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LA SOLUCION AL ENCONTRAR EL VALOR DE LA LONGITUD DE ARCO EN UNA
FUNCION
CALCULO INTEGRAL
HAY DOS CASOS EN LOS QUE SE PUEDE CALCULAR LA LONGITUD DE ARCO.
HAY EN OCASIONES EN LOS QUE LA LONGITUD DE ARCO SE PUEDE DETERMINAR POR LA INTEGRAL DEFINIDA PERO EN OTROS CASOS NO SE PUEDE Y PARA ELLO SU SOLUCION ES UTILIZANDO INTEGRALES ELIPTICAS PERO ANTES DE UTILIZAR ESO HAY OTRA MANERA DE RESOLVERLO Y ESA ES LA FORMULA PARABOLICA
(FORMULA SIMPSON).
VEAMOS UNOS EJEMPLOS…!!!
FORMULA PARA CALCULAR LA LONGITUD DE ARCO
𝐿 = 𝑎𝑏
1 + 𝑓′𝑥
2𝑑𝑥
DONDE
a: es el limite inferior
b: es el limite superior
f ’(x): es la derivada de la función
L: es la longitud de arco en donde no tiene unidades
CALCULAR EL VALOR DE LA LONGITUD DE LA SIGUIENTE FUNCION 𝑦 = 𝑥2 + 10 CON UN INTERVALO DE [-1,4]
SOLUCION:
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 10
𝑓′ 𝑥 = 2𝑥
𝐿 = 𝑎𝑏
1 + 𝑓′ 𝑥 2𝑑𝑥 = −14
1 + 2𝑥 2𝑑𝑥 = −14
1 + 2𝑥 2𝑑𝑥
−14
1 + 2𝑥 2𝑑𝑥
𝑣2 = 4𝑥2 𝑎2 = 1
𝑣 = 2𝑥 𝑎 = 1
𝑑𝑣 = 2𝑑𝑥
−14
1 + (2𝑥)2𝑑𝑥 =1
2 −14
1 + (2𝑥)2 2𝑑𝑥
=1
2
2𝑥
21 + (2𝑥)2+
1 2
2ln 2𝑥 + 1 + (2𝑥)2 + 𝐶
=2𝑥
41 + (2𝑥)2+
1
4ln 2𝑥 + 1 + (2𝑥)2 + 𝐶
4
−1
=2(4)
41 + (2 4 )2+
1
4ln 2(4) + 1 + (2 4 )2 + 𝐶 −
2(−1)
41 + 2(−1) 2 +
1
4ln 2(−1) + 1 + 2(−1) 2 + 𝐶
=8
41 + 8 2 +
1
4ln 8 + 1 + 8 2 + 𝐶 −
−2
41 + −2 2 +
1
4ln −2 + 1 + −2 2 + 𝐶
= 2 1 + 64 +1
4ln 8 + 1 + 64 + 𝐶 − −0.5 1 + 4 +
1
4ln −2 + 1 + 4 + 𝐶
= 2 65 +1
4ln 8 + 65 + 𝐶 − −0.5 5 +
1
4ln −2 + 5 + 𝐶
= (2)(8.062) +1
4ln 8 + 8.062 + 𝐶 − −0.5 (2.236) +
1
4ln −2 + 2.236 + 𝐶
= 16.124 +1
4ln 16.062 + 𝐶 − −1.118 +
1
4ln 0.236 + 𝐶
= 16.124 + 0.694 + 𝐶 − −1.118 − 0.361 + 𝐶
= 16.818 + 𝐶 − −1.479 + 𝐶
= 16.818 + 𝐶 + 1.479 − 𝐶
𝐿 = 18.297
GRAFICA DE ESA FUNCION
CALCULAR LA LONGITUD DE ARCO DE LA FUNCION 𝑦 = 5𝑥2 + 9𝑥 − 1 CON UN INTERVALO DE [4,12]
SOLUCION:
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 5𝑥2 + 9𝑥 − 1
𝑓′ 𝑥 = 10𝑥 + 9
𝐿 = 𝑎𝑏
1 + 𝑓′ 𝑥 2𝑑𝑥 = 412
1 + 10𝑥 + 9 2𝑑𝑥
412
1 + 10𝑥 + 9 2𝑑𝑥
𝑣2 = 10𝑥 + 9 2 𝑎2 = 1
𝑣 = 10𝑥 + 9 𝑎 = 1
𝑑𝑣 = 10𝑑𝑥
1
10 412
1 + 10𝑥 + 9 2 10𝑑𝑥
=1
10
10𝑥+9
21 + 10𝑥 + 9 2 +
1 2
2ln 10𝑥 + 9 + 1 + 10𝑥 + 9 2 + 𝐶
=10𝑥+9
201 + 10𝑥 + 9 2 +
1
20ln 10𝑥 + 9 + 1 + 10𝑥 + 9 2 + 𝐶
12
4
=10(12)+9
