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Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada
Modelos para ondas geradas devido a interacao deuma correnteza com topografia
Marcelo Velloso Flamarion Vasconcellos
Rio de Janeiro-RJ
Fevereiro de 2018
Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada
Modelos para ondas geradas devido a interacao deuma correnteza com topografia
Marcelo Velloso Flamarion Vasconcellos
Tese de doutorado apresentada ao Instituto
Nacional de Matematica Pura e Aplicada como
requisito parcial para obtencao do tıtulo de
Doutor em Matematica.
Orientador: Prof. Dr. Andre Nachbin.
Coorientador: Prof. Dr. Paul Milewski.
Rio de Janeiro-RJ
Fevereiro de 2018
Flamarion, M-V.
Modelos para ondas geradas devido a interacao de uma correnteza com topografia
/ Marcelo Velloso Flamarion Vasconcellos. – Rio de Janeiro: IMPA, 2018.
101 f.
Orientador: Prof. Dr. Andre Nachbin.
Coorientador: Prof. Dr. Paul Milewski.
Tese (doutorado) – Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada, 2018.
Referencias bibliograficas.
1. Dinamica dos fluidos. 2. Ondas de gravidade. 3. Fluxo com cisalhamento
4. Ondas estacionarias - Tese. I. Nachbin, Andre II. Milewski, Paul. III. Instituto
Nacional de Matematica Pura e Aplicada. IV. Tıtulo.
CDU : 531.3
: 531.32
Modelos para ondas geradas devido a interacaode uma correnteza com topografia
Marcelo Velloso Flamarion Vasconcellos
Tese de doutorado apresentada ao Instituto
Nacional de Matematica Pura e Aplicada como
requisito parcial para obtencao do tıtulo de Dou-
tor em Matematica, aprovada em 26 de fevereiro
de 2018.
Banca examinadora:
Prof. Dr. Andre Nachbin (Orientador)
(IMPA)
Prof. Dr. Paul Milewski (Coorientador)
(University of Bath)
Prof. Dr. Dan Marchesin
(IMPA)
Prof. Dr. Alexei Abaevich Mailybaev
(IMPA)
Prof. Dr. Daniel G. Alfaro Vigo
( IM-UFRJ)
Prof. Dr. Roberto Ribeiro Santos Junior
(UFPR)
Em memoria de meu pai,
Jose Flamarion Vasconcellos.
Agradecimentos
Inicialmente eu gostaria de agradecer ao meu pai Jose Flamarion (in memorian),
por sempre ter me mostrado a importancia do estudo, pelo carinho e por ter sempre
acreditado em mim. Me lembro que desde quando eu era uma crianca, sempre gostei de
matematica. Meu pai e seu irmao Fernando, como engenheiros, ambos eram apaixonados
por matematica e fısica. Me lembro vagamente, eu deveria ter uns 4 ou 5 anos, eles
faziam competicoes de quem conseguia fazer contas de cabeca mais rapido. Eu do lado
deles com uma calculadora sempre perdia. Meu pai foi a razao pela qual eu decidi estudar
matematica. Muito obrigado por tudo que voce fez e que ainda faz por mim.
Agradeco a minha mae, Rosane Guimaraes, pelo carinho, apoio incondicional em
todos os momentos da minha vida, por sempre rezar por mim e ter pensamento positivo
que tudo vai dar certo. Por vibrar com cada etapa concluıda por mim desde a graduacao
ate o doutorado. Sei que cada uma destas etapas tambem foi uma conquista especial
para ela. Em especial durantes esses ultimos quatro anos. Muito obrigado por tudo.
Agradeco tambem a minha irma, Priscilla Flamarion, pelo o apoio que me deu quando
decidi estudar matematica na universidade, pela sua ajuda nas primeiras disciplinas do
curso e por sempre estar ao meu lado todas as vezes que necessitei. A minha namorada,
Victoria Ortiz, por ter sempre me apoiado em momentos difıceis, como no meu exame de
qualificacao, meus exames no IMPA e por todos nossos momentos felizes juntos. Muito
obrigado pelas palavras de conforto, elas apareceram na hora certa. Obrigado a todos
voces, nunca esquecerei o que voces fizeram por mim.
No meu primeiro ano como estudante de doutorado eu nao sabia se escolhia
Analise ou Dinamica dos Fluidos como area de pesquisa. Agradeco ao Roberto Ribeiro
Santos, agora Prof. Roberto Ribeiro Santos, pelos conselhos sobre o IMPA e por ter
me ajudado na minha decisao de estudar Matematica Aplicada. O Roberto foi o grande
responsavel por minha escolha do Prof. Andre Nachbin como orientador. Muito obrigado
Prof. Roberto.
Agradeco ao Prof. Andre Nachbin por ter dado o curso de Dinamica dos Fluidos
em 2014, no final do curso tive a certeza do queria estudar. Por ter me aceitado como
seu estudante de doutorado. Por ter feito a minha transicao da Matematica Pura para
Matematica Aplicada de maneira facil. Pelos diversos Cursos de Leitura em Matematica
Aplicada que tive a oportunidade de fazer. Estes cursos me ajudaram a formar minha
base na Matematica Aplicada. Por ter tido paciencia para responder minhas perguntas e
sanar minhas duvidas. Muito obrigado Prof. Andre.
Com o Prof. Andre tive a oportunidade de conhecer o Prof. Paul Milewski. Mais
tarde, o Prof. Paul se tornou meu coorientador. O perıodo que trabalhamos juntos na
University of Bath (Inglaterra) foi muito importante para o desenvolvimento desta tese.
Gostaria de agradecer ao Prof. Paul pela coorientacao, por ter me ajudado quando cheguei
na Inglaterra, pelos conselhos, por estar disponıvel para sanar minhas duvidas ainda que
longe do IMPA. Nossas conversas e principalmente suas perguntas, contribuıram muito
para o desenvolvimento desta tese. Muito obrigado Prof. Paul.
Agradeco a todos os amigos que fiz no IMPA e na University of Bath, em especial
ao Francisco por ter me ajudado quando cheguei a Inglaterra, ao Harry, Hellen e Tsmei
meus housemates.
Agradeco a todos os funcionarios do IMPA a boa convivencia e atencao durante
esse perıodo.
Agradeco a University of Bath pela oportunidade de fazer parte da minha pes-
quisa sob a orientacao do Prof. Paul Milewski.
Agradeco ao CNPq pelo apoio financeiro no Brasil e na Inglaterra.
Resumo
O estudo de ondas geradas devido a interacao entre uma correnteza com topogra-
fia e um topico recente. O modelo usado para estudar esse problema sao as equacoes de
Euler. Nosso regime de interesse ocorre quando a velocidade da correnteza esta proxima
da velocidade de ondas longas. No regime fracamente nao linear e de ondas longas uma
equacao forcada de Korteweg-de Vries (fKdV) e usada como aproximacao para o modelo
de Euler. No entanto, este caso se limita a uma topografia de amplitude pequena. Estu-
dos sobre o modelo das equacoes de Euler carecem tanto de teoria quanto de resultados
numericos.
A proposta deste trabalho e analisar as equacoes de Euler na presenca de uma
correnteza linear variando verticalmente. Este modelo nos permite analisar as ondas ge-
radas para topografias de amplitudes maiores. A tecnica do mapeamento conforme e
utilizada para transformar o problema de fronteira livre dado pelas equacoes de Euler em
um problema mais simples. Um metodo numerico baseado na tecnica do mapeamento
conforme e proposto para resolver as equacoes de Euler. Mostramos que a principal dife-
renca entre o modelo reduzido de fKdV e as equacoes de Euler surge quando a amplitude
da topografia aumenta a partir de um certo valor. A equacao de Euler preve a formacao
de ondas ıngremes que quebram. No caso crıtico, isto e, quando a velocidade da corren-
teza e igual a velocidade de ondas longas, a equacao de Euler preve um choque dispersivo.
Tais resultados sao ineditos na literatura. Para validar o metodo numerico proposto de-
duzimos uma equacao do tipo fKdV na presenca de uma correnteza nao uniforme. Foi a
primeira vez que uma equacao do tipo fKdV na presenca de uma correnteza nao uniforme
foi obtida na literatura. Na presenca de uma correnteza nao uniforme encontramos no-
vos tipos de ondas estacionarias. Essas ondas sao caracterizadas por serem oscilatorias.
Numericamente estudamos a estabilidade dessas ondas. Alem disso, um termo dissipa-
tivo foi adicionado as equacoes de Euler e os efeitos sobre as ondas estacionarias foram
analisados. Mostramos que em certos regimes, ondas estacionarias geradas a partir de
um transiente podem ser obtidas como um limite dissipativo de ondas estacionarias de
caracter oscilatorio.
Palavras-chave: Ondas aquaticas. Ondas estacionarias. Modelos reduzidos. Numero
de Froude. Estabilidade numerica. Fluxo com cisalhamento.
Abstract
The study of waves generated by the interaction between a current and a topo-
graphy is a recent topic. The model used to study this problem is the Euler’s equations.
Our regime of interest occurs when the velocity of the current is near the velocity of a
long wave. In the weakly nonlinear long wave regime, a forced Korteweg-de Vries equation
(fKdV) is used as an approximation for the Euler’s model. However, this case is valid only
for topographies with small amplitude. Studies about the Euler’s model in this regime
lack either theory or numerical results.
The purpose of this work is to analyze the Euler’s equations in the presence of
a linear current varying vertically. This model allows us to analyze the waves generated
by topographies of larger amplitudes. The conformal mapping technique is used to trans-
form a free-boundary problem given by the Euler’s equations into a simpler problem. A
numerical method based on conformal mapping is proposed to solve the Euler’s equation.
We showed that the main difference between the reduced model of fKdV and the Euler’s
equations arises when the amplitude of the topography increases above a certain value.
The Euler’s equation predicts the formation of steep waves which break. In the critical
case, that is, when the velocity of the stream is equal to the long wave speed, Euler’s
equation predicts a dispersive shock. These results are unprecedented. In order to vali-
date the numerical method, we deduce an equation of the fKdV-type in the presence of
a non-uniform current. It was the very first time that an equation of the fKdV-type in
the presence of a non-uniform current was deduced in the literature. In the presence of
a non-uniform, we found new types of stationary waves. These waves are characterized
by its oscillations. Numerically, we study the stability of these waves. Furthermore, a
dissipative term was added to the Euler equations and the effects on the stationary waves
were analyzed. We have shown that in certain regimes, stationary waves generated from
a transient can be obtained from a dissipative limit of oscillatory waves.
Keywords: Water waves. Stationary waves. Reduced models. Froude number. Numeri-
cal stability. Shear flow.
Lista de Figuras
1 Solucoes tıpicas para o problema (3) para a topografia h(x) = e−x2. A
figura a esquerda mostra a solucao do problema com F = 0.5 e a figura a
direita para F = 1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1 Descricao dos parametros do problema matematico. . . . . . . . . . . . . . 28
1.2 A figura mostra a velocidade de propagacao dos modos de Fourier para
diferentes valores de Ω com f = 0. Em vermelho (linha tracejada) Ω = 0.5,
em preto (linha solida) Ω = 0 e em azul (linha com quadrados) Ω = −0.5. 33
1.3 A figura mostra a evolucao da superfıcie livre para f = −0.5 e Ω = 0. . . . 36
1.4 A figura mostra a evolucao da superfıcie livre para f = 0 e Ω = 0. . . . . . 37
1.5 A figura mostra a evolucao da superfıcie livre para f = 0.75 e Ω = 0. . . . 38
1.6 A figura a esquerda mostra as ondas geradas no caso crıtico com Ω = −0.5
e a figura a direita mostra o caso crıtico com Ω = 0.5. . . . . . . . . . . . . 38
1.7 A figura mostra a evolucao da superfıcie livre no caso crıtico, no instante
τ = 30. Em vermelho Ω = 0.5 e em azul Ω = −0.5. . . . . . . . . . . . . . 39
1.8 A figura a esquerda mostra as ondas geradas no caso supercrıtico f = 0.75
com Ω = −0.5 e a figura a direita mostra o caso supercrıtico f = 0.75 com
Ω = 0.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.9 A figura mostra a evolucao da superfıcie livre no caso supercrıtico com
f = 0.75, no instante τ = 30. Em vermelho Ω = 0.5 e em azul Ω = −0.5. . 40
1.10 A figura a esquerda mostra as ondas geradas no caso subcrıtico f = −0.5
com Ω = −0.5 e a figura a direita mostra o caso subcrıtico f = −0.5 com
Ω = 0.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.11 A figura mostra a evolucao da superfıcie livre no caso subcrıtico com f =
−0.75, no instante τ = 5. Em vermelho Ω = 0.5 e em azul Ω = −0.5. . . . 41
2.1 Descricao do mapeamento conforme em um tempo t. . . . . . . . . . . . . 45
3.1 Descricao do mapeamento conforme duplo para um tempo t. . . . . . . . . 53
3.2 Descricao do mapeamento conforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5713
3.3 A figura mostra uma comparacao entre os Jacobianos avaliados na su-
perfıcie livre para uma topografia de amplitude A = 0.5. Em azul (linha
solida) o Jacobiano foi computado pelo metodo iterativo e em vermelho (li-
nha tracejada) atraves do Schwarz-Cristoffel toolbox. A figura mais abaixo
e um detalhe da superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4 A figura mostra a evolucao da superfıcie livre para diferentes valores de
t com F = 1.25 e A = 0.1. Em azul (linha com quadrados) t = 50, em
vermelho (linha tracejada) t = 100 e em preto (linha solida) t = 220. . . . . 62
3.5 A figura mostra a evolucao da superfıcie livre para diferentes valores de
t com F = 1.25 e A = 0.2. Em azul (linha com quadrados) t = 40, em
vermelho (linha tracejada) t = 100 e em preto (linha solida) t = 220. . . . . 62
3.6 A figura mostra a evolucao da superfıcie livre para diferentes valores de
t com F = 0.75 e A = 0.1. Em azul (linha com quadrados) t = 50, em
vermelho (linha tracejada) t = 100 e em preto (linha solida) t = 180. . . . . 63
3.7 A figura mostra a evolucao da superfıcie livre para diferentes valores de
t com F = 0.75 e A = 0.2. Em azul (linha com quadrados) t = 40, em
vermelho (linha tracejada) t = 170 e em preto (linha solida) t = 220. . . . . 63
3.8 As figuras mostram a evolucao da superfıcie livre no caso crıtico, f = 0 nos
tempos valores de τ = 30, 60 e ε = 0.1. Em vermelho a solucao foi obtida
a partir da equacao de fKdV e em azul a partir das equacoes de Euler. . . 67
3.9 As figuras mostram a evolucao da superfıcie livre no caso supercrıtico,
f = 0.75 nos tempos valores de τ = 15, 30 e ε = 0.1. Em vermelho a
solucao foi obtida a partir da equacao de fKdV e em azul a partir das
equacoes de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.10 As figuras mostram a evolucao da superfıcie livre no caso subrcrıtico, f =
−0.5 nos tempos valores de τ = 15, 30 e ε = 0.1. Em vermelho a solucao
foi obtida a partir da equacao de fKdV e em azul a partir das equacoes de
Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.11 As figuras mostram a evolucao da superfıcie livre no caso crıtico, f = 0 nos
tempos valores de τ = 30, 60 e ε = 0.05. Em vermelho a solucao foi obtida
a partir da equacao de fKdV e em azul a partir das equacoes de Euler. . . 68
3.12 As figuras mostram a evolucao das superficies livres obtidas a partir da
equacao de fKdV e Euler com numero de Froude F = 0.8 com A = 0.075,
B = 0, Ω = 0 e tempo t = 40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.13 As figuras mostram a evolucao das superfıcies livres obtidas a partir da
equacao de fKdV (em azul) e Euler (em vermelho) com numero de Froude
F = 0.8 com A = 0.075, B = 0, Ω = 0 e t = 46. . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.14 As figuras mostram a evolucao das superfıcies livres obtidas a partir da
equacao de fKdV e Euler com numeros de Froude F = 1.0 com A = 0.075,
B = 0, Ω = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.15 As figuras mostram a evolucao das superfıcies livres obtidas a partir da
equacao de fKdV (em azul) e Euler (em vermelho) com numeros de Froude
F = 1.0 com A = 0.075, B = 0 e Ω = 0 e t = 140. . . . . . . . . . . . . . . 73
3.16 As figuras mostram a evolucao das superficies livres obtidas a partir da
equacao de fKdV e Euler com numero de Froude F = 1.2 com A = 0.075,
B = 0, Ω = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.17 As figuras mostram a evolucao das superficies livres obtidas a partir da
equacao de fKdV (em azul) e Euler (em vermelho) com numero de Froude
F = 1.2 com A = 0.075, B = 0, Ω = 0 e t = 92. . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.18 As figuras mostram a evolucao das superficies livres obtidas a partir das
equacoes de e Euler com numeros de Froude F = 0.8, 1, 1.2 (de cima para
baixo) e Ω = 0. Em vermelho A = 0.075 e B = 0 e em azul A = 0 e
B = 0.075. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.19 As figuras mostram a evolucao das superficies livres obtidas a partir da
equacoes de e Euler com vorticidade Ω = −0.5,−0.3,−0.1 (de cima para
baixo) com A = 0.075 e B = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.20 As figuras mostram a evolucao das superficies livres obtidas a partir da
equacoes de e Euler com vorticidade Ω = 0.5, 0.3, 0.1 (de cima para baixo)
com A = 0.075 e B = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1 A figura mostra a velocidade de propagacao de ondas de comprimento
λ = 2π/k para diferentes valores de Ω e F = 0. Em vermelho (linha
tracejada) Ω = 1, em preto (linha solida) Ω = 0 e em azul (linha com
quadrados) Ω = −1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2 A figura mostra a onda estacionaria obtida a partir do metodo numerico
proposto para F = 0.6 e Ω = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3 A figura mostra a onda estacionaria obtida a partir do metodo numerico
proposto para F = 0.5 e Ω = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4 A figura mostra a onda estacionaria obtida a partir do metodo numerico
proposto para F = 1.3 e Ω = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.5 A figura mostra a onda estacionaria o obtida a partir do metodo numerico
proposto para F = 0.9 e Ω = 0.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.6 A figura mostra a onda estacionaria obtida a partir do metodo numerico
proposto para F = 0.4 e Ω = −0.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.7 A figura mostra a onda estacionaria obtida a partir do metodo numerico
proposto para F = 1.25 e Ω = 1.0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.8 A figura mostra a evolucao da solucao perturbada com α = 1.5 ao longo do
tempo. Em azul (linha tracejada), a solucao em t = 0, em vermelho (linha
com quadrados) em t = 140 e em preto (linha solida) a solucao estacionaria
obtida atraves do metodo de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.9 A figura mostra a evolucao da solucao perturbada com α = 2.5 ao longo do
tempo. Em azul (linha tracejada), a solucao em t = 0, em vermelho (linha
solida) em t = 36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.10 A figura mostra a evolucao da solucao perturbada com α = 0.5 ao longo do
tempo. Em azul (linha tracejada), a solucao em t = 0, em vermelho (linha
com quadrados) em t = 70 e em preto (linha solida) a solucao estacionaria
obtida atraves do metodo de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.11 A figura mostra a evolucao da solucao perturbada com α = 0.5 ao longo do
tempo. Em azul (linha tracejada), a solucao em t = 0, em vermelho (linha
com quadrados) em t = 80 e em preto (linha solida) em t = 140. . . . . . . 89
4.12 A figura mostra a evolucao da solucao perturbada com α = 0.5 ao longo do
tempo. Em azul (linha tracejada), a solucao estacionaria obtida atraves do
metodo de Newton, em vermelho (quadrados) em t = 80 e em preto (linha
solida) em t = 140. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.13 A figura mostra a evolucao da solucao perturbada com α = 1.5 ao longo do
tempo. Em azul (linha tracejada), a solucao em t = 0, em vermelho (linha
com quadrados) em t = 140 e em preto (linha solida) em t = 250. . . . . . 91
4.14 A figura mostra a evolucao da solucao perturbada com α = 1.5 ao longo
do tempo. Em azul (linha tracejada), a solucao estacionaria obtida atraves
do metodo de Newton, em vermelho (linha com quadrados) em t = 140 e
em preto (linha solida) em t = 250. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.15 As figuras mostram ondas estacionarias para diferentes valores de ν. Em
todas as imagens foram considerados F = 1.25, Ω = 1, a amplitude da
topografia e A = 0.1. De cima para baixo temos ν = 0, ν = 0.01, ν = 0.05. 93
4.16 As figuras mostram ondas estacionarias para diferentes valores de ν. Em
todas as imagens foram considerados F = 0.9, Ω = 0.5, a amplitude da
topografia e A = 0.1. De cima para baixo temos ν = 0, ν = 0.01, ν = 0.05. 94
Sumario
Introducao 19
1 A equacao fKdV na presenca de vorticidade 27
1.1 Formulacao matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2 Analise assintotica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3 Metodo numerico para a equacao fKdV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4 Simulacoes numericas para a equacao fKdV . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2 Equacoes de Euler na presenca de uma pressao movel 43
2.1 O problema para uma distribuicao de pressao movel . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 O mapeamento conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Equacoes de Euler na presenca de uma topografia variavel 51
3.1 O problema para um obstaculo com correnteza . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 O mapeamento conforme duplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 Metodo numerico para as equacoes de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4 Validacao do metodo numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.1 O problema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.2 Validacao do metodo numerico para o problema linear . . . . . . . 60
3.4.3 O problema fracamente nao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.5 Os efeitos da amplitude da topografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5.1 Os efeitos da amplitude da topografia e da intensidade da pressao . 75
3.5.2 Os efeitos de uma correnteza nao uniforme nas equacoes de Euler . 76
4 Ondas estacionarias para as equacoes de Euler 79
4.1 O problema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2 Metodo numerico para ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3 Simulacoes numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3.1 Estabilidade das solucoes estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.2 Solucoes estacionarias na presenca de dissipacao . . . . . . . . . . . 91
Conclusoes e projetos futuros 95
Referencias 99
Introducao
O problema e os resultados na literatura
Ondas aquaticas e uma area de Dinamica dos Fluidos e Equacoes Diferencias
Parciais que vem sendo estudada extensamente devido ao grande numero de problemas
tanto no ponto de vista teorico quanto numerico. Especialmente os modelos para equacoes
de ondas longas (aguas rasas), obtidos a partir das equacoes de Euler tais como a equacao
de Korteweg-de Vries (KdV) e as equacoes de Boussinesq. Isto deve-se ao fato que estes
problemas sao reduzidos a uma dimensao espacial. Em particular, ondas solitarias para
estes modelos vem sendo estudadas e comparadas com ondas solitarias geradas em modelos
mais complexos como as equacoes de Euler [26, 27, 19]. No entanto, ondas geradas por uma
forca externa, o que ocorre na natureza ou em experimentos em laboratorios, vem sendo
menos estudadas, especialmente do ponto de vista das equacoes de Euler. Ondas geradas
por uma distribuicao de pressao localizada sobre um canal de profundidade finita sao
estudadas especialmente para ondas de gravidade, quando a tensao superficial e ignorada.
