

la

Skjærkraften i et bjelketverrsnitter lik summen av kreftenenoramlt på bjelken til venstre eller til høyre for snittet.

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Skjærkrefter NF

1

1

Snitt 1-1A B

FAx

FAy FB

la

FFFV ByAy 1

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Skjærspenninger N/mm2

bI

SV

x

x

0

01

x0

y0

TP - tyngdepunkt0xI Arealmoment om

nøytralaksen

0xS Statisk moment omnøytralaksen

b Bredde på profilet

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Skjærspenninger N/mm2• Spenningsfordeling over bjelketverrsnittet

bI

SV

x

x

0

01

x0

y0

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Skjærkraftdiagrammer• Viser hvordan skjærkraften varierer langs

bjelken• Skjærkraften i et snitt er summen av kreftene

normalt på bjelken til venstre for snittet

• Krefter oppover til venstre for snittet er positive

• Krefter oppover til høyre for snittet er negative

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Skjærkraftdiagrammer

F N

A B

FAxFAy FB

Q [kN] :

FAx

FB

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Skjærkraftdiagrammer

A B

FAxFAy FB

Q [kN] :

FAx

FB

q N/mm2

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Skjærkraftdiagrammer• Når bjelken er utsatt for rene enkeltlaster, er

skjærkraften konstant mellom lastene (diagrammet er ”trappeformet”)

• Når bjelken er utsatt for jevnt fordelte laster, endrer skjærkraften seg rettlinjet mellom lastene (diagrammet er lineært)

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Momentdiagrammer• Viser hvordan bøyemomentet varierer langs

bjelken• Bøyemomentet i et snitt er summen av momentene

til kreftene til venstre for snittet

• Momenter som bidrar til strekk på undersiden av bjelken er positive

• Momenter som bidrar til strekk på oversiden av bjelken er negative

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Momentdiagrammer

F

A B

FAxFAy FB

M [kNm] :

FB

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Momentdiagrammer

A B

FAxFAy FB

M [kNm] :

q N/mm2

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Momentdiagrammer• Når bjelken er utsatt for rene enkeltlaster,

endrer momentet seg rettlinjet mellom lastene (diagrammet er lineært)

• Når bjelken er utsatt for jevnt fordelte laster, endrer momentdiagrammet seg som en buet linje mellom lastene (diagrammet er en parabelkurve)

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Moment- og skjærkraftdiagrammer

F

A B

Q [kN] :FAx

FB

M [kNm] :

Mmaks

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Moment- og skjærkraftdiagrammer

A B

Q [kN] :

FAx

FB

q N/mm2

M [kNm] :

Mmaks

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Skjærkraft- og momentdiagrammer• Der hvor skjærkraftdiagrammet skjærer x-aksen

(skjærkraften er null), har momentet sin største positive eller negative verdi.

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Dimensjonering av bjelker• Finne det minste bjelkeprofilet som gjør at

spenningen i bjelken ikke blir større enn tillatt spenning

F

Snitt 1-1

A B

FAx

FAy FB

h

bl

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Dimensjonering av bjelker

yI

M

x

bb

0

1

x0

y0

till

bx M

y

I

10

2

hy

12

3

0

hbI x

b

h

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Dimensjonering av bjelker

yI

M

x

bb

0

1

x0

y0

till

bx M

y

I

10

b

hy

IW x0 Motstandsmoment

till

bMW

1

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Deformasjoner (nedbøyning)

y

xF

A By

- krumningsvinkel [rad]

y – nedbøyning [mm]

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Deformasjoner (nedbøyning)• Formler

F

A By

l/2 l/2

EI

Fly

3

3

EI

Fl

16

2

Leksjon 14 - mekanikk - s.297–353Bøyning av bjelker

• Deformasjoner (nedbøyning)• Formler

ABy

l/2 l/2

EI

qly

4

384

5

EI

ql

24

3

q N/mm2