Mekanikk 1 -- Oppgavesamling-2 - Kopi

TKT 4116 Mekanikk 1F h b L L/2 =FL3/8EI

M

Mmaks=FL/2

maks=3FL/bh2

Oppgavesamling

Dette heftet inneholder 54 oppgaver med lsning til bruk i emnet TKT4116 Mekanikk 1. Oppgavene er ordnet tematisk i omtrent samme rekkeflge som stoffet vil bli forelest. Sammen med oppgavene og eksemplene i lrebkene gir de et bredt utvalg av problemstillinger for regnetrening og innving av pensum. Lsningene er rimelig kvalitetssikret etter et par rs bruk, men regnefeil kan selvflgelig forekomme. Gi tilbakemelding til en av faglrerene hvis dere kommer over feil.

Alle oppgavene er hentet fra vinger i det forhenvrende emnet Konstruksjonsmekanikk Likevektslre, som ble forelest i 2. semester for studenter ved Bygg- og miljteknikk til og med vren 2005. Pensum i dette forhenvrende emnet er identisk med TKT 4116 Mekanikk 1. Oppgavene og lsningene er utarbeidet av Tore H Sreide og Svein Ivar Srensen, som var forelesere i hhv 2000/2001 og 2002/2003.

Illustrasjonen p forsiden av heftet viser Mekanikk 1 i et ntteskall: En rektangulr trebjelke er pkjent av en punktlast. Frst bestemmes opplagerreaksjoner og snittkrefter i form av et momentdiagram. Dette gir grunnlag for dimensjonering, dvs vurdere om tverrsnittet har tilstrekkelig kapasitet, og om deformasjonene er p et akseptabelt niv.

Et lite rd til slutt: Den beste mten for f taket p pensum er regne oppgaver. Masse oppgaver ikke bare vingene og gjennom hele semesteret.

LYKKE TIL !!

OPPGAVE 1 En kloss med masse 60 kg er hengt opp i to snorer som hver danner 20 grader med vertikalen (se figur nedenfor). Hvor store er snorkreftene, og hva er resultanten av disse? Konstruer kreftene. Neglisjer egenvekt av snor.

20

m = 60 kg

OPPGAVE 2

0,5m

1,0m

A

B 1,0m

C m = 60 kg

Et lodd med masse 60 kg er hengt opp i to tau AC og BC som vist p figur. Bestem strekkrefter i tauene grafisk. Kontroller nyaktigheten av resultatet ved bruk av "cosinussetningen".

OPPGAVE 3

60kN 45kN 5 2 5 3 20kN 30kN

40kN Bestem resultanten av det plane kraftsystemet i figuren over ved : a b Algebraisk metode Grafisk metode

OPPGAVE 4

B y C x 30 60 D

FB

A FA = 300 N Figuren viser en bt som trekkes i en kanal av to personer , A og B. A trekker med kraften FA = 300 N i en vinkel p 60 i forhold til midtlinjen i kanalen (linje CD ), mens B trekker i en vinkel p 30 i forhold til CD. Hvor stor kraft, FB , m B trekke med for at bten skal g rett fram langs CD ? Hvor stor blir resultantkraften av FA og FB langs CD ?

OPPGAVE 5 F = 20 kN B C

4m

A 3m

Figuren viser to staver AC og BC som er festet til en vegg og til hverandre med bolter, slik at de danner en stiv konstruksjon. I bolten i C virker en vertikal last F = 20 kN. Bestem kreftene i stavene, og angi om det er strekk eller trykk.

OPPGAVE 6Staven i figur 3.19 i lreboka er n i tillegg til kraften K belastet med en kraft F = Fey, hvor F = 10 kN. Alle de geometriske betingelsene er de samme. Reaksjonskraften D fra kuleleddet og taukreftene S1 i AB og S2 i AC skal da bestemmes. Utregning skal vises.

3m B x

z

2.1m

C A

7.2m 9.6m K

y F

D

OPPGAVE 7 Hva kjennetegner et kraftpar? Hvilken av skissene nedenfor er ikke kraftpar? Er noen av kraftparene ekvivalente? I tilfelle ja, hvilke?

a. 10N 3m 10N

b. 15N 3m 15N

c. 5N 6m 5N

d. 15N 2m 15N

OPPGAVE 8 Hvilke parametre bestemmer momentet av en kraft om et punkt P? Figuren nedenfor viser en fastnkkel som dreier en mutter rundt punktet P med kraften F = 10N normalt p hndtaket (se figur), og armen a = 20cm. Hvor stor m kraften vre dersom vi reduserer armen, alts angrepspunktet for kraften, med 15cm. Momentet p mutteren skal vre det samme.

P

F a

OPPGAVE 9 10kN 4kN B A 2m 2m 2m 3m C 8kN

6kN

Figuren viser en bjelke ABC som er opplagt p et fast leddlager i A og et glidelager (forskyvelig leddlager) i B. a Bestem reaksjonskreftene fra lagrene p bjelken nr bjelken belastes med konsentrerte laster som vist p figuren. Bestem reaksjonskreftene fra lagrene p bjelken nr bjelken belastes i hele sin lengde av en jevnt fordelt vertikal, nedoverrettet last med intensitet q = 3 kN/m

b

OPPGAVE 10 Bjelke F = 100 kN

G = 50 kN

Fundament

2m

1m

2m

1m

En 6 m lang, jevntykk bjelke har tyngden G konsentrert p midten. Bjelken hviler fritt p et fundament, som vist ovenfor. En last F virker vertikalt p bjelken. Finn det strste omrde av bjelken hvor F kan st, dersom bjelken skal vre i stabil likevekt.

OPPGAVE 11 En enarmet vektstang er angrepet av kreftene 30 kN og G, som vist i figuren nedenfor. Understttelsen i A er et friksjonsfritt leddlager (fastlager) som kan oppta krefter bde i x- og y-retning. Det skal forutsettes at AB er i likevekt. Hvor stor m lasten G vre? Finn reaksjonskomponentene Ax og Ay i lager A. 30 kN G B A 60

1m

3m

OPPGAVE 12 P en kasse virker kraftparene som vist i figuren nedenfor. Bestem F slik at kassen ligger i ro, dvs. at den er i likevekt. Kontroller ogs dreieretningen p det ukjente kraftparet.

5N F 2m F

5m

5N 15N 15N 3m

15N 10N 3m 10N

OPPGAVE 13 F 2m 4m F C

F 2F

F

A

F 1m F 4m

B

Figuren over viser en trekantskive ABC som er opplagret med et fast boltelager i A og et glidelager i B. Ved A har skiven et rett hjrne (90). Skiven belastes av krefter som vist i figuren. Alle kreftene virker vinkelrett p skivens sidekanter. Kraften 2F virker midt mellom B og C. Bestem alle opplagerreaksjonene nr F = 5 kN.

OPPGAVE 14 Avgjr om systemene nedenfor er statisk bestemt, ubestemt eller underbestemt. Dersom statisk bestemt, finn opplagerreaksjonene. (Hint: bjelkene i b er bundet sammen med et bolteledd, dvs. at konstruksjonen kan deles i to deler i analysen).

q a. F b.

L/2

L/2

L/2

L/2

c.

F

d.

F

L/2

L/2

L/2

L/2

OPPGAVE 15Konstruksjonen nedenfor bestr av to like bjelker, AB og BC, som er forbundet med et bolteledd i B. Bjelken AB er belastet med en punktlast F = 10kN p midten som vist i figuren, og det virker en jevnt fordelt horisontal last q = 3kN/m over BC. Er konstruksjonen statisk bestemt? Illustrer kreftene som virker p elementene. Finn lagerreaksjonene i A og C, samt leddkreftene i B. B q 60 F

A

4m

C

OPPGAVE 16

a.A

R q1(x)x x1 L

b. qB A

q2(x)x x2 L

R qB

a

Figur a. viser en "konkav" parabelformet lastfordeling q1(x) langs AB, med maksimal intensitet q i B.

q1 ( x) =

q 2 x L2

Bestem strrelse av lastresultanten R1 , og avstand fra A til resultantens angrepslinje, x1 . b Figur b. viser en "konveks" parabelformet lastfordeling q2(x) langs AB, med maksimal intensitet q i B.q2 = q q 2 L x) 2 ( L

Bestem strrelse av lastresultanten R2 , og avstand fra A til resultantens angrepslinje, x2 .

OPPGAVE 17

q

Ax

B

L/3

2L/3

Figuren over viser en fritt opplagt bjelke (fast boltelager i A og glidelager i B) som er belastet med en linert fordelt trekantlast med maksimalintensitet q. a Bestem lastresultantens strrelse R , og avstand fra opplager A til lastresultantens angrepslinje, x . b Beregn opplagerreaksjonene p bjelken pga den fordelte lasten.

OPPGAVE 18damluke

vannoverflate

p 2m

A 0,4m

En rektangulr damluke kan rotere om en horisontal aksel gjennom punkt A, og den er holdt fast mot rotasjon med et jevnt fordelt trykk p p utsiden av luken over akselen (se figur). Vannhyden er 2 m og avstanden fra bunn til aksel er 0,4 m. Hvor stort m trykket p vre slik at damluken ikke begynner rotere? Densiteten til vann kan regnes som = 103 kg/m3.

OPPGAVE 19

q = 10 kN/m

A 2m 6m

B 2m

C 4m

D 2m

Figuren viser en sammensatt bjelkekonstruksjon med et indre bolteledd i C. Bjelken er opplagret med et fast leddlager i A, og glidelager i B og D. Bjelken er belastet med en jevnt fordelt last med konstant intensitet, q = 10 kN/m. a b Vis at konstruksjonen er statisk bestemt. Beregn reaksjonskrefter i A, B og D, og leddkrefter i C.

OPPGAVE 20

Rammen i figuren nedenfor er pkjent av en jevnt fordelt last q = 10 kN/m mellom D og A, samt en vertikal punktlast K = 50 kN ved C. Vis at rammen er statisk bestemt og finn alle opplagerreaksjoner. q D E

4m

C B K A 3m

2m

2m

OPPGAVE 21

Konstruksjonen nedenfor er belastet med to vertikale krefter K = 15 kN, midt p BC og CD, og jevnt fordelte laster p AB og DE, q = 4 kN/m. Det er innfrt et bolteledd ved C, og rammen er fastholdt mot vertikale og horisontale bevegelser ved A og E. Utnytt symmetri og finn opplagerkreftene i A og E, samt leddkreftene i C.

B

K

C

K

D

8m q q

A

E

4m

4m

OPPGAVE 22

A

E

3m B C 4m 4m

F = 20 kN

D

Figuren viser et ideelt fagverk som er opplagret med faste leddlagre i A og B, og som er belastet med en vertikal konsentrert last F = 20 kN i D. a Vis at konstruksjonen er statisk bestemt.

b Beregn opplagerreaksjoner og stavkrefter, og vis p figur og/eller i tabell om stavkreftene er strekk- eller trykkrefter.

OPPGAVE 23

F D 7 E

4m

3|

4

5

6

A

1

B

2

C

K

3m

3m

Figuren ovenfor viser et fagverk ABCDE som er belastet med en vertikal last F = 10 kN i D, og en horisontal last K = 5kN i C. Vis at fagverket er statisk bestemt. Samtlige stavkrefter og lagerreaksjoner skal bestemmes, og presenter resultatene i en tabell.

OPPGAVE 24

10 H 4m A 6m C 50 6m I

10 J

10

10 K

10 L

D

50 6m

E

50 6m

F

50 6m

G

B 50 6m

Figuren viser et ideelt fagverk som er opplagret med fast leddlager i A og glidelager i B. Fagverket er belastet med 10 kN i knutepunktene i overkant, og 50 kN i knutepunktene i underkant. a b Vis at fagverket er statisk bestemt. Beregn kreftene i stavene HI, DI, DE , EF, EK og JK ved bruk av "snittmetoden". Angi om det er strekk- eller trykkrefter.