Este regime tem aplicacoes para modelos de ondas geradas por navios. Ondas geradas
por um fluxo sobre um obstaculo sao estudadas com aplicacoes em fluxos atmosfericos
encontrando obstaculos topograficos. Os parametros de fluxo utilizado para estudar as
ondas geradas sao o numero de Froude, F = U0/(gh0)1/2, a intensidade da pressao aplicada
e seu comprimento ou a amplitude do obstaculo e seu comprimento. Temos que U0 e a
velocidade da distribuicao de pressao sobre a supefıcie livre ou da correnteza, h0 e a
profundidade de agua no canal em repouso e g e a aceleracao da gravidade.
Na presenca de uma forca externa a equacao forcada de KdV (fKdV) foi for-
malmente deduzida por Akylas em [24] a partir de uma pressao movendo-se ao longo da
superfıcie livre com velocidade constante. Akylas mostrou que quando F 6= 1 a solucao
das equacoes de Euler linearizadas e dada por uma onda estacionaria e um transiente. Ele
mostrou que o transiente desaparece em qualquer regiao quando t → ∞, permancendo
apenas uma onda estacionaria. No entanto, este comportamento nao e valido quando
F = 1. Neste caso, o modelo linear preve um aumento ilimitado na amplitude das ondas
para tempos grandes. Na presenca de uma topografia e uma correnteza constante este19
20
problema foi estudado por Grimshaw e Smyth [13]. Neste trabalho Grimshaw e Smyth
consideraram uma topografia localizada, por exemplo um monte com perfil Gaussiano.
Eles obtiveram uma aproximacao analıtica para a solucao da fKdV. A solucao analıtica
foi comparada com a solucao numerica e os resultados apresentaram boa concordancia.
Eles observaram que quando o numero de Froude esta proximo de 1, ondas sao geradas
subindo rio acima e descendo rio abaixo. As ondas subindo rio acima podem ser ondas
solitarias quando a distribuicao de pressao e uma funcao positiva ou como um trem de
ondas oscilatorio se a distribuicao de pressao e uma funcao negativa. As ondas descendo
rio abaixo tambem pode ser classificadas como ondas solitarias ou como um trem de on-
das oscilatorio de acordo com o sinal da distribuicao de pressao. Numericamente esse
fenomeno foi primeiramente observado por Wu e Wu em [30]. Em um estudo teorico e
experimental apresentado em [17], Lee mostrou que os experimentos estavam de acordo
com dois modelos teoricos, a equacao de Boussinesq e a equacao de fKdV, ambas con-
tendo um termo forcante devido ao termo de pressao. Pratt em [21] usou a equacao de
fKdV para explicar alguns experimentos relacionados ao fluxo atmosferico sobre multiplos
obstaculos. Neste trabalho Pratt considerou multiplos obstaculos e comparou resultados
experimentais com resultados teoricos. A equacao de fKdV foi entao usada por Wu em
[29] para explorar o mecanismo de geracao de ondas solitarias subindo rio acima devido a
uma distribuicao de pressao movendo-se ao longo da superfıcie livre. Camassa e Wu [7, 8]
estudaram a estabilidade de ondas solitarias estacionarias e confirmaram seus resultados
analıticos com experimentos numericos. Dias, Nguyen e Vanden-Broeck [9] estudaram
a estabilidade numerica de ondas estacionarias para a equacao de fKdV com multiplos
obstaculos. Ao inves de calcular solucoes estacionarias numericamente para a equacao
de fKdV eles construıram a topografia de modo que uma solucao exata para a superfıcie
livre fosse obtida. Numericamente foi demonstrada a estabilidade de solucoes com dois
obstaculos de perfil Gaussianos na presenca de uma correnteza uniforme e instabilidade
de solucoes para obstaculos do tipo mesa. Mais recentemente Albalwi, Marchant e Smyth
[18] propuseram um modelo de fKdV de quinta ordem para estudar ondas geradas de-
vido a interacao entre uma topografia e uma correnteza constante para o regime onde o
numero de Froude esta proximo de 1. Neste trabalho eles compararam o modelo de fKdV
apresentado por Grimshaw e Smyth em [13] com o modelo de fKdV de ordem mais alta
que eles chamaram de eKdV (“extended KdV”). Eles observaram que o modelo de ordem
mais alta apresenta oscilacoes na regiao da formacao de um resalto ondulatorio (“undular
bore”). Isto indica a formacao de um choque dispersivo. As amplitudes das ondas, tanto
as ondas subindo rio acima quanto as ondas descendo rio abaixo apresentaram maior am-
plitude para o modelo de quinta ordem. Alem disso, eles observaram que o comprimento
do ressalto ondulatorio do modelo de ordem mais alta e menor.
21
Do ponto de vista das equacoes de Euler, Vanden-Broeck e Tuck [16] estudaram
numericamente os problemas linear e nao-linear para um fluxo de agua em profundidade
finita e mostraram que para fluxos subcrıticos (F < 1) a pressao cria um trem de ondas
viajantes que pode ser usado para modelar ondas geradas por navios. Asavanant [14],
estudou o fluxo gerado por uma distribuicao de pressao em aguas de profundidade finita.
O problema foi estudado numericamente usando o metodo de integral de contorno. Foi
mostrado que para ambos os casos, supercrıtico (F > 1) e subcrıtico (F < 1), as solucoes
dependem de tres parametros: o numero de Froude, a amplitude da pressao aplicada e
o comprimento da regiao onde a pressao e exercida. Para o caso supercrıtico as solucoes
sao uma onda estacionaria na regiao onde a pressao e aplicada, com de um transiente
descendo rio abaixo. Para o caso subcrıtico as solucoes sao trens de ondas que surgem
atras das ondas geradas pela distribuicao de pressao movendo-se ao longo da superfıcie
livre. Essas ondas sao similares as ondas geradas no caso de aguas profundas. A medida
que o numero de Froude se aproxima de 1 esse trem de ondas desaparece.
Comparacoes entre modelos aparecem naturalmente em Dinamica dos Fluidos.
Choi e Camassa [27], usando o mapeamento conforme dependente do tempo, introduzido
por Dyachenko e Zakharov [1], achataram a superfıcie livre em uma faixa lisa e com-
param as ondas solitarias produzidas pelas equacoes de Euler com as ondas solitarias
produzidas pela equacao da KdV. Mais tarde, Choi [26] obteve ondas viajantes para as
equacoes de Euler na presenca de um escoamento com vorticidade constante, mas sem
topografia. A formulacao do mapeamento conforme para ondas nao lineares em aguas
profundas e em profundidade uniforme finita foi inicialmente introduzida por Dyachenko
e Zakharov em [1]. Milewski, Vanden-Broeck e Wang [19] utilizaram o mapeamento con-
forme em aguas profundas achatando a superfıcie livre. Neste trabalho foi estudado a
estabilidade numerica das ondas obtidas e colisoes entre duas ondas viajantes. Em [2], na
ausencia de correnteza, Nachbin construiu um mapeamento conforme achatando a topo-
grafia obtendo uma equacao do tipo Boussinesq com coeficientes variaveis. A vantagem
de utilizar essa formulacao e que permite transformar um problema de fronteira livre e
valor inicial para um sistema de equacoes diferenciais parciais em um problema de valor
inicial. Este entao podera ser resolvido numericamente de maneira mais simples. No
entanto por fazer-se uso de aplicacoes conformes trata-se de um metodo limitado ao caso
bidimensional. Contudo, em muitos problemas de ondas aquaticas a dinamica das ondas
e predominantemente unidimensional. Grimshaw e Maleewong [22] usaram o modelo de
fKdV para validar o metodo da integral de contorno para equacoes de Euler em um re-
gime transcrıtico para uma pressao de amplitude pequena. A maior diferenca observada
entre os modelos de fKdV e Euler aparece quando a intensidade da pressao aumenta.
Para o caso supercrıtico, a equacao fKdV continua prevendo uma solucao instavel com
22
grande amplitude movendo-se para longe da regiao onde a pressao esta sendo aplicada.
No entanto, para as equacoes de Euler, as ondas de amplitudes grandes sao ıngremes
e quebram. Binder, Vanden-Broeck e Dias [6] utilizaram o metodo da integral de con-
torno para computar solucoes estacionarias para o problema com topografia localizada na
forma de dois triangulos e correnteza constante classificando os tipos de ondas geradas
para o caso supercrıtico. Alem disso, novos tipos de ondas estacionarias foram obtidas.
No entanto, nao e conhecido na literatura um estudo comparando as equacoes de fKdV
deduzidas quando temos uma topografia e uma correnteza constante com as equacoes de
Euler. Fazemos isto pela primeira vez e ainda permitimos a correnteza de ter vorticidade
constante, ou seja, variando linearmente na direcao vertical.
O problema matematico e objetivos
O problema de ondas geradas por um fluxo sobre um obstaculo pode ser abordado
de diferentes maneiras. Utilizando-se as equacoes de Euler da teoria do potencial, as
equacoes podem ser reescritas em termos de tres parametros adimensionais. O parametro
de ondas longas (aguas rasas) µ, o parametro de nao-linearidade ε e o numero de Froude
F . Estes parametros sao definidos da seguinte maneira:
µ =h0
λ, ε =
a
h0
, e F =U0
(gh0)1/2.
Onde λ e o comprimento tıpico da onda, h0 e a profundidade tıpica, a e a amplitude tıpica
da onda, g e a aceleracao da gravidade e U0 e a velocidade da correnteza. Desta forma
tem-se as seguintes equacoes
µ2φxx + φyy = 0 em − 1 + εh(x+ Ft) < y < εζ(x, t),
µ2(Fhx + εφxhx) = φy sobre y = −1 + εh(x+ Ft),
ζt + εφxζx −1
µ2φy = 0 sobre y = εζ(x, t),
φt +ε
2(φ2
x + φ2y) + ζ = 0 sobre y = εζ(x, t),
(1)
com dados iniciais nulos. Milewski e Vanden-Broeck [20], expandiram a funcao potencial
φ, em torno de y = 0 usando series de Taylor e substituiram nas condicoes cinematica e
de Bernoulli para o problema (1) obtendo a equacao do tipo Benney-Luke
Φtt − Φxx + Ψ + µ2
[1
6Φxxxx −
1
2Φxxtt + Ψtt −
1
2Ψxx
]+ ε
[1
2(Φ2
x)t + (ΦtΦx)x
]= 0,
Ψ = Fhx + εΦxx,
(2)
23
onde Φ(x, t) = φ(x,−1, t) e Ψ(x, t) = µ−2φ(x,−1, t). O problema (2) e linearizado
fazendo-se µ, ε→ 0. Segue-se que
Φtt − Φxx = −Fhx.
Usando que ζ ≈ −Φt obtem-se
ζtt − ζxx = F 2hxx.
Consideremos a equacao da onda com dados iniciais nulos:
ζtt − ζxx = F 2hxx,
ζ(x, 0) = 0, ζt(x, 0) = 0.(3)
Usando o princıpio de Duhamel, obtemos que a solucao do problema (3) e
ζ(x, t) =F 2
F 2 − 1
[h(x+ Ft) +
1
2
((F − 1)h(x− t)− (F + 1)h(x+ t)
)], F 6= 1. (4)
A solucao acima mostra que sempre existem duas ondas de elevacao e uma onda de
depressao. Observe que a solucao nao esta definida para F = 1. No entanto, fazendo o
limite F → 1 em (4) e usando a regra de L’Hopital obtemos:
ζ(x, t) =1
4
[2th′(x+ t) + h(x− t)− h(x+ t)
].
Desta forma a |ζ(x, t)| → ∞ quando t→∞. Esse fenomeno e conhecido como ressonancia
pura e aparece em sistemas mecanicos como massa-mola e tambem em circuitos eletricos
(ver [10]). A figura 1, mostra a solucao do problema (3) nos casos subcrıtico (F < 1) e
supercrıtico (F > 1) respectivamente. Em ambas figuras temos a formacao de duas ondas
de elevacao e uma onda de depressao.
Figura 1: Solucoes tıpicas para o problema (3) para a topografia h(x) = e−x2. A figura a
esquerda mostra a solucao do problema com F = 0.5 e a figura a direita para F = 1.5.
24
A solucao (4) nao esta definida para F = 1, pois a amplitude da solucao explode
quando o numero de Froude se aproxima de 1. Agora suponhamos que F = 1 +O(ε). A
fim de que a solucao ζ seja de ordem O(1) a equacao (4) nos mostra que topografia, h,
deve ser reescalonada como h ∼ O(ε). Desta forma, a amplitude da topografia nao pode
ser considerada arbitrariamente. Para estudar o problema quando o numero de Froude
esta proximo de 1 os efeitos nao-lineares devem ser considerados. Como uma primeira
aproximacao nao-linear para o problema (1) usa-se a equacao de fKdV.
A equacao de fKdV pode ser obtida a partir da equacao (2). Fazendo ε = µ2,
F = 1+εf , h→ εh, introduzindo τ = εt, a variavel viajante ξ = x+(1+εf)τ , substituindo
nas equacoes (2) e usando que ζτ = −Φξ +O(ε) obtem-se:
ζτ + fζξ −3
2ζζξ −
1
6ζξξξ =
1
2hξ(ξ), (5)
a equacao forcada de Kortweg-de Vries KdV (fKdV).
Algumas perguntas que surgem naturalmente sao: O que acontece quando a
amplitude da topografia aumenta? E possıvel comparar a equacao de fKdV para uma
topografia e uma correnteza constante com as equacoes de Euler? O que acontece quando
vorticidade e adicionada a este problema? Modelos reduzidos para as equacoes de Euler
na presenca de uma correnteza nao uniforme e fundo plano foram inicialmente propostos
por Freeman e Johnson [12]. Neste trabalho Freeman e Johnson obtiveram uma equacao
do tipo KdV a partir das equacoes de Euler na presenca de uma correnteza nao uniforme
variando verticalmente. A equacao do tipo KdV obtida por eles e dada por:
−2I31ζτ + 3I41ζζξ + J1ζξξξ = 0,
onde, os coeficientes I31, I41, J1 sao constantes que dependem da correnteza nao uniforme.
A velocidade de propagacao c da onda deve satisfazer:∫ h
0
1
(U(y)− c)2dy =
1
g,
Esta condicao e denominada condicao de Burns. A condicao de Burns e equivalente a
relacao de dispersao das equacoes de Euler na presenca de uma correnteza nao uniforme
variando verticalmente. Desta forma, quando a correnteza considerada e nao uniforme
uma singularidade e introduzida ao problema.
O objetivo deste trabalho e responder as questoes levantadas acima. Ondas ge-
radas devido a interacao de uma correnteza uniforme e nao uniforme na presenca de um
obstaculo serao estudadas. Este trabalho esta estruturado da seguinte forma:
• No primeiro capıtulo o problema sera matematicamente formulado a partir das
equacoes de Euler. A seguir o problema sera adimensionalisado como feito por
25
Freeman e Johnson [12]. A partir do problema adimensional sera feita uma analise
assintotica de equacoes. Sera considerado o regime de ondas longas e fracamente
nao linear a fim de obter uma equacao do tipo fKdV na presenca de uma correnteza
nao uniforme. Esta e a primeira vez que uma equacao do tipo fKdV com uma
correnteza nao uniforme e obtida. Simulacoes numericas irao ilustrar solucoes deste
novo modelo.
• No segundo capıtulo serao consideradas as equacoes de Euler com uma pressao
movendo-se ao longo da superfıcie livre com velocidade constante e uma correnteza
variando verticalmente. Esta formulacao permite reescrever as equacoes de Euler
em termos da teoria do potencial. A partir destas equacoes sera feito uma adimen-
sionalisacao diferente da apresentada no capıtulo anterior. Definidas as equacoes
adimensionais, o mapeamento conforme dependente do tempo sera apresentado,
achatando a superfıcie livre com o intuito de reescrever o problema de maneira mais
conveniente do ponto de vista numerico.
• No terceiro capıtulo as equacoes de Euler apresentadas no capıtulo anterior serao
revisitadas na presenca de uma topografia. Uma vez apresentado o problema, sera
considerado o mapeamento conforme dependente do tempo, achatando a superfıcie
livre e a topografia. Desta forma o domınio fısico sera mapeado em uma faixa re-
tangular de uma unica vez. Um metodo numerico sera proposto para resolver as
equacoes de Euler no domınio canonico. Inicialmente, o metodo numerico sera vali-
dado para o problema linear. Para isto compararemos nossas solucoes com solucoes
computadas pelo metodo apresentado por Nachbin [2]. Para o problema fracamente
nao-linear, as solucoes obtidas serao comparadas com as solucoes da equacao de
fKdV. Alem disso, os efeitos da topografia sobre as ondas geradas serao estudados.
Em particular, com nossa nova modelagem topografias de amplitudes maiores que
as estudadas no regime de fKdV serao analisadas.
• No quarto capıtulo um metodo numerico sera proposto para computar ondas esta-
cionarias para as equacoes de Euler na presenca de uma correnteza nao uniforme e
topografia. Novos tipos de ondas de caracter oscilatorio serao obtidos. A estabili-
dade numerica dessas ondas sera investigada numericamente. Estas novas solucoes
nao podem ser obtidas a partir da superfıcie livre em repouso, ou seja, via um tran-
siente. Por isso, um termo dissipativo sera adicionado as equacoes de Euler e seu
efeito sobre as novas ondas estacionarias sera estudado.
