Lietojumi

Lietojumi

Jebkurš uzdevums, kurā līdz ar kāda lieluma x maiņu ir jāņem vērā arī šīs maiņas ātrums x’, var tikt aprakstīts ar diferenciālvienādojumu.

Daudzos uzdevumos vienādojuma sastādīšanas pamatprincips ir:

“lieluma maiņas ātrums ir vienāds ar tā palielināšanās ātrumu mīnus samazināšanās ātrums”

Ja uzdevumā jāievēro arī paātrinājums, kā tas notiek daudzos mehānikas uzdevumos, procesu modelē ar otrās kārtas vienādojumu. Šādos uzdevumos bieži izmanto Ņūtona otro likumu F=ma.

v v v

Uzdevumi par ceļu un ātrumu

x – pārvietojums,

t – laiks, x’=v - ātrums

Ja ātrums ir laika funkcija v=f (t), rodas diferenciālvienādojums:

' ( )x f tJa zināms kustīgā punkta stāvoklis fiksētā sākuma momentā

0 0( ) ,x t x

atrisinot Košī problēmu, viennozīmīgi atrodam stāvokli patvaļīgā momentā t:

0

0( ) ( )t

t

x t x f s ds

Ja f (t)=const, vienādojums apraksta vienmērīgu kustību,

f (t)=at, kustība ir vienmērīgi paātrināta.

Analoģiska Košī problēma apraksta kustību arī gadījumā, ja ātrums ir ne tikai laika, bet arī noietā ceļa funkcija v=f (t,x):

0 0

' ( , )

( )

x f t x

x t x

Piemērs: ātrums proporcionāli noietajam ceļam samazinās, “gājējs nogurst”:

0(

'

)

'ktx t

x

x x

e

x k

x

Sastādot modeli, būtiska loma ir vienādojumā ieejošo parametru noteikšanai.

1. Eksperimentālo datu izmantošana.

Piemērs. Sprinta modelis: (1973.g. J.B.Keller)

http://www.math.duke.edu/education/ccp/materials/diffeq/sprints/sprints1.html

,

dv/dt = A - v/b

A = 12.2 m/sec2 , b = 0.892 sec.

Name 30 m

60 m

80 m

100 m

Linford Christie

3.85 6.45 8.15 9.87

Andre Cason 3.83 6.43 8.15 9.92

Dennis Mitchell

3.82 6.46 8.22 9.99

Carl Lewis 3.95 6.59 8.30 10.02

Čempionāta rezultāti 1993.gadā:

Grafikā labākā un sliktākā rezultāti:

Atrisinot vienādojumu:

)1()1()(

)1()(

0)0(

)(

2

0

b

t

b

tt

b

t

b

t

eAbAbtdteAbts

eAbtv

AbCv

CeAbtv

Radioaktīvā sabrukšana

mdt

dm

m(0)=m0

temtm 0)(

Radioaktīvās vielas sabrukšanas ātrums ir proporcionāls vielas esošajam daudzumam

Pussabrukšanas periods

2ln

T

Piemērs. Metodes lietojums.

Radioaktīvā oglekļa C14 relatīvais daudzums katrā dzīvā organismā (arī augos) ir tāds pats kā apkārtējā gaisā. Kad organisms mirst, ogļskābās gāzes uzņemšana beidzas, turpinās tikai radioaktīvā sabrukšana. C14 pussabrukšanas periods ir

gadi 305568

Dzīvā organismā Geigera skaitītājs uzrāda 13.5 sabrukšanas minūtē uz gramu vielas. Zinot Geigera skaitītāja rādījumu pētāmās vielas paraugā, var aprēķināt tās vecumu.

Uzdevums. Noteikt Francijas aizvēsturisko alu gleznojumu vecumu, ja atrastajam oganiskā materiāla paraugam Geigera skaitītājs uzrāda 1.69 sabrukšanas minūtē uz gramu vielas.