OPPGAVE 25

En sammensatt konstruksjon bestr av en bjelke ABC og tre staver BE, EC og DE. Delene er forbundet med bolteledd og konstruksjonen er festet til en vegg med faste leddlager ved A og D. Konstruksjonen er belastet med en vertikallast 10 kN i C. Bestem samtlige krefter som virker p bjelken ABC.

10 kN A B C

2m

D 2m

E 2m

OPPGAVE 26

C 2m D 2m 2 kN

10 kN E y

2m A 4m 2m 2m B

x

Figuren viser en treleddramme med stive hjrner i D og E. Som ordet treleddramme indikerer, har rammen tre ledd: Faste leddlagre i A og B, og et indre ledd i C. a b c d Beregn reaksjoner i A og B, samt leddkrefter i C. Beregn hjrnekrefter i D og E, referert til xy-systemet. Beregn bjelkeendekrefter for bjelkedel DC, virkende i DCs lengderetning og normalt DC Vis hvordan lastsituasjonen i figuren over kan splittes i et symmetrisk og et antisymmetrisk tilfelle, og beregn reaksjoner i A og B, og leddkrefter i C ved benytte symmetri- og antisymmetribetingelsene. Sammenlign med resultatene fra sprsml a).

OPPGAVE 27

Bestem resultanten R av kreftene og skjringspunktet (x, z) mellom resultanten og xz- planet i figuren nedenfor. Alle kreftene i systemet er parallelle med y- aksen.

z 2m 100 N

200 N

90 N 2m O y 250 N x

OPPGAVE 28

Konstruksjonen nedenfor er pvirket av krefter i x-, y- og z- retningen. Den har et punktlager i A, rullelager i C og aksialstaver i B og D. Konstruksjonen er belastet i E med en kraft 100 kN i negativ z-retning, og en kraft 50 kN midt p BC i negativ y-retning. Koordinatene i figuren er gitt i meter. Beregn lagerreaksjonene i A, B, C og D. E(-1,1,z) 100 kN

D(-2,0,0) z y A(0,0,0) x

C(-2,2,0) 50 kN B(0,2,0)

OPPGAVE 29

Beregn snittkrefter M(x) og V(x) for bjelkene nedenfor. Tegn momentog skjrkraftdiagram.

a) F A B

b)

q

A

L

L

c) q B A C F = qL/2

L/2

L/4

L/4

OPPGAVE 30

20 kN 10 kN 5 kN

2m

2m

2m

2m

Figuren viser en fritt opplagt bjelke som er pkjent av tre konsentrerte laster. a b Bestem opplagerreaksjoner. Beregn og tegn byemoment- og skjrkraftforlp, hhv M(x) og V(x), langs bjelken. Vis retning av M og V med virkningssymboler i diagrammene.

OPPGAVE 31

10 kN

5 kN

2m

2m

2m

Figuren viser en fritt opplagt bjelke med overheng, som er pkjent av to konsentrerte laster. a b Bestem opplagerreaksjoner. Beregn og tegn byemoment- og skjrkraftforlp langs bjelken. Vis retning av M og V med virkningssymboler i diagrammene.

OPPGAVE 32

q = 10 kN/m

4m

4m

Figuren viser en fritt opplagt bjelke som er pkjent av en jevnt fordelt last over halve bjelken. a b Bestem opplagerreaksjoner. Beregn og tegn byemoment- og skjrkraftforlp langs bjelken. Vis retning av M og V med virkningssymboler i diagrammene.

OPPGAVE 33

Beregn opplagerreaksjonene, og beregn deretter momentog skjrkraftsdiagram for bjelken vist nedenfor.

2F A

F B

L/2

L/4

L/4

OPPGAVE 34

20 kN D

10 kN/m

A

B

C

3m

1m

2m

6m

Figuren viser en sammensatt bjelke med ledd i D . Bjelken er opplagret med fast boltelager i A , og glidelager i B og C. Laster er vist p figuren. a b Bestem opplagerreaksjoner og leddkrefter. Beregn og tegn byemoment- og skjrkraftdiagram langs bjelken. Vis retning av snittkreftene med virkningssymboler i diagrammene.

OPPGAVE 35

Konstruksjonen nedenfor er fast innspent ved A. En jevnt fordelt last q = 10 kN/m virker p DE, og en punktlast F = 50 kN angriper rammen vertikalt ved C. Finn alle opplagerreaksjoner. Bestem snittkreftene M(x) og V(x), og tegn momentog skjrkraftdiagram for rammen ABCDE.

q D E

3m B C 3m F A

3m

OPPGAVE 36

Rammen nedenfor (jfr oppgave 20) er pfrt en jevnt fordelt last q = 10 kN/m langs AD, samt en vertikal punktlast K = 50 kN ved C. Beregn moment- , skjrkraftog aksialkraftdiagram. D q E

4m

C B K A 3m

4m

OPPGAVE 37

D C

20 kN/m E

5m A 2m 4m B

Figuren viser en ramme med faste leddlager i A og B, ledd i C og stive hjrner i D og E. Rammen er belastet med en jevnt fordelt last langs CE. a b Beregn opplagerreaksjoner i A og B, og leddkrefter i C. Beregn og tegn byemoment-, skjrkraftog aksialkraftdiagram for hele rammen. Vis retning av snittkreftene med virkningssymboler i diagrammene.

OPPGAVE 38

Treleddrammen nedenfor (jfr oppgave 21) er belastet med to vertikale krefter K = 15 kN, midt p BC og CD, og jevnt fordelte laster p AB og DE, q = 4 kN/m. Det er innfrt et bolteledd ved C, og rammen er fastholdt mot vertikale og horisontale bevegelser ved A og E. Utnytt symmetri og beregn moment-, skjrkraftog aksialkraftdiagram.

B

K

C

K

D

8m q q

A

E

4m

4m

OPPGAVE 39

B

C

F

2L q

A

D

L

Beregn og tegn M-, V- og N-diagram for rammen. Sjekk likevekt i alle knutepunkter og opplager. Snitt ut og tegn inn snittkreftene fra M-, V- og N-diagram i knutepunktene.

OPPGAVE 40

p

Hovedbjelke stag q dekke q hovedsyle

q

A

B

4m

5m

10m

5m

4m

Oppgitt:

Egenvekt pluss nyttelast p hvert dekke: q = 60 kN/m Egenvekt av bjelke: p = 10 kN/m

Figuren viser tre dekker som er nedhengt fra en stor bjelke. Bjelken er festet til to store syler, som vist i figuren. Denne konstruksjonen er en del av Realfagbygget p Glshaugen (etasjene over kjkkenet i Realfag-kantina). a b c d e Finn opplagerkraft mellom stag og et dekke. Vis forlpet av strekk i stag oppover. Bestem momentog skjrkraftdiagram for dekke. Finn kreftene i hovedsylene. Bestem momentog skjrkraftdiagram for hovedbjelke.

OPPGAVE 41

C R0

p

A

B

Den tre-leddede sirkelbuen i figuren over er utsatt for fordelt normaltrykk p (kN/m) (hydrostatisk) regnet per lengdeenhet langs buen. a b c Finn opplagerreaksjonene uttrykt ved p, R og 0. Finn aksialkraft ved leddet C. Vis at byemomentet langs buen er lik null. Hint: Velg et snitt, og bruk R og til snittet som stedskoordinater. Finn aksialkraften langs buen, og sjekk i forhold til b)

d

OPPGAVE 42

F/2

F

F/2

a A B

a

a

a

a

a b c d e

Betrakt konstruksjonen som en bjelke og finn opplagerkrefter. Tegn M- og V-diagram. Finn diagonalkreftene fra V-diagram. Finn horisontale stavkrefter fra M-diagram. Sjekk med fagverksanalyse.

OPPGAVE 43

y

y

75

50

300 200 75 x 100 50 150 50 Tverrsnitt 2 y 50 100 x

Tverrsnitt 1

Alle ml 300 i mm

x 200 Tverrsnitt 3

a

Bestem beliggenhet av arealsenter (tyngdepunkt) C for tverrsnittene gitt i figurene under, referert til de gitte koordinatsystemene. Tverrsnittene er symmetriske om yaksen, som gr gjennom arealsentrene. Beregn andre arealmoment (treghetsmoment) , Ix , om x-akse gjennom tverrsnittenes arealsentre.

b

OPPGAVE 44

Figurene a, b og c nedenfor representerer tre ulike flater. Finn arealmomentene og lokaliser arealsentrene for alle figurene. I oppgave b) skal man bestemme arealsentrene for A1 og A2 hver for seg og deretter for det samlede arealet. Alle mlene er i meter. f(x) = x3/3 a) 6 b) y

2 5 y A2 A1 x 3 3 x

c)

y

3

x 3

OPPGAVE 45

F D

3m 3 4 5

A 1 2m B 2 2m

C

Fagverket ovenfor bestr av 5 staver. Konstruksjonen er fritt opplagt. En vertikal kraft F = 10 kN virker p punkt C som vist i figuren. Alle stavene har sirkulrt tverrsnitt med radius lik 30 mm. a b Finn opplagerreaksjoner og stavkreftene. Finn spenningene i stavene, angi trykk- eller strekkspenning.

OPPGAVE 46

Systemet nedenfor bestr av tre staver og en bjelke. Bjelken henger i de tre stavene. Lengden av stavene a er halvparten av b. Kreftene F = 10 kN virker vertikalt p bjelken som vist i figuren.

b Lb=2L a a La=L

E = 210 GPa A = 500 mm2 L=3m

F

F

Beregn stavkreftene og forskyvningen av bjelken p grunn av F.

OPPGAVE 47

Uendelig stiv bjelke B A 2m 2m F = 30 kN

2m

C

Figuren viser en uendelig stiv bjelke som er lagret med fast leddlager i A, og opphengt i to stlstag med tverrsnittsareal 500 mm2 i B og C. Bjelken belastes med en vertikallast F ved enden C. Elastisitetsmodulen for stl regnes lik E = 210 GPa. a b Vis at konstruksjonen er statisk ubestemt. Beregn opplagerreaksjon i A og aksialkrefter i de to stagene ved hjelp av likevektsligningene og en deformasjonsligning. Beregn den vertikale forskyvningen av bjelkeenden ved C .

c

OPPGAVE 48

A 60

1m 60

B

1m

1m

60 C Et kompakt bjelketverrsnitt av betong er vist ovenfor, i form av en likesidet trekant. a b Beregn 2. arealmoment om horisontal tyngdepunktakse. Hvilket punkt i tverrsnittet fr makismal spenning fra byning om horisontal akse?