26
Capıtulo 1
A equacao fKdV na presenca de
vorticidade
1.1 Formulacao matematica
Consideremos um escoamento invıscido, incompressıvel com densidade cons-
tante ρ em duas dimensoes com uma distribuicao de pressao sobre a superfıcie livre. Nesta
secao vamos estudar o problema de ondas geradas devido a interacao entre uma topogra-
fia e uma correnteza variavel ao longo da vertical. O ponto de partida para estudar esse
problema sao as equacoes de Euler na presenca de uma fronteira livre. Denotaremos por
ζ(x, t) a superfıcie livre e por h(x) a topografia. As equacoes matematicas que descrevem
esse problema sao [28]:
ut + uux + vuy = −pxρ
em h(x) < y < ζ(x, t),
vt + uvx + vvy = −pyρ− g em h(x) < y < ζ(x, t),
ux + vy = 0 em h(x) < y < ζ(x, t),
p = P (x) sobre y = ζ(x, t),
v = ζt + uζx sobre y = ζ(x, t),
v = uhx sobre y = h(x),
(1.1)
onde denotamos por p a pressao exercida sobre o fluido, P e uma distribuicao de pressao
imposta na superfıcie livre, u a velocidade horizontal e v velocidade vertical do fluido. Va-
mos supor que todas as funcoes (h, u, v, ζ e p) das equacoes (1.1) sao suaves e h, u, v, ζ, p→0 quando |x| → ∞. A fim de deduzirmos a equacao de Korteweg-de Vries forcada (fKdV)
vamos adimensionalisar o sistema (1.1). Para tal, consideremos as seguintes unidades ca-
racterısticas: λ para o comprimento de onda, a para a amplitude caracterıstica da onda,
h0 para a profundidade e λ/√gh0 para o tempo. Desta forma podemos considerar as
27
28
variaveis adimensionais :
x→ λx, y → h0y, t→ λ√gh0
t,
u→√gh0u, v → h0
√gh0
λv, h→ h0h.
Por fim a pressao e a supefıcie livre sao adimensionalisadas como:
p→ ρgh0(h0 − y) + ρgh0p, P → ρgh0P e ζ → h0 + aζ.
Figura 1.1: Descricao dos parametros do problema matematico.
Introduzindo os parametros adimensionais µ = h0/λ (ondas longas / aguas ra-
sas), ε = a/h0 (nao linearidade) e substituindo as novas variaveis adimensionais em (1.1)
obtemos:
ut + uux + vuy = −px em h(x) < y < 1 + εζ(x, t),
µ2vt + ε(uvx + vvy) = −py em h(x) < y < 1 + εζ(x, t),
ux + vy = 0 em h(x) < y < 1 + εζ(x, t),
p = P + εζ sobre y = 1 + εζ(x, t),
v = ε(ζt + uζx) sobre y = 1 + εζ(x, t),
v = uhx sobre y = h(x).
(1.2)
Estamos interessados em estudar as equacoes (1.2) na presenca de um escoamento
cisalhante (com vorticidade constante) e de uma topografia de amplitude pequena. Desta
forma vamos reescalonar as variaveis no sistema (1.2) da seguinte forma,
u→ U(y) + εu, v → εv, p→ εp, P → ε2P e h→ ε2h. (1.3)
29
Assim, a velocidade do escoamento e predominantemente dada pela correnteza. Tomando
µ2 = ε e substituindo (1.3) em (1.2) segue-se que
ut + U(y)ux + U ′(y)v + ε(uux + vuy) = −px,
εvt + U(y)vx + ε(uvx + vvy) = −py,
ux + vy = 0,
p = ζ + εP sobre y = 1 + εζ(x, t),
v = ζt + U(y)ζx + εuζx sobre y = 1 + εζ(x, t),
v = εhxU(y) + ε2hxu sobre y = ε2h(x).
(1.4)
A fim de obtermos uma equacao do tipo KdV vamos considerar apenas a onda que viaja
para a direita. Desta forma introduzimos a variavel viajante ξ = x − ct onde c e uma
constante a ser determinada a posteriori. A variavel t e reescalondada lentamente como
τ = εt. Substituindo as novas variaveis em (1.4) resulta:
(U(y)− c)uξ + U ′(y)v + ε(uτ + uuξ + vuy) = −pξ,
ε(U(y)− c)vξ + ε(vτ + uvξ + vvy) = −py,
uξ + vy = 0,
p = ζ + εP sobre y = 1 + εζ,
v = (U(y)− c)ζξ + ε(ζτ + uζξ) sobre y = 1 + εζ,
v = εhξU(y) + ε2hξu sobre y = ε2h.
(1.5)
Na seguinte secao sera discutido como obter a equacao de fKdV atraves de uma
analise assintotica das equacoes, ou seja, obtendo-se um modelo reduzido.
1.2 Analise assintotica
Para estudarmos o problema (1.5) vamos considerar uma expansao assintotica
das funcoes u, v, p, ζ em potencias do parametro ε. Para isto vamos supor ε 1. Na
ausencia da topografia e do termo de pressao, este tipo de expansao foi inicialmente
apresentado por Freeman e Johnson [12]. As expansoes serao consideradas da seguinte
forma:
q(ξ, y, τ ; ε) ∼∞∑n=0
εnqn(ξ, y, τ), ζ(ξ, τ) ∼∞∑n=0
εnζn(ξ, τ), (1.6)
onde q = u, v, p. Substituindo (1.6) em (1.5) obtemos uma sequencia de problemas de
ordem O(εn).
30
• Problema de ordem O(ε0)
Neste caso temos o seguinte problema
(U(y)− c)u0ξ + U ′(y)v0 = −p0ξ; p0y = 0; u0ξ + v0y = 0;
p0 = ζ0; v0 = (U(y)− c)ζ0ξ; sobre y = 1; v0 = 0; sobre y = 0.(1.7)
Por integracao, facilmente podemos ver que o sistema (1.7) admite a seguinte solucao
v0 =
(U(y)− c)
∫ y
0
dz
(U(y)− c)2
ζ0ξ, (1.8)
u0 = −
1
U(y)− c+ U ′(y)
∫ y
0
dz
(U(y)− c)2
ζ0. (1.9)
Substituindo (1.8) na condicao cinematica (1.7) obtemos a condicao de compatibilidade
conhecida como condicao de Burns, dada por:∫ 1
0
1
(U(y)− c)2dy = 1. (1.10)
Esta condicao nos fornece os valores para a constante c. Observemos que neste momento
nao ha uma condicao sobre ζ0. A fim de obtermos uma condicao sobre a mesma devemos
considerar o problema de ordem mais alta, a saber O(ε1).
• Problema de ordem O(ε1)
Neste caso temos o seguinte problema nao homogeneo
(U(y)− c)u1ξ + U ′(y)v1 + u0τ + u0u0ξ + v0u0y = −p1ξ,
(U(y)− c)v0ξ = −p1y; u1ξ + v1y = 0,
p1 = ζ1 + P sobre y = 1,
v1 + ζ0v0y = (U(y)− c)ζ1ξ + U ′(y)ζ0ζ0ξ + ζ0τ + u0ζ0ξ sobre y = 1,
v = U(y)hξ sobre y = 0,
(1.11)
onde as funcoes na condicao cinematica em (1.5) foram expandidas em series de Taylor
em torno de y = 1. Das equacoes (1.7) e (1.11) usando calculos algebricos segue-se que
p1 = ζ1 + P +
∫ 1
y
(U(y)− c)2I2(y)dy
ζ0ξξ, (1.12)
(U(y)− c)2
v1
U(y)− c
y
+
1
U(y)− c+ U ′(y)I2(y)
ζ0τ
−
1
U(y)− c+ U ′(y)I2(y)
2
ζ0ζ0ξ = ζ1ξ + Pξ +
(∫ 1
y
(U(y)− c)2I2(y)dy
)ζ0ξξξ,
(1.13)
31
onde
In(y) ≡∫ y
0
dy
(U(y)− c)n, para n = 1, 2, 3, 4.
Integrando a equacao (1.13) de 0 ate y e usando a condicao de fundo v1 = U(y)hξ
sobre y = 0 resulta que
v1 = (U(y)− c)(
I2(y)
U(y)− c− 2I3(y)
)ζ0τ
+
(I4(y) + 4
∫ y
0
U ′(y)I2(y)
(U(y)− c)3dy − U ′(y)I2(y)
U(y)− c
)ζ0ζ0ξ + I2(y)ζ1ξ + I2(y)Pξ
+ ζ0ξξξ
∫ y
0
1
(U(y)− c)2
[ ∫ 1
y
(U(y)− c)2I2(y)dy
]dy
+U(y)− cU(0)− c
U(0)hξ.
Agora, fazendo y = 1 e impondo a condicao cinematica em (1.11) obtemos
(U(1)− c)ζ1ξ + U ′(1)ζ0ζ0ξ + ζ0τ − 2
1
U(1)− c+ U ′(1)I2(1)
ζ0ζ0ξ
+U(1)− cU(0)− c
U(0)hξ = (U(1)− c)(
I2(1)
U(1)− c− 2I3(1)
)ζ0τ
+
(I4(1) + 4
∫ 1
0
U ′(y)I2(y)dy
(U(y)− c)3− U ′(1)I2(1)
U(1)− c
)ζ0ζ0ξ + I2(1)ζ1ξ + I2(1)Pξ + J1ζ0ξξξ
,
(1.14)
onde
J1 =
∫ 1
0
∫ 1
y
∫ y1
0
(U(y1)− c)2
(U(y)− c)2(U(y2)− c)2dy2dy1dy.
Integrando a equacao (1.14) por partes obtemos a equacao do tipo KdV
− 2I31ζ0τ + 3I41ζ0ζ0ξ + J1ζ0ξξξ =U(0)hξU(0)− c
+ Pξ, (1.15)
onde In1 = In(1) para n = 1, 2, 3, 4. Retornando as variaveis originais x, t do sistema,
produzimos:
− 2I31
εζ0t −
2I31c
εζ0x + 3I41ζ0ζ0x + J1ζ0xxx =
U(0)hx(x)
U(0)− c+ Px(x). (1.16)
Desde que c = εf e a variavel t seja reescalonada com τ = εt a equacao (1.16) pode ser
reescrita como
− 2I31ζ0τ − 2I31fζ0x + 3I41ζ0ζ0x + J1ζ0xxx = hx(x) + Px(x). (1.17)
Esta equacao sera denominada como a nova fKdV. Pois a correnteza neste caso nao e
necessariamente uniforme. Esta equacao e consistente com a equacao de fKdV inicial-
mente obtida por Grimshaw e Smyth [13] para o caso em que a correnteza e constante.
Na ausencia de uma distribuicao de pressao e topografia esta equacao tambem e con-
sistente com a equacao obtida por Freedman e Johnson [12] para uma correnteza nao
32
uniforme. Notemos que os efeitos da topografia e pressao sao os mesmos do ponto de
vista da equacao fKdV. Em particular, no caso com a superfıcie inicialmente em repouso
e com P (x) = −h(x), ondas nao sao geradas.
Observacao: E importante observar que quando a condicao c = εf foi introdu-
zida, a classe de cisalhamento que podemos escolher foi tambem restringida. Particular-
mente estamos interessados no caso em que o cisalhamento na vertical e linear. Seja uma
forma generica dada por
U(y) = Ωy + β.
Impondo a condicao de Burns para esse perfil generico da correnteza temos que
1 =
∫ 1
0
1
(U(y)− C)2dy =
1
(β − C)(Ω + β − C)
de onde obtemos os possıveis valores da velocidade da onda:
C±(Ω, β) = β +(Ω±
√Ω2 + 4)
2.
Mas o nosso modelo exige uma velocidade de O(ε). Desta forma, seja o seguinte ansatz
para nossa correnteza de interesse:
U(y) ≡ U(y)− C−(Ω, β) + εf = Ωy − Ω
2+
√Ω2 + 4
2+ εf.
Substituindo na condicao de Burns (1.10) temos que a condicao e automaticamente satis-
feita com c = εf . Daı podemos escrever
U(y) = Ωy + γ(Ω) + εf, (1.18)
onde
γ(Ω) = −Ω
2+
√Ω2 + 4
2.
O numero de Froude e definido por
F (Ω) = −Ω
2+
√Ω2 + 4
2+ εf. (1.19)
Para a correnteza (1.18) os coeficientes da equacao (1.17) podem ser facilmente
obtidos, sendo esses
I31 =Ω + 2γ(Ω)
2γ(Ω)2(Ω + γ(Ω))2, I41 =
1
3
Ω2 + 3Ωγ(Ω) + 3γ(Ω)2
γ(Ω)3(Ω + γ(Ω))3, J1 =
1
3γ(Ω)3. (1.20)
A partir de agora a vorticidade e dada a partir do cisalhamento definido por (1.18).
33
Ondas solitarias para a equacao de fKdV definida em (1.17) no caso topografia
plana (hx = 0) e pressao externa constante (Px = 0) sao dadas por
ζ(x, τ) = Asech2(κ2(x− cτ)), onde c = f − 2J1
I31
κ2, A =4J1
I41
κ2. (1.21)
Na ausencia de uma distribuicao de pressao e topografia, a equacao (1.17) linea-
rizada e:
ζ0τ + fζ0x −J1
2I31
ζ0xxx = 0.
Procurando por solucoes da forma ζ0(x, τ) = Aei(kx−ωτ) obtemos a relacao de dispersao:
ω(k) = fk +J1
2I31
k3.
Desta forma a velocidade de propagacao das ondas de comprimento λ = 2π/k e:
c(k) = f +J1
2I31
k2.
Em particular, ondas estacionarias existem para
k =
√−2I31
J1
f.
Como I31, J1 > 0, ondas estacionarias podem ser obtidas apenas quando f < 0.
0 1 2 3 4
k
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
c(k)
Figura 1.2: A figura mostra a velocidade de propagacao dos modos de Fourier para
diferentes valores de Ω com f = 0. Em vermelho (linha tracejada) Ω = 0.5, em preto
(linha solida) Ω = 0 e em azul (linha com quadrados) Ω = −0.5.
A figura 1.2 mostra a velocidade de propagacao dos modos de Fourier para di-
ferentes valores de Ω com f = 0. E possıvel observar que a medida que a velocidade
34
da correnteza e menor no fundo os modos de Fourier viajam mais rapido. Alem disso,
para valores positivos de f ondas lineares viajam sempre para a direita. No entanto, para
valores negativos de f , podemos ter ondas estacionarias e ondas viajando tanto para a
direita quanto para a esquerda dependendo do comprimento da onda linear.
1.3 Metodo numerico para a equacao fKdV
Nesta secao vamos propor uma metodo numerico para calcular as ondas geradas
pela equacao fKdV obtida na secao anterior:
− 2I31ζτ − 2I31fζx + 3I41ζζx + J1ζxxx = hx(x), (1.22)
onde os coeficientes I31, I41, J1 sao dados em (1.20) e h e um forcante. Fisicamente, h pode
representar uma topografia ou uma pressao sobre a superfıcie livre ζ. Particularmente,
estamos interessados no caso em que ondas sao geradas por uma pressao ou uma topografia
localizada, isto e, h decai a zero quando x→ ±∞. Desta forma a superfıcie livre encontra-
se inicialmente em repouso.
Para resolvermos (1.22) numericamente usaremos um metodo pseudospectral com
fator de integracao. O fator de integracao nos permite resolver a parte linear do problema
analıticamente e assim evitamos problemas de instabilidade numerica. Vamos discretizar
os intervalos x ∈ [−L,L] e τ ∈ [0, T ], onde L, T sao constantes positivas com pontos
igualmente espacados tais que
xn = −L+ (n− 1)∆x, n = 1, 2, ..., Nx = 2J onde ∆x =2L
Nx
, J ∈ N,
e
τm = (m− 1)∆τ, m = 1, 2, ...,M onde ∆τ =T
M, M ∈ N.
Como faremos uso de transformadas discretas de Fourier (TDF) na variavel espacial x,
devemos considerar o numero de pontos na malha espacial da forma 2J com J ∈ N, (vide
[25]).
Tomando a transformada de Fourier na variavel espacial, x em (1.22), entao
− 2I31ζτ − 2I31(ik)f ζ +3
2I41(ik)ζ2 + J1(ik)3ζ = (ik)h(k). (1.23)
Dividindo ambos lados das equacoes (1.23) por −2I31 resulta
ζτ + (ik)f ζ − 3
4
I41
I31
(ik)ζ2 − J1
2I31
(ik)3ζ = − (ik)
2I31
h(k).
Consideremos o fator de integracao
E(k, τ) = exp(
(ik)f − J1
2I31
(ik)3)τ.
35
Multiplicando ambos os lados da equacao (1.23) pelo fator de integracao resulta
d
dτ
E(k, τ)ζ
+ E(k, τ)ζ2 = −E(k, τ)
(ik)
2I31
h(k). (1.24)
Definindo
U(k, τ) = E(k, τ)ζ , (1.25)
e considerando a condicao incial nula obtemos a famılia de equacoes diferencias ordinarias
a um parametro k
Uτ + EF((F−1(E−1U))2) = −E (ik)
2I31
h(k). (1.26)
Resolvemos o problema (1.26) discretizando o operador transformada de Fourier (F),
usando a transformada discreta de Fourier. A evolucao da equacao no tempo e computada
usando o metodo de Runge-Kutta de quarta ordem com passo no tempo ∆τ . Por fim,
usando a relacao (1.25) obtemos ζ.
Observacao: A TDF e ultilizada em funcoes periodicas, e em princıpio nao
estamos impondo periodicidade nas funcoes. No entanto, isto nao e uma restricao uma
vez que escolhendo um domınio computacional suficientemente grande, isto e, L 1
teremos que tanto ζ como h sao aproximadamente zero em ξ = ±L. Desta forma, os
efeitos das condicoes de fronteira afetarao a solucao computada apenas para os valores de
τ suficientemente grandes.
36
1.4 Simulacoes numericas para a equacao fKdV
Nesta secao vamos resolver numericamente a equacao de fKdV (1.17). Como os
efeitos da topografia e pressao sao os mesmos sobre a equacao, vamos considerar apenas um
deles. Sem perda de generalidade vamos considerar o caso com topografia. A topografia
sera denotada por h(x). Desta forma, vamos estudar a equacao:
−2I31ζτ − 2I31fζx + 3I41ζζx + J1ζxxx = hx(x).
Para nossas simulacoes vamos considerar os seguintes parametros:
• O passo na malha espacial e ∆x = 0.1.
• O numero de pontos igualmente espacados e Nx = 212.
• O perfil da onda inicial e nulo.
• A topografia no domınio fısico e h(x) =e−x
2
√π
.
• O passo na malha temporal e ∆τ = 0.01.
Figura 1.3: A figura mostra a evolucao da superfıcie livre para f = −0.5 e Ω = 0.
Em [24], [22] e [29], foram identificados tres padroes distintos de ondas na presenca
de uma correnteza constante. Para o caso subcrıtico (f < 0) foi observado um trem de
ondas periodicas descendo rio abaixo (a direita da origem), denomindado ondas de Lee.
37
A figura 1.3 mostra a evolucao da onda gerada devido a interacao entre a corren-
teza constante e a topografia no caso subcrıtico. Vemos que ondas sao geradas contra e
a favor da correnteza, o que esta de acordo com o que a teoria linear preve. A favor da
correnteza vemos um trem de ondas descendo rio abaixo e a esquerda vemos um transiente
subindo rio acima. Diminuindo f e possıvel obter uma solucao estacionaria. Neste caso
a solucao estacionaria correspondente e uma superfıcie de elevacao a esquerda da topo-
grafia e um trem de ondas estacionario a direita da topografia. A medida que o numero
de Froude se aproxima de 1 a amplitude das ondas subindo rio acima aumentam e ondas
estacionarias nao podem ser obtidas.
Para o caso crıtico (f = 0), foi observado que ondas solitarias sao geradas perio-
dicamente subindo rio acima para a equacao de fKdV. Este fenomeno nao e observado em
modelos mais simples, como na equacao de fKdV linearizada ou modelo linear (3). Neste
caso nao ha possibilidade de ondas estacionarias. A figura 1.4 mostra ondas geradas para
o caso crıtico. O trem de ondas descendo rio abaixo persiste, e o transiente da lugar a
um trem de ondas solitarias subindo rio acima.
Figura 1.4: A figura mostra a evolucao da superfıcie livre para f = 0 e Ω = 0.