TtqTqtq T )()(

gadikk

qqkqqTt

10001245.0 ,2ln

)0( 0 0

000 ln

1 )(

q

q

kTeqqTteqtq TkT

Tkt

)0(

)(

)0(

)(

)0(

)(

q

Tq

kq

Tkq

q

Tq

Pieņemsim t=0 šobrīd, T<0 momentā, kad organiskais paraugs gāja bojā, q(t) oglekļa saturs paraugā momentā t.

Tā kā sabrukšanas ātrumu raksturo Geigera skaitītāja rādījumi, var atrast

1670069.1

5.13ln

2ln

305568

)0(

)(ln

2lnln

1

69.1

5.13

)0(

)(

0

q

Tq

q

q

kT

q

Tq

T

Bioloģijas piemēri.

Baktēriju vairošanās.y’=y, y(0)=y0

teyty 0)(

Ja dzīves apstākļi baktērijām (vai citām būtnēm) ir ļoti labi, var gadīties: 2 ' yy

Ja y(0)=y0, šāds likums ātri noved pie katastrofas, jo ,

ty

yty

0

0

1)(

Populāciju augšanas uzdevums…

Kenijas iedzīvotāju skaits (miljonos) 40 gadu laika posmā no 1950. līdz 1990. gadam statistiski dots tabulā

0 6,265

5 7,189

10 8,332

15 9,749

20 11,498

25 13,741

30 16,632

35 20,353

40 25,13

Ar lineāro interpolāciju rēķinot, iegūst, ka dubultošanās periods ir apmēram 22,30049 gadi.

Modelējot ar lineāro diferenciālvienādojumu un atrisinājumu ar eksponentfunkciju, dabū

03108215,02ln

Tk

Salīdzinājumam grafikā statistiskie dati un eksponentfunkcijas vērtības

0

5

10

15

20

25

30

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Faktiski iedzīvotāju skaits aug ātrāk nekā eksponentfunkcijas vērtība

Logistiskais likums

Situācijā, kad apkārtējās vides resursi ir ierobežoti, notiek konkurence par tiem, populācijas augšanas ātrumu ierobežo savstarpējo kontaktu biežums, jo kontaktējoties sugas īpatņi viens otru var iznīcināt.

2bxkxdt

dx

0 , dt

dx

b

kx populācija pieaug

0 , dt

dx

b

kx populācija samazinās

Ir cerība, ka Zemeslodes iedzīvotāju skaits pieaug pēc logistiskā likuma

Ja populācijas īpatņi migrē prom no dotā areāla vai arī tiek rūpnieciski izmantoti ar konstantu ātrumu, pieaugšanas ātrums samazinās:

Bbxkxdt

dx 2

B pieaugot…

yn+1=pyn,

nn pyy 0

1 ( )n n ny qy N y

200 400 600 800 1000 1200 1400

0.5

1.5

2

2.5

Pietiekoši lielam qN:

Divu populāciju mijiedarbība

x’=ax-bxy y’=-cy+kxy

Plēsoņu (y) - upuru (x) izturēšanās modelis

Piemērs. Volterra – Lotkas sistēma.

Eksperimentālie dati. Novērojumi veikti ilgstošā periodā.

http://www.math.montana.edu/frankw//ccp/modeling/continuous/twovars/body.htm

http://www.biology.ualberta.ca/courses.hp/bio331.hp/lectures/lect22/PredatorPreyDynamics.htm

Kolmogorova pieeja. Par konkrētām parametru vērtībām neinteresējamies, uzsverot tikai proporcionalitāti, lielāks – mazāks, pozitīvs – negatīvs utml. īpašības.

Jebkurā gadījumā ir svarīgi maksimāli samazināt ieejošo parametru skaitu, atstājot tikai būtiskos.

Izvēlēties svarīgākos parametrus ir viena no modelēšanas mākslām.

Piemērs. Parametru skaita samazināšana Volterrra – Lotkas sistēmā. Reparametrizācija.

kxycyy

bxyaxx

Substitūcija:

Tt

Bvy

Aux

kATuvcTvd

dv

bBTuvaTud

du

Izvēlamies koeficientus A, B, T, lai sistēma būtu pēc iespējas vienkārša:

k

aAA

a

k

b

aB

a

bBa

TaT

1 ,1

11Aprēķins

Formulas:

a

c

atv

b

ayu

k

ax : ,

1 , ,

Sistēmā paliek viens būtisks parametrs

uvvv

uvuu

Pāreja uz bezdimensionāliem mainīgajiem jāveic katrā uzdevumā!