OPPGAVE 49145 16 y q=2.5kN/m 10 200

L=8m z

En fritt opplagt bjelke med konstant tverrlast q = 2.5 kN/m og lengde L = 8 meter har et Ttverrsnitt. Tversnittet er sveist opp av to plater med dimensjon 200 mm x 10 mm (steg) og 145 mm x 16 mm (flens). NB: I denne oppgaven er z-aksen nedover!! a b Beregn og tegn bjelkens momentog skjrkraftdiagram. Beregn tverrsnittets arealsenter / tyngdepunkt vhja. frste arealmoment, Sy. (Merk: tverrsnittet er symmetrisk om z-aksen.) Beregn tverrsnittets 2. arealmoment Iy vha. Steiner's teorem. Beregn byespenningsfordelingen () over tverrsnittet i bjelkesnittet som er strst pkjent.

c d

OPPGAVE 50

Flens 200mm q = 30 kN/m 10mm 200mm L = 6m y 20mm 20mm Steg z

Figuren viser en fritt opplagt stlbjelke med tynnvegget I-tverrsnitt. a Beregn maksimalt byemoment i bjelken b Beregn 2. arealmoment Iz gjennom tverrsnittets tyngdepunkt c Beregn maksimal byespenning, og skisser byespenningsforlpet over tverrsnittet d Beregn hvor stor andel av byemomentet som tas av hhv flensene og steget i tverrsnittet

OPPGAVE 51

150mm

25mm 25mm150mm

F = 8kN 25mm C z y y Trdstift 2m 2m

x

25mm

Bjelketverrsnitt

Figuren viser en fritt opplagt bjelke med en konsentrert last p midten. Bjelketverrsnittet er satt sammen av fire trebord med dimensjon 25mm150mm (16), som spikres sammen i hjrnene med trdstift med avskjringskapasitet 1,1 kN pr stift. a b Tegn momentog skjrkraftdiagram for bjelken. Beregn og tegn byespenningsforlpet over tverrsnittshyden. Har bjelken tilstrekkelig kapasitet mot byning nr materialfastheten er fd = 15 N/mm2 ? Beregn akseparallell skjrkraft i snittene hvor bjelkene spikres sammen, og bestem ndvendig antall trdstift pr meter langs bjelken i hvert hjrne. Beregn og tegn skjrspenningsforlpet over hyden i sideveggene i tverrsnittet. Angi strrelse av maksimal skjrspenning. Beregn hvor stor andel av skjrkraften som tas av sideveggene i tverrsnittet.

c

d

e

Sprsmlene c, d og e omhandler akseparallell skjrkraft og skjrspenninger pga skjrkraft V. Dette er ikke pensum i TKT4116 Mekanikk 1 (men det blir pensum i Mekanikk 2).

OPPGAVE 52

Tverrsnitt : q = 8 kN/m

h=? L = 10m b = 120mm

Figuren viser en fritt opplagt limtrebjelke med bredde 120 mm. Elastisitetsmodulen til tre settes til E = 10000 N/mm2, og fastheten (tillatt normalspenning) settes til f = 16 N/mm2. Videre kreves det at bjelken ikke fr strre nedbyning enn L / 200 . a b Bestem ndvendig tverrsnittshyde for bjelken for at fastheten ikke skal overskrides. Bestem ndvendig tverrsnittshyde for bjelken for at nedbyningskravet ikke skal overskrides. Hvilket krav blir avgjrende for tverrsnittshyden ?

c

OPPGAVE 53

F A L B L/2 C

Figuren viser en fritt opplagt bjelke med overheng. Bjelken er belastet med en konsentrert last F p den fri enden ved C. Bjelkens byestivhet er EI. Utled et uttrykk for nedbyningen av den fri enden i C pga lasten F. (Hint : Benytt formler for helning og utbyning for standardtilfeller)

OPPGAVE 54

Du har ftt i oppdrag bygge en hengebro over en elv. Broen skal bre en egenvekt 80 kN/m og en nyttelast 50 kN/m. Fritt spenn er 140 m, og det frie brospennet bres av 2 kabler mellom to like hye trn. Pilhyden skal vre 12 m. Beregn horisontalstrekket S0, maksimalstrekket i kablene og lengden av hver kabel mellom trnene. Hvilken form fr kablene/broen?.

OPPGAVE 1

m = 590 N s2 Da kan man konstruere kreftene lett p et ruteark, hvor en setter av tyngden som 5,9cm i vertikalretning, og snorkreftene fullfrer kraftpolygonet. Disse kan da mles. Resultanten av de to snorkreftene er selvsagt lik tyngden.Klossens tyngde er G = m g = 60kg 9,81

Avlesning p ruteark gir S = 310N G S S

OPPGAVE 2

Vertikal kraft i C pga massen til loddet : G = mg = 609,81 = 588,6 N Grafisk lsning: A R = G = 588,6 B

FCA

FCB C

G Mling i figuren gir strekkrefter i tauene: FCA 440 N ; FCB 280 kN Vinkel mellom tauene : = arctan (0,5/1,0) + arctan(1,0/1,0) = 26,57 + 45 = 71,57 Cosinussetningen : R2 = FCA2 + FCB2 + 2FCAFCBcos = 4402 + 2802 + 2440280cos71,57 = 349898 som gir : R = 591,5 N (riktig verdi er 588,6) Nyaktighet av grafisk lsning : 591,5/588,6 = 1,005 , dvs 0,5% avvik .

OPPGAVE 3

60kN 45kN y 5 2 x 5 3 20kN 30kN

40kN Algebraisk metode: Rx = Fx = 20 + 30cos[arctan(5/3)] - 45cos[arctan(5/2)] = 20 + 30cos59,04 - 45cos68,2 = 20 + 300,5145 - 450,3714 = 18,72 kN Ry = Fy = 60 - 40 + 30sin59,04 + 45sin68,2 = 20 + 300,8575 + 450,9285 = 87,51 kN Resultant : R = Rx2 + Ry2 = 18,722 + 87,512 = 89,5 kN Resultantens vinkel med x-aksen : = arctan (Ry/Rx) = arctan(87,51/18,72) = 77,93 Grafisk :

R

x

Mling av R og gir tilnrmet samme resultat som med den algebraiske metoden

OPPGAVE 4

Bten gr rett fram langs CD dersom Ry = Fy = 0 Dvs.: FBsin30 = FAsin60 FB = FAsin60/sin30 = 3000,866/0,5 = 519,6 N Resultantkraft langs CD finnes av: R2 = FA2 + FB2 + 2FAFBcos(60+30) = 3002 + 519,62 som gir : R = 600 N ( Eller: =0

R = Rx = Fx = FAcos60 + FBcos30 = 150 +450 = 600 N)

OPPGAVE 5

Betrakter likevekt av bolten i C. Velger strekk fra stav p bolt med positivt fortegn.

y NCB x

F = 20 kN C

NCA = arctan(4/3) = 53,13 sin = 0,8 ; cos = 0,6 Fy = 0: NCAsin + 20 = 0 NCA = - 20/sin = -20/0,8 = - 25 kN (negativ, dvs. trykk) Fx = 0: NCB + NCAcos = 0 NCB = - NCA0,6 = - (-25)0,6 = 15 kN (positiv, dvs. strekk)

OPPGAVE 6

Stavlengden og taulengdene blirAD = 9, 62 + 7, 22 = 12m AB = 7, 22 + 32 = 7,8m AC = 7, 22 + 2,12 = 7,5m

Retningsvektorene blir 3 7, 2 e1 = , , 0 i retning S1 7,8 7,8 2,1 7, 2 e2 = , , 0 i retning S2 7,5 7,5

7, 9, 6 e3 = 0, , 12 12

i retning D

Dermed fr vi flgende likevektslikninger:3 2,1 + S2 2,8kN = 0 7,8 7,5 7, 2 7, 2 7, 2 Fy = 0 S1 7,8 + S2 7,5 + D 12 + 10kN = 0 9, 6 Fz = 0 D 12 9, 6kN = 0 S1 = 11,95kN , S 2 = 6, 42kN , D = 12kN

F

x

= 0 S1

OPPGAVE 7

1) Kjennetegn ved kraftpar: dreiemomentet T, kraft multiplisert med arm dreieretningen, angis med eller mot urviser orientering av kreftenes plan, plannormalen

2) Av skissene gitt i oppgaven er det bare alternativ b som ikke er et kraftpar 3) a og c er ekvivalente kraftpar

OPPGAVE 8

Momentet av en kraft F om et punkt P er karakterisert ved: 1. MP = F a, momentets strrelse 2. dreieretning, kraften vil dreie elementet med eller mot urviseren. 3. plannormalen e til planet gjennom F og P. Fastnkkelen er initielt pfrt momentet M P = 10 N 0,20m = 2 Nm . Dette momentet skal vre det samme ogs etter at vi har redusert avstanden mellom kraftens angrepspunkt og P, slik at M P = 2 Nm = 0,05m Fny Fny = 40 N

OPPGAVE 9 a Fritt-legeme-diagram :

10kN 4kN Ax A

8kN

6kN B C

2m Ay Fx = 0 : MA=0 : Fy = 0 :

2m

2m By

3m

Ax = 0 By6 - 42 - 104 - 86 - 69 = 0 By = (8 + 40 + 48 + 54)/6 = 25 kN Ay + By - 4 - 10 - 8 -6 = 0 Ay = 4 + 10 + 8 + 6 - 25 = 3 kN

b Fritt-legeme-diagram :

q = 3 kN/m A C B 2m Ay 2m 2m By 3m

Ax

Fx = 0 : Ax = 0 MA=0 : By6 - q9(9/2) = 0 By = 394,5/6 = 20,25 kN Fy = 0 : Ay + By - q9 = 0 Ay = 39 - 20,25 = 6,75 kN

OPPGAVE 10

F

F

x

y

G F x = G 1m 50 = 0,5m x = 1m 100 F y = G 2m 50 = 1m y = 2m 100 Nr F str i dette omrdet, er bjelken stabil. Ved endepunktene av omrdet, er likevekten labil (dvs. velting kan skje!).

Velting om venstre kant:

Velting om hyre kant:

0,5m

G

OPPGAVE 11

a) Finne G:

M

A

= 0 G 1 30 sin(60) 4

G = 103,92kN

b) Opplagerreaksjoner i A:

F F

Ax = 0 Ax 30 cos(60) = 0 = 0 Ay + 30 sin(60) G = 0

A

x

Ax = 15kNy

Ay

Ay = 103,92 25,98 = 77,94kN

OPPGAVE 12

Ved likevekt er summen av alle kraftparene som virker p kassen lik null. Dette medfrer:5 N 5m + 15 N 3m 10 N 3m + F 2m = 0 F = 20 N

slik at F virker motsatt vei av det som er angitt p figuren i oppgaveteksten. Dette virker jo rimelig, idet vi legger merke til at F m motvirke den sterke dreiningen fra de andre kreftene med urviseren.

OPPGAVE 13 Fritt-legeme-diagram :

F F 2m 4m C 2F

F F Ax Ay F 1m 4m By F

Lengde av BC : LBC = 42 + 42 = 5,66 m MA = 0 : By4 + F1 - F2 - F5,66 = 0 (Kraften 2F p BC gr gjennom A, og gir null bidrag) By = 5(2 + 5,66 -1)/4 = 8,33 kN Fx = 0 : Ax - 2F/2 = 0 (Kraftparene gir ingen kraftkomponent ) Ax = 25/2 = 7,07 kN Fy = 0 : Ay + By - 2F/2 = 0 Ay = 25/2 - 8,33 = - 1,26 kN

(dvs. Ay virker motsatt retning p figuren)

OPPGAVE 14

Alternativ a. er statisk ubestemt. Alternativ c. er statisk underbestemt Alternativ b. og d. er statisk bestemt. (Skal vises med samsvar mellom likevektslikninger og ukjente reaksjoner) Opplagerreaksjoner for b. og d.: By b. MA Ay Ax A B Bx Bx By Cy Konstruksjonen deles opp i to elementer, og kreftene settes p (belastningen er ikke tegnet inn her). Vi fr da seks likninger og seks ukjente, alts statisk bestemt. Kraftlikevekt og momentlikevekt om punkt B for elementet til hyre gir at Fx = 0 Bx = 0L qL = 0 Cy = 2 4 qL qL Fy = 0 B y + C y = 0 B y = 2 4

C

M B = 0 q Cy

L L 2 4

Kraftlikevekt og momentlikevekt om punkt A for venstre element gir: Fx = 0 Ax = 0

