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LICENCIATURA EN MATEMTICAS

Anlisis matemtico IIUnidad 1:Aproximacin de funciones continas.Preguntas de autorreflexin.

Alumno: Claudio Ramn Rodrguez Mondragn.Matrcula: AL13503064

1.- Cul cree usted que es la principal razn por la cual una serie convergente no siempre converge absolutamente?

Una serie que es convergente, por ejemplo una serie alternada:

Converge a un valor finito, pero su serie de valores absolutos asociada a la anterior, es una serie divergente:

Entonces, podemos deducir que en una serie que es divergente, esta no lo es absolutamente, cuando su serie de valores absolutos diverge, se hace cada vez ms grande, y no tiene fin.Claro que existen series que convergen absolutamente, su serie de valores absolutos converge a un valor finito.

2.- Podr la convergencia de una serie, verse afectada al cambiar un nmero finito de trminos? Si la respuesta es afirmativa, d un ejemplo. Si la respuesta es negativa, demustrelo.Negativo:Con esto podemos hablar de la convergencia del resto:Teorema: Si una serie converge, entonces, cualquiera de sus restos tambin converge, Y si uno de sus restos tambin converge, entonces, toda la serie converge.

Con lo que tenemos que:

Con esto concluimos que la convergencia de la serie no se altera si se suprimen los primeros trminos.Ahora:Si dos series tienen los mismos trminos desde un lugar en adelante, entonces, o las dos convergen o las dos divergen, con esto decimos que las dos series tienen el mismo carcter:

Tenemos que:

Las series son aproximadas pero poseen la misma convergencia.En efecto, entonces:

Con esto tenemos que la diferencia de dos sumas parciales es:

Y con esto tenemos que:

Por lo que:

Entonces aplicamos lmite a las dos sumas parciales:

Se pueden cambiar, suprimir o aadir un nmero finito de trminos sin alterar la convergencia o divergencia de una serie (aunque el valor concreto de la suma de la serie si cambia).QED.3.- Teniendo una serie convergente de nmeros reales con una cantidad finita de trminos negativos Podr decirse algo de la convergencia absoluta? Si s, diga qu y demuestre tal afirmacin. Si no, d ejemplos que muestren lo que afirma.Al existir convergencia hacia un numero finito, entonces, la cantidad de nmeros son finitos, sean positivos o negativos.Si, esta converge o diverge absolutamente, dependiendo del carcter de la serie:En el caso que la serie converja pero no absolutamente, entonces, es condicionalmente convergente:Ejemplo:La serie:

Tiene trminos finitos negativos, y es convergente a un valor real:

Adems que es convergente por el criterio de las series alternantes.Entonces, al analizar la convergencia absoluta:

Diverge.Entonces:

En el caso de que la serie converja, y adems tambin absolutamente, se dice que la serie converge absolutamente.Ejemplo:La serie:

Tiene trminos finitos negativos, y es convergente a un valor real:

Al analizar la convergencia absoluta:

Y analizando esta convergencia:

Esta converge.Entonces, converge absolutamente.Con lo que concluimos que la serie:

4.- Para una serie convergente de nmeros reales La serie ser siempre convergente? Demuestre su afirmacin.

En el caso de que:

Entonces es una serie de nmeros no negativos, tenemos que:

Por hiptesis del problema, la serie:

Implica que:

Por lo tanto existe:

Tal que:

Por esto, tenemos que:Si entonces aplicando un criterio de comparacin:

Con esto nos deduce que:

Gracias.