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Lineare Algebra
11. Matrizen
Eine mn-Matrix ist ein Raster aus mn Koeffizienten, die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind.
= (aij)
mnmm
n
n
aaa
aaaa...aa
...
...
21
22221
11211
............
Addition von MatrizenA = (aij) und B = (bij) seien zwei mn-Matrizen.
elementweise
A + B = C mit cij = aij + bij
A - B = C mit cij = aij – bij
Man kann nur solche Matrizen addieren und subtrahieren, die gleiche Zeilenzahl m und gleiche Spaltenzahl n besitzen.
Matrixaddition ist assoziativ und kommutativ.
654321
7-1-0021
1-44342
= +
Addition von MatrizenA = (aij) und B = (bij) seien zwei mn-Matrizen.
elementweise
A + B = C mit cij = aij + bij
A - B = C mit cij = aij – bij
Man kann nur solche Matrizen addieren und subtrahieren, die gleiche Zeilenzahl m und gleiche Spaltenzahl n besitzen.
Matrixaddition ist assoziativ und kommutativ.
654321
7-1-0021
= -0 0
6 13
3 4
Man kann nur solche Matrizen A und B miteinander multiplizieren, für die gilt:
A = mn-Matrix, B = np-Matrix
=
Das Ergebnis ist eine mp-Matrix.
A B C
Multiplikation von Matrizen
cij =
n
kkjikba
1
1 2 3
4 5 6
a bc de f
1a + 2c + 3e
a bc de f
1a + 2c + 3e
, 1b + 2d + 3f
a bc de f
1a + 2c + 3e
, 1b + 2d + 3f4a + 5c +
6e
a bc de f
1a + 2c + 3e
, 1b + 2d + 3f4a + 5c +
6e , 4b + 5d + 6f
( )
cij =
n
kkjik ba
1
Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des zweiten Faktors laufen bis n.
mn-Matrix np-Matrix = mp-Matrix
=
cij =
n
kkjik ba
1
Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des zweiten Faktors laufen bis n.
mn-Matrix np-Matrix = mp-Matrix
=
Die Operation ist nicht kommutativ; im Allgemeinen ist selbst für quadratische Matrizen, also solche mit m = n, die sich überhaupt nur in beiden Fällen als Faktoren eignen
A B ≠ B A
0001
0010
=
0010
cij =
n
kkjik ba
1
Der zweite Index des ersten Faktors und der erste Index des zweiten Faktors laufen bis n.
mn-Matrix np-Matrix = mp-Matrix
=
Die Operation ist nicht kommutativ; im Allgemeinen ist selbst für quadratische Matrizen, also solche mit m = n, die sich überhaupt nur in beiden Fällen als Faktoren eignen
A B ≠ B A
0001
0010
=
0010
aber
0010
0001
=
0000
1 2 3
4 5 6
a bc de f
1a+2c+3e
1b+2d+3f
4a+5c+6e
4b+5d+6f
210321
2310
21=
210321
2310
21=
410600622901
=
36610
210321
2310
21=
410600622901
=
36610
(a1, a2)
2
1bb
= (a1b1 + a2b2)
210321
2310
21=
410600622901
=
36610
(a1, a2)
2
1bb
= (a1b1 + a2b2)
11.1 Erklären Sie folgendes Schema:
2 2 3 5 2 1 1 2 3 14 15 4 5 6 35 39 1 1 2 9 9
Sei A eine mn-Matrix, B eine np-Matrix und C eine pq-Matrix, so gilt A (B C) = (A B) C Die Matrixmultiplikation ist also assoziativ, und sie ist auch distributiv über die Matrixaddition +: A (B + C) = (A B) + (A C)
Sei A eine mn-Matrix, B eine np-Matrix und C eine pq-Matrix, so gilt A (B C) = (A B) C Die Matrixmultiplikation ist also assoziativ, und sie ist auch distributiv über die Matrixaddition +: A (B + C) = (A B) + (A C) Es gibt eine nn-Matrix I, die n n-Einheitsmatrix,
I =
1...00............0...100...01
= (ij) (11.4)
so dass für jede nn-Matrix A gilt A I = A = I A.