No caso supercrıtico (f > 0) a correnteza e forte o suficiente de modo que ondas
subindo rio acima nao sejam produzidas. Alem disso, a superfıcie livre encontra-se em
ressonancia com a topografia em uma vizinhanca da topografia. Este tipo de comporta-
mento esta de acordo com a teoria linear para a fKdV. Alem disso, tal comportamento foi
previsto anteriormente no problema linear (3). A figura 1.5 mostra as ondas geradas no
caso supercrıtico com f = 0.75. Neste caso a solucao estacionaria correspondente e uma
superfıcie de elevacao em ressonancia com a topografia.
38
Figura 1.5: A figura mostra a evolucao da superfıcie livre para f = 0.75 e Ω = 0.
Agora estamos interessados em ver o efeito da correnteza nao-uniforme sobre
essas ondas. A nao-uniformidade afeta apenas os coeficientes da equacao de fKdV. Como
a correnteza considerada e da forma (1.18) temos que para Ω < 0 a correnteza sera mais
forte no fundo e para Ω > 0 a correnteza sera mais forte na superfıcie. Fisicamente, o
numero de ondas geradas rio acima deve ser maior para Ω < 0. Isso deve-se ao fato
que as ondas subindo rio acima sao ondas refletidas pela topografia. A figura 1.6 mostra
ondas geradas para o caso crıtico, contudo a correnteza nao e mais uniforme. A figura a
esquerda mostra o caso em que a correnteza e mais forte no fundo e diminue linearmente
a medida que se aproxima da superfıcie livre. Na figura 1.6 a direita vemos o caso em
que a correnteza e menor no fundo e aumenta linearmente a medida que se aproxima
da supefıcie livre. Comparando as duas figuras vemos que no caso em que a correnteza e
maior no fundo as ondas geradas tem amplitude maior e sao mais ıngremes. Isto trata-se
de um efeito puramente nao linear, por esta razao tal comportamente nao foi previsto
pela equacao de fKdV linear.
Figura 1.6: A figura a esquerda mostra as ondas geradas no caso crıtico com Ω = −0.5 e
a figura a direita mostra o caso crıtico com Ω = 0.5.
39
Na figura 1.7 vemos uma comparacao entre as solucoes mostradas na figura 1.6
para um tempo fixado. E possivel ver que o numero de ondas geradas rio acima e maior
para o caso em que a correnteza e maior no fundo. Alem disso, quando a correnteza e mais
forte na superfıcie livre, vemos que o trem de ondas descendo rio abaixo se desloca mais
rapido. Para o trem de ondas subindo rio acima observamos que as ondas se deslocam
mais devagar. Isto ocorre pois neste caso, as ondas viajam em direcao oposta a correnteza.
-40 -20 0 20 40 60 80
x
-0.5
0
0.5
1
Figura 1.7: A figura mostra a evolucao da superfıcie livre no caso crıtico, no instante
τ = 30. Em vermelho Ω = 0.5 e em azul Ω = −0.5.
Para o caso supercrıtico, quando o caso ressonante aparece, observamos que a
amplitude da onda em ressonancia com a topografia aumenta no caso em que a velocidade
da correnteza e maior no fundo, alem disso as ondas se tornam mais ıngremes. Na figura
1.8 a esquerda vemos o caso em que a correnteza e maior no fundo e aumenta linearmente
a medida que se aproxima da superfıcie. A direita vemos o caso em que a correnteza e
menor no fundo e aumenta linearmente a medida que se aproxima da superfıcie livre.
Figura 1.8: A figura a esquerda mostra as ondas geradas no caso supercrıtico f = 0.75
com Ω = −0.5 e a figura a direita mostra o caso supercrıtico f = 0.75 com Ω = 0.5.
Na figura 1.9 vemos uma comparacao entre as solucoes mostradas na figura 1.8
para um tempo fixado. E possıvel observar que o trem de ondas descendo rio abaixo viaja
com uma velocidade maior quando a correnteza e maior na superfıcie do que quando a
correnteza e maior no fundo exatamente como previsto pela teoria linear. O efeito da nao
40
linearidade da equacao e observado sobre a amplitude das ondas geradas. Em particular,
em uma vizinhanca da topografia vemos que a amplitude da onda e maior no caso em que
a correnteza e maior no fundo.
-20 0 20 40 60 80 100 120
x
0
0.2
0.4
Figura 1.9: A figura mostra a evolucao da superfıcie livre no caso supercrıtico com f =
0.75, no instante τ = 30. Em vermelho Ω = 0.5 e em azul Ω = −0.5.
Por fim, no caso subcrıtico observamos um comportamento semelhante ao caso
crıtico. Para o caso em que a velocidade e maior no fundo, o numero de ondas geradas e
maior. Alem disso, o trem periodico descendo rio abaixo e mais ıngreme neste caso. Na
figura 1.10 a esquerda vemos o caso em que a velocidade da correnteza e maior no fundo
e a direita a velocidade e maior na superfıcie. No caso em que a velocidade e maior na
superfıcie vemos que o transiente viaja mais devagar. Desta forma, para obtermos uma
onda estacionaria a partir do transiente devemos considerar valores de f menores.
Figura 1.10: A figura a esquerda mostra as ondas geradas no caso subcrıtico f = −0.5
com Ω = −0.5 e a figura a direita mostra o caso subcrıtico f = −0.5 com Ω = 0.5.
Na figura 1.11 vemos uma comparacao entre as solucoes mostradas na figura 1.10
para um tempo fixado. E possıvel ver que o trem de ondas descendo rio abaixo viaja mais
rapido no caso em que a correnteza e mais forte na superfıcie, enquanto o transiente viaja
mais rapido no caso em que a correnteza e mais forte no fundo.
41
-20 -10 0 10 20 30 40
x
-0.5
0
0.5
Figura 1.11: A figura mostra a evolucao da superfıcie livre no caso subcrıtico com f =
−0.75, no instante τ = 5. Em vermelho Ω = 0.5 e em azul Ω = −0.5.
Concluımos que o efeito da vorticidade na equacao de fKdV nao altera as solucoes
qualitativamente. Para uma correnteza mais forte no fundo, observamos um numero maior
de ondas geradas descendo e subindo rio acima. Para o caso em que a correnteza e mais
forte na supefıcie, observamos que as ondas viajam para a direita mais rapido em acordo
com a teoria linear. A defasagem pode ser observada nas figuras 1.7, 1.9 e 1.11 . Alem
disso, a nao uniformidade da correnteza combinada com a nao linearidade do problema faz
com que as ondas geradas se tornem mais ıngremes. Por tratar-se de um modelo reduzido,
ao qual os efeitos de dispersao e nao linearidade estao em equilıbrio, a equacao de fKdV
nao captura a quebra de uma onda. No entanto, como sera mostrado nos proximos
capıtulos, a partir das equacoes de Euler poderemos capturar o momento em que essas
ondas ıngremes quebram.
42
Capıtulo 2
Equacoes de Euler na presenca de
uma pressao movel
2.1 O problema para uma distribuicao de pressao
movel
Neste capıtulo vamos considerar novamente as equacoes apresentadas no capıtulo
anterior para uma topografia plana. No entanto, vamos reformular as equacoes estudadas
anteriormente em termos da teoria do potencial. A motivacao para reformularmos o
problema esta no fato que a componente potencial da velocidade e uma funcao harmonica.
Desta forma, podemos usar a tecnica do mapeamento conforme para mapear o domınio
do fluido em uma faixa lisa. Consideremos novamente as equacoes de Euler em sua
forma vetorial com campo de velocidade−→U (x, y, t) = (u(x, y, t), v(x, y, t)). Neste caso as
equacoes de Euler sao:
−→U t + (
−→U · ∇)
−→U = −∇p
ρ− gj em − h0 < y < ζ(x, t),
∇ ·−→U = 0 em − h0 < y < ζ(x, t),
p = P (x) sobre y = ζ(x, t),
v = ζt + uζx sobre y = ζ(x, t),
v = 0 sobre y = −h0.
(2.1)
Neste capıtulo vamos supor que todas as variaveis dependentes (ζ, u, v, e p) das equacoes
acima sao suaves e ζ, u, v, p→ 0 quando |x| → ∞. Estamos interessados em estudar o pro-
blema para uma correnteza linear variando verticalmente. Desta forma vamos considerar
a seguinte decomposicao do campo de velocidade
−→U = ∇φ+ (ay + U0, 0), (2.2)
43
44
onde −a e a intensidade da vorticidade e U0 a velocidade da correnteza. A componente
potencial da velocidade e denotada por φ. A seguinte identidade vetorial e valida
(−→U · ∇)
−→U =
1
2∇(−→U ·−→U ) + (∇×
−→U )×
−→U .
Por outro lado temos−→U t = ∇φt,−→U ·−→U = (φx + ay + U0)2 + φ
2
y,
(∇×−→U )×
−→U = −a(−φy, φx)− a(0, ay + U0).
(2.3)
Seja ψ a conjugada harmonica da funcao φ entao
(∇×−→U )×
−→U = −a∇ψ − a∇
[1
2ay2 + U0y
]. (2.4)
Substituindo (2.4), (2.3) na primeira equacao em (2.1) obtemos:
∇[φt +
1
2(φ
2
x + φ2
y) + (ay + U0)φx +1
2(a2y2 + 2U0ay + U2
0 )
− 1
2a2y2 − aU0y − aψ
]= ∇
[− p
ρ− gy
].
Segue-se que
φt +1
2(φ
2
x + φ2
y) + (ay + U0)φx − aψ = −Pρ− gy +B(t).
Temos que B(t) e uma funcao dependente do tempo. Considerando a mudanca de variavel
φ→ φ+
∫ t
0
B(s)ds,
como apresentado em [28] obtemos
φt +1
2(φ
2
x + φ2
y) + (ay + U0)φx − aψ = −Pρ− gy.
Logo, sobre a superfıcie livre y = ζ(x, t) vale
φt +1
2(φ
2
x + φ2
y) + (aζ + U0)φx − aψ = −Pρ− gζ.
Desta forma as equacoes (2.1) podem ser reescritas na formulacao da teoria do potencial
∆φ = 0 em − h0 < y < ζ(x, t),
φy = 0 sobre y = −h0,
ζt + (U0 + aζ + φx)ζx = φy sobre y = ζ(x, t),
φt +1
2(φ
2
x + φ2
y) + (U0 + aζ)φx + gζ − aψ = −Pρ
sobre y = ζ(x, t).
(2.5)
Na seguinte secao vamos adimensionalisar estas equacoes e utilizar a tecnica do mapea-
mento conforme para mapear o domınio do fluido em uma faixa lisa.
45
2.2 O mapeamento conforme
Nesta secao vamos considerar o mapeamento conforme para as equacoes (2.5).
Para isso vamos inicialmente adimensionalisar as equacoes escolhendo h0, (gh0)1/2, (h0/g)1/2
e ρgh0 como as unidades de comprimento, velocidade, tempo e pressao respectivamente.
Observemos que a adimensionalizacao ulitizada nesta secao e diferente da apresentada no
capıtulo anterior. Esta escolha e feita de modo que o potencial φ em variaveis adimensio-
nais seja harmonico. Com estas escolhas temos as seguintes equacoes adimensionalisadas
∆φ = 0 em − 1 < y < ζ(x, t),
φy = 0 sobre y = −1,
ζt + (F + Ωζ + φx)ζx = φy sobre y = ζ(x, t),
φt +1
2(φ
2
x + φ2
y) + (F + Ωζ)φx + ζ − Ωψ = −P sobre y = ζ(x, t),
(2.6)
onde F = U0/(gh0)1/2 e o numero de Froude e Ω = ah0/(gh0)1/2. O termo −Ω e a
vorticidade adimensional. Vamos considerar o mapeamento conforme
z(ξ, η, t) = x(ξ, η, t) + iy(ξ, η, t),
satisfazendo as seguintes condicoes :
y(ξ, 0, t) = ζ(x(ξ, 0, t), t) e y(ξ,−D, t) = −1.
Temos que D e uma funcao que depende de t e sera determinada a posteriori.
Figura 2.1: Descricao do mapeamento conforme em um tempo t.
Observemos que a funcao z(ξ, η, t) = x(ξ, η, t) + iy(ξ, η, t) e analıtica. Assim, as
funcoes x(ξ, η, t), y(ξ, η, t) sao conjugadas harmonicas e satisfazem as relacoes de Cauchy-
Riemann xξ = yη e xη = −yξ. Portanto,
yξξ + yηη = 0 em −D < η < 0,
y = Y(ξ, t) sobre η = 0,
y = −1 sobre η = −D,
(2.7)
46
onde Y(ξ, t) e uma funcao que a priori nao conhecemos. Tomando a transformada de
Fourier na variavel ξ obtemos a seguinte solucao para o problema (2.7)
y(ξ, η, t) = F−1
[sinh(k(η +D))
sinh(kD)Y(k, t)
]+
1
Dη, (2.8)
onde F denota a transformada de Fourier e F−1 a sua inversa. Da relacao de Cauchy-
Riemann xξ = yη segue-se que
xξ(ξ, η, t) = F−1
[kcosh(k(η +D))
sinh(kD)Y(k, t)
]+
1
D. (2.9)
Agora consideremos φ(ξ, η, t) = φ(x(ξ, η, t), y(ξ, η, t), t) o potencial de velocidade
no domınio canonico e seu conjugado harmonico ψ(ξ, η, t) = ψ(x(ξ, η, t), y(ξ, η, t), t). Da
condicao de Neumann em (4.10) obtemos
φη(ξ, 0, t) = φxxη(ξ, 0, t) + φyyη(ξ, 0, t) = 0.
Alem disso, φ e uma funcao harmonica, portanto temos as seguintes equacoes para φ
φξξ + φηη = 0 em −D < η < 0,
φ = Φ(ξ, t) sobre η = 0,
φη = 0 sobre η = −D,
(2.10)
onde Φ(ξ, t) e uma funcao desconhecida. Da relacao de Cauchy-Riemann obtemos que
ψξ(ξ,−D, t) = φη(ξ,−D, t) = 0 e segue-se que ψ(ξ,−D, t) = Q, onde Q e uma funcao
que depende de t. Desta forma temos as seguintes equacoes para ψ
ψξξ + ψηη = 0 em −D < η < 0,
ψ = Ψ(ξ, t) sobre η = 0,
ψ = Q sobre η = −D.
(2.11)
Resolvendo as equacoes (2.10) e (2.11) obtemos
ψ(ξ, η, t) = F−1
[sinh(k(η +D))
sinh(kD)Ψ(k, t)
]− Q
Dη, (2.12)
φ(ξ, η, t) = F−1
[cosh(k(η +D))
cosh(kD)Φ(k, t)
]. (2.13)
Usando a relacao de Cauchy-Riemann −φη = ψξ nas equacoes (2.12) e (2.13) sobre η = 0
segue-se que
Φξ(ξ, t) = F−1
[− icoth(kD)Ψξ(k, t)
]. (2.14)
Das equacoes (2.9) e (2.14) obtemos
Xξ(ξ, t) =1
D− C[Yξ(ξ, t)],
Φξ(ξ, t) = −C[Ψξ(ξ, t)],(2.15)
47
onde X(ξ, t) = x(ξ, 0, t). O operador C[·] e definido da seguinte maneira: Para f(ξ)
definimos
C[f(ξ)] = C0[f(ξ)] + limk→0
icoth(kD)f(k), (2.16)
onde C0[·] = F−1HF [·] e o operador H e definido por:
H(k) =
icoth(kD) se k 6= 0,
0 se k = 0.
Em particular, para funcoes da forma fξ(ξ) temos
C[f(ξ)] = C0[fξ(ξ)]−f(0)
D.
Usando a regra da cadeia obtemos as seguintes relacoes
φξ = φxxξ + φyyξ,
φη = φxxη + φyyη,
φt = φt + φxxt + φyyt.
(2.17)
Usando as relacoes de Cauchy-Riemann
xξ = yη, xη = −yξ, φξ = ψη, φη = −ψξ,
as equacoes (2.17) podem ser reescritas apenas em termos da derivada parcial ∂ξ como
φξ = φxxξ + φyyξ,
ψξ = φxyξ − φyxξ,
φt = φt + φxxt + φyyt.
Invertendo as relacoes acima resulta
φx =1
x2ξ + y2
ξ
(φξxξ + ψξyξ),
φy =1
x2ξ + y2
ξ
(φξyξ − ψξxξ),
φt = φt −1
x2ξ + y2
ξ
(φξxξ + ψξyξ)xt −1
x2ξ + y2
ξ
(φξyξ − ψξxξ)yt.
Em particular, sobre a superfıcie livre η = 0 vale
φx =1
J(ΦξXξ + ΨξYξ),
φy =1
J(ΦξYξ −ΨξXξ),
φt = Φt −1
J(ΦξXξ + ΨξYξ)Xt −
1
J(ΦξYξ −ΨξXξ)Yt.
(2.18)
48
Por J = X2ξ + Y2
ξ denotamos o Jacobiano da transformacao avaliado na superfıcie livre
η = 0. Usando as equacoes (2.18) nas condicoes cinematica e de Bernoulli em (4.10)
resulta que
XξYt − YξXt = −Ψξ − (F + ΩY)Yξ,
Φt + Y +1
J
[− (XξXt + YξYt)Φξ + (XξYt − YξXt)Ψξ +
1
2(Φ2
ξ + Ψ2ξ)
]+
1
J(F + ΩY)(XξΦξ + YξΨξ)− ΩΨ = −P .
(2.19)
Observemos que os termos Xt e Yt em (2.19)1 estao acoplados. Para desacoplar esses
termos vamos encontrar outra equacao que estas funcoes devem satisfazer. Para isso,
consideremos a funcao analıtica
z(ξ, η, t) =xt + iytxξ + iyξ
=xtxξ + ytyξx2ξ + y2
ξ
+ iytxξ − xtyξx2ξ + y2
ξ
.
Definindo Γ(ξ, η, t) = Re(z) e Λ(ξ, η, t) = Im(z) temos Γ,Λ sao conjugadas harmonicas
onde, alem disso, vale (2.19). Desta forma temos o seguinte problema de Laplace para Λ:
Λξξ + Ληη = 0 em −D < η < 0,
Λ = −Θξ(ξ, t)
Jsobre η = 0,
Λ = 0 sobre η = −D,
com Θξ(ξ, t) = Ψξ + FYξ + ΩYYξ. Seja Γ0 a restricao de Γ a η = 0, isto e, Γ(ξ, 0, t) =
Γ0(ξ, t). Entao Γ deve satisfazer o seguinte problema de Laplace:
Γξξ + Γηη = 0 em −D < η < 0,
Γ = Γ0(ξ, t) sobre η = 0,
Γη = 0 sobre η = −D.
Procedendo como nos problemas (2.10) e (2.11) obtemos que
Γ0(ξ, t) = C[
Θξ(ξ, t)
J
].
Segue-se desta equacao e de (2.19)1 que em η = 0
XξYt − YξXt = −Θξ(ξ, t),
XξXt + YξYt = JC[
Θξ(ξ, t)
J
].
Reescrevendo o sistema como um sistema de evolucao obtemos
Xt = XξC[
Θξ(ξ, t)
J
]+ Yξ
Θξ(ξ, t)
J,
Yt = YξC[
Θξ(ξ, t)
J
]− Xξ
Θξ(ξ, t)
J.
(2.20)
49
Por fim podemos escrever o seguinte sistema na superficıe livre η = 0:
Xξ =1
D− C[Yξ],
Yt = YξC[
Θξ
J
]− Xξ
Θξ
J,
Φξ = −C[Ψξ],
Φt = −Y − 1
2J(Φ2
ξ −Ψ2ξ) + ΦξC
[Θξ
J
]− 1
J(F + ΩY)XξΦξ + ΩΨ− P (X).
(2.21)
Estas sao as equacoes de Euler no domınio canonico. Resta determinar D. Escolhemos
D de modo que a solucao nao seja esticada em X em relacao a variavel ξ. Para o caso
periodico isso significa que as funcoes possuem o mesmo perıodo tanto em X quanto em
ξ. Assim, sejam 2L(t) e 2λ(t), respectivamente, os comprimentos de onda no sistema de
coordenadas (ξ, η, t) e (X,Y, t), ou seja,
X(ξ = L(t), t)− X(ξ = −L(t), t) = 2λ(t).
Daı, ⟨Xξ(·, t)
⟩≡ 1
2L(t)
∫ L(t)
−L(t)
Xξ(ξ, t)dξ = 1. (2.22)
Observando que⟨Xξ(·, t)
⟩= Xξ(0, t) segue-se de (2.9) que
λ(t)
L(t)=
Y(0, t)
D(t)+
1
D(t)=
⟨Y(·, t)
⟩+ 1
D(t).