)y,x(D)y(Cdt

dy

)y,x(B)x(Adt

dx

A modelī raksturo upuru vairošanos

B raksturo upuru apēšanas ātrumu,

B(x,y)=B(x,.) B(.,y) B(x,.) nosaka apēšanas ātruma atkarību no upuru populācijas blīvuma fiksētam y. B(x,.)=kx. šādam modelim plēsoņa nekad nav paēdis.

B(x,.)=kx x <x*, tad iestājas piesātinājums un x>x*

B(x,.)=kx*

x

bx,.)x(B

1plēsoņa nevar apēst vairāk kā upurus,

b

2

2

1 x

bx,.)x(B

plēsoņam tāpat iestājas piesātinājums, bet mazam upuru populācijas blīvumam apēšanas ātrums ir mazāks kā iepriekšējā gadījumā

Ja neņem vērā plēsoņu konkurenci par upuriem, tad B(.,y)=y

y

y)y(.,B

1 Ar konkurenci

C(y)=-cy-hy2

)y,x(B.yN

dy)y,x(D

Konkrēts uzdevums no mikrobioloģijas

u'(T) = (1 - u(T)) - M u(T) v(T) / (A + u(T)), v'(T) = M u(T) v(T) / (A + u(T)) - v(T),

u ir proporcionāls substrāta koncentrācijai hemostatā, v mikroorganismu

kultūras apjomam

Epidemioloģija

1. I(t) inficēto skaits momentā t, r – inficēšanās ātrums (cik cilvēkus dienā inficētā persona inficē no jauna), a - ātrums ar kādu atbrīvojas no infekcijas (atveseļojas vai nomirst) -1/dienu skaitu, kurās cilvēks ir inficēts

aIrII

2. SIS modelis. S- uzņēmīgi, I - inficētie

NIS

ISIdt

dI

ISIdt

dS

2)(

)(

IINdt

dI

IINIdt

dI

NIIdt

dI vai00

(?) 1

(?) 1

:

0

0

0

R

R

NR

Logistiskais vienādojums!

                                                     (4)

3. SIR modelis.

RIdt

dR

ISIdt

dI

RSIdt

dS

(?) NRIS

NRIS

4. SEIR modelis

1

)(

)()(

)(

RIES

IEdt

dI

ESItdt

dE

SSItdt

dS

1

1latentais periods

infekcijas periods

http://www.muk.uni-hannover.de/~jansen/master_hjansen.pdfhttp://www.me.ucsb.edu/~moehlis/APC514/tutorials/tutorial_seasonal/node5.html

http://www.bondy.ird.fr/~bacaer/madd/node25.html

Statistikas dati SARS 2003.

Saslimušie Mirušie

Izdzīvojušie

E,I,R kā laika funkcijas

Ķīmijas uzdevumi

i

n

ki

kki

k

i BB

11

)(

ii ndt

dn

n

k

)(

i

k)(

iii nknk

11

i0, i=1,...,k, i0, i=k+1,...,n. Stohiometriskie koeficienti

Piemēri.

XA

kk

nknk

XA

dt

dn,

dt

dn XA 0dt

dn

dt

dn XA

nA+nX=C

XXX nk)nC(k

dt

dn

kk

CkkX

CBA

kk

nknnk

CBA

dt

dn,

dt

dn,

dt

dn CBA

nA+nC=a, nB-nA=b

.nkn)bkk(akdt

dnAA

A 2

Iespējamas divas līdzsvara vērtības!