Sei A eine mn-Matrix, B eine np-Matrix und C eine pq-Matrix, so gilt A (B C) = (A B) C Die Matrixmultiplikation ist also assoziativ, und sie ist auch distributiv über die Matrixaddition +: A (B + C) = (A B) + (A C) Es gibt eine nn-Matrix I, die n n-Einheitsmatrix,
I =
1...00............0...100...01
= (ij) (11.4)
so dass für jede nn-Matrix A gilt A I = A = I A. Eine 11 Matrix ist eine Zahl. Eine 1n Matrix heißt Zeilenvektor. Eine n1 Matrix heißt Spaltenvektor oder einfach Vektor.
11.2 A =
987654321
, B =
65
43
21
, C =
03-2-
1-01-
A A A B C A B C C B
11.4 Inversion von Matrizen Mit Hilfe der inversen Matrix kann man bestimmte lineare Gleichungssysteme lösen.
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (S)am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
Wenn A B = I gilt, so nennt man B die inverse Matrix von A und bezeichnet B mit A-1.
I =
1...00............0...100...01
= (ij) (11.4)
Wenn A B = I gilt, so nennt man B die inverse Matrix von A und bezeichnet B mit A-1. Da die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist, muss man im Allgemeinen zwischen dem Linksinversen und dem Rechtsinversen unterscheiden. Für eine quadratische Matrix sind die beiden Inversen jedoch identisch. Sei L das Linksinverse zu A, d.h. L A = I und R das Rechtsinverse A R = I
I =
1...00............0...100...01
= (ij) (11.4)
Wenn A B = I gilt, so nennt man B die inverse Matrix von A und bezeichnet B mit A-1. Da die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist, muss man im Allgemeinen zwischen dem Linksinversen und dem Rechtsinversen unterscheiden. Für eine quadratische Matrix sind die beiden Inversen jedoch identisch. Sei L das Linksinverse zu A L A = I und R das Rechtsinverse A R = I
Eine Matrix heißt umkehrbar, wenn ein Linksinverses L und ein Rechts-inverses R existieren. In diesem Falle gilt L = R, denn R = I R = (L A) R = L (A R) = L I = L
A =
1-561-34
021 I =
100010001
1-7-01-5-0
021
106-014-001
1-7-01/510021
106-01/5-4/5001
2/5001/510021
17/5-2/5-01/5-4/5001
A =
1-561-34
021 I =
100010001
1-7-01-5-0
021
106-014-001
1-7-01/510021
106-01/5-4/5001
2/5001/510021
17/5-2/5-01/5-4/5001
A =
1-561-34
021 I =
100010001
1-7-01-5-0
021
106-014-001
1-7-01/510021
106-01/5-4/5001
2/5001/510021
17/5-2/5-01/5-4/5001
A =
1-561-34
021 I =
100010001
1-7-01-5-0
021
106-014-001
1-7-01/510021
106-01/5-4/5001
2/5001/510021
17/5-2/5-01/5-4/5001
2/5001/510021
17/5-2/5-01/5-4/5001
1001/510021
5/27/2-1-01/5-4/5001
100010021
5/27/2-1-1/2-1/21001
Ergebnis:
I =
100010001
A-1 =
5/27/2-1-1/2-1/2111-1-
Probe: A A-1 = I = A-1 A.
2/5001/510021
17/5-2/5-01/5-4/5001
1001/510021
5/27/2-1-01/5-4/5001
100010021
5/27/2-1-1/2-1/21001
Ergebnis:
I =
100010001
A-1 =
5/27/2-1-1/2-1/2111-1-
Probe: A A-1 = I = A-1 A.
2/5001/510021
17/5-2/5-01/5-4/5001
1001/510021
5/27/2-1-01/5-4/5001
100010021
5/27/2-1-1/2-1/21001
Ergebnis:
I =
100010001
A-1 =
5/27/2-1-1/2-1/2111-1-
Probe: A A-1 = I = A-1 A.