Portanto, para que os comprimentos do domınio fısico e canonico sejam os mesmos deve-
mos impor que
D(t) =⟨Y(·, t)
⟩+ 1. (2.23)
No que se segue, D sera considerado como acima.
Notemos que para resolver o sistema acima os dados iniciais Y(ξ, 0) e Φ(ξ, 0)
devem ser fornecidos. No entanto a equacao (2.21)4 nos mostra que e necessario conhecer
Ψ(ξ, 0). A seguir vamos mostrar como obter Ψ(ξ, t) a partir de Φ(ξ, t). Da equacao
(2.21)3, com k 6= 0, podemos escrever
Ψ(k, t) = itanh(kD)Φ(k, t).
Isto determina Ψ(k, t) para k 6= 0. Alem disso, de (2.21)3 vale
kcoth(kD)Ψ(k, t) = Φξ(k, t).
Fazendo k → 0 obtemos
Ψ(0, t) = DΦξ(0, t).
50
O que determina Ψ(k, t) a partir de Φ(k, t) para todo k. Em particular, determina Ψ(ξ, t).
Outro fato interessante das equacoes (2.21) e que precisamos calcular o limite
limk→0
icoth(kD)F[Θξ
J
](k, t).
Uma maneira de calcular esse limite e observar que Θξ(ξ, t) e J sao suaves e J 6= 0. Assim,
existe M(ξ, t) tal que
Mξ(ξ, t) =Θξ(ξ, t)
J.
Observe que a unicidade de M(·, t) nao e assegurada a menos que uma condicao inicial seja
fornecida. No entanto, uma escolha de⟨M(·, t)
⟩determina uma unica condicao inicial
e desta forma M(·, t) e unicamente determinada. A partir da equacao (2.20)1 podemos
determinar que condicao⟨M(·, t)
⟩deve satisfazer. Por definicao do operador C temos
Xt = XξC0
[Θξ(ξ, t)
J
]+ Yξ
Θξ(ξ, t)
J− Xξ(·, t)
⟨M(·, t)
⟩D
.
Tomando a media em ambos os lados da equacao acima resulta:
⟨Xt(·, t)
⟩=
⟨XξC0
[Θξ
J
]+ Yξ
Θξ
J
⟩(·, t)−
⟨Xξ(·, t)
⟩⟨M(·, t)⟩
D.
Segue-se daı que
⟨M(·, t)
⟩=
D⟨Xξ(·, t)
⟩⟨XξC0
[Θξ
J
]+ Yξ
Θξ
J
⟩(·, t)−D
⟨Xt(·, t)
⟩⟨Xξ(·, t)
⟩ .Esta condicao determina M(·, t) unicamente. Portanto,
limk→0
icoth(kD)F[Θξ
J
](k, t) = − 1⟨
Xξ(·, t)⟩⟨XξC0
[Θξ
J
]+ Yξ
Θξ
J
⟩(·, t) +
⟨Xt(·, t)
⟩⟨Xξ(·, t)
⟩ . (2.24)
Agora note que das equacao (2.21)1 e de (2.23) decorre que
X(ξ, t) = ξ − C0[Y].
Segue-se que⟨Xt(·, t)
⟩= 0. Usando este fato e (2.22) em (2.24) obtemos
limk→0
icoth(kD)F[Θξ
J
](k, t) = −
⟨XξC0
[Θξ
J
]+ Yξ
Θξ
J
⟩(·, t).
No capıtulo seguinte vamos propor um metodo numerico para a resolucao destas equacoes
na presenca de uma topografia. Por esta razao omitiremos resultados numericos neste
capıtulo com respeito as equacoes (2.21).
Capıtulo 3
Equacoes de Euler na presenca de
uma topografia variavel
3.1 O problema para um obstaculo com correnteza
Consideremos as equacoes de Euler em sua forma vetorial na presenca de uma dis-
tribuicao de pressao ao longo da superfıcie livre movendo-se com velocidade constante U0.
Neste capıtulo consideraremos tambem um obstaculo movendo-se com velocidade cons-
tante U0 em ressonancia com a distribuicao de pressao. Vamos reformular as equacoes
de Euler em termos da teoria do potencial. Desta forma podemos usar a tecnica do ma-
peamento conforme para mapear o domınio do fluido em uma faixa lisa. O mapeamento
conforme e feito achatando ambos, obstaculo e superfıcie livre, em uma faixa lisa. Consi-
deremos novamente as equacoes de Euler em sua forma vetorial com campo de velocidade−→U (x, y, t) = (u(x, y, t), v(x, y, t)). As equacoes de Euler que modelam este problema sao:
−→U t + (
−→U · ∇)
−→U = −∇p
ρ− gj em − h0 + h(x+ U0t) < y < ζ(x, t),
∇ ·−→U = 0 em − h0 + h(x+ U0t) < y < ζ(x, t),
p = P (x+ U0t) sobre y = ζ(x, t),
v = ζt + uζx sobre y = ζ(x, t),
v = ht + hxu sobre y = −h0 + h(x+ U0t).
(3.1)
Neste capıtulo assim como no capıtulo anterior vamos assumir que todas as funcoes
(ζ , u, v, h e p) nas equacoes acima sao suaves e ζ , u, v, h, p→ 0 quando |x| → ∞. Estamos
interessados em estudar o problema para uma correnteza linear variando verticalmente.
Vamos considerar o campo de velocidade da forma
−→U = ∇φ+ (ay, 0), (3.2)
51
52
onde −a e a intensidade da vorticidade. Substituindo (3.2) em (3.1) e procedendo analo-
gamente ao capıtulo anterior, obtemos
∆φ = 0 em − h0 + h(x+ U0t) < y < ζ(x, t),
(U0 − ah0)hx + ahhx + φxhx = φy sobre y = −h0 + h(x+ U0t),
ζt + (aζ + φx)ζx − φy = 0 sobre y = ζ(x, t),
φt +1
2(φ2
x + φ2y) + aζφx + ζ − aψ = −P (x+ U0t)
ρsobre y = ζ(x, t).
(3.3)
Uma outra maneira de estudar o problema e considerar que a pressao e o obstactulo sao
estacionarios e considerar uma correnteza com velocidade constante U0 nas equacoes em
(3.3). Para tal, vamos considerar uma mudanca de variaveis x→ x+ U0t e
ζ(x− U0t, t) = ζ(x, t), φ(x− U0t, y, t) = φ(x, y, t).
Substituindo em (3.3) resulta
∆φ = 0 em − h0 + h(x) < y < ζ(x, t),
(U0 − ah0)hx + ahhx + φxhx = φy sobre y = −h0 + h(x),
ζt + (U0 + aζ + φx)ζx − φy = 0 sobre y = ζ(x, t),
φt +1
2(φ
2
x + φ2
y) + (U0 + aζ)φx + ζ − aψ = −P (x)
ρsobre y = ζ(x, t).
(3.4)
Note que neste referencial a topografia e a pressao sao estacionarios. Na seguinte secao
vamos adimensionalisar estas equacoes e utilizar a tecnica do mapeamento conforme para
mapear o domınio do fluido em uma faixa lisa.
3.2 O mapeamento conforme duplo
Nesta secao vamos considerar o mapeamento conforme para as equacoes (3.4). O
mapeamento sera feito de modo que a superfıcie livre ζ e a topografia h sao achatados
de uma unica vez. Para isso vamos inicialmente adimensionalisar as equacoes escolhendo,
h0, (gh0)1/2, (h0/g)1/2 e ρgh0 como as unidades de comprimento tanto em x como em y,
velocidade, tempo e pressao respectivamente. Com estas escolhas obtemos as seguintes
equacoes adimensionalisadas
∆φ = 0 em − 1 + h(x) < y < ζ(x, t),
(F − Ω)hx + Ωhhx + φxhx = φy sobre y = −1 + h(x),
ζt + (F + Ωζ + φx)ζx − φy = 0 sobre y = ζ(x, t),
φt +1
2(φ
2
x + φ2
y) + (F + Ωζ)φx + ζ − Ωψ = −P (x) sobre y = ζ(x, t).
(3.5)
53
Lembramos que F = U0/(gh0)1/2 e o numero de Froude e Ω = ah0/(gh0)1/2. O termo −Ω
e a vorticidade adimensional. Vamos considerar o mapeamento conforme
z(ξ, η, t) = x(ξ, η, t) + iy(ξ, η, t),
satisfazendo as seguintes condicoes
y(ξ, 0, t) = ζ(x(ξ, 0, t), t) e y(ξ,−D, t) = −1 +H(ξ, t).
Onde H(ξ, t) = h(x(ξ,−D, t)) e D uma funcao que depende de t. Novamente a funcao
D sera determinada a posteriori.
Figura 3.1: Descricao do mapeamento conforme duplo para um tempo t.
Sejam φ = φ(ξ, η, t) a componente potencial da velocidade e ψ = ψ(ξ, η, t) seu
conjugado harmonico no domınio canonico. Denotemos por Φ(ξ, t) e Ψ(ξ, t) o potencial
de velocidade e seu conjugado harmonico avaliados na superfıcie livre η = 0. Por X(ξ, t),
Y(ξ, t) denotamos as coordenadas horizontal e vertical, respectivamente no domıno fısico
avaliadas na superfıcie livre η = 0. Substituindo essas variaveis nas condicoes de Bernoulli
e cinematica em (3.5) e procedendo analogamente ao capıtulo anterior, produzimos
Yt = YξC[
Θξ
J
]− Xξ
Θξ
J,
Φt = −Y − 1
2J(Φ2
ξ −Ψ2ξ) + ΦξC
[Θξ
J
]− 1
J(F + ΩY)XξΦξ + ΩΨ− P (X),
(3.6)
onde Θξ(ξ, t) = Ψξ + FYξ + ΩYYξ. Note que as condicoes cinematica e de Bernoulli no
domınio canonico sao as mesmas que no caso onde a topografia e plana. Por outro lado, as
funcoes y, φ, ψ sao harmonicas logo, satisfazem problemas de Laplace. A funcao y(ξ, η, t)
satisfaz o seguinte problema:
yξξ + yηη = 0 em −D < η < 0,
y = Y(ξ, t), η = 0,
y = −1 +H, η = −D,
54
onde as condicoes de fronteira sao devidas ao mapeamento conforme. Para o potencial
φ(ξ, η, t) temos o seguinte problema de Laplace:
φξξ + φηη = 0 em −D < η < 0,
φ = Φ(ξ, t), η = 0,
φη = (F − Ω)Hξ + ΩHHξ, η = −D,
onde a condicao no fundo (η = −D) e devida a condicao de Neumann no domınio fısico.
Usando a relacao de Cauchy no fundo η = −D, obtemos que a conjugada harmonica
ψ(ξ, η, t) satisfaz:
ψξξ + ψηη = 0 em −D < η < 0,
ψ = Ψ(ξ, t), η = 0,
ψ = −(F − Ω)H − Ω
2H2 +Q, η = −D.
Q e uma funcao que depende de t. Usando que os problemas acima sao lineares, podemos
escrever as solucoes em termos da transformada de Fourier:
y(ξ, η, t) = F−1
[(Y − H
cosh(kD)
)sinh(k(D + η))
sinh(kD)+
H
cosh(kD)cosh(kη)
]+η
D,
φ(ξ, η, t) = F−1
[cosh(k(D + η))
cosh(kD)Φ +
i(F − Ω)H + iΩ2H2
cosh(kD)sinh(kη)
],
ψ(ξ, η, t) = F−1
[(Ψ +
(F − Ω)H + Ω2H2
cosh(kD)
)sinh(k(D + η))
sinh(kD)
−(F − Ω)H + Ω
2H2
cosh(kD)cosh(kη)
]− Q
Dη.
(3.7)
Usando as relacoes de Cauchy-Riemann xξ = yη, φη = −ψξ nas equacoes (3.7) sobre η = 0
obtemos
Xξ(ξ, t) =1
D+ F−1
[− icoth(kD)
(Yξ(k, t)−
Hξ(k, t)
cosh(kD)
)],
Φξ(ξ, t) = F−1
[− icoth(kD)
(Ψξ(k, t) +
(F − Ω)Hξ(k, t) + Ω2∂ξH2(k, t)
cosh(kD)
)].
(3.8)
Sobre o fundo η = −D temos
xξ(ξ,−D, t) =1
D− C
[F−1
(Yξ
cosh(kD)− Hξ
cosh2(kD)
)]+ T
[Hξ
], (3.9)
onde
T[Hξ
]= F−1itanh(kD)F
[Hξ
].
Agora notemos que da equacao (3.8)1 obtemos que⟨Xξ(·, t)
⟩=
1 +⟨Y(·, t)
⟩−⟨H(·, t)
⟩D
.
55
Como no capıtulo anterior impusemos que o mapeamento conforme preservasse compri-
mento. No caso periodico isto e equivalente a impor que o perıodo das funcoes nos
domınios fısico e canonico sejam iguais. Desta forma, impondo essas condicoes devemos
tomar D como
D = 1 +⟨Y(·, t)
⟩−⟨H(·, t)
⟩. (3.10)
A partir de agora D sera considerado como em (3.10). Das equacoes (3.6) e (3.8) segue-se
que as equacoes de Euler no domınio canonico sao
Xξ =1
D− C
[Yξ −F−1
(Hξ(k, t)
cosh(kD)
)],
Φξ = −C[Ψξ(ξ, t) + F−1
((F − Ω)Hξ(k, t) + Ω
2∂ξH2(k, t)
cosh(kD)
)],
Yt = YξC[
Θξ
J
]− Xξ
Θξ
J,
Φt = −Y − 1
2J(Φ2
ξ −Ψ2ξ) + ΦξC
[Θξ
J
]− 1
J(F + ΩY)XξΦξ + ΩΨ− P (X).
(3.11)
Alem disso, de (3.9) e da definicao do operador C temos ainda as equacoes
H(ξ, t) = h(Xb(ξ, t)),
Xb(ξ, t) = ξ − C0
[F−1
(Y
cosh(kD)− H
cosh2(kD)
)]+ T
[H].
(3.12)
Vale observar que as equacoes (3.11)-(3.12) sao compatıveis com as equacoes (2.21) no caso
em que a topografia e plana (hx = 0). Assim como no caso em que a topografia e plana,
para resolver o sistema acima os dados iniciais Y(ξ, 0) e Φ(ξ, 0) devem ser fornecidos. No
entanto, a equacao (3.11)4 nos mostra que e necessario conhecer Ψ(ξ, 0). A seguir vamos
mostrar como obter Ψ(ξ, t) a partir de Φ(ξ, t). Da equacao (3.11)2 para k 6= 0 podemos
escrever
Ψ(k, t) = itanh(kD)Φ(k, t)−(F − Ω)H(k, t) + Ω
2H2(k, t)
cosh(kD).
Isto determina Ψ(k, t) para k 6= 0. Alem disso, de (3.11)2 vale
kcoth(kD)Ψ(k, t) = Φξ(k, t)−(F − Ω)H(k, t) + Ω
2H2(k, t)
cosh(kD)kcoth(kD).
Fazendo k → 0 obtemos
Ψ(0, t) = DΦξ(0, t)− (F − Ω)H(0, t) +Ω
2H2(0, t).
O que determina Ψ(k, t) a partir de Φ(k, t) para todo k. Em particular, determina Ψ(ξ, t).
De maneira analoga apresentada no capıtulo anterior obtemos
limk→0
icoth(kD)F[Θξ
J
](k, t) = −
⟨XξC0
[Θξ
J
]+ Yξ
Θξ
J
⟩(·, t).
56
Na secao seguinte um metodo numerico sera discutido para resolver as equacoes (3.11)-
(3.12).
3.3 Metodo numerico para as equacoes de Euler
Consideremos as equacoes de Euler (3.11)-(3.12) no domınio canonico. Para re-
solvermos estas equacoes numericamente usaremos um metodo pseudospectral. Vamos
discretizar os intervalos ξ ∈ [−L,L] e t ∈ [0, T ], onde L, T sao constantes positivas. As
malhas serao tomadas com pontos igualmente espacados
ξn = −L+ (n− 1)∆ξ, n = 1, 2, ..., Nξ = 2J onde ∆ξ =2L
Nξ
, J ∈ N,
e
tm = (m− 1)∆t, m = 1, 2, ...,M onde ∆t =T
M, M ∈ N.
As derivadas em ξ e o operador C serao computados espectralmente atraves da transfor-
mada discreta de Fourier (TDF) na variavel ξ. A fim de aumentarmos a velocidade das
operacoes aritmeticas, devemos considerar o numero de pontos na malha espacial da forma
2J com J ∈ N. As equacoes em (3.12) mostram que Xb(ξ, t) e H(ξ, t) estao relacionados
implicitamente. Para ultilizarmos o metodo de Runge-Kutta, o termo H(ξ, tm) deve ser
conhecido a priori, por esta razao usaremos um metodo iterativo para computa-lo. O
metodo iterativo para calcular o termo H(ξ, tm) e dado por:
Xlb(ξ, tm) = ξ − C0
[F−1
(Y(k, tm)
cosh(kD)− H l(k, tm)
cosh2(kD)
)]+ T
[H l(ξ, tm)
],
H l+1(ξ, tm) = h(Xlb(ξ, tm)).
(3.13)
O metodo iterativo e calculado a cada passo no tempo ∆t, com o criterio de parada
maxξ∈[−L,L]
|H l+1(ξ, tm) − H l(ξ, tm)| < 10−16. A validacao deste metodo numerico sera feita
na seguinte secao.
57
3.4 Validacao do metodo numerico
3.4.1 O problema linear
As equacoes (3.5) sao linearizadas assumindo que a superfıcie livre ζ possui am-
plitude pequena, isto e, ζ ≈ 0 e que a velocidade de deslocamento do fluido e pequena,
isto e, |∇φ| ≈ 0. Com essas hipoteses as equacoes (3.5) se tornam:
∆φ = 0 em − 1 + h(x) < y < 0,
(F − Ω)hx + Ωhhx + φxhx = φy sobre y = −1 + h(x),
ζt + Fζx = φy sobre y = 0,
φt + Fφx + ζ − Ωψ = −P (x) sobre y = 0.
(3.14)
Diferentemente dos capıtulos 2,3 o mapeamento conforme que vamos considerar e inde-
pendente do tempo. O mapeamento conforme e definido da seguinte maneira
z(ξ, η) = x(ξ, η) + iy(ξ, η),
satisfazendo as seguintes condicoes:
y(ξ, 0) = 0 e y(ξ,−D) = −1 +H(ξ).
Onde H(ξ) = h(x(ξ,−D)) e D e uma constante a ser determinda a posteriori.
Figura 3.2: Descricao do mapeamento conforme.
Sejam φ = φ(ξ, η, t) a componente potencial do campo de velocidade e ψ =
ψ(ξ, η, t) seu conjugado harmonico no domınio canonico. Denotemos por Φ(ξ, t) e Ψ(ξ, t)
o potencial de velocidade e seu conjugado harmonico avaliados na superfıcie livre η = 0
e por x(ξ, 0) = X(ξ) a coordenada horizontal no domıno fısico avaliada na superfıcie
livre η = 0. Desta forma o Jacobiano na superıcie livre e dado por J(ξ) = M(ξ)2, onde
58
M(ξ) ≡ Xξ. Por outro lado, as funcoes y, φ, ψ sao harmonicas e satisfazem os seguintes
problemas de Laplace:
yξξ + yηη = 0 em −D < η < 0,
y = 0, η = 0,
y = −1 +H, η = −D,
φξξ + φηη = 0 em −D < η < 0,
φ = Φ(ξ, t), η = 0,
φη = (F − Ω)Hξ + ΩHHξ, η = −D,
e
ψξξ + ψηη = 0 em −D < η < 0,
ψ = Ψ(ξ, t), η = 0,
ψ = −(F − Ω)H − Ω
2H2 +Q, η = −D,
onde Q e uma funcao que depende de t. Usando a Transformada de Fourier podemos
expressar as solucoes dos problemas acima como:
y(ξ, η) = F−1
[cosh(kη)
cosh(kD)H −
(H
cosh(kD)
)sinh(k(D + η))
sinh(kD)
]+η
D,
φ(ξ, η, t) = F−1
[cosh(k(D + η))
cosh(kD)Φ +
i(F − Ω)H + iΩ2H2
cosh(kD)sinh(kη)
],
ψ(ξ, η, t) = F−1
[(Ψ +
(F − Ω)H + Ω2H2
cosh(kD)
)sinh(k(D + η))
sinh(kD)
−(F − Ω)H + Ω
2H2
cosh(kD)cosh(kη)
]− Q
Dη.