F

y

= 0 Ay B y

3qL qL = 0 Ay = 2 4

qL L L qL2 M A = 0 2 4 + By 2 M A = 0 M A = 4 d. Ax A Ay B By F

Kraftlikevekt og momentlikevekt om punkt A gir: Fx = 0 Ax = 0

M F

A

y

L F L = 0 B y = 2F 2 = 0 Ay + B y F = 0 Ay = F = 0 By

OPPGAVE 15

Bx By F

By q

Ax Cx Ay Cy

a) Konstruksjonen har 6 ukjente, to elementer og flgelig 6 likevektslikninger. Den er statisk bestemt. b) Ytre likevekt gir:

M

C

= Ay 4 + 10 3 3 2 3 3 = 0 (5 3 9) (5 3 9) Cy = 2 2

Ay =

Ser p element AB, og finner:

M F

B

= Ay 2 Ax 2 3 10 3 = 0 3 3 15 3 3 5 B x = 10 + Ax = + 2 2 2 2 (5 3 9) 2

Ax =

y

= 0 By =

Ytre likevekt gir da igjen: Fy = 0 C y = Ay =(5 3 9) 2 5 2 9 3 2

Fx = 0 Ax + C x + 10 3 2 3 = 0 C x = + Alle svar er i kN

OPPGAVE 16 a)

q 2 q L x3 qL R 1 = q1 (x )dx = 2 x dx = 2 | ( ) = 3 L 0 3 0 0LL L

3 3 q L x4 1 L 1 L q 2 | x1 = q1 (x ) xdx = qL 3 L2 x xdx = qL L2 0 ( 4 ) = 4 L R1 0 0

b)

L L L q 1 2 R 2 = q 2 (x )dx = q 2 (L x ) dx = q 1 2 L2 2Lx + x 2 L L 0 0 0 L 1 1 1 2 2 = q x 2 x 2 dx = q | x 2 2 x 3 = qL L 3L 0 L 3 0 L L

(

)dx

1 L 1 L q q L 2 x 3 x 4 2 x2 = | q 2 (x ) xdx = R qx L2 (L x ) x dx = 2qL 3 0 3L 4L2 R2 0 2 0

5 x2 = L 8

OPPGAVE 17

5L/9 2L/9 R1

RR2

q

A

B

xL/3 2L/3

a)

R1 = 0,5qL/3 = qL/6 R = R1 + R2 = qL/2

;

R2 = 0,5q2L/3 = qL/3

Rx = R12L/9 + R25L/9 = (qL/6)2qL/9 + (qL3)5qL/9 = 2qL2/9 x = (2qL2/9)/(qL/2) = 4L/9b)

Fritt-legeme-diagram : R = qL/2 4L/9

Ax Ay L Fx = 0 : Ax = 0 MA = 0 : ByL = (qL/2)4L/9 = 2qL2/9 By = 2qL/9 Fy = 0 : Ay = qL/2 - By = qL/2 - 2qL/9 = 5qL/18 By

OPPGAVE 18

p h = 2m Rw A

Rp 1,6m

0,8m x-0,4 x 0,4m q Vanntrykk ved bunn : q = gh = 1039,812 = 19620 N/m2 = 19,62 kN/m2 Resultant av vanntrykk : Rw = qh/2 = 19,622/2 = 19,62 kN/m (dvs. pr meter normalt papirplanet ) Resultantens angrepslinje over bunn : x = h/3 = 2/3 = 0,67 m Resultant av jevnt fordelt trykk p : Rp = p1,6 Like fr luka pnes m MA = 0 : Rp0,8 = Rw ( x - 0,4) p1,60,8 = 19,62(0,67 - 0,4) p = 4,14 kN/m2 (Dersom p < 4,14 kN/m2 pner luka seg)

OPPGAVE 19

F-L-D for de to bjelkedelene : q = 10 kN/m q = 10 kN/m

Ax

A Ay

B By 6m 2m

C Cx Cy

Cx C Cy 4m

D Dy 2m

2m

a) 4 ukjente reaksjoner: Ax , Ay , By , Dy

2 ukjente leddkrefter : Cx , Cy 6 ukjente 2 konstruksjonselementer med 3 likevektslign. hver 6 L.V.L Dvs.: Konstruksjonen er statisk bestemt !b) Hyre bjelkedel :

Fx = 0 : Cx = 0 Mc = 0 : Dy4 - q63 = 0 Dy = 1063/4 = 45 kN Fy = 0 : Cy + Dy - q6 = 0 Cy = - 45 + 106 = 15 kN Venstre bjelkedel : Fx = 0 : Ax = Cx = 0 MA = 0 : By6 - Cy8 - q84 + q21 = 0 By = (158 + 1084 - 1021) / 6 = 70 kN Fy = 0 : Ay + By - Cy - q10 = 0 Ay = - 70 + 15 + 100 = 45 kN

OPPGAVE 20

Rammen har 3 opplagerreaksjoner (se figur nedenfor). Samtidig finnes 3 likevektslikninger, slik at den er statisk bestemt. Dermed kan vi bestemme de ukjente opplagerkreftene:

F F

y

= 0 = Ay K Ay = 50kN = 0 = Ax q 7 Ax = 70kNA

x

M

= 0 = q7

7 + K 4 M A M A = 445kNm 2

Ax Ay

MA

OPPGAVE 21

q

K Cy

Cy Cx

K

q

p

Ax Ay

Ex Ey

Et plan gjennom p-aksen og normalt p figurplanet er her et symmetriplan for konstruksjonen. Den jevnt fordelte lasten q er ogs plassert symmetrisk med hensyn til dette planet. De to halvdelene ABC og CDE m representere speilbildet av hverandre. Det betyr at de usymmetriske reaksjonskreftene Cy m vre null. Dessuten m Ax = Ex og Ay = Ey. Antall ukjente reaksjoner er dermed redusert fra seks til tre, og disse kan bestemmes ved se p den ene av de to halvdelene. Betrakter venstre halvdel: M A = 0 = K 2 + q 8 4 C x 8 C x = 19,75kN Fx = 0 = Ax + C x q 8 Ax = 12,25kN = E x F y = 0 = A y K A y = 15kN = E y

OPPGAVE 22

Ax Ay 3m Bx

E

F = 20 kN

C By 4m 4m

D

a) Antall reaksjoner : r = 4 Antall staver : s=6 Antall knutepunkter = k = 5

r + s = 10 ukjente 2k = 10 L.V.L

Dvs.: r + s = 2k Konstruksjonen er statisk bestemt !b) Hele fagverket :

MA = 0 : Bx3 - 208 = 0 Fx = 0 : Ax + Bx = 0 Knutepunkt B : 53,3 By B NBC

Bx = 160 / 3 = 53,3 kN Ax = - Bx = - 53,3 kN (motsatt retning som p figur)

Fy = 0 : By = 0 (kunne vrt sett direkte siden BC er aksialstav som gir retningen p opplagerreaksjonen i B ) Fx = 0 : NBC + 53,3 = 0 NBC = - 53,3 kN (negativ TRYKK )

Hele fagverket : Fy = 0 : Ay - 20 = 0 Ay = 20 kN Knutepunkt A : = arctan (3/4) = 36,87 sin = 0,6 53,3 A 20 NAC NAE Fy = 0 : NACsin - 20 = 0 NAC = 20 / 0.6 = 33,3 kN (positiv STREKK) Fx = 0 : NAE + NACcos - 53,3 = 0 NAE = -33,30,8 + 53,3 = 26,7 kN (positiv STREKK ) cos = 0,8

Knutepunkt C : NCE 33,3 53,3 C NCD Fy = 0 : NCE + 33,3sin = 0 NCE = - 33,30,6 = - 20 kN ( TRYKK) Fx = 0 : NCD + 53,3 - 33,3cos = 0 NCD = - 53,3 + 33,30,8 = - 26,7 kN (TRYKK)

Knutepunkt E : Fy = 0 : NEDsin - 20 = 0 26,7 E 20 NED NED = 20 / 0,6 = 33,3 kN (STREKK)

Har n bestemt alle 4 reksjonskrefter og alle 6 stavkrefter. Likevekt i knutepunkt D er enda ikke benyttet. Resultatene kan n kontrolleres ved sjekke om det er likevekt i punkt D : Fx = 26,7 - 33,3cos = 26,7 - 33,30,8 = 0 dvs. OK ! 20 26,7 D Fy = 20 - 33,3sin = 20 - 33,30,6 = 0 dvs. OK !

33,3

Resultater for stavkrefter kan angis med strrelse og fortegn p figur : (Eventuelt kan det benyttes piler som angir strekk eller trykk p knutepunktet. Dette er ogs vist p figuren under ) A + 26,7 + 33,3- 20

E

+ angir strekkstav + 33,3 angir trykkstav

B - 53,3 C - 26,7 D Som et tredje alternativ, kan resultater angis i tabell .

OPPGAVE 23

Fagverket inneholder 7 staver og har 5 knutepunkter og 3 opplagerreaksjoner, og dermed er det statisk bestemt! Ytre likevekt av konstruksjonen gir:

D

F 7

E

3

4

5

6

Ax 1 Ay B 2 Cy

K

F M

x

= 0 Ax = 5C

= 0 = Ay 6 10 6 Ay = 10kN C y = 0

Antar strekk i alle staver, og bruker knutepunktmetoden: A:

F F F F F

x y

= 0 = Ax + N 1 N 1 = 5 = 0 = A y + N 3 N 3 = 10 = 0 N2 = 5 = 0 = Cy + N6 N6 = 0

C:

x y

B:

3 3 = 0 = N1 N 2 + N 4 N 5 = 0 5 5 4 4 Fy = 0 = 5 N 4 + 5 N 5 = 0 N4 = N5 = 0x

E:

F

x

= 0 N7 = 0

Stav nr. 1 2 3 4 5 6 7

Stavkraft [kN] 5 5 -10 0 0 0 0

Strekk

Trykk

OPPGAVE 24

Snitt 1 10 H 4m A Ax Ay 6m C 50 6m D 50 6m E 50 I 10 J 10

Snitt 2 10 K 10 L

F 6m

50 6m

G

B 50 6m By

a) Antall reaksjoner : r = 3 Antall staver : s = 21

Ukjente = r + s = 24 STATISK BESTEMT !

