View
217
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
Toda la teoría acerca de Límites en un función definida.
Citation preview
Sesión 1.1
Límite de una función. Límites laterales. Límites infinitos. Asíntotas Verticales.
• Explica con sus palabras e ilustrar mediante gráficas, el concepto de límite de una función en un punto y el concepto de límite infinito en un punto.
• Explica la utilidad de los límites laterales para analizar el comportamiento límite de algunas funciones.
• Grafica funciones que satisfagan condiciones dadas en cuanto a valores límites y, viceversa, expresar mediante enunciados de límites el comportamiento de una función dada por su gráfica.
• Explica el concepto de asíntota vertical e ilustrar gráficamente los casos que se pueden presentar.
Habilidades
2
r
Problema
El volumen de un cilindro es r2h. ¿Cómo podría obtenerse, a partir de aquí, el volumen de un cono?
Solución: i = 1
i = 2
i = 3
i = n - 1
h
3
Recta Tangente
¿Cómo determinar la ecuación de la recta tangente a la curva 𝑓 𝑥 = 𝑥3 que pasa por el punto 𝑃(1; 1)?
x
y
4
0 x 𝑎
𝐿
0 x 𝑎
𝐿
0 x 𝑎
𝐿
(a) (b)
(c)
Advierta la frase “pero 𝑥 ≠ 𝑎” para la existencia del límite
5
si podemos acercar arbitrariamente los valores de 𝑓(𝑥) a 𝐿 para todas las 𝑥 suficientemente cerca de 𝑎, pero no igual a 𝑎.
Definición de límite
Escribimos: lim𝑥⟶𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿
y decimos
“el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende hacia 𝑎, es igual a 𝐿”
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑎
𝐿
Sea 𝑓 una función definida en un intervalo abierto alrededor de 𝑎 (no necesariamente en 𝑎).
x
y
6
Ejemplo
Analizar el comportamiento de la función:
𝑓 𝑥 =𝑥 − 2
𝑥2 − 3𝑥 + 2
cuando 𝑥 tiende hacia 1.
7
Ejemplo
Analizar el comportamiento de la función:
𝑓 𝑥 =𝑥 − 2
𝑥2 − 3𝑥 + 2
cuando 𝑥 tiende hacia 2.
7
si podemos aproximar arbitrariamente los valores de 𝑓(𝑥) a 𝐿 para todas las 𝑥 suficientemente cerca de 𝑎, pero mayores que 𝑎.
Límite lateral derecho
y decimos
“el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende hacia 𝑎 desde la derecha, es igual a 𝐿”
Sea 𝑓 definida en (𝑎, 𝑐). Escribimos lim
𝑥⟶𝑎+𝑓 𝑥 = 𝐿
𝑥
𝑓(𝑥)
𝑎
𝐿
x
y
8
𝑎
L
x
y
si podemos aproximar arbitrariamente los valores de 𝑓(𝑥) a 𝐿 para todas las 𝑥 suficientemente cerca de 𝑎, pero menores que 𝑎.
Límite lateral izquierdo
y decimos
“el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende hacia 𝑎 desde la izquierda, es igual a 𝐿”
Sea 𝑓 definida en 𝑐, 𝑎 . Escribimos: lim
𝑥⟶𝑎−𝑓 𝑥 = 𝐿
𝑥
𝑓(𝑥)
9
A continuación se muestra la gráfica de una función 𝑔. Úsela para definir los valores, en caso de existir, de:
Ejemplo
10
lim𝑥⟶2−
𝑔 𝑥 lim𝑥⟶2+
𝑔 𝑥 lim𝑥⟶2
𝑔 𝑥
lim𝑥⟶3−
𝑔 𝑥 lim𝑥⟶3+
𝑔 𝑥 lim𝑥⟶3
𝑔 𝑥
Unicidad del límite
Si el límite de 𝑓(𝑥), cuando 𝑥 tiende hacia 𝑎 existe, entonces es único.
a
L
x
y
a x
y
si y solo si
11
lim𝑥⟶𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿 lim
𝑥⟶𝑎−𝑓 𝑥 = 𝐿
lim𝑥⟶𝑎+
𝑓 𝑥 = 𝐿
lim𝑥⟶𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿 lim𝑥⟶𝑎
𝑓 𝑥 no existe
a x
y
Límite infinito
lim𝑥⟶𝑎
𝑓 𝑥 = ∞
Los valores de 𝑓(𝑥) pueden hacerse tan grandes como se quiera para todos los 𝑥 lo suficientemente cerca de 𝑎, pero distintos de 𝑎.
x
f(x)
x
f(x)
Similarmente lim𝑥⟶𝑎
𝑓 𝑥 = −∞
12
lim𝑥⟶𝑎+
𝑓 𝑥 = ∞
lim𝑥⟶𝑎−
𝑓 𝑥 = ∞
lim𝑥⟶𝑎+
𝑓 𝑥 = −∞
lim𝑥⟶𝑎−
𝑓 𝑥 = −∞
Asíntotas verticales
Cuando uno ó ambos límites laterales de 𝑓(𝑥) es ∞ ó −∞ para 𝑥 tendiendo hacia 𝑎, se dice que la recta 𝑥 = 𝑎 es una asíntota vertical de la función 𝑓(𝑥).
x
𝑓(𝑥)
2 -1
Asíntota
vertical.
𝑥 = −1 𝑥 = 2
Asíntota
vertical.
13
Ejercicios para desarrollar en casa.
Ejercicios 2.1 – Pág. 94. Ejercicios con ClassPad: 2, 6, 8, 9.
