Manejo e Interpretación de ResultadosmHidrostatica

Manejo e interpretación de resultados

En esta sección se presentan los resultados obtenidos durante la práctica, así como un análisis minucioso de los mismos, se presentan los procedimientos para llegar a las formulas o ecuaciones que permitan juzgar los datos obtenidos en base a la experimentación, los datos obtenidos se registran en tablas para un mejor manejo y representación, de igual manera se tiene que se presentan dos casos distintos en donde es requerido utilizar ecuaciones diferentes para realizar los cálculos sobre la fuerza de empuje existente en la sección plana vertical sumergida en agua, estos casos son cuando la cuando la superficie se encuentra parcialmente sumergida y totalmente sumergida. Por ultimo las distancias al pivote de la línea de acción del empuje hidrostático (centro de presiones) determinadas experimentalmente serán comparadas con la distancia obtenida teóricamente a partir de las fórmulas que presentadas a continuación para cada uno de los casos.

Primeramente se presenta la teoría para cada una de los casos, en donde la superficie plana se encuentra parcialmente y totalmente sumergida, para determinar en base en ecuaciones la magnitud del empuje hidrostático, así como la distancia teórica y experimental de la distancia h' 'desde el pivote hasta el centro presiones (posición en donde se aplica la fuerza de empuje).

Teoría del plano vertical parcialmente sumergido

Figura XX. Diagrama del sistema con el plano vertical parcialmente sumergido, mientras d sea menor a D.

Empuje hidrostático en el plano vertical

El empuje hidrostático F puede ser definido como:

F=γV

En donde γ es el peso específico del fluido en donde se encuentra sumergida la superficie plana vertical, y V es la magnitud del volumen encontrado desde la superficie del agua hasta el centroide del área sumergida.

Se tiene que la ecuación anterior se puede representar de igual manera como la

F=ρgA h(Newtons)

En donde:

El área sumergida A es igual a B*d y el centroide del área sumergida h, es h= C = d/2 , por lo tanto la fuerza de empuje ejercida en la sección plana parcialmente sumergida en agua es

F= ρgBd2

2 Ecuación 1

Profundidad experimental del centro de presionesEl momento M puede ser definido como:

M=Fh (Nm)

Un momento de balance es producido por el peso W, aplicado al gancho al final del brazo de la balanza. El momento es proporcional a la longitud del brazo de la balanza, L.Por equilibrio estático ambos momentos son iguales, esto es:

Fh=WL=mg

Despejando h” y sustituyendo F por su valor de la ecuación 1, se tiene así que la profundidad experimental del centro de presiones, con unidades en metros es igual a:

h= {mgL} over {F} = {2mgL} over {ρg B {d} ^ {2}

h= {2mL} over {ρB {d} ^ {2}

Ecuación 2

Profundidad teórica del centro de presionesEl valor teórico para la profundidad del centro de presiones (P) bajo la superficie libre del

agua es:

h'=I xAh

Entonces se tiene que:

I x=h ´ Ah… (1)

En donde:

I xes el segundo momento de área (inercia) de la sección sumergida respecto a un eje en la superficie libre del agua.

Usando el teorema de ejes paralelos, se tiene que:

I x=IC+Ah2

I x=B d3

12+Bd d

2

4= Bd

3

3 …(2) (m4)

La profundidad del centro de presiones por debajo del punto de pivote es:h” = h’ + H – d (metros)… (3)

Igualando (1) y (2) y sustituyendo h’ en (3), se tiene que la profundidad teórica del centro de presiones, desde el eje del pivote, es igual a:

h ´ Ah=Bd3

3

h ´= Bd3

3 Ah=2 Bd3

3 Bd2=2d3

Sustituyendo la expresión anterior en (3) se tiene que:

h= {2d} over {3} + H-

h=H- {d} over {3

Ecuación 3

Cálculos

En la siguiente tabla se muestra las ecuaciones deducidas, que fueron usadas para realizar los cálculos correspondientes a la fuerza de empuje, así como la magnitud de la profundidad del centro de presiones tanto teórica como experimental. Para los valores de

