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7/23/2019 Lista2- Vibracoes
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Lista + Memorial de Clculo - Lista 2 - Vibraes Mecnicas
Aluno: Gabriel de Sousa Rangel dos Santos - UnED Itagua - 2015.2
Exerccio 1
k1 k2 2 kassociao de molas em paralelo nas laterais esquerdae direita
Aplicando a 2a Lei :
-m z
..
2 kz B
2 2 kz B
2 I
IGx ..
2 kz B2
B2
2 kz B2
B2
II
mz..
4 kz 0
IGx ..
kB2 0
m 0
0 IGx z
..
..
4 k 0
0 kB2 z
0
0
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z(t)=Z
jt
A matriz K diagonal, com todos os elementos fora da diagonal sendo termos nulos, o que indica
que ambos os modos de vibrao so desacoplados. Assim, podemos calcular as frequncias
naturais dos modos diretamente das respectivas equaes.
m 8; k 100000; igy 0.1133; L 0.5; igx 0.04; B 0.3;
Modo 1
12
4 k
mrad/s
11 Sqrt4 k m N
223.607
z(t)=1
0
Modo 2
22
kB2
IGxrad/s
21 Sqrtk B ^ 2 igx
474.342
z(t)=0
1
Exerccio 2
k3 k4 2 kassociao de molas em paralelo nas partes frontal e traseira
2 Lista2- Vibracoes.nb
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Aplicando a 2a Lei :
-m z..
2 k
z
2 L
5
2 k
z
3 L
5
I
IGy ..
2 kz B2
B2
2 kz B2
B2
II
mz..
4 kz 2
5kLz 0
IGy ..
2
5kLz
26
5kL2 0
m 0
0 IGyz
..
..
4 k 2
5
kL
2
5kL
26
5kL2
z
00
Sabemos que det2M
K
)=0
o SolveDet w ^ 2 m, 0, 0, igy
4 k, 2 5 k L, 2 5 k L, 26 5 k L ^ 2 0, w
w 1071.35,w 222.706,w 222.706,w 1071.35
Frequncia natural do primeiro modo12 w . o3
222.706
Frequncia natural do segundo modo
22 w . o4
1071.35
Modo 1
Solvem 12^2 z1 2 5 k L 1 0, z1
z1 0.0504053 1
z (t)=0, 0504
1
Lista2- Vibracoes.nb 3
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Modo 2
Solvem 22^2 z2 2 5 k L 2 0, 2
2 459.119 z2
z (t)=1
459, 12
Exerccio 3
Neste caso, preciso considerar o sistema tridimensionalmente, e cada mola contribui com umafora de magnitude diferente.
Foras nas molas:
mola 1: F1= kz B2 2 L
5
mola 2: F2= kz B2 2 L
5
mola 3: F3= kz B2 2 L
5
mola 4: F4= kz B2 2 L5
Aplicando a 2a Lei :
-m z..
F1 F2 F3 F4 I
IGx ..
F1B
2 F2
B
2 F3
B
2 F4
B
2II
IGy ..
F1 2 L5 F22 L
5 F3 3 L5 F4
3 L
5 III
4 Lista2- Vibracoes.nb
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m 0
0 IGx
0 0
0
0
IGy
z ..
..
..
4 k 0
0 B2
2 kL
50
2 kL
5
0
26
5kL2
z
0
0
0
Matriz das massas
M Transposem, 0, 0, 0, igx, 0, 0, 0, igy
8, 0, 0,0, 0.04, 0,0, 0, 0.1133
M MatrixForm
8 0 0
0 0.04 0
0 0 0.1133
Matriz de rigidez
K Transpose4 k, 0, 2 k L 5, 0, B^2, 0, 2 k L 5, 0, 26 k L ^ 2 5
400 000, 0, 20 000.,0, 0.09, 0,20 000., 0, 130 000.
K MatrixForm
400 000 0 20 000.
0 0.09 020 000. 0 130 000.
Determinao das frequncias dos 3 modos
U SolveDet ^ 2 M K 0, , WorkingPrecision MachinePrecision
1071.35, 222.706, 1.5, 1.5, 222.706, 1071.35
1 . U5
222.706
3 . U6
1071.35
OBS. : 2 a frequncia natural de vibrao da 2a equao,
que est desacopladadepende somente de.2 . U4
1.5
Lista2- Vibracoes.nb 5
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Determinao dos modos de vibrao
Z1 1, 0, ; Z2 0, 1, 0; Z3 z, 0, 1;
R1 1 ^ 2 M K.Z1; R3 3 ^ 2 M K.Z3;
S SolveR11 0; R12 0;
R13 0, , WorkingPrecision MachinePrecision
0.160797
novo . S1
0.160797
Z1subst 1, 0, novo
1, 0, 0.160797Z2subst 0, 1, 0
0, 1, 0
R SolveR31 0; R32 0;
R33 0, z, WorkingPrecision MachinePrecision
z 0.00227729
znovo z . R1
0.00227729
Z3subst znovo, 0, 1
0.00227729, 0, 1
Determinao da Matriz Z
Z TransposeZ1subst, Z2subst, Z3subst
1, 0, 0.00227729,0, 1, 0, 0.160797, 0, 1
Determinao da Matriz de massa reduzida
Mr TransposeZ.M.Z
8.00293, 0., 1.86656 1014,0., 0.04, 0., 1.86656 1014, 0., 0.113341
6 Lista2- Vibracoes.nb
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Mr MatrixForm
8.00293 0. 1.86656 1014
0. 0.04 0.
1.86656 1014 0. 0.113341
Mrmod 8.00293, 0, 0, 0, 0.04, 0, 0, 0, 0.113341
8.00293, 0, 0,0, 0.04, 0,0, 0, 0.113341
Normalizao pela massa
S1 Solvec1^2 8.00293 1, c1
c1 0.353489,c1 0.353489
c1novo c1 . S12
0.353489
S2 Solvec2^2 0.04 1, c2
c2 5.,c2 5.
c2novo c2 . S22
5.
S3 Solvec3^2 0.113341 1, c3
c3 2.97034,c3 2.97034
c3novo c3 . S32
2.97034
Determinao de Ze K
Z
Transposec1novo Z1subst, c2novo Z2subst, c3novo Z3subst
0.353489, 0., 0.00676432,0., 5., 0., 0.0568399, 0., 2.97034
K Z .K.Z
49 598., 0., 9.69749 1010,0., 2.25, 0., 9.74978 1010, 0., 1.1478 106
49598.0044192315`, 0.`, 9.697487257653847`*^-10, 0.`, 2.25`, 0.`,
9.74978320300579`*^-10, 0.`, 1.1478032294337738`*^6
49 598., 0., 9.69749 1010,0., 2.25, 0., 9.74978 1010, 0., 1.1478 106
K
MatrixForm
49 598. 0. 9.69749 1010
0. 2.25 0.
9.74978 1010 0. 1.1478 106
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8/8
q Z
.M
2.82791, 0., 0.00643996,0., 0.2, 0.,0.0541145, 0., 0.33654
q MatrixForm
2.82791 0. 0.00643996
0. 0.2 0.
0.0541145 0. 0.33654
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