Antall knutepunkter : k = 12 Likev.ligninger = 2k = 24

b) Reaksjoner : Ax = 0 ; Ay = By = (510 + 550)/2 = 150 kN

Snitt 1 Snitt 1 10 H 4m A 150 6m C 50 6m D NHI NDI 50 NDE

Fy = 0 : NDI + 150 - 250 -10 = 0 NDI = - 40 kN (Trykk) MD = 0 : NHI4 + 15012 -106 - 506 = 0 NHI = - 360 kN (Trykk) Fx = 0 : NDE + NHI = 0 NDE = 360 kN (Strekk)

Snitt 2 Snitt 2 10 K 10 L 4m F 50 6m G B 50 6m 150

NKJ NKE NFE

MK = 0 : NFE4 - 15012 +106 + 506 = 0 NFE = 360 kN (Strekk) Fy = 0 : NKEsin33,69 + 210 + 250 - 150 = 0 NKE = 54,1 kN (Strekk) Fx = 0 : NKJ + NFE + NKEcos33,69 = 0 NKJ = -360 - 54,10,8321 = - 405 kN (Trykk)

OPPGAVE 25

Vi isolerer bjelken og tegner p de kreftene som virker:

Ay Ax

10 kN

SBE

SCE

Dx Dy

SDE

Likevekt av hele systemet gir: M A = 0 Dx 2 + 10 4 = 0 Dx = 20kN Fx = 0 Ax Dx = 0 Ax = 20kN

Likevekt av knutepunkt D: Fy = 0 D y = 0 Fx = 0 Dx + S DE = 0 S DE = Dx = 20kN

Likevekt i knutepunkt E: Fx = 0 S DE + Fy = 0 S BE +1 2 1 2 S CE = 0 S CE = S DE 2 = 20 2 kN = 28,3kN

S CE = 0 S BE = S CE / 2 = 20kN

Likevekt av bjelken ABC: Fy = 0 Ay S BE 10kN 1 2 S CE = 0 Ay = S BE + 10kN + S CE / 2 = 10kN

Dermed kan vi illustrere de kreftene som virker p bjelken ABC:

10kN 10kN 20kN 20kN 20(2)kN

OPPGAVE 26

10 kN C 2m D 2m 2 kN x A Ax Aya)

E y

2m B 4m 2m 2m By Bx

Hele rammen : MA = 0 : By8 - 106 - 22 = 0 By = 64/8 = 8 kN Fy = 0 : Ay + By -10 = 0 Ay = 10 - 8 = 2 kN

Del ADC : Cx 2m D 2m 2 kN Cy

2m A Ax 4m Ay = 2 MC = 0 : Ax6 + Ay4 - 24 = 0 Ax = 0 Fx = 0 : Fy = 0 : Cx = 2 kN Cy = Ay = 2 kN 2m

Hele rammen : Fx = 0 :b) Hjrne D :

Bx = 2 kN

Cx = 2

2m MD Dy MD Dy Dx 4m Dx Cy = 2

Dy = Cy = 2 kN ; MD = 0 : MD + 24 - 22 = 0

Dx = Cx = 2 kN MD = - 4 kNm

Hjrne E : 2m Cx = 2 10 2m Cy = 2 ME Ex ME Ey Ex Ey 2m

Ex = Cx = 2 kN ; Ey = 10 - Cy = 8 kN ME = 0 : ME + 102 - 24 - 22 = 0 ME = - 8 kNm

c)

Cxcos y x Cysin MD Dx Cy = 2 Cxsin 2m Cycos Cx = 2

Dy

4m

= arctan(2/4) = 26,57 sin = 0,4472 ; cos = 0,8944

y'

x'

Cx ' = 2,68 kN Cy ' = Cycos - Cxsin = 20,8944 - 20,4472 = 0,894 kN

MD = 4 kNm

Cy ' = 0,894 kN

Cx ' = Cxcos + Cysin = 20,8944 + 20,4472 = 2,68 kN Dx ' = Cx ' ; Dy ' = Cy '

2,68 kN 0,894 kN

d) Splitter i symmetrisk og antisymmetrisk last :

10

5

5

5

2

1

1

1

5

1

Opprinnelig lastsituasjon

=

Symmetrisk

+

Anti symmetrisk

Det symmetriske og antisymmetriske lasttilfellet inneholder 3 ukjente hver, siden Cy = 0 for det symmetriske og Cx = 0 for det antisymmetriske tilfellet. Hver av dem lses ved 3 likevektsligninger for en del, f.eks ADC, og ved superponere resultatene finnes igjen resultatet fra sprsml a).

OPPGAVE 27

Resultanten er en kraft parallell med kreftene i systemet og gitt ved:R = F y = 100 + 250 200 90 = 60

(i negativ y-retning)

For finne angrepspunktet til denne kraften bruker vi momentlovene:M Ox = zR = ( z F y ) = 8 100 2 250 6 (90) 4 (200) = 40 z= M Ox 40 2 = = R 60 3

M Oz = x R = x F y = 12 100 + 8 (90) + 8 250 = 2480 x= M Oz 2480 = = 41,33 R 60

Resultanten er 60 N og gr gjennom punktet (x,z) = (41,33; -0,67)

OPPGAVE 28

Isolerer konstruksjonen og ser p kreftene som virker:

100 kN

Dy

Cz 50 kN

Ay Az Ax Her har vi seks ukjente og seks likninger, flgelig er problemet statisk bestemt. Likevekt av konstruksjonen krever: Bz

F = 0 A = 0 M = 0 D 2 50 1 = 0 D = 25kN F = 0 A D + 50 = 0 A = 25kN M = 0 100 1 C 2 = 0 C = 50kN M = 0 B 2 100 1 + C 2 = 0 B = 0 F = 0 B + A + C 100 = 0 A = 50kNx x Bz y y y y y y Ay Ax z z z z z z z z z z

OPPGAVE 29

a) Regner frst ut lagerreaksjonene:

F Ax Ay By

F

x

= 0 Ax = 0A

L F By L By = 2 2 F Fy = 0 = F B y Ay Ay = 2

M

=0=F

Snitter opp bjelken: F

A

C

B

F/2

1

2

F/2

x Lar x variere langs bjelkeaksen, fra A til B.

Tar likevekt i de enkelte snitt: VSnitt 1:

MF 2

x

Snitt 1 er gyldig fra A til C. Innenfor dette omrdet er det kun Ay som pvirker bjelken:

0 x

L 2

F F V V = 2 2 F F M = 0 = M + 2 x M = 2 x

F

y

=0=

Snitt 2:

F V MF 2

L/2 x

Snitt 2 er gyldig fra C til B. I tillegg til Ay virker n ogs kraften F.L xL 2 F F F V V = 2 2 L F FL F M = 0 = M F (x 2 ) + 2 x M = 2 2 x

F

y

=0=

Funksjonene for M og V er n funnet for de valgte snittene. Dermed fr vi flgende momentog skjrkraftdiagram langs bjelkeaksen:

V:

F/2

Definisjon:

skjrkraftparet virker med urviser skjrkraftparet virker mot urviser

M:

FL/4

Momentet tegnes p strekksiden; i dette tilfellet strekker bjelken p undersiden av bjelken med maksimal moment midt p hvor lasten F virker.

b) Regner ut opplagerreaksjoner:

q

MA

Ax Ay

F F

x y

= 0 Ax = 0 = 0 = Ay qL Ay = qL L qL2 MA MA = 2 2

M A = 0 = qL

Snitter opp bjelken og regner ut snittkreftene vha. likevekt:

q qL /2 M V2

q

qL

x

x

Snittet gjelder over hele bjelken, merk at x varierer fra B til A.0 x L

F

y

= 0 = q x + V V = q x

x qx 2 M = 0 = M +qx 2 M = 2

Skjrkraft- og momentdiagram:

V:

qL

Skjrkraftparet i de ulike snitt over hele bjelken virker alltid med urviser: qL2/2

M:

Strekk p oversiden av bjelken, med strst moment i innspenningen.

c) Beregner opplagerreaksjonene:

q MA Ax Ay II By By I Bx

F

Cy

Likevekt av element I gir:qL L qL Cy = 2 4 4 qL qL qL Fy = 0 = C y + B y B y = C y = 2 2 4 Fx = 0 = B x

M B = 0 = C y +

L 2

Likevekt av element II: M A = 0 = M A + q + B y M A =L 2 F x = 0 = Ax B x Ax = 0 L L 2 4 L 2 qL2 4

Fy = 0 = q + B y Ay = 0 Ay =

3qL 4

Snitter opp systemet:

q

qL/2

A B 3 L/2 Likevekt av de enkelte snitt:Snitt 1:

C D 2 L/4 1 L/4

M V

qL/4 x Snitt 1 er gyldig fra D til B. Innenfor dette omrdet er det kun Cy som pvirker bjelken.

0 x

L 4

qL qL V V = 4 4 qL qL M = 0= M 4 x M = 4 x

F

y

=0=

Snitt 2:

M

V

qL/2 qL/4

x L L x 4 2

F

y

=0=

qL qL qL V V = 4 2 4 qL L qL qL2 qL (x ) x M = x 2 4 4 8 4

M =0= M +

Snitt 2 er gyldig mellom D og B. Bjelken pvirkes kun av F = qL/2 og Cy.

Snitt 3:

q qL2/4 3qL/4 x Snitt 3 er gyldig mellom C og A. Ser p delen hvor kun Ay, MA og q virker for enkelhetens skyld, x varierer dermed fra A til C:

V M

0 x

L 2 3qL 3qL q x V V = qx 4 4

F

y

=0=

x 3qL qL2 qL2 3qL qx 2 M = 0 = M qx + x M= x+ 2 4 4 4 4 2

Moment- og skjrkraftdiagram:

V:

3/4

1/4

1/4 1/4 [qL]

M:

1/4 [qL2] 3/32 1/16

Definisjon:

skjrkraftparet virker med urviser skjrkraftparet virker mot urviser

Momentet tegnes alltid p strekksiden.

OPPGAVE 30

20 kN snitt1 10 kN snitt3 5 kN snitt2 snitt4

Aya)

2m

2m

2m

2m

By

MA = 0 : By8 - 52 - 104 - 206 = 0 By = 21,25 kN Fy = 0 : Ay = 5 + 10 + 20 - 21,25 = 13,75 kN

b) F-L-D, snitt 1:

Fy = 0 :

snitt1 A x 13,75 F-L-D, snitt 2: 2m A x 13,75 F-L-D, snitt 3 : 5 2m A x 13,75 2m 10 V 5 V snitt2 M M

V = 13,75 kNMsnitt1 = 0 : M = 13,75x M(x=2) = 27,5 kNm

Fy = 0 : V = 13,75 - 5 = 8,75 kN Msnitt2 = 0 : M + 5(x-2) -13,75x = 0 M = 8,75x +10 M(x=4) = 8,754 + 10 = 45 kNm

snitt3 M

Fy = 0 : V + 5 + 10 -13,75 = 0 V = - 1,25 kN Msnitt3 = 0 : M + 10(x-4) + 5(x-2) -13,75x = 0 M = - 1,25x + 50 M(x=6) = 42,5 kNm

V

F-L-D, snitt 4 : 5 2m A x 13,75 2m 10 2m snitt3 MFy = 0 : V + 5 + 10 + 20 - 13,75 = 0 V = - 21,25 kN

Msnitt4 = 0 : M + 20(x-6) + 10(x-4) + 5(x-2) - 13,75x = 0 V M = - 21,25x + 170 M(x=8) = 0

Diagrammer :

13,75V (kN)

8,75

1,25

M (kNm)

21,25 27,5 45 42,5

OPPGAVE 31

snitt1

10 kN snitt2

snitt3

5 kN

Ay

2m

2m

By

2m

a) Reaksjoner :

MA = 0 : By4 - 56 -102 = 0 By = 12,5 kN Fy = 0 : Ay + 12,5 - 10 - 5 = 0 Ay = 2,5 kNb)

F-L-D, snitt 1 :Fy = 0 : V = 2,5 kN Msnitt1 = 0 : M = 2,5x M(x=2) = 5,0 kNm

snitt1 A 2,5 x V F-L-D, snitt 1 : 2m M

10

snitt2

Fy = 0 : V = 2,5 - 10 = -7,5 kN

M x 2,5 V

Msnitt2 = 0 : M = 2,5x - 10(x-2) = - 7,5x + 20 M(x=4) = - 10 kNm

F-L-D, snitt 3 : (mest praktisk betrakte bjelkedel til hyre for snitt. Definerer x fra fri ende ) snitt3 M x V 5Msnitt3 = 0 : M = - 5x M(x=2) = - 10 kNm Fy = 0 : V = 5 kN

Diagrammer :

5,0 2,5 A B

V [kN] :

M [kNm] :

7,5

10 A 5 B

OPPGAVE 32

q = 10 kN/m

snitt1

snitt2

Ay

4m

4m

By

a) Reaksjoner :

MA = 0 : By8 = q44/2 By = 10 kN Fy = 0 : Ay = 104 - 10 = 30 kNb) F-L-D, snitt 1:

snitt1

10 kN/m

M x 30 V

Fy = 0 : V = 30 - 10x V(x=0) = 30 kN ; V(x=4) = -10 kN V = 0 = 30 -10x x = 30/10 = 3,0m Msnitt1 = 0 : M = 30x - 10xx/2 = 30x - 5x2 M(x=0) = 0 ; M(x=4) = 40 kNm Mmax = M(x=3) = 45 kNm

F-L-D, snitt 2 : snitt 2 10 kN/m M 4m 30 x VFy = 0 : V = 30 - 104 = - 10 kN Msnitt2 = 0 : M = 30x - 104(x-2) = - 10x + 80 M(x=4) = 40 kNm ; M(x=8) = 0

Diagrammer :

V [ kN] :

30

3m 4m

10

M [kNm] : 45 40

OPPGAVE 33

Beregner opplagerreaksjonene: 2F F A C D B

Ax

Ay

By

L/2

L/4

L/4

F

x

= 0 Ax = 0A

L 3L 7F +F By L By = 2 4 4 5F Fy = 0 = Ay + By 2 F F Ay = 4

M

= 0 = 2F

Snitter opp bjelken:

A

2F C

F D B

5F 4

1

2

3

7F 4

x Lar x variere langs bjelkeaksen, fra A til B.

