Lineární funkce

Lineární funkce

Matematika – 9. ročník

FunkceDefinice

Funkce je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřadí právě jedno číslo y z množiny H.

Funkci obvykle zapisujeme ve tvaru y = f(x), x D

nebof: x y, x D

(čteme: Prvku x množiny D je funkcí f přiřazeno reálné číslo y)

FunkceDefiniční obor a obor hodnot funkce

Definiční obor (značíme D(f)), je množina všech přípustných hodnot argumentu x, tedy všechny hodnoty, kterých může proměnná x nabývat.

Obor hodnot (značíme H(f)) je poté množina všech přípustných y, tedy množina všech prvků, kam může ukazovat funkce f.

FunkceZadání

Funkce může být zadána:

Rovnicí y = 2x – 3, x D

Tabulkou

Grafem

t (h) 1 2 3 4 5 6

s (km) 5, 5 11,0 16,5 22,0 27,5 33,0

FunkceGraf

Grafem funkce y = f(x), x D nazýváme množinu všech bodů roviny, které mají souřadnice [x; y].

Lineární funkceDefinice

Každá funkce y = ax + b, kde a a b jsou libovolná reálná čísla a definičním oborem je množina všech reálných čísel, se nazývá lineární funkce.

Grafem lineární funkce je přímka.

Oborem hodnot je množina všech reálných čísel.

Lineární funkceGraf

Sestrojte graf funkce: y = 2x – 1

Grafem lineární funkce je přímka.

Každá přímka je jednoznačně určena právě dvěma body.

Pro sestrojení grafu nám tudíž stačí dva údaje.

x   

y   

2-1

-3 3

6

5

4

3

2

1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

-5

-6

Lineární funkcePřímá úměrnost

Lineární funkce y = ax + b, kde a ≠ 0 a b = 0, (tj. y = ax) jejímž definičním oborem je množina všech reálných čísel, se nazývá přímá úměrnost.

Grafem přímé úměrnosti je přímka, procházející počátkem soustavy souřadnic.

Oborem hodnot je množina všech reálných čísel.

Přímá úměrnostGraf

Sestrojte graf funkce: y = 2x

Grafem přímé úměrnosti je přímka, procházející počátkem soustavy souřadnic.

Každá přímka je jednoznačně určena právě dvěma body.

Pro sestrojení grafu nám tudíž stačí dva údaje.

x   

y   

2-1

-2 4

6

5

4

3

2

1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

-5

-6

Lineární funkceKonstantní funkce

Lineární funkce y = ax + b, kde a = 0 a b je libovolné reálné číslo, (tj. y = b), jejímž definičním oborem je množina všech reálných čísel, se nazývá konstantní funkce.

Grafem konstantní funkce je přímka rovnoběžná s osou x.

Oborem hodnot je číslo b.

Konstantní funkceGraf

Sestrojte graf funkce: y = 2

Grafem konstantní funkce je přímka, rovnoběžná s osou x.

Každá přímka je jednoznačně určena právě dvěma body.

Pro sestrojení grafu nám tudíž stačí dva údaje.

x   

y   

2-1

2 2

6

5

4

3

2

1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

-5

-6

FunkceFunkce rostoucí a klesající

Rostoucí funkce

je funkce, pro kterou platí: Zvětšují-li se hodnoty proměnné x, zvětšuje se hodnota funkce.

Klesající funkce

je funkce, pro kterou platí: Zvětšují-li se hodnoty proměnné x, zmenšuje se hodnota funkce.

Lineární funkceFunkce rostoucí a klesající

Do jedné soustavy souřadnic sestrojte grafy funkcí a) y = x + 2 b) y = - x + 2

x   

y   

x   

y   

4

-2 2

-2 2

0

4 0

6

5

4

3

2

1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

-5

-6y = x + 2y = - x + 2

Lineární funkceFunkce rostoucí a klesající

Lineární funkce y = ax + b je rostoucí, když a > 0.

Lineární funkce y = ax + b je klesající, když a < 0.