2/5001/510021
17/5-2/5-01/5-4/5001
1001/510021
5/27/2-1-01/5-4/5001
100010021
5/27/2-1-1/2-1/21001
Ergebnis:
I =
100010001
A-1 =
5/27/2-1-1/2-1/2111-1-
Probe: A A-1 = I = A-1 A
1-561-34
021
11.5 Das Matrixinversionsverfahren Jedes System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten lässt sich als Matrix-Gleichung schreiben A X = B (11.6) wobei A eine mn-Matrix (11.1), X die n1-Matrix (der Vektor) der Unbekannten und B die m1-Matrix (der Vektor) der Konstanten ist. Solch eine einfache Gleichung löst man durch A-1 A X = X = A-1 B (11.7) Deshalb lässt sich die Lösungsprozedur für lineare Gleichungssysteme verein-fachen, wenn es gelingt, die inverse Matrix A-1 zu A zu finden. Dies ist nicht in jedem Falle möglich. Doch existiert eine eindeutige Lösung für alle linearen Gleichungssysteme mit r = m = n, d. h. für alle eindeutig lösbaren linearen Gleichungssysteme. Wir wollen uns daher im Folgenden auf die entsprechenden Matrizen A beschränken. Die dazu notwendige Rechentechnik wurde bereits in Abschnitt 11.4 dargelegt. Dieses Verfahren bietet den Vorteil, dass das Gleichungssystem bei einem Wechsel des Konstantenvektors B weiterhin mit derselben inversen Matrix gelöst werden kann.
11.5 Das Matrixinversionsverfahren Jedes System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten lässt sich als Matrix-Gleichung schreiben A X = B (11.6) wobei A eine mn-Matrix (11.1), X die n1-Matrix (der Vektor) der Unbekannten und B die m1-Matrix (der Vektor) der Konstanten ist. Solch eine einfache Gleichung löst man durch A-1 A X = X = A-1 B (11.7) Deshalb lässt sich die Lösungsprozedur für lineare Gleichungssysteme verein-fachen, wenn es gelingt, die inverse Matrix A-1 zu A zu finden. Dies ist nicht in jedem Falle möglich. Doch existiert eine eindeutige Lösung für alle linearen Gleichungssysteme mit r = m = n, d. h. für alle eindeutig lösbaren linearen Gleichungssysteme. Wir wollen uns daher im Folgenden auf die entsprechenden Matrizen A beschränken. Die dazu notwendige Rechentechnik wurde bereits in Abschnitt 11.4 dargelegt. Dieses Verfahren bietet den Vorteil, dass das Gleichungssystem bei einem Wechsel des Konstantenvektors B weiterhin mit derselben inversen Matrix gelöst werden kann.
11.5 Das Matrixinversionsverfahren Jedes System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten lässt sich als Matrix-Gleichung schreiben A X = B (11.6) wobei A eine mn-Matrix (11.1), X die n1-Matrix (der Vektor) der Unbekannten und B die m1-Matrix (der Vektor) der Konstanten ist. Solch eine einfache Gleichung löst man durch A-1 A X = X = A-1 B (11.7) Deshalb lässt sich die Lösungsprozedur für lineare Gleichungssysteme verein-fachen, wenn es gelingt, die inverse Matrix A-1 zu A zu finden. Dies ist nicht in jedem Falle möglich. Doch existiert eine eindeutige Lösung für alle linearen Gleichungssysteme mit r = m = n, d. h. für alle eindeutig lösbaren linearen Gleichungssysteme. Wir wollen uns daher im Folgenden auf die entsprechenden Matrizen A beschränken. Die dazu notwendige Rechentechnik wurde bereits in Abschnitt 11.4 dargelegt. Dieses Verfahren bietet den Vorteil, dass das Gleichungssystem bei einem Wechsel des Konstantenvektors B weiterhin mit derselben inversen Matrix gelöst werden kann.
11.5 Das Matrixinversionsverfahren Jedes System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten lässt sich als Matrix-Gleichung schreiben A X = B (11.6) wobei A eine mn-Matrix (11.1), X die n1-Matrix (der Vektor) der Unbekannten und B die m1-Matrix (der Vektor) der Konstanten ist. Solch eine einfache Gleichung löst man durch A-1 A X = X = A-1 B (11.7) Deshalb lässt sich die Lösungsprozedur für lineare Gleichungssysteme verein-fachen, wenn es gelingt, die inverse Matrix A-1 zu A zu finden. Dies ist nicht in jedem Falle möglich. Doch existiert eine eindeutige Lösung für alle linearen Gleichungssysteme mit r = m = n, d. h. für alle eindeutig lösbaren linearen Gleichungssysteme. Wir wollen uns daher im Folgenden auf die entsprechenden Matrizen A beschränken. Die dazu notwendige Rechentechnik wurde bereits in Abschnitt 11.4 dargelegt. Dieses Verfahren bietet den Vorteil, dass das Gleichungssystem bei einem Wechsel des Konstantenvektors B weiterhin mit derselben inversen Matrix gelöst werden kann.