Tar likevekt i de enkelte snitt: VSnitt 1:

M5F 4

x

Snitt 1 er gyldig fra A til C. Innenfor dette omrdet er det kun Ay som pvirker bjelken:0 x L 2

5F 5F V V = 4 4 5F 5F M = 0= M + 4 x M = 4 x

F

y

=0=

Snitt 2:

2F V M5F 4

L/2 x

Snitt 2 er gyldig fra C til D. I tillegg til Ay virker n ogs kraften 2F.L 3L x 2 4 5F 3F 2F V V = 4 4 L 5F 3F M = 0 = M 2 F ( x 2 ) + 4 x M = FL 4 x

F

y

=0=

Snitt 3:

2F

F

V M V7F 4

5F 4

L/2

L/4 x x'

Snitt 3 er gyldig mellom D og B. Tre ytre krefter virker p legemet: Ay, 2F og F:3L x L 4 5F 7F + 2F + F V = 4 4 5F L 3L 7 FL 7 F M = 0 = M + 4 x 2F (x 2 ) F (x 4 ) M = 4 4 x

F

y

= 0 =V

Alternativ og enklere beregning kan en gjre ved se fra B til D, da virker kun By p legemet: 0 x' L 4

7F 7F V = 4 4 7F 7F M = 0 = M 4 x' M = 4 x'

F

y

= 0 =V +

Funksjonene for M og V er n funnet for de ulike snitt. En kan dermed tegne opp skjrkraftog momentdiagram langs bjelkeaksen.

Skjrkraftdiagram, V:

L/2

L/4

L/4

5F 4

+3F 4

-

7F 4

Definisjon: + skjrkraftparet virker med urviser - skjrkraftparet virker mot urviser

Momentdiagram, M:

L/2

L/4

L/4

* [FL] Mmaks =5 8 7 16

Momentet tegnes p strekksiden; i dette tilfellet strekker bjelken p undersiden av bjelken. Maksimal moment virker under lasten 2F: Mmaks = 5FL/8.

OPPGAVE 34

20 kN snitt1 A 3m snitt2 D

10 kN/m

B

snitt3 6m

C

1m

2m

a) Reaksjoner :

AD :

20

Dy4 = 203 Dy = 15 kN Ay = 20 15 = 5 kN Dy

Ay

3m

1m

DBC :

10 kN/m

Mom.likevekt om C: By6 = 1063 + 158 By = 50 kN Cy = 106 + 15 50 = 25 kN Cy

15

2m By

6m

b) M og V :

Snitt 1 : V = 5 kN A x 5 V M M = 5x ; M(x=3) = 15 kNm

Snitt 2 : 20 A 5 3m M x V V = 5 20 = - 15 kN M = 5x 20(x-3) = 60 15x M(x=6) = MB = - 30 kNm

Snitt 3 : 10 kN/m V = 10x - 25 M C x V 25 V = 0 = 10x 25 x = 2,5 m M = 25x 10x2/2 = 25x 5x2 ; M(x=6) = MB = - 30 kNm M(x=2,5) = Mmax = 31,25 kNmDIAGRAMMER:

V(x=0) = VC = - 25 kN V(x=6) = VB,hyre = 35 kN

5V[kN]

35

25 15

30M[kNm]

15 31,25

OPPGAVE 35

q

F Ax Ay MA

a) Ytre likevekt av rammen:

F F

x y

= 0 Ax = 0 = 0 Ay = F + 3q = 80kND

M

= 0 = M A + F 3 + 3q

3 9 M A = (3F + q ) = 195kNm 2 2

b) Momentdiagram og skjrkraftdiagram (har blitt beregnet p tilsvarende mte som i foregende oppgaver; ved snitte opp ulike steder p rammen og deretter ta likevekt):M:

45

V:

30 150 [kNm] 50

[kN]

195

OPPGAVE 36

Opplagerreaksjonene ble beregnet i oppgave 20. Kreftene som virker p rammen er pfrt i figuren nedenfor samt valgte snitt: D q = 10 kN/m1 2

E

4m

B

B

3

C K = 50 kN 3m

4

Ax = 70 kN Ay = 50 kN MA = 445 kNm

4m

Likevekt i de enkelte snitt:Snitt 1:

N M

V

E

M = M =0 F =V = 0 F = N =0y x

Mellom DE virker det ingen krefter, snittkreftene er null: M = V = N = 0.

Snitt 2:

D q

E

x V M N

0 x 4m

F F

y

= N =0 = q x V = 0 V = q x = 10 kN x m

x

M = M +qx

x q x2 kN 2 = 0 M = =5 x 2 2 m

Snitt 3:

N M

V

C K = 50 kN

x0 x 4m

F = N =0 F = V K = 0 V = K = 50kN M = M + K x = 0 M = 50kN xx y

Snitt 4:

N

M V x q A 70 kN 50 kN 445kNm

0 x 3m

F F

y

= Ay + N = 0 N = Ay = 50kN = V + q x Ax = 0 V = Ax q x = 70kN 10 kN x m

x

x qx 2 kN 2 M = M q x + Ax x M A = 0 M = M A + Ax x = 445kNm + 70kN x 5 x 2 2 m Funksjonene for N, V og M er n funnet for de ulike snitt. En kan dermed tegne opp aksialkraft-, skjrkraftog momentdiagram for rammen.

Aksialkraftdiagram, N:

4m 50 kN 3m

4m Definisjon: + aksialkraft er en strekkraft - aksialkraft er en trykkraft


40 kN + + 50 kN

4m

+ 70 kN 4m Definisjon: + skjrkraftparet virker med urviser - skjrkraftparet virker mot urviser

3m

Momentdiagram, M:

200 kNm 80 kNm 4m

280 kNm 3m

445 kNm 4m

NB! Momentet fres alltid p strekksiden. Er det momentlikevekt i knutepunkt B? Ja: 80 B 280 200

M

B

= 200 + 80 280 = 0

OPPGAVE 37

20 kN/m 2 D C 5m 1 3 4 E

A 2m 4m

B

a) Reaksjoner :

Hele ramma :

By6 = 2044

By = 53,33 kN

Ay = 244 - 53,33 = 26,67 kN AC : 2 D C Cx Cy = 26,67 kN Cx5 = 26,672 Cx = 10,67 kN Ax = Cx = 10,67 kN 5

Cy

Ax 26,67

Hele ramma : Bx = Ax = 10,67 kN

b) M og V

Snitt 1: M

N N = -26,67 kN V x V = -10,67 kN M = - 10,67x M(x=5) = MD = -53,33 kNm

10,67

A 26,67

Snitt 2 : N = - 10,67 kN M N x V 26,67 C 10,67 V = 26,67 kN M = -26,67x MD = M(x=2 ) = -53,33 kNm MC = M(x=0) = 0 Snitt 3 :

20 kN/m M C 10,67 V 26,67 N N = - 10,67 kN V = 26,67 - 20x VC = V(0) = 26,67 kN VE = V(4) = - 53,33 kN V = 0 = 26,67 - 20x x = 1,33m M = 26,67x - 10x2 ; ME = M(4) = -53,33 kNm ; Mmax = M(1,33) = 17,7 kNm

Snitt 4 :

N M V N = - 53,33 kN V = 10,67 kN M = - 10,67x ME = M(5) = - 53,33 kNm B 10,67 53,33

x

DIAGRAMMER

C

C

V N

CM

OPPGAVE 38

Pga symmetri trenger en kun se p n av de to dellegemene. Opplagereaksjonene ble beregnet i oppgave 21. Kreftene som virker p det ene delegemet er pfrt i figuren nedenfor og hvor ogs valgte snitt er gitt:

K = 15 kN q = 4 kN/m B Cx = 19,75 kN 2 1

8m 3

Ax = 12,25 kN Ay = 15 kN 4m

Likevekt i de enkelte snitt:

Snitt 1:

N M

V

C x = 19,75 kN

M = M =0 F =V = 0 F = N C = 0 N = Cy x x

x

= 19,75kN

Snitt 2:

K = 15 kN N M V C x = 19,75 kN

x 2m

0 x 2m

M = M + K x = 0 M = 15kN x F = V K = 0 V = 15kN F = N C = 0 N = C = 19,75kNy x x x

Snitt 3:

N

M V x q A 12,25 kN 15 kN

0 x 8m x kN 2 = 0 M = 2 x + 12,25kN x 2 m kN Fx = q x + V Ax = 0 V = 12,25kN 4 m x

M = M + A F

x

x qx

y

= N Ay = 0 N = 15kN


19,75 kN -

-

-

8m

15 kN 4m 4m

15 kN

Definisjon: + aksialkraft er en strekkraft - aksialkraft er en trykkraft


15 kN 19,75 kN + + 19,75 kN

8m

+ 12,25 kN 2m 2m 2m 2m

12,25 kN

Definisjon: + skjrkraftparet virker med urviser - skjrkraftparet virker mot urviser

Momentdiagram, M:

30 kNm

30 kNm

8m

18,76 kNm

3,0625m

18,76 kNm

2m

2m

2m

2m

Merk likevekt i hjrne B (og D): 30 B

30

M

B

= 30 30 = 0

OPPGAVE 39

B

2

C F

2L q 1 3

Ax Ay L Dy

a) Global likevekt:

F = 0 = A + q 2 L + F A = 2qL F M = 0 = D L q 2 L L F 2 L D = 2qL + 2 F F = 0 = A + D A = D = 2qL 2 Fx x x A y y y y y y y

Tar likevekt i de ulike snitter:

Snitt 1:

N M V q x

0 x 2L x qx 2 = 0 M = F x + 2qL x 2 2 Fx = V ( F + 2qL) + q x = 0 V = F + 2qL q x

M = M + ( F + 2qL) x q x F(2qL+2F)y

(F+2qL)

= N (2qL + 2 F ) = 0 N = 2 F + 2qL

Snitt 2:

B

V

M N

x

q

(F+2qL) (2qL+2F) 0 x L

M = M + ( F + 2qL) 2 L (2 F + 2qL) x q 2 L F = V + (2 F + 2qL) = 0 V = 2 F 2qL F = N (2qL + F ) + q 2 L = 0 N = Fy x

2L = 0 M = 2 FL + 2qL2 (2qL + 2 F ) x 2

Snitt 3:

N M V x

0 x 2L

M = M =0 F =V = 0 F = N + (2qL + 2 F ) = 0 N = (2 F + 2qL)x y

(2qL+2F)

Momentdiagram, M:

2FL+2qL2

2FL+2qL2


F

2qL+2F

F+2qL


F

2qL+2F

2qL+2F

b) Sjekker likevekt i alle knutepunkt og opplager: Punkt A:

(2qL+2F) (F+2qL)

F = ( F + 2qL) ( F + 2qL) = 0 F = (2qL + 2 F ) (2qL + 2 F ) = 0 M =0x y

(F+2qL) (2qL+2F) Punkt B: (2FL+2qL2) F (2qL+2F)

F (2FL+2qL2) (2qL+2F)

F = F F =0 F = (2qL + 2 F ) (2qL + 2 F ) = 0 M = (2 FL + 2qL ) (2 FL + 2qL ) = 0x y 2 2

Punkt C: F (2qL+2F) F

F = F F =0 F = (2qL + 2 F ) (2qL + 2 F ) = 0 M =0x y

(2qL+2F)

Punkt D: (2qL+2F)

F =0 F = (2qL + 2 F ) (2qL + 2 F ) = 0 M =0x y

(2qL+2F)

Vi har likevekt i alle knutepunkter!