la densidad ρH 2O se tomaron en base al valor obtenido a partir de la ecuación que

relaciona la temperatura y peso es peso específico del agua, el valor de la densidad del

agua a una temperatura de 29°C, es equivalente a ρH 2O=995.936 kgm/m3. Así como el

valor de la gravedad usada es igual a g=9.81 m/s2.Los valores de B.H, L y D

DESCRIPCIÓN FUERZA DE EMPUJE

PROFUNDIDAD EXPERIMENTAL DEL CENTRO DE PRESIONES

PROFUNDIDAD TEÓRICA DEL CENTRO DE PRESIONES

Símbolo (unidades)

F(N) h’’ (m) h’’ (m)

Ecuación F= ρgBd

2

2 h= {2mL} over {ρB {d} ^ {2}h=H- {d} over {3

Tabla 1. Ecuaciones usadas para el cálculo de la magnitud de fuerza de empuje F, así como los valores de la profundidad del centro de presiones tanto teórica como experimental , para toda magnitud de masa y de la distancia d (profundidad desde la superficie del fluido hasta la parte inferior del plano vertical).

Datos obtenidos

Tabla 2. Muestra de los valores obtenidos para la profundidad d, la fuerza de empuje F, la profundidad al centro de presiones tanto experimental como teórica, para las magnitudes de masa en donde el plano vertical permanecía parcialmente sumergido.

Alto del cuadrante

Ancho del cuadrante

Long. del brazo de palanca

Distancia del cuadrante al pivote Masa Profundidad Empuje

2do momento experimental

2do momento teórico

D(m) B(m) L(m) H(m) m(kg) d(m) F(m) h"(m) h"(m)0.1 0.075 0.275 0.2 0.05 0.045 0.742 0.182 0.1850.1 0.075 0.275 0.2 0.06 0.049 0.880 0.184 0.1840.1 0.075 0.275 0.2 0.07 0.053 1.029 0.183 0.1820.1 0.075 0.275 0.2 0.08 0.057 1.190 0.181 0.1810.1 0.075 0.275 0.2 0.09 0.061 1.363 0.178 0.1800.1 0.075 0.275 0.2 0.1 0.064 1.501 0.180 0.1790.1 0.075 0.275 0.2 0.12 0.071 1.847 0.175 0.1760.1 0.075 0.275 0.2 0.15 0.08 2.345 0.173 0.1730.1 0.075 0.275 0.2 0.2 0.094 3.237 0.167 0.169

Teoría del plano vertical totalmente sumergido

Figura XX. Diagrama del sistema con el plano vertical totalmente sumergido, mientras d sea mayor a D.

De la figura XX se tiene que:d = profundidad sumergida de la cara vertical del cuadrante.F = empuje hidrostático aplicado en la cara vertical del cuadrante.h = profundidad desde la superficie del agua al centroide C de la cara vertical del cuadrante.h’= profundidad desde la superficie de agua hasta el “centro de presiones” P.h”= distancia al pivote de la línea de acción que atraviesa por el centro de presiones.

– Empuje hidrostático en el plano verticalEl empuje hidrostático F, que se ejerce sobre la superficie plana vertical, puede ser definido como:

F=ρgA h=ρgBD (d−D2 ) (Newtons)

Ecuación 4

Se tiene que el factor (d−D2 ) es debido a que el área se encuentra totalmente

sumergida, y debido a esto d es mayor a D.