201 + 10 12 + 9 2 +
1
20ln 10(12) + 9 + 1 + 10 12 + 9 2 + 𝐶
−10 4 +9
201 + 10 4 + 9 2 +
1
20ln 10 4 + 9 + 1 + 10 4 + 9 2 + 𝐶
=120+9
201 + 120 + 9 2 +
1
20ln 120 + 9 + 1 + 120 + 9 2 + 𝐶
−40+9
201 + 40 + 9 2 +
1
20ln 40 + 9 + 1 + 40 + 9 2 + 𝐶
=129
201 + 129 2 +
1
20ln 129 + 1 + 129 2 + 𝐶 −
49
201 + 49 2 +
1
20ln 49 + 1 + 49 2 + 𝐶
=129
201 + 16641 +
1
20ln 129 + 1 + 16641 + 𝐶 −
49
201 + 2401 +
1
20ln 49 + 1 + 2401 + 𝐶
=129
2016642 +
1
20ln 129 + 16642 + 𝐶 −
49
202402 +
1
20ln 49 + 2402 + 𝐶
=129
2016642 +
1
20ln 129 + 16642 + 𝐶 −
49
202402 +
1
20ln 49 + 2402 + 𝐶
= 6.45 129.004 +1
20ln 129 + 129.004 + 𝐶 − 2.45 49.01 +
1
20ln 49 + 49.01 + 𝐶
= 832.0758 +1
20ln 258.004 + 𝐶 − 120.0745 +
1
20ln 98.01 + 𝐶
= 832.08 + 0.28 + 𝐶 − 120.07 + 0.23 + 𝐶
= 832.36 + 𝐶 − 120.30 + 𝐶 = 832.36 + 𝐶 − 120.30 − 𝐶
𝐿 = 712.06
GRAFICA DE ESA FUNCION
CALCULAR LA LONGITUD DE ARCO DE LA FUNCION 𝑦 = 𝑥3 A PARTIR DE X=0 HASTA X=4
SOLUCION:
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥3
𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2
𝐿 = 𝑎𝑏
1 + 𝑓′ 𝑥 2𝑑𝑥 = 04
1 + 3𝑥2 2𝑑𝑥
04
1 + 3𝑥2 2𝑑𝑥
𝑣2 = 3𝑥2 2 𝑎2 = 1
𝑣 = 3𝑥2 𝑎 = 1
𝑑𝑣 = 6𝑥 𝑑𝑥
PARA ESTE TIPO DE CASOS NO SE PUEDE RESOLVER ESTA INTEGRAL CON FORMULAS DIRECTAS. ASI QUE NUESTRA UNICA SOLUCION ES UTILIZAR LA
FORMULA SIMPSON YA QUE ES LA MAS APROXIMADA O EN OCASIONES EXACTA AL VALOR DE LA INTEGRAL DEFINIDA.
PARA ELLO, DETERMINAREMOS EL INCREMENTO. PARA ESTE NUMERO DE RECTANGULOS DEBE DE SER LO MENOR POSIBLE (ES DECIR TENER MENORES VALORES PARA “X”) YA QUE
SE OBTIENE UN RESULTADO EXACTO O MUY APROXIMADO.
∆𝑥 =𝑏−𝑎
𝑛=
4−0
2=
4
2= 2
LUEGO, ENCONTRAR LOS VALORES DE “Y” UTILIZANDO LA NUEVA FUNCION (DONDE FUE OBTENIDA EN LA SUSTITUCION DE VALORES EN LA FORMULA DE LA LONGITUD DE ARCO)
A LA QUE SE LE ASIGNARA “k” A LA FUNCION 𝑘 = 1 + 3𝑥2 2
𝑘 = 1 + 3𝑥2 2
X k
0 1
2 12.042
4 48.010
𝐿 =∆𝑥
3𝑦0 + 4𝑦1 + 2𝑦2 + 4𝑦3 + 2𝑦4 +⋯+ 𝑦𝑛
𝐿 =2
31 + 4 12.042 + 48.010
=2
31 + 48.168 + 48.010
=2
397.178
𝐿 ≈ 64.7
GRAFICA DE ESA FUNCION
BIBLIOGRAFIAS
Swokowski, Earl, “Cálculo con geometría analítica”, 1989, Grupo Editorial Iberoamericana, 2da Edición, Estados Unidos de América, 1097
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