OPPGAVE 40

a) Opplagerreaksjoner for stag/dekke: P hvert dekke virker lasten q = 60 kN/m. Stagene vil vre i strekk p grunn av tyngden fra dekkene. Disse strekkreftene vil inng som opplagerkrefter p dekket, siden stagene er festet der (se figur i oppgaveteksten). De nederste stagene brer vekten fra nederste dekk, de neste to stagene m bre vekten av to dekk, og de verste tar tre dekk. I alle tre tilfeller vil hvert av stagene da bre halvparten av tyngden. Beregningsmessig blir dette: Isolasjon av nederste dekke:

q Sned Sned

5m

10m

5mkN 10m = 600kN m

F

y

= 2 Sned q 20m = 0 Sned = 60

Isolasjon av midterste dekke:

q Smidt Sned = 600 kN 5m 10m Smidt Sned = 600kN 5m

F

y

= 2 Smidt 2 Sned q 20m = 0 Smidt = Sned + q 10m = 1200kN

Isolasjon av verste dekke:

q Sv Smidt = 1200 kN 5m 10m Sv Smidt = 1200kN 5m

F

y

= 2 Sv 2 Smidt q 20m = 0 S v = Smidt + q 10m = 1800kN

Resultantkraft for hver dekke blir derfor 600 kN i vertikal retning i hvert stagpunkt:

600 kN

600 kN

5m

10m

5m

b) Forlpet av strekk i stag oppover: Strekk i stag ker oppover, siden stagene da fr kende vertikal last i form av dekkenes tyngde. Bruker da oppgave a, og finner flgende forlpfor hvert stag:

1800 kN dekk 3 1200 kN dekk 2 600 kN dekk 1

c) Moment- og skjrkraftdiagram for dekke: Vrt utgangspunkt er kreftene som virker p et dekke:

q = 60 kN/m S = 600 kN S

Beregner en snittkreftene langs dekket fr en flgende momentog skjrkraftdiagram:

750 M: [kNm]

300 V: 300

300 [kN] 300

d) Kreftene i hovedsylene:

p

q q q

Ax Ay 4 5 10 5 4 By

Likevekt av systemet gir: Fx = 0 Ax = 028 20 + q 20 ( + 4) 3 B y = 1940kN 2 2 F y = 0 = q 20 3 + p 28 A y B y Ay = 1940kN

M A = 0 = B y 28 + p 28

Hver syle har en trykkraft p 1940 kN.

e) Moment- og skjrkraftdiagram for hovedbjelke: Tegner p kreftene som virker p bjelken (fra stag/dekke og syle):

p = 10 kN/m

1940 kN 1800 kN

1940 kN 1800 kN

9m

10m

9m

Beregner en snittkreftene langs bjelken fr en flgende momentog skjrkraftdiagram:

9m

10m

9m

M:

[kNm]

17055

17180

17055

1940 V:

1850

50 [kN] 1850 1940

OPPGAVE 41

OPPGAVE 42

F/2

F

F/2

a Ax Ay 1 2 By a a

a a) Global likevekt:

a

F

x

= 0 = Ax FA y y

M = 0 = B 4a + 2 (a + 3a ) + F 2a B F = 0 = A + B 2F A = Fy y y y

=F

Merk: kunne ogs brukt symmetri.

b) Beregner snittkrefter M og V,og benytter symmetri (trenger derfor kun to snitt):

Snitt 1: Er gyldig fra A fram til frstkommende kraft F/2: 0 xa V M

F = 0 = F V V = F M = 0 = M + F x M = Fxy

Ay x

Snitt 2: Er gyldig fra frstkommende kraft F/2 til kraften F: F/2

a x 2a F F V = 2 2 F Fa F M = 0 = M + F x 2 ( x a) M = 2 + 2 x

F

y

= 0 = F V

V

M

Ay x

Kjenner n snittkreftenes forlp fra A til midten, og kan vha. symmetri tegne opp momentog skjrkraftdiagram over hele konstruksjonen: Momentdiagram, M:

a

a

a

a

Fa

3Fa/2

Fa

Husk: momentet tegnes p strekksiden :


a

a

a

a

F F/2 F/2 F

c) Snitter opp fagverket, resultanten m vre i samsvar med skjrkraftdiagram:

F/2

F

F/2

a

I

II

a

a

a

a

Snitt I: SIS I cos450 = V S I = F 2

V=F

Snitt II: SII S II cos450 = V S II = 2 F 2 V = F/2

Begge diagonalkreftene har blitt definert som strekk. Svarene vi fr blir negativt, dvs SI og SII er trykk.

d) Snitter opp fagverket, resultanten m vre i samsvar med momentdiagram:

F/2 SV SVI

F

F/2

a

SVII I II III

SVIII IV

a Snitt I: SI a = M SI = F Symmetri: SVIII=SI

a

a

a

a

M = Fa

SI Snitt II: S II a = M S II = Symmetri: SVII=SII 3 F 2 M = 3Fa/2

SII

Snitt III:S III a = M S III = F

SIII M = Fa

Symmetri: SVI=SIII

Snitt IV: SIVS IV a = M S IV = 0

M=0

Symmetri: SV=SIV

Definert:

+ strekk trykk

e) Fagverksanalyse: Tar kraftlikevekt i hvert knutepunkt. Symmetri benyttes.

F/2 C 8 3 4 1 F Ay 5 6 2 D 9

F E

F/2

7

G By

a a a a Antall ukjente = stavkrefter + opplagerkrefter = 17 + 3 = 20 Antall likninger = 2 i hver knutepunkt = 2 * 10 = 20 statisk bestemt system Tar likevekt i hver knutepunkt :

F F

x y

=0 =0

og benytter symmetri

Resultatet blir for halvdelen (tilsvarende andre halvdel gr. symmetri):

Stavnr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Verdi F 3F/2 0 2F F/2 2F/2 0 0 F

Strekk / trykk strekk strekk trykk strekk trykk

trykk

OPPGAVE 43 Tverrsnitt 1:

y

75

C 300 yc 75 x 50 150 50

x'

a) Tverrsnittet er dobbeltsymmetrisk, slik at arealsenter (tyngdepunkt) ligger midt i, dvs. : yc = (300 + 275)/2 = 225 mm b) Andre arealmoment om x' - akse gjennom C kan her finnes som :

Ix' = [ bh3/12]ytre - [ bh3/12]indre = 2504503/12 - 1503003/12 = 1,898109 - 0,338109 = 1,56109 mm4

Tverrsnitt 2 :

y

C2 C 225 yc 100 A1 C1

A2

50 a2 = 55,56 x' a1 = 69,44 200

100

50

100

x

a)

A1 = 50200 = 10000 mm2 ; A2 = 50250 = 12500 mm2 ; A = 22500 mm2 Arealsenter : yc = (10010000 + 22512500)/22500 = 169,44 mm

b) Andre arealmoment om x' - akse gjennom C kan her finnes med bruk av Steiners teorem :

Om egne tyngdepunktsakser : Ix1 = 502003/12 = 3,333107 mm4 Ix2 = 250503/12 = 0,26107 mm4 Ix' = (Ix1 + a12A1) + (Ix2 + a22A2) = (3,333107 + 69,44210000) + (0,26107 + 55,56212500) = 8,155107 + 4,119107 = 12,274107 mm4

Tverrsnitt 3 :

y b(y)

h =300C

x'

yc xa)

yc A = S x = ydAA

b = 200

A = bh/2 = 3104 mm2 dA = b(y)dy = (-200y/300 + 200)dy = (-2y/3 + 200)dy 1 300 1 300 2 1 300 2 3 y = yb( y )dy = y y + 200 dy = | ( y + 100 y 2 ) = 100 c A 4 4 3 9 3 10 0 3 10 0 0 Dvs : yc = 100 mm (Stemmer med h/3 , dvs O.K.)

b)

I x ' = y 2 dAA

dA = b(y)dy = (-by/h + 2b/3)dy = (-2y/3 + 400/3)dy

Ix' =

200 400 400 3 2 1 y2 y + dy = | y 4 + y = 1,5 108 mm4 3 3 3 100 6 100 200

(Stemmer med bh3/36 , dvs O.K. )

OPPGAVE 44

a) Deler flaten opp i tre deler: 6

2

. C1y

. C2x 3

5

. C3

Flatenes areal og tyngdepunkt:

A1 = 6 2 = 12m 2 , C1 = ( x1 , y1 ) = (3, 4)2 A2 = 3 3 1 = 4, 5m 2 , C2 = ( x2 , y2 ) = ( 3 3, 2 3) = (2, 2) 2 3

A3 = 3 3 = 9m 2 , C3 = ( x3 , y3 ) = (4.5,1.5) A = A1 + A2 + A3 = 25, 5m 2Frste arealmoment av flaten om y-aksen:

S y = xi Ai = x1 A1 + x2 A2 + x3 A3 = (3 12) + (2 4.5) + (4.5 9) = 85.5m3i =1

3

Frste arealmoment av flaten om x-aksen:

S x = yi Ai = y1 A1 + y2 A2 + y3 A3 = (4 12) + (2 4.5) + (1.5 9) = 70.5m3i =1

3

Arealsenteret:

xc A = S y xc = S y / A = 3.35m yc A = S x yc = S x / A = 2.76m

b)

9

f(x)

f ( x) = x3 / 3 = y f ( x = 3) = 9

O

3

x3 A1 = f ( x)dx = dx = 6.75 0 0 33 3

A2 = A A1 = (9 3) 6.75 = 20.25eller

x3 = y x = (3 y )(1/ 3) 3 A2 = xdy = (3 y )(1/ 3) dy = 20.250 0 9 9

Frste arealmoment og arealsenter for A1:

x3 S y1 = xdA = x dydx = xydx = x( )dx = 16.2 3 0 y 0 0 A13 3 3

x1 = S y1 / A1 = 16.2 / 6.75 = 2.43 3 3 1 x ( 2 3

S x1 =

ydA = ydydx = y dx = 1 2 2 A1 0y 0

0

3

) 2 dx = 17.36

y1 = S x1 / A1 = 17.36 / 6.75 = 2.57

Frste arealmoment og arealsenter for A2:

S y 2 = xdA = xdxdy = x dy = 1 (3 y ) 2 / 3 dy = 24.3 21 2 2 A2 0x 0 0

9

9

3

x2 = S y 2 / A2 = 24.3/ 20.25 = 1.29 9 3

S x 2 = ydA = y dxdy = yxdy = y (3 y )(1/ 3) dy = 104.14A2 0 x 0 0

y2 = S x 2 / A2 = 104.14 / 20.25 = 5.14

Delarealene A1 og A2 danner tilsammen et rektangel, og arealsenteret samlet ligger flgelig i midten av dette rektangelet:

xc =

3 = 1.5 2 9 yc = = 4.5 2

eller

xc =

xi Ai 2.4 6.75 + 1.2 20.25 = = 1.5 27 A y A 2.57 6.75 + 5.14 20.25 = 4.5 yc = i i = 27 A

c) Figuren bestr av et kvadrat og en sirkel med diameter 3 m. Dermed: (Se eksempel i kap. 8.3 i lreboka)