32

32

XXA

kk

nknnk

XXA

Autokatalītiska reakcija 32 dt

dn,

dt

dn XA

32

XXXX nkn)na(k

dt

dn

Zīmējums 1.9

t

nX

YYXXA

k

k

k

nknnknnk

EY

YYX

XXA

33 ,2211 ,

2

2

3

2

1

322211 2 2 dt

dn,

dt

dn YX

YYXY

YXXAX

nknnkdt

dn

nnknnkdt

dn

32

21

Šlogla reakcija

2211 ,,,

32

kkkk

CXB

XXA

CXB

XXA

X

nknnk

nknnk

n

222

31

211

211 32

CXBXXAX nknnknknnkn 223

12

1

Pārveidojuma piemērs.

kcxbxaxdt

dx 23

Tt

Aux

kcAuubAuaAd

du

T

A 2233

c

k

ac

bcT

a

cA : ,: , ,

uuud

du 23

)327

8()1

3

2(

3

:

323

0

0

vvd

dv

u

uuv

vvv 3

Masas punkts ar masu m=1 kustas ārējā spēka F un berzes spēka iespaidā.

)(xFxx

Berze ļoti liela 1

Pārejam uz citu laika skalu:

)(11

2

2

2xF

d

dx

d

xdt

Praktiski pirmās kārtas vienādojums

)(xFd

dx

Mehānika

Piemērs),,(

2

2

dt

dxxtF

dt

xdm

Pieņemsim 3)( xxxF

Vienādojums3xx

d

dx

0 Elastības spēks!

Viens pats līdzsvara stāvoklis x=0

00 x

3xxd

dx

Pieliekam vēl konstantu ārējo spēku

0 Saglabājas viens pats (stabils) līdzsvara stāvoklis

? 0

II kārtas vienādojumu lietojumiMehānika, elektrība u.c.

Lineāri vienādojumi.

Mehāniskās svārstības.

Ideālās svārstības - bez berzes.

)sin()(

sincos)(

0

21

2

tAtx

tCtCtx

xx

kxxm

),,( xxtFxm

Trajektorijas

fāzu plaknē

Cxyy

x

dx

dyxy

yx

22222

Svārstības ar lineāru berzi

)sin()(

02

2222

2

tAetx

xxx

xbkxxm

tMaza berze

Liela berze, svārstību nav

t

eCeCtx t )22(22

2)(

1

222.,1

22

)(

Uzspiestās svārstības

tBxxx sin2 2

,0

R

C

L

Svārstības elektriskā kontūrā

Kirhofa likumi.

1) Mezglā saejošo strāvu stiprumu algebriskā summa ir vienāda ar 0.

2) Noslēgtā kontūrā sprieguma kritumu summa ir vienāda ar darbojošos EDS summu.

Sprieguma kritums U :

uz omiskās pretestības R pēc Oma likuma U=IR

uz kondensātora ar lādiņu q un kapacitāti C

indukcijas spole ar pašindukcijas koeficientu L dod indukcijas EDS ar lielumu

Idt

dq

C

qU ,

dt

dIL

dt

dIL

C

qIR

02

2

C

I

dt

dIR

dt

IdL

LCL

R 1: ,

2: 2 02 2 III

Uc C

q

nmUbUaUUF

C

UFU

C

IU

UC

qU

UFI

c

23)(

)(

)(

Elektriskā ķēde ar nelineāru elementu

Ekonomika

PQ

PQ

s

d

P cena, Qs - piedāvājums, Qd – pieprasījums. Vienkāršotā variantā

0 PQQ sdLīdzsvars

Nepārtraukti: P’ cenas maiņas ātrums, P” ātruma izmaiņas tendence

Pirmajā tuvinājumā cenas regulēšanas mehānisms: 0 ),( jQQjP sd

P’=j((+)-(+)P)

))()((1 nsndnn PQPQkPP Sezonāls raksturs

.))0(()( )(00

tjePPPtP Qd=-

P+mP’+nP” Qs=-

+P+uP’+vP”.Vienkāršības dēļ prognozēšanas elementus iekļaujam tikai pircēju uzvedībā

Qd=-P+mP’+nP” Qs=-+P.

.0

n

Pn

Pn

mP

-P+mP’+nP”=-+P

Prognozēšana

x:=P-P0

.0

xn

xn

mx

m<0, n<0 (?)

n>0 ?

Ne vienmēr pieprasījums un piedāvājums ir lineāras cenas funkcijas. Tas noved pie sarežģītākiem modeļiem.

P

QQ

P