(3.15)
Usando as relacoes de Cauchy-Riemann xξ = yη, φη = −ψξ sobre η = 0 nas equacoes
(3.15) obtemos
Xξ =1− H(0)
D+ F−1
[icoth(kD)
(Hξ(k)
cosh(kD)
)],
Φξ = F−1
[− icoth(kD)
(Ψξ(k, t) +
(F − Ω)Hξ(k) + Ω2∂ξH2(k)
cosh(kD)
)],
(3.16)
e sobre o fundo η = −D temos
xξ(ξ,−D, t) =1
D+ C[F−1
(Hξ
cosh2(kD)
)]+ T
[Hξ
]. (3.17)
Agora notemos que da equacao (3.16)1 vale a seguinte equacao para as medias⟨Xξ
⟩=
1−⟨H⟩
D.
59
Para que tenhamos⟨Xξ
⟩= 1, D deve ser tomado como D = 1−
⟨H⟩.
Da equacao (3.14) a condicao cinematica linearizada pode ser reescrita como:
D
Dt
(ζ(x, t)− y
)= 0, onde
D
Dt≡ ∂t + F∂x + φy∂y.
No sistema de coordenadas canonico a posicao da superfıcie ζ e descrita por N(ξ, t), isto e,
ζ(X(ξ), t) = y(ξ,N(ξ, t)). Alem disso, N e uma superfıcie material no domınio canonico,
daı usando que ∂ξ = M(ξ)∂x e ∂η = M(ξ)∂y obtemos
DDt(N(ξ, t)− η
)= 0, onde
DDt≡ ∂t +
F
M(ξ)∂ξ +
φηM(ξ)
∂η.
Reescrevendo as condicoes cinematica e de Bernoulli de (3.14) no domınio canonico resulta
Nt +F
M(ξ)Nξ =
φηM(ξ)
sobre η = 0,
φt +F
M(ξ)φξ + ζ − Ωψ = −P (X) sobre η = 0.
(3.18)
Como supomos ζ ≈ 0, segue-se que N ≈ 0. Daı, usando a serie de Taylor em torno de
η = 0 em y(ξ,N(ξ, t)) produzimos:
ζ(X(ξ), t) = y(ξ,N(ξ, t)) = y(ξ, 0) + yη(ξ, 0)N(ξ, t) = M(ξ)N(ξ, t) +O(N2). (3.19)
Portanto, das equacoes (3.16)-(3.19) segue-se que as equacoes lineares de Euler no domınio
canonico sao:
Xξ =1
D+ C[F−1
(Hξ
cosh(kD)
)],
Φξ = −C[(
Ψξ + F−1
((F − Ω)Hξ + Ω
2∂ξH2
cosh(kD)
))],
Nt = − F
M(ξ)Nξ −
Ψξ
M(ξ),
Φt = −M(ξ)N − F
M(ξ)Φξ + ΩΨ− P (X),
(3.20)
onde
H(ξ) = h(Xb(ξ)),
Xb(ξ) = ξ + C0
[F−1
(H
cosh2(kD)
)]+ T
[H].
(3.21)
O metodo numerico ultilizado para resolver essas equacoes sera o mesmo que foi apresen-
tado no capıtulo 3. Contudo nao ha necessidade de calcular H(ξ) a cada passo no tempo
como em (3.13).
60
3.4.2 Validacao do metodo numerico para o problema linear
Escolhas de metodos numericos capazes de modelar propagacao de ondas sobre
uma topografia variavel vem sendo estudados por exemplo, para modelos reduzidos como
as equacoes de fKdV e Boussineq [13] e [2]. Em [2], Nachbin construiu um mapeamento
conforme achatando a topografia. Diferentemente do metodo numerico apresentado nesta
tese, Nachbin ultilizou o Schwarz-Cristoffel toolbox (ver Driscoll [?]) para computar o
mapeamento conforme numericamente.
O objetivo desta secao e comparar as solucoes de (3.14) com Ω = 0 e P = 0
usando o metodo numerico descrito neste capıtulo com o metodo ao qual o mapeamento
conforme e calculado usando o Schwarz-Cristoffel toolbox apresentado por Nachbin. Em
ambos os metodos a evolucao no tempo e calculada a partir do metodo de Runge-Kutta
de quarta ordem. Para nossas simulacoes vamos considerar os seguintes parametros:
• O passo na malha espacial e ∆ξ = 0.1.
• O numero de pontos igualmente espacados e Nξ = 211.
• O potencial de velocidade e o perfil da onda inicial sao nulos.
• A topografia no domınio fısico e h(x) = Ae−0.01x2 .
• O passo na malha temporal e ∆t = 0.01.
E importante observar que o mapeamento conforme nao depende da correnteza.
Desta forma, o parametro que controla o erro do mapeamento conforme e a amplitude da
topografia. Variando o parametro A, foram observados que erros absolutos sao de pelo
menos ordem 10−4 e os erros relativos sao pelo menos de ordem 10−3 para as superfıcies
livres computadas pelos dois metodos numericos diferentes.
A figura 3.3 mostra uma comparacao entre os Jacobianos calculados a partir
do metodo numerico proposto e usando o Schwarz-Cristoffel toolbox. Neste caso em
particular observamos que o erro relativo e absoluto foram de ordem 10−3. No entanto, a
amplitude da topografia foi considerada como 50% da profundidade. Como veremos, em
termos do problema nao linear, uma topografia de amplitude de tamanho correspondente
a 10% da profundidade faz com que as ondas geradas quebrem. Assim, o metodo se
mostra eficaz para nosso tipo de problema. Alem disso, o metodo se mostrou mais rapido
que o metodo usando o Schwarz-Cristoffel toolbox. Uma deficiencia do Schwarz-Cristoffel
toolbox e que o calculo computacional do mapeamento conforme se torna lento a medida
61
que aumentamos o numero de pontos na malha espacial. Como o problema envolve
uma correnteza, a derivada de h deve ser calculada. Assim, o numero de pontos na
malha espacial para representar a topografia deve ser maior. Por esta razao o calculo
computacional se torna lento. Para o problema nao linear o mapeamento conforme deve
ser computado a cada passo no tempo. Portanto, o uso de Schwarz-Cristoffel toolbox se
torna inviavel. Logo, para mapeamentos conformes que dependem do tempo este metodo
se mostra mais vantajoso.
-60 -40 -20 0 20 40 60
0.2
0.4
0.6
0.8
-60 -40 -20 0 20 40 60
-1
-0.5
0
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.1415
0.142
0.1425
0.143
0.1435
0.144
Figura 3.3: A figura mostra uma comparacao entre os Jacobianos avaliados na superfıcie
livre para uma topografia de amplitude A = 0.5. Em azul (linha solida) o Jacobiano foi
computado pelo metodo iterativo e em vermelho (linha tracejada) atraves do Schwarz-
Cristoffel toolbox. A figura mais abaixo e um detalhe da superior
Nas simulacoes abaixo consideramos amplitudes 0 ≤ A ≤ 0.2 e numeros de Froude
0 ≤ F ≤ 0.75 e 1.25 ≤ F ≤ 1.75. As figuras 3.4 e 3.5 mostram que no caso supercrıtico
62
duas ondas sao geradas. Uma onda de elevacao em ressonancia com a topografia e uma
onda de depressao viajando no sentido da correnteza. Comparando ambas as figuras e
possıvel observar que a amplitude das ondas geradas aumenta a medida que aumentamos
a amplitude da topografia. Este tipo de comportamento foi previsto no modelo mais
simples obtido em (3).
-60 -40 -20 0 20 40 60
-0.2
0
0.2
-60 -40 -20 0 20 40 60
-1
-0.5
0
Figura 3.4: A figura mostra a evolucao da superfıcie livre para diferentes valores de t
com F = 1.25 e A = 0.1. Em azul (linha com quadrados) t = 50, em vermelho (linha
tracejada) t = 100 e em preto (linha solida) t = 220.
-60 -40 -20 0 20 40 60-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
-60 -40 -20 0 20 40 60
-1
-0.5
0
Figura 3.5: A figura mostra a evolucao da superfıcie livre para diferentes valores de t
com F = 1.25 e A = 0.2. Em azul (linha com quadrados) t = 40, em vermelho (linha
tracejada) t = 100 e em preto (linha solida) t = 220.
63
A figura 3.6 mostra que no caso subcrıtico duas ondas sao geradas. Uma de
depressao que entra em ressonancia com a topografia e uma de elevacao que viaja no
sentido contrario da correnteza. Isto ocorre pois a correnteza nao e forte o suficiente para
arrastar a onda em seu favor. Este fenomeno tambem foi observado no modelo (3) (pagina
11).
-60 -40 -20 0 20 40 60
-0.1
0
0.1
-60 -40 -20 0 20 40 60
-1
-0.5
0
Figura 3.6: A figura mostra a evolucao da superfıcie livre para diferentes valores de t
com F = 0.75 e A = 0.1. Em azul (linha com quadrados) t = 50, em vermelho (linha
tracejada) t = 100 e em preto (linha solida) t = 180.
-60 -40 -20 0 20 40 60-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
-60 -40 -20 0 20 40 60
-1
-0.5
0
Figura 3.7: A figura mostra a evolucao da superfıcie livre para diferentes valores de t
com F = 0.75 e A = 0.2. Em azul (linha com quadrados) t = 40, em vermelho (linha
tracejada) t = 170 e em preto (linha solida) t = 220.
64
A figura 3.7 mostra que quando aumentamos a amplitude da topografia, ondas
passam a ser geradas rio acima. Este tipo de comportamento nao pode ser observado a
partir das equacoes (3) (pagina 11). No entanto, este fenomeno foi observado na equacao
de fKdV para o caso subcrıtico. Na seguinte secao usaremos a equacao de fKdV obtida
no capıtulo 1 para validar o metodo numerico no regime de aguas rasas (ondas longas) e
fracamente nao linear.
65
3.4.3 O problema fracamente nao linear
A equacao de fKdV deduzida em (1.17) mostra que os efeitos da pressao e da
topografia sao os mesmos. Nesta secao vamos fazer uma breve comparacao utilizando as
equacoes de Euler. No capıtulo 1 vimos que os efeitos da vorticidade sobre a equacao
de fKdV nao alteram a solucao qualitativamente. Por esta razao vamos nos limitar a
mostrar apenas o caso irrotacional. No entanto, adicionando a vorticidade ao problema
os resultados foram validados da mesma forma.
Observamos uma diferenca na velocidade de fase das ondas geradas. Isto pode
ser observado atraves da relacao de dispersao dos dois modelos linearizados. Na ausencia
de vorticidade a equacao de fKdV deduzida em (1.17) e dada por:
ζτ + fζx −3
2ζζx −
1
6ζxxx =
1
2hx(x).
Desta forma para uma topografia plana o problema linearizado e
ζτ + fζx −1
6ζxxx = 0. (3.22)
Procurando solucoes de (3.22) da forma ζ(x, τ) = Aei(kx−ωKτ) obtemos a seguinte relacao
de dispersao:
ωK(k) = fk +1
6k3.
Assim, a velocidade de propagacao de uma onda linear de comprimento λ = 2π/k e
cK(k) = f +1
6k2. (3.23)
Por outro lado, para as equacoes de Euler (3.14) na ausencia de vorticidade, pressao e com
uma topografia plana a velocidade de propagacao de uma onda linear de comprimento
λ = 2π/k e:
c±E(k) = F ±√tanh(k)
k.
Em particular, para ondas longas, k 1 temos
c±E(k) = F ±(
1− 1
6k2 +
1
15k4 +O(k6)
). (3.24)
Logo, para F = 1+f segue-se das equacoes (3.23) e (3.24) que para ondas longas (k 1)
c−E ≈ cK e que para ondas curtas cK ≥ c−E.
A equacao de fKdV foi obtida em um regime de aguas rasas e amplitude fraca.
No entanto as equacoes de Euler (3.5) foram obtidas a partir de outro escalonamento. A
fim de fazer uma comparacao entre as solucoes destas equacoes sejam xK e τ as variaveis
adimensionais de comprimento e tempo, ζK a superfıcie livre e hK a topografia para a
equacao de fKdV. Denotemos por xE e tE as variaveis adimensionais de comprimento,
66
tempo, ζE a superfıcie livre e hE a topografia para a equacoes de Euler. Desta forma
temos que
xE = ε1/2xK , tE = ε−3/2τ, ζE = ε−1ζK , hE = ε2hK . (3.25)
Agora vamos fazer um estudo comparando essas duas equacoes usando os metodos numericos
discutidos nos capıtulos 1 e 3. Para nossas simulacoes vamos considerar os seguintes
parametros para a equacao de fKdV:
• O passo na malha espacial e ∆xK = 0.1.
• O numero de pontos igualmente espacados e NxK = 214.
• O perfil da onda incial sao nulos.
• A topografia e hK(xK) =e−x
2K
√π
.
• O passo na malha temporal e ∆τ = 0.01.
Os parametros considerados para as equacoes de Euler sao:
• O passo na malha espacial do domınio canonico e ∆ξ = 0.1.
• O numero de pontos igualmente espacados e Nξ = 214.
• O potencial de velocidade e o perfil da onda incial sao nulos.
• A topografia no domınio fısico e hE(xE) =ε2e−εx
2E
√π
.
• O passo na malha temporal e ∆tE = 0.01.
• O numero de Froude e F = 1 + εf .
As figuras abaixo mostram uma comparacao entre as solucoes obtidas pela equacao
de fKdV e Euler para diferentes valores do numero de Froude. Vemos que a solucao das
equacoes de Euler convergem para a solucao da equacao de fKdV. Alem disso, a con-
vergencia nao depende do numero de Froude. E importante observar que a equacao de
fKdV foi obtida em um regime ao qual a amplitude da topografia e de ordem ε2. Na
figura 3.8, vemos uma comparacao entre a solucao de fKdV com a solucao de Euler no
67
caso crıtico. E possıvel observar que as ondas descendo rio abaixo viajam mais rapido
para a equacao de fKdV. Isto deve-se a relacao de dispersao das equacoes. No entanto,
a amplitude das ondas de Euler sao maiores. Isto ocorre porque apesar das equacoes de
Euler estarem no regime de fKdV elas contem uma nao linearidade maior.
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
x
-0.5
0
0.5
1
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
x
-0.5
0
0.5
1
Figura 3.8: As figuras mostram a evolucao da superfıcie livre no caso crıtico, f = 0 nos
tempos valores de τ = 30, 60 e ε = 0.1. Em vermelho a solucao foi obtida a partir da
equacao de fKdV e em azul a partir das equacoes de Euler.
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
x
0
0.2
0.4
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
x
0
0.2
0.4
Figura 3.9: As figuras mostram a evolucao da superfıcie livre no caso supercrıtico, f = 0.75
nos tempos valores de τ = 15, 30 e ε = 0.1. Em vermelho a solucao foi obtida a partir da
equacao de fKdV e em azul a partir das equacoes de Euler.
Na figura 3.9 vemos uma comparacao entre a solucao de fKdV com a solucao
68
de Euler no caso supercrıtico. E possıvel observar uma onda de amplitude maior em
ressonancia com a topografia e ondas descendo rio abaixo. Como no caso crıtico, as ondas
viajam mais rapido para a equacao de fKdV e a amplitude das ondas de Euler sao maiores.
Na figura 3.10 vemos uma comparacao entre a solucao de fKdV com a solucao de Euler
no caso subcrıtico. A analise neste caso e analoga aos casos anteriores.
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
x
-0.5
0
0.5
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
x
-0.5
0
0.5
Figura 3.10: As figuras mostram a evolucao da superfıcie livre no caso subrcrıtico, f =
−0.5 nos tempos valores de τ = 15, 30 e ε = 0.1. Em vermelho a solucao foi obtida a
partir da equacao de fKdV e em azul a partir das equacoes de Euler.
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
x
-0.5
0
0.5
1
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
x
-0.5
0
0.5
1
Figura 3.11: As figuras mostram a evolucao da superfıcie livre no caso crıtico, f = 0 nos
tempos valores de τ = 30, 60 e ε = 0.05. Em vermelho a solucao foi obtida a partir da
equacao de fKdV e em azul a partir das equacoes de Euler.
69
Na figura 3.11, vemos uma comparacao entre a solucao de fKdV com a solucao de
Euler no caso crıtico. E possıvel observar que a defasagem entre as solucoes e menor neste
caso. A medida que ε→ 0, a aproximacao entre as solucoes melhora isso se deve ao fato
que a fKdV foi obtida a partir de uma analise assintotica de operadores diferenciais. No
entanto, fisicamente podemos pensar que a aproximacao melhora pois a medida que ε→ 0
o comprimento da topografia aumenta. Desta maneira ondas de comprimentos maiores
sao geradas. Assim, a diferenca de fase entre as solucoes diminui. Isto valida o metodo
para o problema nao linear. Na proxima secao vamos ultilizar este metodo numerico para
estudar o que acontece com as solucoes quando aumentamos a amplitude da topografia e
mantemos o numero de Froude proximo de 1.
70
3.5 Os efeitos da amplitude da topografia
Nesta secao vamos analisar a dinamica da superfıcie para as equacoes de Euler a
medida que aumentamos a amplitude da topografia assim como a intensidade da pressao.
Em [22], Grimshaw e Smyth consideraram uma distribuicao de pressao movendo-se com
velocidade constante sobre a superfıcie livre para as equacoes de Euler. Nesta secao o
estudo sera feito como em [22]. Contudo elementos como topografia e vorticidade serao
agregados ao problema.
Para nossas simulacoes vamos considerar os seguintes parametros para as equacoes
de Euler:
• O passo na malha espacial e ∆ξ = 0.1.
• O numero de pontos igualmente espacados e Nξ = 214.
• O potencial de velocidade e o perfil da onda incial sao nulos.
• A topografia no domınio fısico e h(x) = Ae−0.1x2 .
• A pressao no domınio fısico e P (x) = Be−0.1x2 .
• O passo na malha temporal e ∆t = 0.01.
Para a equacao de fKdV vamos considerar os seguintes parametros:
• O passo na malha espacial e ∆x = 0.1.
• O numero de pontos igualmente espacados e Nx = 214.
• O potencial de velocidade e o perfil da onda incial sao nulos.
• A topografia no domınio fısico e h(x) = e−0.1x2 .
• O passo na malha temporal e ∆τ = 0.01.
• A vorticidade, Ω e o numero de Froude, F sao relacionados em (1.19).
71
A figura 3.12 mostra uma comparacao entre as ondas geradas pela a equacao
de fKdV e Euler para F = 0.8. A equacao de fKdV produz um trem de ondas suave
descendo rio abaixo com um transiente subindo rio acima. Para o modelo de Euler vemos
a formacao de transiente e um trem de ondas ıngremes descendo rio abaixo. O que gera
uma perda de regularidade da solucao. Neste caso em particular, as ondas geradas pelas
as equacoes de Euler quebram antes que o transiente suba rio acima.
Figura 3.12: As figuras mostram a evolucao das superficies livres obtidas a partir da
equacao de fKdV e Euler com numero de Froude F = 0.8 com A = 0.075, B = 0, Ω = 0
e tempo t = 40.
-60 -40 -20 0 20 40 60
x
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
Figura 3.13: As figuras mostram a evolucao das superfıcies livres obtidas a partir da
equacao de fKdV (em azul) e Euler (em vermelho) com numero de Froude F = 0.8 com
A = 0.075, B = 0, Ω = 0 e t = 46.
A figura 3.13 mostra as comparacoes feitas na figura 3.12 para um tempo fixo.
Vemos que a maior onda descendo rio abaixo gerada pelas equacoes de Euler e ıngreme.
Esta onda quebra e como consequencia o transiente nao se desenvolve. E interessante
observar que a onda de amplitude maior descendo rio abaixo nas equacoes de Euler tem
72
amplitude correspondente a 25% da profundidade. No entanto, essa onda e ıngreme o
suficiente para quebrar. E possıvel observar que a equacao de fKdV produz um trem de
de ondas descendo rio abaixo com uma envoltoria de largura maior do que nas equacoes
de Euler. Indicando conter uma banda de numeros de ondas mais estreita do que na
solucao de Euler.