A1 = 1 R 2 = 1 1.52 = 3.53m 2 2 2 A2 = 3 3 = 9m 23

A = A1 + A2 = 12.53m 2O

Ser p et lite segment med areal dA av en 1/4 sirkel:

R d C' Rd

d

2R/3

C' R/3

dA = R Rd 1 = 1 R 2 d 2 2 xc ' = 2 R cos 3 yc ' = 2 R sin 3Arealsenteret for den totale flaten A ligger symmetrisk om y-aksen. Dvs. xc ligger i origo; xc = 0. yc m regnes ut:

yc =

S x yi Ai = A Ay 0

S x1 = ydA = (3 + 2 R sin ) 1 R 2 d = 12.85m3 3 2 S x 2 = y2 A2 = 1.5 9 = 13.5m3 S x = S x1 + S x 2 = 26.35m3 S x 26.35m3 yc = = = 2.1m A 12.53m 2

OPPGAVE 45

F D

3

4

5

1 A Ax Ay B

2 C

C

Antall ukjente = r + s = 3 + 5= 8 Antall likevektsligninger = 2k = 24 = 8 Statisk bestemt system: Antall ukjente = Antall likevektsligninger Ytre likevekt av konstruksjonen gir opplagerreaskjoner: M A = C 4 F 2 = 0 C = 5kN Fy = C + Ay F = 0 Ay = 5kN Fx = 0 Ax = 0

Knutepunktmetoden for fagverket gir stavkreftene og flgelig spenningene (bruker symmetribetraktning): F D Merk: stavkreftene er tegnet/definert som strekk: + strekk - trykk N3 N4 N5 Symmetribetraktning: N3 = N5

A F/2

N1 B

N2

C F/2

Knutepunkt A: N3 N1 F/2

Fy =N3 =

3 F N3 = 0 2 13

13 F = 6, 01kN 6 2 Fx = 13 N3 + N1 = 0 N1 = F 2 2 13 N3 = F = = 3,33kN 3 13 13 6

Knutepunkt B: N4 N1 N2

Fy = N4 = 0 Fx = N1 + N 2 = 0N 2 = N1 = 3,33kN

Allerede bestemt N5=N3 grunnet symmetri, men for en kontroll: Knutepunkt D:

F D

Fy = F N 4 N5 =

3 3 N3 N5 = 0 13 13

N3

N4

N5

13 3 13 3 13 13 F (F 0 (F N3 ) = F) = = 6, 01kN = N3 3 3 3 2 13 13 6 2 Fx = 13 N3 + N1 = 0 N1 = 2 2 13 F N3 = F = = 3,33kN 3 13 13 6

Spenningene i stavene: =

N (utregning gitt i tabellen) A

Tverrsnittsarealet av stavene: A = r 2 = (30mm)2 = 2827, 4mm2 Stav nr. 1 2 3 4 5 Stavkraft [kN] 3,33 3,33 6,01 0,0 6,01 Normalspenning [MPa] 1,178 1,178 2,126 0,0 2,126 Trykk Strekk

OPPGAVE 46

fr pfring av F L etter pfring av F

Na

Nb

Na

Forhold mellom N og : N = A Forhold mellom og : = E Forhold mellom og L: = L / L Likevektslikningen for systemet og forskyvningene for bjelken blir:

2 N a + Nb = 2 F L = a La = b Lb

a =

Na EA Nb b = EA N a = 2 Nb

Dermed fr vi flgende stavkrefter og forskyvning:2 F = 4kN ( strekk ) 5 4 N a = F = 8kN ( strekk ) 5 L 2 2L = Nb B = F = 0,229mm EA 5 EA

Nb =

OPPGAVE 47

NB

NC

A Aya) MA = 0 : NB2 + NC4 - F4 = 0 Fy = 0 : NB + NC - Ay - F = 0

F

2NB + 4NC = 120 NB + NC - Ay = 30

(1) (2)

Deformasjon :

/2

C = /2000 C = EC = 210000/2000 = 105 B = (/2)/2000 B = EB = 210000/4000 = 52,5 NC = CA = 105500 = 52500 NB = BA = 52,5500 = 26250

= NC/52500 = NB/26250 NC = 2NB (3)

(3) i (1) : NC + 4NC = 120 NC = 120/5 = 24 kN (3) : NB = NC/2 = 12 kN (2) : Ay = NB + NC - F = 12 + 24 - 30 = 6 kN

b) = NC/52500 = 241000/52500 = 0,46 mm

OPPGAVE 48

a) Tyngdepunktsakse:2 m 33 6

m3 2

z y

C'

m

dy

3 3

m

b(y)2 3 y 6 2 3 6 2 2 6 2 b( y ) = y = (1 3 y ) 3 32 3 3 b( y ) = 2/3

2 3 6

I zz =

3 6

2 y b( y )dy = 32

2 3 6

2 1 3 4 6 ( y 3 y )dy = y 3 = 0.0181m 4 y 3 3 4 3 32 3 6

2 3

6

b) Punkt C fr strst spenning. (Strst vertikal avstand fra horisontal akse.)

OPPGAVE 49

OPPGAVE 50 a) Mmax = qL2/8 = 3062/8 = 135 kNm

b) Dobbeltsymmetrisk

Iz = 2004/12 - 1901603/12 = 13,333107 - 6,485107 = 6,85107 mm4

c) Maksimal byespenning :

max = M(h/2)/Iz = 135106100/6,85107 = 197,1 N/mm2 (strekk i underkant )

Skisse : 0,1m n.a. 0,1m

= - 197,1 N/mm2 (trykk)

= 197,1 N/mm2 (strekk)

d)

Middelspenning i flenser : flens = 13510690/6,85107 = 177,37 N/mm2 Resultantkraft i flenser : flensAflens = 177,3720020 N = 709,49 kN Moment av kraftpar i flenser : Mflens = 709,49 0,18 = 127,7 kNm Andel av Mmax som tas av flenser : 127,7100 / 135 = 94,6 % Andel av Mmax som tas av steget : 5,4 %

OPPGAVE 51

a) Moment- og skjrkraftdiagram :

Mmax = FL/4 = 8 M (kNm):

V (kN):

4

+

b) 2. arealmoment om z-akse :

F/2 = 4

Iz = 1502003/12 - 1001503/12 = 7,188107 mm4

o = - 11,1 N/mm2

yo z y Bjelkeakse = x M

yu

u = 11,1 N/mm2 Byespenninger : Underkant : u = Myu/Iz = 8106100 / 7,188107 = 11,1 N/mm2 (strekk) Overkant : o = Myo/Iz = 8106(-100) / 7,188107 = - 11,1 N/mm2 (trykk) Dvs.: max = 11,1 < fd = 15 Tilstrekkelig kapasitet for byning

c) Akseparallell skjrkraft :

z y Snitt 1 A Snitt 1, akseparallell skjrkraft for hele tverrsnittsbredden : K = VS/ Iz hvor S = ycA = 87,525150 = 3,281105 mm3 yc

K = 40003,281105 / 7,188107 = 18,26 N/mm = 18,26 kN/m Akseparallell skjrkraft i snitt mellom bunnbjelke og en sidebjelke : Ksidevegg = 9,13 kN/m Ndvendig antall trdstift pr m langs bjelken i hvert hjrne : n 9,13 / 1,1 = 8,3 trdstift pr meter (dvs.: avstand mellom stiftene s 1000mm/8,3 = 120mm)

d)

Skjrspenninger :

yo

y + (75-y)/2 = (75 + y)/2 z

Snitt 2

y 87,5 75 - y

A

Skjrspenning i snitt 2 : (y) = VS(y) / Iz2bvegg (Her er og S funksjoner av y ) S(y) = S(for skraverte veggdeler ) + S(for bunnbjelken) = 0,5(75 + y)225(75 y) + 87,525150 = 25(752 y2) + 3,281105 S(y) = 4,687105 25y2 Dvs.: (y) = 4000(4,687105 25y2) / (7,188107250) = 0,522 0,0000278y2 (Dette er en 2.grads parabel med max-verdi nr y = 0, alts i tyngdepunktsaksen) Maksimal skjrspenning : (y=0) = max = 0,522 N/mm2 Skjrspenning i over- og underkant av sidevegger : (y=75) = 0,522 0,0000278(752) = 0,366 N/mm2 Skisse av skjrspenningsfordeling over sidevegghyden: 0,366 N/mm2

z Bjelkeakse y

max = 0,522 N/mm2 x (y) 0,366 N/mm2

e) Skjrkraft som tas av sidevegger :

Vvegger =

75

75

( y) 2 25 dy = 50 (0,522 0,0000278 y 75 75

75

2

)dy

= 50

75

|

(0,522 y 0,0000278 y 3 / 3) = 3,522 kN

Dvs.: Sideveggene tar 3,522100/4,0 = 88% av total skjrkraft V

OPPGAVE 52

Tverrsnitt : q = 8 kN/m h=? L = 10m b = 120mm Mmax

M:

a)

Mmax = qL2/8 = 8102/8 = 100 kNm Max byespenning : max = Mmax(h/2)/I f Dvs : 100106(h/2) / (120h3/12) 16 h2 312500 Pga fasthetskravet m alts bjelkehyden minst vre 559 mm h 559 mm

b) Max nedbyning : umax = 5qL4/(384EI) L/200

Dvs : 58100004/(38410000120h3/12) 10000/200 h3 208 333 333 h 593 mm Pga nedbyningskravet m alts bjelkehyden minst vre 593 mm

c) Totalt sett blir nedbyningskravet avgjrende, slik at h 593 mm

OPPGAVE 53

F A L B C L/2

MB = FL/2 M: Dette momentforlpet oppns ved kombinasjon av to tilfeller :

MB = FL/2

B

+B

uMF

uFIngen helning, dvs innspenning Helning ved B : B = MBL /3EI = FL2/6EI L/2

uM = BL/2 = FL3/12EI uF = F(L/2)3/3EI = FL3/24EI

Nedbyning p enden i C : uc = uM + uF = FL3/8EI

OPPGAVE 54

Kablene har en jevnt fordelt parallellast q = 130 kN/m, slik at hver kabel brer 65 kN/m. Vi fr da to parabelkabler som flge av lasten og geometrien (liten pilhyde f sammenlignet med total spennvidde L).

q = 65kN/m

y s x f = 12m

L = 140m

q

S(x) P y(x)

S0 x

P er et vilkrlig punkt

MP = 0:I II

M P = S0 y ( x ) = 0:

F F

x y

= 0:

F F2

qx 2 qx 2 = 0 y ( x) = 2 2 S0

x y

= S0 S ( x) cos = 0 S0 = S ( x) cos = qx S ( x) sin = 0 qx = S ( x) sin

I 2 + II 2 : S02 +

( qx )

= S ( x) 2 cos 2 + sin 2 S ( x) = S02 +

(

)

( qx )

2

fra momentlikevekten ser vi at kablene fr parabelform

1) Horisontalstrekket S0: x = 140/2 og y = 12S0 = qx 2 = 13270,8kN 2y

2) Maksimalstrekket Smax:2

Max strekk nr y = f og x = L/2

L L S max = S = S02 + q = 14029, 2kN 2 2

3) Lengden av hver kabel:L/2

buelengde, s = y= s= qx 2 ; 2 S0L/2

L/ 2

dy 1 + dx dx

2

dy qx 8 xf = = 2 dx S0 L2 L/2

L/ 2

8f 8 xf 1 + 2 dx = 2 L L L/ 2

L2 2 + x dx 8f = 142, 7 m L / 2 L/2

2

matematisk formelsamling:2 2 2 L2 8 f 1 L2 1 L2 2 2 s= 2 x +x + ln x + +x L 2 8 f 28f 8f

Documents

Mekanikk 1 -- Oppgavesamling-2 - Kopi