Ejercicios 2.2 – Pág. 102-103. Ejercicios: 4, 6, 7, 14, 16 ClassPad: 8, 10, 21, 24.
14
Ejercicios 2.5 – Pág. 132 - 133. Ejercicios: 1, 4, 5, 9, 16, 20, 36.
ClassPad
14
Introducir una función
Hacer una tabla
ClassPad
14
Pantalla completa
Gráfica de una función
Habilidades
• Calcula límites de formas indeterminadas. • Explica con sus palabras las propiedades fundamentales de las operaciones con límites. • Evalúa límites de operaciones combinadas dados los lugares geométricos.
2
Operaciones con límites
Supongamos que c es una constante y que existen los límites:
Entonces:
1
3
5
2
4
6 3
lim𝑥⟶𝑎
𝑔 𝑥 lim𝑥⟶𝑎
𝑓 𝑥
lim𝑥⟶𝑎
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 + lim𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
lim𝑥⟶𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − lim𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
lim𝑥⟶𝑎
𝑐𝑓 𝑥 = 𝑐lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
lim𝑥⟶𝑎
𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 . lim𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
lim𝑥⟶𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)=lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥
lim𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
lim𝑥⟶𝑎
[𝑓 𝑥 ]𝑛= [lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ]𝑛
, con lim𝑥→𝑎
𝑔 𝑥 ≠ 0
Supongamos que c es una constante y que existe el límite:
Entonces:
7
9
10
11
Si 𝑛 es par, se supone que 𝑎 > 0
Si 𝑛 es par, se supone que lim
𝑥⟶𝑎𝑓 𝑥 > 0
8
4
Operaciones con límites
lim𝑥⟶𝑎
𝑓 𝑥
lim𝑥⟶𝑎
𝑐 = 𝑐
lim𝑥⟶𝑎
𝑥 = 𝑎
lim𝑥⟶𝑎
𝑥𝑛 = 𝑎𝑛
lim𝑥⟶𝑎
𝑥𝑛 = 𝑎𝑛
lim𝑥⟶𝑎
𝑓(𝑥)𝑛
= lim𝑥⟶𝑎
𝑓 𝑥𝑛
Ejercicio 1 Evaluar:
a) (p. 111, #5)
b) (p. 106, #6)
5
lim𝑥⟶8
(1 + 𝑥3 )(2 − 6𝑥2 + 𝑥3)
lim𝑢⟶−2
𝑢4 + 3𝑢 + 6
Sustitución directa
Si 𝑓 es un polinomio o una función racional y 𝑎 está en el dominio de 𝑓, entonces:
6
lim𝑥⟶𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑎)
Si 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥) cuando 𝑥 ≠ 𝑎, entonces,
en caso de que exista el límite.
Formas indeterminadas Evaluar
𝑎
𝑔
𝑦
𝐿
𝑎
𝑓
𝑦
𝐿
7
lim𝑥⟶1
𝑥2 + 𝑥 − 2
𝑥2 − 𝑥 lim
ℎ⟶0
2 + ℎ − 2
ℎ
lim𝑥⟶𝑎
𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑎
𝑔 𝑥
Ejercicio 2, p.111
Calcular, si existen, los siguientes límites:
a
𝑥 𝑥
𝑦 = 𝑓(𝑥)
1 -1
1 1
2
2 2
2
-2
-1
-1 -2
𝑦 = 𝑔(𝑥)
b
c
d f
e
1
10
lim𝑥⟶2
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 lim𝑥⟶0
𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 lim𝑥⟶2
(𝑥3𝑓 𝑥 )
lim𝑥⟶1
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 lim𝑥⟶−1
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) lim
𝑥⟶13 + 𝑓(𝑥)
Ejercicios 2.3, p. 106 - 107 Evaluar:
1 (p. 111, # 7)
2
(p. 111, # 13)
3
(p. 111, # 22)
4
(p. 112, #35)
c)
b) a)
11
lim𝑥⟶2
2𝑥2 + 1
3𝑥 − 2
lim𝑡⟶−3
𝑡2 − 9
2𝑡2 + 7𝑡 + 3
lim𝑡⟶0
1
𝑡−
1
𝑡2 + 𝑡
lim𝑥⟶0−
1
𝑥−
1
𝑥 lim
𝑥⟶0+
1
𝑥−
1
𝑥
lim𝑥⟶0
1
𝑥−
1
𝑥
Ejercicios, p. 111-112
6. (p. 111, #18)
Evaluar, si existen:
5. (p. 112, #37)
i) ii) v) vi)
7. Muestre, por medio de un ejemplo, que
puede existir aunque no existan
ni
12
𝑔(𝑥)=
𝑥, 𝑥 < 13, 𝑥 = 12−𝑥2, 1<𝑥≤2𝑥−3, 2<𝑥
lim𝑥⟶1−
𝑔(𝑥) lim𝑥⟶1
𝑔(𝑥) lim𝑥⟶2+
𝑔(𝑥) lim𝑥⟶2
𝑔(𝑥)
limℎ⟶0
1 + ℎ − 1
ℎ
lim𝑥⟶𝑎
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥
lim𝑥⟶𝑎
𝑓(𝑥) lim𝑥⟶𝑎
𝑔(𝑥)
Ejercicios 2.3 – Pág. 111-112. Ejercicios: 1, 10, 14, 19, 30, 36, 38, 46.
13
Ejercicios para desarrollar en casa.
ClassPad
14
Gráfica de una función definida por tramos
𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 1, −1 ≤ 𝑥 < 32 − 𝑥, 3 < 𝑥 ≤ 5
Recommended