Para o caso crıtico ambos os modelos preveem um trem de ondas descendo rio
abaixo e ondas solitarias subindo rio acima. Todavia, as ondas geradas pela equacao
de fKdV sao suaves e pelas equacoes de Euler ha perda de regularidade. Neste regime
foi observado um choque dispersivo para as equacoes de Euler. Tal comportamento foi
observado muito recentemete por Albalwi, Marchant e Smyth em [18]. Neste artigo, eles
compararam as equacoes de fKdV com uma equacao do tipo fKdV de quinta ordem (ambas
equacoes para uma correnteza uniforme). Eles observaram que o modelo de ordem mais
alta gerava oscilacoes na regiao de formacao do ressalto ondulatorio (“bore”) que indica a
formacao de um choque dispersivo. Alem disso, que o comprimento do ressalto ondulatorio
do modelo de ordem mais alta e menor. A figura 3.14 mostra uma comparacao entre as
ondas geradas pela a equacao de fKdV e Euler para o caso crıtico. Para as equacoes
de Euler, observamos que as ondas geradas apresentam uma amplitude correspondente a
40% da profundidade. Alem disso, estas ondas apresentam cristas ıngremes e oscilacoes
na regiao do ressalto ondulatorio que tambem podem ser observadas. Isto e mostrado em
mais detalhes na figura 3.15.
Figura 3.14: As figuras mostram a evolucao das superfıcies livres obtidas a partir da
equacao de fKdV e Euler com numeros de Froude F = 1.0 com A = 0.075, B = 0, Ω = 0.
A figura 3.15 mostra as comparacoes feitas na figura 3.14 para um tempo fixo.
Os resultados estao de acordo com os resultados apresentados em [18]. E possıvel ver
oscilacoes surgem no modelo de Euler na regiao onde o ressalto ondulatorio e formado.
Contudo, por tratar-se de um problema nao linear o modelo completo de Euler preve
73
que as ondas descendo rio abaixo quebram, enquanto o modelo de fKdV (fracamente nao
linear) nao captura este fenomeno.
-60 -40 -20 0 20 40 60 80
x
-0.2
0
0.2
0.4
Figura 3.15: As figuras mostram a evolucao das superfıcies livres obtidas a partir da
equacao de fKdV (em azul) e Euler (em vermelho) com numeros de Froude F = 1.0 com
A = 0.075, B = 0 e Ω = 0 e t = 140.
A figura 3.16 mostra uma comparacao entre as ondas geradas pela a equacao de
fKdV e Euler para o caso supercrıtico. Ainda assim a correnteza nao e forte o suficiente
para arrastar todas ondas geradas em favor da correnteza. Assim, observamos ondas su-
bindo rio acima e um transiente viajando em favor da correnteza. O modelo de fKdV
preve ondas suaves sendo geradas rio acima com uma frequencia menor a observada no
caso crıtico. Por outro lado, devido a amplitude da topografia, a nao linearidade do pro-
blema faz com que as ondas nao consigam subir rio acima, quebrando em uma vizinhanca
da topografia. E interessante observar que antes da quebra da onda, esta onda possui
amplitude correspondente a 70% da profundidade.
Figura 3.16: As figuras mostram a evolucao das superficies livres obtidas a partir da
equacao de fKdV e Euler com numero de Froude F = 1.2 com A = 0.075, B = 0, Ω = 0.
74
A figura 3.17 mostra as comparacoes feitas na figura 3.16 para um tempo fixo.
E possıvel observar que a onda subindo o rio gerada pela a equacao de fKdV possui uma
amplitude maior que a onda gerada pela equacao de Euler. No entanto, a nao linearidade
das equacoes de Euler e maior, o que faz com que a onda quebre. Note que a onda quebra
para tempos menores que no caso crıtico. O que e supreendente pois o numero de Froude
nao e crıtico.
-60 -40 -20 0 20 40 60 80
x
0
0.2
0.4
0.6
Figura 3.17: As figuras mostram a evolucao das superficies livres obtidas a partir da
equacao de fKdV (em azul) e Euler (em vermelho) com numero de Froude F = 1.2 com
A = 0.075, B = 0, Ω = 0 e t = 92.
A equacao de fKdV e uma boa aproximacao para o problema de ondas geradas
devido a interacao de uma correnteza com uma topografia em regimes onde a amplitude da
topografia e de ordemO(ε2). Para amplitudes de ordemO(ε) a equacao de fKdV nao preve
ondas ıngremes nos casos subcrıtico e supercrıtico como ocorre com as equacoes de Euler.
Para o caso crıtico, o modelo de fKdV de quinta ordem proposto por Albalwi, Marchant
e Smyth [18] indica a formacao de um choque dispersivo. Isto de fato foi comprovado
para o modelo das equacoes de Euler. Alem disso, qualitativamente foi observado que
as amplitudes das ondas descendo rio abaixo e subindo rio acima apresentam amplitudes
maiores para o modelo de ordem mais alta. Observamos ainda que a regiao de formacao
do ressalto ondulatorio possui comprimento maior para os modelos de ordem maior. Estes
resultados concordam com os resultados apresentado em [18] para o modelo de fKdV de
quinta ordem.
A seguir vamos fazer breve comparacao entre os efeitos da topografia e pressao
sobre as equacoes de Euler. No regime de fKdV, sabemos que as solucoes de Euler para
pressao e topografia sao equivalentes. Vamos explorar o caso em que a topografia e pressao
sao dadas pela mesma funcao, ambas com uma amplitude de ordem O(ε).
75
3.5.1 Os efeitos da amplitude da topografia e da intensidade da
pressao
Ja sabemos que no regime de fKdV os efeitos de topografia e pressao sobre as
equacoes de Euler sao os mesmos. Fora do regime fKdV, observamos que as ondas geradas
sao qualitativamente as mesmas. No entanto, as ondas geradas pela pressao quebram antes
das ondas geradas pela a topografia. As figuras abaixo foram obtidas para o maior tempo
possıvel antes da quebra das ondas.
Figura 3.18: As figuras mostram a evolucao das superficies livres obtidas a partir das
equacoes de e Euler com numeros de Froude F = 0.8, 1, 1.2 (de cima para baixo) e Ω = 0.
Em vermelho A = 0.075 e B = 0 e em azul A = 0 e B = 0.075.
76
3.5.2 Os efeitos de uma correnteza nao uniforme nas equacoes
de Euler
Para Ω = −0.5 a equacao de fKdV produz ondas subindo rio acima e um trem de
ondas descendo rio abaixo. Para o modelo de Euler vemos a formacao de transiente e um
trem de ondas rio abaixo, no entanto o transiente e mais ıngreme, desta forma o gradiente
da superfıcie livre se aproxima do ponto onde a onda quebra em um tempo menor, o que
nao e previsto na equacao de fKdV. A medida que a vorticidade aumenta, o transiente se
torna suave, desta forma ondas subindo rio acima sao geradas periodicamente.
Figura 3.19: As figuras mostram a evolucao das superficies livres obtidas a partir da
equacoes de e Euler com vorticidade Ω = −0.5,−0.3,−0.1 (de cima para baixo) com
A = 0.075 e B = 0.
77
Para Ω > 0 tanto a equacao de fKdV quanto as equacoes de Euler produzem
ondas subindo rio acima e um trem de ondas descendo rio abaixo. Qualitativamente nao
vemos diferencas entres estas equacoes ainda que as equacoes de Euler nao estejam no
regime de fKdV.
Figura 3.20: As figuras mostram a evolucao das superficies livres obtidas a partir da
equacoes de e Euler com vorticidade Ω = 0.5, 0.3, 0.1 (de cima para baixo) com A = 0.075
e B = 0.
Observemos que ambas, a amplitude da topografia e da correnteza controlam o
regime das equacoes. Para amplitudes de ordem O(ε2), observamos que o modelo de
78
fKdV e uma boa aproximacao para o modelo de Euler. Vimos que para amplitudes de
ordem O(ε) as ondas geradas pelas as equacoes de Euler quebram para uma correnteza
uniforme. Quando a correnteza e nao uniforme, para Ω > 0 as ondas geradas pela equacao
de Euler quebram para tempos maiores do que no caso com correnteza uniforme. Para
Ω < 0 as ondas de Euler quebram para tempos menores que no caso onde a correnteza e
uniforme. O diferencial de velocidade da correnteza no fundo e na superfıcie tem um papel
importante. Como discutido no capıtulo 1, a equacao de fKdV preve que ondas geradas
se tornam mais ıngremes a medida que a correnteza e maior no fundo do canal. Assim,
as equacoes de Euler concordam com os resultados obtidos para a equacao de fKdV.
Capıtulo 4
Ondas estacionarias para as equacoes
de Euler
As figuras 1.3, 1.5 mostram que a medida que o tempo passa o transiente viaja se
afastando da regiao onde a topografia esta localizada, permanencendo apenas ondas esta-
cionarias nesta vizinhaca. Desta forma, sao observados dois tipos de ondas estacionarias,
uma de elevacao em ressonancia com a topografia para o caso supercrıtico e um trem de
ondas estacionario com uma onda de depressao mais acentuada sobre a topografia para
o caso subcrıtico. Ondas estacionarias para a equacao de fKdV assim como problemas
relacionados com sua estabilidade foram investigados em [7, 8, 9]. Mais recentemente [22],
Grimshaw e Maleewong estudaram a estabilidade das solucoes de Euler na presenca de
uma distribuicao de pressao movendo-se com velocidade constante ao longo da superfıcie.
Neste trabalho, eles consideraram as ondas estacionarias obtidas a partir do transiente
da solucao de fKdV nos casos subcrıtico e supercrıtico. Estas ondas foram usadas como
dado inicial para as equacoes de Euler e sua estabilidade foi analisada. Na presenca de
uma topografia e uma correnteza constante, Vanden-Broeck [15], utilizou o mapeamento
conforme para calcular ondas estacionarias para as equacoes de Euler. Neste trabalho
Vanden-Broeck obteve diferentes tipos de ondas estacionarias localizadas. No entanto, a
estabilidade numerica destas ondas e a verificacao de que de fato essas ondas sao viajantes
nao foram explorados.
Neste capıtulo vamos propor um metodo numerico baseado no metodo de Newton
para calcular ondas estacionarias para as equacoes de Euler. Depois usaremos o metodo
numerico dependente do tempo, proposto no capıtulo anterior, para validar as solucoes
obtidas. Questoes como a estabilidade das solucoes estacionarias obtidas serao discutidas
numericamente. Alem disso, dissipacao sera adicionada as equacoes de Euler e seu efeito
sobre as solucoes estacionarias sera investigado.
79
80
4.1 O problema linear
Na ausencia de uma correnteza nao e possıvel obter ondas estacionarias para as
equacoes de Euler. Neste caso estuda-se o problema de ondas viajantes. No entanto,
quando uma correnteza e adicionada em direcao oposta a uma onda viajante e possıvel
obter uma onda estacionaria. De acordo com a equacao (3.14) a velocidade de propagacao
de uma onda linear de comprimento λ = 2π/k na ausencia de uma topografia e:
c±(k) = F − Ωtanh(k)
2k±√
Ω2tanh2(k) + 4ktanh(k)
2k. (4.1)
Como estamos interessados em correntezas viajando para a direita, ondas estacionarias
podem ser encontradas apenas quando as ondas lineares viajam para a esquerda. Assim,
vamos considerar c(k) = c−(k). A figura 4.1 mostra a velocidade de propagacao das ondas
lineares em funcao do numero de onda. Da relacao (4.1) vemos que ondas estacionarias
ocorrem apenas quando
F <Ωtanh(k) +
√Ω2tanh2(k) + 4ktanh(k)
2k. (4.2)
Em particular, para o caso irrotacional, vemos que ondas estacionarias ocorrem apenas
quando F < 1. No entanto, como sabemos o modelo nao linear apresenta ondas esta-
cionarias geradas a partir de um transiente em ambos os casos, subcrıtico e supercrıtico.
0 2 4 6 8 10
k
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
c(k)
Figura 4.1: A figura mostra a velocidade de propagacao de ondas de comprimento λ =
2π/k para diferentes valores de Ω e F = 0. Em vermelho (linha tracejada) Ω = 1, em
preto (linha solida) Ω = 0 e em azul (linha com quadrados) Ω = −1.
81
4.2 Metodo numerico para ondas estacionarias
Nesta secao vamos descrever um metodo numerico para encontrar ondas esta-
cionarias para as equacoes de Euler. Para isto vamos considerar um metodo baseado
em TDFs e o metodo de Newton. Buscaremos por ondas estacionarias para diferentes
numeros de Froude e diferentes intensidades da vorticidade. Supondo o problema esta-
cionario (∂t = 0), das equacoes (2.20) concluimos que Θ = 0, ou seja,
Ψξ(ξ) = −FYξ(ξ)−1
2ΩY2
ξ(ξ). (4.3)
Assim, as equacoes (3.11) e (3.12) podem ser reescritas como:
H(ξ) = h(Xb(ξ)),
Xb(ξ) = ξ − C0
[F−1
(Y
cosh(kD)− H
cosh2(kD)
)]+ T
[H],
Xξ(ξ) =1
D− C
[Yξ −F−1
(Hξ(k)
cosh(kD)
)],
Φξ(ξ) = −C[(
Ψξ(k) + F−1
((F − Ω)Hξ(k) + Ω
2∂ξH2(k)
cosh(kD)
))],
Y +1
2J(Φ2
ξ −Ψ2ξ) +
1
J(F + ΩY)XξΦξ − ΩΨ + P (X) = 0.
(4.4)
Vamos discretizar o intervalo ξ ∈ [−L,L], onde L e uma constante positiva com pontos
igualmente espacados, da seguinte forma:
ξn = −L+ (n− 1)∆ξ, n = 1, 2, ..., N = 2M onde ∆ξ =2L
N, M ∈ N.
Cada funcao avaliada em um ponto da grade ξn definida acima sera denotada por Yn :=
Y(ξn), Xn := X(ξn), Φn := Φ(ξn), Ψn := Ψ(ξn), Hn := H(ξn) e Pn := P (Xn). E importante
observar que as equacoes (4.4) podem ser reescritas apenas em termos de Y. No entanto,
manteremos a notacao do problema discreto como a do problema contınuo. A condicao
cinematica e discretizada por:
Gn(Y1,Y2, ...,YN) := Yn +1
2J(Φ2
ξn −Ψ2ξn) +
1
J(F + ΩYn)XξnΦξn − ΩΨn + Pn, (4.5)
para n = 1, 2, ...N . O metodo numerico iterativo proposto anteriormente sera usado
novamente para calcular Hn para n = 1.2...., N . As derivadas em ξ e o operador C sao
computados atraves da transformada discreta de Fourier (TDF) na variavel ξ. O sistema
e resolvido usando o metodo de Newton e a matriz Jacobiana sera calculada da seguinte
maneira:
∂Gn
∂Yl
=Gn(Y1,Y2, ...,Yl + ∆Y, ...,YN)−Gn(Y1,Y2, ...,Yl, ...,YN)
∆Y, (4.6)
82
para n, l = 1, 2, ...N . O criterio de parada ultilizado e∑Nj=1 |Gn(Y1,Y2, ...,YN)|
J≤ 10−16.
4.3 Simulacoes numericas
Para as simulacoes que se seguem vamos supor P = 0. Ondas estacionarias sao
computadas usando o metodo numerico descrito na secao anterior. A solucao obtida
sera ultilizada como dado inicial para as equacoes de Euler dependente do tempo e sera
evoluıda a partir do metodo numerico apresentado no capıtulo anterior.
Para nossas simulacoes vamos considerar os seguintes parametros:
• O passo na malha espacial e ∆ξ = 0.1.
• O numero de pontos igualmente espacados e Nξ = 210.
• A chute dado para iniciar o metodo de Newton e Y0(ξ) = 0.
• A topografia no domınio fısico e h(x) = 0.1e−0.1x2 .
Para a validar o metodo numerico vamos considerar:
• O passo na malha temporal e ∆t = 0.01.
Em nossas simulacoes, na ausencia de vorticidade ondas estacionarias foram ob-
tidas para numeros de Froude tais que, F ≤ 0.6 e F ≥ 1.3. Para numeros de Froude
0 < F ≤ 0.5 foram observadas ondas estacionarias de depressao com oscilacoes em ambas
as direcoes. Estas ondas se encontram em ressonancia com a topografia. Quando au-
mentamos o numero de Froude para F = 0.6, observamos uma onda de depressao sobre
a topografia. No entanto neste caso as oscilacoes radiadas possuem amplitudes maiores.
Este tipo de onda ainda que na ausencia de vorticidade ate o momento nao e conhecido
na literatura. Para F ≥ 1.3 foram observados ondas estacionarias de elevacao localizadas.
Estas ondas se encontram em ressonancia com a topografia. A figura 4.2 mostra a onda
estacionaria obtida para o caso subcrıtico com F = 0.6. E possıvel observar que oscilacoes
sao geradas em ambas as direcoes. Este tipo de comportamento nao e observado para
ondas estacionarias geradas a partir de um transiente. Isto ocorre pois o metodo numerico
esta restrito a calcular ondas periodicas. Como veremos, e possıvel obter estas ondas es-
83
tacionarias com oscilacoes em ambas as direcoes a partir de ondas geradas a partir de um
transiente. Contudo, devemos adicionar um termo dissipativo nas equacoes de Euler.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-0.04
-0.02
0
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-1
-0.8
-0.6
Figura 4.2: A figura mostra a onda estacionaria obtida a partir do metodo numerico
proposto para F = 0.6 e Ω = 0.
A figura 4.3 mostra a onda estacionaria obtida para o caso subcrıtico com F =
0.5. Neste caso vemos apenas uma onda de depressao localizada sobre a topografia. A
amplitude das ondas radiadas e significantemente menor que a amplitude da onda de
depressao em ressonancia com a topografia.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-0.04
-0.02
0
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-1
-0.8
-0.6
Figura 4.3: A figura mostra a onda estacionaria obtida a partir do metodo numerico
proposto para F = 0.5 e Ω = 0.
A figura 4.4 mostra a onda estacionaria obtida para o caso supercrıtico com
84
F = 1.3. Neste caso vemos apenas uma onda de depressao localizada sobre a topografia.
Esta onda consiste na onda estacionaria obtida a partir de um transiente.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.1
0
0.1
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-1
-0.8
-0.6
Figura 4.4: A figura mostra a onda estacionaria obtida a partir do metodo numerico
proposto para F = 1.3 e Ω = 0.
Denotaremos as ondas estacionarias obtidas por YS(ξ) e por Y(ξ, t), a solucao
das equacoes de Euler no tempo t com dado dados inicias YS(ξ) para a superfıcie livre
e ΦS(ξ) para o potencial avaliado na superfıcie livre. Em todos os experimentos os erros
absolutos EA sao pelo menos
EA ≡ max0≤t≤1000
maxξ|YS(ξ)− Y(ξ, t)| = O(10−16),
e os erros relativos
ER =EA
maxξ|YS(ξ)|
= O(10−11).
Isto valida o metodo numerico na ausencia de vorticidade.
Na presenca de vorticidade, ondas estacionarias oscilatorias e localizadas foram
observadas. A equacao (4.2) nos indica onde devemos encontrar ondas estacionarias.
Para Ω = 0.5, a teoria linear assegura a existencia de ondas estacionarias para F < 1.3.
Atraves do metodo numerico proposto, ondas estacionarias localizadas de depressao e
elevacao foram observadas quando F ≤ 0.6 e F ≥ 1.6, respectivamente. Ondas de caracter
oscilatorio foram observadas para 0.7 ≤ F ≤ 0.9. A figura 4.5 mostra a onda estacionaria
obtida para o caso subcrıtico com F = 0.9 e Ω = 0.5. E possıvel observar um trem
de ondas em ambas as direcoes e a formacao de uma onda de amplitude maior sobre a
topografia.
85
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-0.04
-0.02
0
0.02
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-1
-0.8
-0.6
Figura 4.5: A figura mostra a onda estacionaria o obtida a partir do metodo numerico
proposto para F = 0.9 e Ω = 0.5.
Para Ω = −0.5, a teoria linear assegura a existencia de ondas estacionarias para
F < 0.8. Porem no caso nao linear, fixando Ω = −0.5 ondas estacionarias localizadas
de elevacao foram observadas para F ≥ 1.1. Ondas localizadas de depressao foram ob-
servadas para F < 0.4. Para 0.4 ≤ F < 0.5 foram observados ondas de depressao com
pequenas oscilacoes a direita e a esquerda da regiao de depressao. Veja a figura 4.6.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-0.04
-0.02
0
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-1
-0.8
-0.6
Figura 4.6: A figura mostra a onda estacionaria obtida a partir do metodo numerico
proposto para F = 0.4 e Ω = −0.5.