Lineární funkce y = ax + b je konstantní, když a = 0.

Lineární funkcePříklad č. 1

1. Určete, zda jde o zápis lineární funkce (D = R):a)

a) ANO

c) b) 1

b) NE c) ANO

d) e) f)

g) i) h)

e) ANOd) ANO

i) ANOh) NEg) NE

f) NE

Lineární funkcePříklad č. 2

2. Určete, zda je daná lineární funkce rostoucí nebo klesající.a)

a) Rostoucí

c) b) 1

b) Klesající c) Konstantní

d) e) f)

g) i) h)

e) Rostoucíd) Klesající

i) Konstantníh) Rostoucíg) Rostoucí

f) Klesající

Lineární funkcePříklad č. 3

3. Zjisti, zda body A[1; 1]; B[-1; 1]; C[-2; 7]

a D[2; -7] leží na grafu funkce y = -2x + 3.

A[1; 1]

1 = -2 · 1 + 3

1 = -2 + 3

1 = 1

Bod A leží na grafu lineární funkce y = -2x + 3

A[-1; 1] A[-2; 7] A[2; -7]

1 ≠ -2 · (-1) + 3

1 ≠ 2 + 3

1 ≠ 5

7 = -2 · (-2) + 3

7 = 4 + 3

7 = 7

-7 ≠ -2 · 2 + 3

-7 ≠ -4 + 3

-7 ≠ -1

Bod B neleží na grafu lineární funkce

y = -2x + 3

Bod C leží na grafu lineární funkce y = -2x + 3

Bod D neleží na grafu lineární funkce y = -2x + 3

Lineární funkcePrůsečíky grafu s osami

Do jedné soustavy souřadnic sestrojte grafy funkcí a) y = 3x + 2 c) y = 3x - 2 b) y = 3x

x   

y   

x   

y   

5

-1

1

-2 1

-4

-6 3

6

5

4

3

2

1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-1

-2

-3

-4

-5

-6y = 3x + 2

y = 3 x

x   

y   

2

-5 4

-2

y = 3 x – 2

Průsečík s osou y má souřadnice [0; b]

Lineární funkcePříklad č. 4, 5

4. Urči průsečíky grafu lineární funkce y = – x – 3 s osami.Průsečík s osou y má souřadnice [0; b] Y[0; – 3] ⇒

Průsečík s osou x má souřadnice [x; 0]⇒ 0 = – x – 3

x = – 3

X[– 3 ; 0]

5. Urči rovnice lineární funkce jejíž graf protíná osy v bodech X[2; 0] a Y[0; – 1].y = ax + b

y = ax – 1 0 = 2a – 1

(průsečík s osou y má souřadnice [0; b] (do rovnice dosadíme souřadnice bodu X

a = 0,5⇒ y = 0,5x – 1

Lineární funkcePříklad č. 6

6. Urči rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body A[– 2; 3] a B[2; – 1] .

⇒

Do obecné rovnice lineární funkce dosadíme souřadnice bodu A

y = ax + b

3 = – 2a + b / · (– 1)

Vyřešíme soustavu lineárních rovnic

Řešením je rovnice

Do obecné rovnice lineární funkce dosadíme souřadnice bodu B

– 1 = 2a + b

– 4 = 4a a = – 4

– 1 = 2 · (– 4) + b

b = 7

y = – 4x + 7

Lineární funkcePříklad č. 7 – 10

7. Zjisti, zda body A[1; 2]; B[-1; -2]; C[-2; 7] a D[-1; -4] leží na grafu funkce y = 3x - 1.

A – ANO, B – NE, C – NE, D - ANO

8. Urči průsečíky grafu lineární funkce y = –2x + 1 s osami. Y[0, 1], X[0,5; 0]

9. Urči rovnice lineární funkce jejíž graf

protíná osy v bodech X[4; 0] a Y[0; 3].

𝑦=−34𝑥+3

10. Urči rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body A[– 1; – 3] a B[2; 1] .

𝑦=43𝑥−

53