Profundidad experimental del centro de presionesEl momento M puede ser definido como:

M=Fh (Nm)

Un momento de balance es producido por el peso W, aplicado al gancho al final del brazo de la balanza. El momento es proporcional a la longitud del brazo de la balanza, L.Por equilibrio estático ambos momentos son iguales, esto es:

Fh=WL=mg

Despejando h” y sustituyendo F por la expresión obtenida en la ecuación 4, de esta manera se tiene que la profundidad experimental del centro de presiones se encuentra determinada por:

h= {mgL} over {F} = {mgL} over {ρgBD left (d- {D} over {2} right )} (m)

Cancelando los valores de la gravedad ya que el cociente es igual a uno, la expresión de la profundidad experimental del centro de presiones de la sección plana, tomada desde la superficie del agua es igual a:

h= {mL} over {ρBD left (d- {D} over {2} right )} (m)

Ecuación 5

Profundidad teórica del centro de presionesEl resultado teórico de la profundidad del centro de presiones bajo la superficie libre del

agua es:

h'=I xAh

Entonces Ix = h’ A h …( 1 )

En donde Ix es el segundo momento de área (inercia) de la sección sumergida respecto a un eje en la superficie libre. Usando el teorema de ejes paralelos: Ix = Ic + Ah2,

I x=BD [D2

12+(d−d2 )

2] (m4)… (2)

La profundidad del centro de presiones por debajo del punto de pivote es:

h” = h’ +(H – d) (metros)

Igualando (1) y (2) y sustituyendo h’ en la expresión anterior, resulta:

h ' Ah=BD [D2

12+(d−D2 )

2]

h '=BDAh [D2

12+(d−D2 )

2]h '=1

h [D2

12+(d−D2 )

2]Pero h es igual al factor d−

D2

, para toda d mayor que D, por tanto sustituyendo esta

relación por h se tiene:

h= {{{D} ^ {2}} over {12} + {left (d- {D} over {2} right )} ^ {2}} over {d- {D} over {2}} +(H-d

Ecuación 6

Cálculos

En la siguiente tabla se muestra las ecuaciones deducidas, que fueron usadas para realizar los cálculos correspondientes a la fuerza de empuje, así como la magnitud de la profundidad del centro de presiones tanto teórica como experimental. Para los valores de

la densidad ρH 2O se tomaron en base al valor obtenido a partir de la ecuación que

relaciona la temperatura y peso es peso específico del agua, el valor de la densidad del

agua a una temperatura de 29°C, es equivalente a ρH 2O=995.936 kgm/m3. Así como el

valor de la gravedad usada es igual a g=9.81 m/s2.Los valores de B, H, L y D.

DESCRIPCIÓN FUERZA DE EMPUJE

PROFUNDIDAD EXPERIMENTAL DEL CENTRO DE PRESIONES

PROFUNDIDAD TEÓRICA DEL CENTRO DE PRESIONES

Símbolo (unidades)

F(N) h’’ (m) h’’ (m)

Ecuación F=ρgBD (d−D2 ) h= {mL} over {ρBD left (d- {D} over {2} right )h= {{{D} ^ {2}} over {12} + {left (d- {D} over {2} right )} ^ {2}} over {d- {D} over {2}} +(H-d

Tabla 3. Ecuaciones usadas para el cálculo de la magnitud de fuerza de empuje F, así como los valores de la profundidad del centro de presiones tanto teórico como experimental, para toda magnitud de masa y de la distancia d (profundidad desde la superficie del fluido hasta la parte inferior del plano vertical), en el caso del plano totalmente sumergido.

Datos obtenidos

Alto del cuadrante

ancho del cuadrante

Long. Del brazo de palanca

distancia del cuadrante al pivote Masa

Profundidad Empuje

2do momento experimental

2 do momento teórico

D(m) B(m) L(m) H(m) m(kg) d(m) F(m) h"(m) h"(m)0.1 0.075 0.275 0.2 0.25 0.105 4.030 0.167 0.1650.1 0.075 0.275 0.2 0.27 0.110 4.397 0.166 0.1640.1 0.075 0.275 0.2 0.30 0.118 4.983 0.162 0.1620.1 0.075 0.275 0.2 0.35 0.130 5.862 0.161 0.1600.1 0.075 0.275 0.2 0.40 0.142 6.741 0.160 0.159

Tabla 4. Muestra de los valores obtenidos para la profundidad d, la fuerza de empuje F, la profundidad al centro de presiones tanto experimental como teórica, para las magnitudes de masa en donde el plano vertical totalmente parcialmente sumergido.