Beispiel: x1 + 2x2 = 1 4x1 + 3x2 - x3 = 2 6x1 + 5x2 - x3 = 3 Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
3
2
1
xxx
=
5/27/2-1-1/2-1/2111-1-
321
=
1/2-1/20
d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
Bei einem Wechsel von B =
321
zu B' =
001
kann die neue Lösung
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
schnell gefunden werden: A-1 B' =
1-11-
. Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren
hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.
Beispiel: x1 + 2x2 = 1 4x1 + 3x2 - x3 = 2 6x1 + 5x2 - x3 = 3 Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
3
2
1
xxx
=
5/27/2-1-1/2-1/2111-1-
321
=
1/2-1/20
d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
Bei einem Wechsel von B =
321
zu B' =
001
kann die neue Lösung
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
schnell gefunden werden: A-1 B' =
1-11-
. Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren
hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.
1-561-34
021
3
2
1
xxx
=
321
Beispiel: x1 + 2x2 = 1 4x1 + 3x2 - x3 = 2 6x1 + 5x2 - x3 = 3 Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
3
2
1
xxx
=
5/27/2-1-1/2-1/2111-1-
321
=
1/2-1/20
d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
Bei einem Wechsel von B =
321
zu B' =
001
kann die neue Lösung
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
schnell gefunden werden: A-1 B' =
1-11-
. Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren
hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.
1-561-34
021
3
2
1
xxx
=
321
Beispiel: x1 + 2x2 = 1 4x1 + 3x2 - x3 = 2 6x1 + 5x2 - x3 = 3 Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
3
2
1
xxx
=
5/27/2-1-1/2-1/2111-1-
321
=
1/2-1/20
d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
Bei einem Wechsel von B =
321
zu B' =
001
kann die neue Lösung
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
schnell gefunden werden: A-1 B' =
1-11-
. Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren
hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.
1-561-34
021
3
2
1
xxx
=
321
Beispiel: x1 + 2x2 = 1 4x1 + 3x2 - x3 = 2 6x1 + 5x2 - x3 = 3 Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
3
2
1
xxx
=
5/27/2-1-1/2-1/2111-1-
321
=
1/2-1/20
d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
Bei einem Wechsel von B =
321
zu B' =
001
kann die neue Lösung
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
schnell gefunden werden: A-1 B' =
1-11-
. Das in Abschnitt 10 vorgestellte Verfahren
hätte dagegen nochmals gänzlich durchlaufen werden müssen.
1-561-34
021
3
2
1
xxx
=
321
Beispiel: x1 + 2x2 = 1 4x1 + 3x2 - x3 = 2 6x1 + 5x2 - x3 = 3 Mit der in Abschnitt 11.4 berechneten Inversen A-1 ergibt sich
3
2
1
xxx
=
5/27/2-1-1/2-1/2111-1-
321
=
1/2-1/20
d. h. die Unbekannten sind x1 = 0, x2 = 1/2 und x3 = -1/2.
Bei einem Wechsel von B =
321
zu B' =
001
kann die neue Lösung
mit Hilfe der davon unabhängigen und deshalb unveränderten Inversen A-1
schnell gefunden werden: A-1 B' =
1-11-
.
1-561-34
021
3
2
1
xxx
=
321
11.5 Invertieren Sie die Matrix
4213
.
11.6 Versuchen Sie, die Matrix
2613
zu invertieren.
246
xyz
A A-1 =
2 3 12 0 00 4 1
1 1
2 224 46 22
A A A
x xy yz z
Schreiben Sie das Gleichungssystem 2x + 4y = 1 x + 3y = 1 als Matrixgleichung
2 4 11 3 1
xy
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