Para Ω = −1.0, ondas estacionarias localizadas de elevacao foram observadas
para F ≥ 0.9 e de depressao para F < 0.3. Contudo, nao foi possıvel encontrar ondas de
86
caracter oscilatorio. No entanto, para Ω = 1.0 tanto ondas localizadas quanto ondas de
caracter oscilatorios foram observadas. Para F < 1, foram observados ondas estacionarias
de suporte compacto e para 1 ≤ F ≤ 1.25, ondas de caracter oscilatorio foram observadas.
A figura 4.7 mostra a onda estacionaria obtida para o caso supercrıtico com F = 1.25 e
Ω = 1. Vemos a formacao de uma onda de depressao sobre a topografia e um trem de
ondas em ambas as direcoes.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-1
-0.8
-0.6
Figura 4.7: A figura mostra a onda estacionaria obtida a partir do metodo numerico
proposto para F = 1.25 e Ω = 1.0.
Sobre os erros absolutos e relativos definidos acima, no caso onde a vorticidade e
incluıdo observamos pelo menos os seguintes erros:
EA ≡ max0≤t≤1000
maxξ|YS(ξ)− Y(ξ, t)| = O(10−16),
e os erros relativos
ER =EA
maxξ|YS(ξ)|
= O(10−10).
Isto assegura que as ondas obtidas a partir do metodo numerico proposto na presenca de
uma correnteza nao uniforme sao de fato estacionarias. Na seguinte secao vamos analisar
numericamente a estabilidade das solucoes obtidas nessa secao.
87
4.3.1 Estabilidade das solucoes estacionarias
Nesta secao vamos estudar numericamente a estabilidade das ondas estacionarias
obtidas na secao anterior. Denotando por Y0(ξ) uma onda estacionaria, vamos considerar
pertubacoes da forma αY0(ξ), onde α e uma constante positiva. A solucao pertubada
sera ultilizada como dado inicial para as equacoes de Euler e sua evolucao sera estudada.
As ondas estacionarias localizadas se mostraram estaveis com respeito a esse tipo
de perturbacao. Para perturbacoes na amplitude a onda sempre retorna a sua posicao
de equilıbrio. No entanto, para cada onda localizada e possıvel obter um numero crıtico,
αc, tal que, se α ≥ αc estas ondas quebram. Consideremos a solucao numerica obtida na
secao anterior para F = 1.3 e Ω = 0. Para 1 < α ≤ 2.4, observamos que uma massa de
agua se desloca em favor da correnteza, fazendo com que a onda retorne a sua posicao de
equilıbrio. A figura 4.8 mostra a onda estacionaria obtida para F = 1.3 na secao anterior,
com amplitude perturbada, em diferentes tempos. Vemos que parte da agua se desloca
em favor da correnteza fazendo com que a onda retorne para a sua posicao de equilıbrio.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
x
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Figura 4.8: A figura mostra a evolucao da solucao perturbada com α = 1.5 ao longo do
tempo. Em azul (linha tracejada), a solucao em t = 0, em vermelho (linha com quadrados)
em t = 140 e em preto (linha solida) a solucao estacionaria obtida atraves do metodo de
Newton.
Para α ≥ 2.5 a solucao se torna instavel o que ocasiona na quebra da onda. Como
no caso 1 < α < 2.5, massa se desloca no sentido da correnteza, no entanto, isto faz com
que a onda se torne mais ıngreme e consequentemente a onda quebra. A figura 4.9 mostra
a evolucao da superfıcie livre com α = 2.5. E possıvel observar que a onda quebra antes
que o excesso de massa se desloque em favor da correnteza.
Para 0 < α < 1, as solucoes se mostraram estaveis. Em todos os casos, uma onda
88
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
x
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Figura 4.9: A figura mostra a evolucao da solucao perturbada com α = 2.5 ao longo do
tempo. Em azul (linha tracejada), a solucao em t = 0, em vermelho (linha solida) em
t = 36.
de depressao foi formada seguida por um trem de ondas dispersivo. Desta forma, massa
foi transferida para a onda localizada sobre a topografia ate esta onda adquirir a forma
da onda estacionaria.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
x
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
Figura 4.10: A figura mostra a evolucao da solucao perturbada com α = 0.5 ao longo do
tempo. Em azul (linha tracejada), a solucao em t = 0, em vermelho (linha com quadrados)
em t = 70 e em preto (linha solida) a solucao estacionaria obtida atraves do metodo de
Newton.
A figura 4.10 ilustra essa dinamica para α = 0.5. Vemos um aumento de massa
89
na onda localizada sobre a topografia. Devido a conservacao de massa, ondas de depressao
surgem. Estas ondas se propagam em favor da correnteza e possuem a forma de um trem
dispersivo.
Agora vamos considerar as solucoes estacionarias com comportamento oscilatorio
obtidas na secao anterior. As ondas estacionarias de caracter oscilatorio tambem se mos-
traram estaveis com respeito a perturbacoes da amplitude. No entanto, uma vez pertur-
bada, essas ondas nao retornam a suas posicoes de equilıbrio. Consideremos a solucao
estacionaria obtida para F = 1.25 e Ω = 1. Para 0 < α < 1, observamos que as ondas
sao estaveis, no entanto elas nao retornam ao estado estacionario como ocorre para as
ondas localizadas. Observamos uma pequena defasagem para a direita e uma perda de
massa na regiao acima da topografia. Essa massa se propaga em ambas direcoes, contudo
em maior quantidade para a direita, e por esta razao um aumento na massa das ondas
descendo rio abaixo foi observado. E importante observar que a dinamica e lenta. Desta
forma, para analisar a dinamica tivemos que considerar tempos grandes. As figuras 4.11
e 4.12 mostram a evolucao das solucoes para α = 0.5. A figura 4.11 mostra que as ondas
descendo rio abaixo se afastam da solucao perturbada, enquanto o trem de ondas subindo
rio acima se aproximam da solucao perturbada.
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
x
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
Figura 4.11: A figura mostra a evolucao da solucao perturbada com α = 0.5 ao longo do
tempo. Em azul (linha tracejada), a solucao em t = 0, em vermelho (linha com quadrados)
em t = 80 e em preto (linha solida) em t = 140.
Comparando as figuras 4.11 e 4.12 observamos que as ondas subindo rio acima se
aproximam mais da onda perturbada enquanto as ondas descendo rio abaixo se aproximam
mais da onda estacionaria. Isso ocorre pois a quantidade de massa que viaja para a direita
e maior do que a que viaja para a esquerda. Assim, as amplitude do trem de ondas
90
descendo rio abaixo aumenta e pelo princıpio da conservacao da massa a amplitude do
trem de ondas subindo rio acima diminui.
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
x
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
Figura 4.12: A figura mostra a evolucao da solucao perturbada com α = 0.5 ao longo do
tempo. Em azul (linha tracejada), a solucao estacionaria obtida atraves do metodo de
Newton, em vermelho (quadrados) em t = 80 e em preto (linha solida) em t = 140.
Para α > 1 observamos que a massa se acumula na regiao acima da topografia.
Neste caso tambem observamos uma defasagem para a esquerda. Alem disso, uma vez que
a solucao e perturbada ela nao retorna a sua posicao de equilıbrio. As figuras 4.13 e 4.14
mostram a evolucao da superfıcie livre para α = 1.5. Como no caso 0 < α < 1, observamos
que as ondas subindo rio acima se aproximam mais da onda perturbada enquanto as ondas
descendo rio se aproximam mais da onda estacionaria.
Ondas estacionarias localizadas e na presenca de oscilacoes laterais se mostraram
estaveis com respeito a perturbacoes em sua amplitude. A principal diferenca entre as on-
das estacionarias localizadas e as ondas estacionarias de caracter oscilatorio esta no fato de
que ondas localizadas sempre retornam a posicao de equilıbrio, salvo perturbacoes gran-
des na amplitude. Ondas estacionarias com oscilacoes laterais quando perturbadas nao
retornam a posicao de equilıbrio, mas permanecem na vizinhanca destas solucoes/pontos
crıticos. Na proxima secao vamos ver como obter solucoes estacionarias geradas a partir
de um transiente usando o metodo de Newton. Nosso estudo se concentrara nas ondas
estacionarias de caracter oscilatorio obtidas na secao anterior. No entanto, as equacoes
de Euler no domınio canonico serao modificadas.
91
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
x
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
Figura 4.13: A figura mostra a evolucao da solucao perturbada com α = 1.5 ao longo do
tempo. Em azul (linha tracejada), a solucao em t = 0, em vermelho (linha com quadrados)
em t = 140 e em preto (linha solida) em t = 250.
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
x
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
Figura 4.14: A figura mostra a evolucao da solucao perturbada com α = 1.5 ao longo do
tempo. Em azul (linha tracejada), a solucao estacionaria obtida atraves do metodo de
Newton, em vermelho (linha com quadrados) em t = 140 e em preto (linha solida) em
t = 250.
4.3.2 Solucoes estacionarias na presenca de dissipacao
Solucoes estacionarias para as equacoes de Euler podem ser obtidas para os casos
supercrıtico e subcrıtico. Para o caso supercrıtico as ondas localizadas estacionarias sao
ondas de elevacao sobre a topografia. Por tratar-se de ondas localizadas o metodo de
92
Newton e capaz de capturar esse tipo de solucao. Assim, no caso supercrıtico as ondas
obtidas a partir do metodo de Newton e as ondas obtidas a partir de um transiente sao as
mesmas. Para o caso subcrıtico a solucao estacionaria correspondente e uma superfıcie de
elevacao a esquerda da topografia e um trem de ondas estacionario a direita da topografia,
isto pode ser visto na figura 1.3. Como as solucoes capturadas pelo metodo de Newton
sao periodicas este tipo de solucao nao pode ser capturado a partir do repouso no modelo
de evolucao.
Nesta secao vamos considerar as equacoes de Euler no domınio canonico com um
termo dissipativo ad hoc e verificar se estas ondas sao de fato estacionarias atraves das
equacoes de evolucao. Vamos considerar as equacoes (4.4) com o termo dissipativo νΦξξ
adicionado ao lado direito da equacao de Bernoulli (4.4), isto e,
H(ξ) = h(Xb(ξ)),
Xb(ξ) = ξ − C0
[F−1
(Y
cosh(kD)− H
cosh2(kD)
)]+ T
[H],
Xξ(ξ) =1
D− C
[Yξ −F−1
(Hξ(k)
cosh(kD)
)],
Φξ(ξ) = −C[(
Ψξ(k) + F−1
((F − Ω)Hξ(k) + Ω
2∂ξH2(k)
cosh(kD)
))],
Y +1
2J(Φ2
ξ −Ψ2ξ) +
1
J(F + ΩY)XξΦξ − ΩΨ = νΦξξ.
(4.7)
O domınio computacional para nossas simulacoes sera tomado como na secao anterior
com o parametro dissipativo ν tal que 0 ≤ ν ≤ 0.05. O metodo numerico e validado
como feito na secao anterior. Para isto vamos considerar as seguintes equacoes de Euler
modificadas no domınio canonico:
Xξ =1
D− C
[Yξ −F−1
(Hξ(k, t)
cosh(kD)
)],
Φξ = −C[Ψξ(ξ, t) + F−1
((F − Ω)Hξ(k, t) + Ω
2∂ξH2(k, t)
cosh(kD)
)],
Yt = YξC[
Θξ
J
]− Xξ
Θξ
J,
Φt = −Y − 1
2J(Φ2
ξ −Ψ2ξ) + ΦξC
[Θξ
J
]− 1
J(F + ΩY)XξΦξ + ΩΨ + νΦξξ.
(4.8)
H(ξ, t) = h(Xb(ξ, t)),
Xb(ξ, t) = ξ − C0
[F−1
(Y
cosh(kD)− H
cosh2(kD)
)]+ T
[H].
(4.9)
Na presenca de dissipacao o metodo de Newton foi capaz de capturar ondas estacionarias
semelhantes as solucoes estacionarias obtidas a partir de um transiente para o problema de
93
evolucao. A dissipacao faz com que o sistema perca energia e essa perda de energia afeta
predominantemente as ondas subindo rio acima. Alem disso, foi observado que as ondas
estacionarias calculadas a partir do metodo de Newton variam de maneira contınua com
o parametro ν. A figura 4.15 mostra ondas estacionarias computadas a partir do metodo
de Newton para diferentes valores de ν. Observamos que a medida em que aumentamos
a dissipacao, o trem de ondas subindo rio acima perde energia, e consequentemente a
amplitude destas ondas diminui mais rapidamente do que parte rio abaixo.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
x
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
x
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
x
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
Figura 4.15: As figuras mostram ondas estacionarias para diferentes valores de ν. Em
todas as imagens foram considerados F = 1.25, Ω = 1, a amplitude da topografia e
A = 0.1. De cima para baixo temos ν = 0, ν = 0.01, ν = 0.05.
Apesar do metodo de Newton ser capaz de encontrar ondas estacionarias para
ν > 0.05, verificamos que neste caso as ondas nao sao estacionarias no codigo de evolucao.
A figura 4.16 mostra solucoes estacionarias obtidas para diferentes valores de ν. Neste
caso vemos que a dissipacao afeta ambos, as ondas subindo rio acima e descendo rio
abaixo. Contudo, e possıvel observar a formacao de uma onda estacionaria descendo rio
abaixo quando ν = 0.01.
94
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
x
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
x
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
x
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
Figura 4.16: As figuras mostram ondas estacionarias para diferentes valores de ν. Em
todas as imagens foram considerados F = 0.9, Ω = 0.5, a amplitude da topografia e
A = 0.1. De cima para baixo temos ν = 0, ν = 0.01, ν = 0.05.
Nesta secao mostramos o seguinte: desde que um termo dissipativo seja adici-
onado as equacoes de Euler, qualitativamente e possıvel obter ondas estacionarias se-
melhante as ondas estacionarias obtidas a partir de um transiente usando o metodo de
Newton. No entanto, um estudo mais detalhado precisa ser feito para que resultados
quantitativos sejam obtidos. Assim, devemos obter o valor do coeficiente ν, de maneira
que a perda de energia do sistema seja compatıvel com a amplitude das ondas esta-
cionarias obtidas a partir do metodo de Newton assim como o numero de ondas descendo
rio abaixo seja o mesmo que no caso da onda estacionaria obtida a partir de um transiente.
Apesar da dissipacao ter sido introduzida diretamente nas equacoes de Euler no domınio
canonico, o mesmo pode ser feito no domınio fısico. Pelo custo computacional escolhemos
introduzi-la no domınio canonico.
Conclusoes e projetos futuros
Conclusoes
Neste trabalho foi realizada uma analise qualitativa das ondas geradas devido a
interacao de uma correnteza nao uniforme com uma topografia. Os seguintes problemas
foram estudados:
(1) Ondas fracamente nao lineares produzidas pela interacao de uma correnteza com uma
topografia modeladas pela equacao de fKdV;
(2) Ondas nao lineares produzidas pela interacao de uma correnteza com uma topografia
modeladas pelas equacoes de Euler;
(3) Ondas estacionarias para as equacoes de Euler e sua estabilidade devido a per-
turbacoes na amplitude das ondas;
Para o caso (1) uma equacao do tipo KdV na presenca de uma correnteza nao
uniforme foi inicialmente deduzida por Johnson e Freeman em [12]. No entanto, foi a
primeira vez que uma equacao do tipo KdV foi deduzida no caso em que uma pressao e
uma topografia sao adicionados ao problema com vorticidade. Os efeitos da correnteza
foram estudados. Observamos que as amplitudes das ondas geradas aumentam a medida
que a intensidade da correnteza e aumentada no fundo do canal.
Para o caso (2) foi apresentado uma formulacao atraves da tecnica do mapea-
mento conforme. Esta formulacao permitiu reescrever as equacoes de Euler, achatando
ambos, topografia e superfıcie livre em uma faixa lisa, transformando um problema misto
(de fronteira livre e valor inicial) em um problema de valor inicial em um domınio sim-
plificado. Foi a primeira vez que o mapeamento conforme foi utilizado para achatar a
topografia e superfıcie livre simultaneamente. Este metodo foi validado em diferentes
regimes. Para o regime linear, o metodo numerico proposto foi comparado com os resul-
tados apresentados por Nachbin em [2]. Para o regime fracamente nao linear, o metodo
numerico foi validado a partir da equacao de fKdV deduzida para uma correnteza nao uni-
forme. Observamos que a medida que aumentamos a amplitude da topografia as equacoes95
96
de Euler saem do regime de fKdV. Desta forma a diferenca entre os modelos e evidente.
Para as equacoes de Euler as ondas geradas sao mais ıngremes e quebram, enquanto que
o modelo de fKdV continua prevendo a geracao de ondas suaves. Tal fenomeno foi ob-
servado anteriormente para as equacoes de Euler na presenca de uma pressao viajando
com uma velocidade constante sobre a superfıcie livre por Grimshaw e Maleewong [22].
Contudo, observamos que as ondas geradas devido a pressao quebram para tempos me-
nores quando comparadas com as ondas geradas devido a interacao de uma correnteza
com uma topografia. Para o caso crıtico, mostramos que as equacoes de Euler preveem
um choque dispersivo. Este resultado esta de acordo com o modelo de fKdV de quinta
ordem apresentado recentemente [18].
Para o caso (3) ultilizamos o metodo de Newton para computar ondas esta-
cionarias nao lineares para as equacoes de Euler em diferentes regimes. Foi a primeira
vez que o metodo de Newton foi utilizado neste contexto. Com nosso metodo numerico
foi possıvel obter novos padroes de ondas estacionarias na presenca de uma topogra-
fia e uma correnteza nao uniforme. Essas ondas se mostraram estaveis. No entanto,
quando pertubarmos a amplitude dessas ondas, essas ondas nao retornam a sua posicao
de equilıbrio. Por outro lado, as ondas estacionarias localizadas sempre retornam a sua
posicao de equilıbrio, salvo o caso em que a perturbacao e grande. Dissipacao foi adici-
onada as equacoes de Euler e seus efeitos sobre as ondas estacionarias foram estudados.
Em particular, observamos uma transicao contınua entre as possıveis ondas estacionarias
a medida que o parametro de dissipacao ν se aproxima de zero.
97
Projetos futuros
Queremos estudar varias questoes que se colocam e que sao do interesse de ana-
listas que estudam estes tipos de problema e que ainda nao apresentam teoremas com as
respostas. Nosso estudo computacional no futuro, e dar continuidade e explorar novos
desdobramentos juntamente com o trabalho de Ribeiro-Jr e Nachbin [3, 5]. A continui-
dade deste trabalho deve produzir conjecturas e estimular a intuicao para a producao de
teoria subsequente. Pontos de interesse:
(1) Estudar a inclusao de topografia em problemas de ondas (periodicas) de Stokes,
conforme estudado por Ribeiro-Jr em [3]-[5]. Para isto, vamos considerar as equacoes
lineares da teoria do potencial
∆φ = 0 em − 1 + h(x) < y < 0,
(F − Ω)hx + Ωhhx + φxhx = φy sobre y = −1 + h(x),
ζt + Fζx − φy = 0 sobre y = 0,
φt + Fφx + ζ − Ωψ = 0 sobre y = 0,
(4.10)
e o sistema dinamico que descreve a trajetoria das partıculas dentro do fluido:
dx
dt= φx(x(t), y(t), t) + Ωy(t) + F,
dy
dt= φy(x(t), y(t), t).
(4.11)
Atraves do mapeamento conforme, vamos computar as trajetorias das partıculas em
(4.11) e estudar os efeitos da topografia nas trajetorias das partıculas. Alem disso,
uma comparacao com os resultados obtidos em [5, 4] sera feita.
(2) Estudar as trajetorias de partıculas de fluido produzidas pela passagem de ondas
nao-lineares. As orbitas das partıculas sao governadas pelo sistema dinamico (4.11)
que dependem da solucao da teoria do potencial nao-linear, que neste caso sao as
equacoes:
∆φ = 0 em − 1 + h(x) < y < ζ(x, t),
(F − Ω)hx + Ωhhx + φxhx = φy sobre y = −1 + h(x),
ζt + (F + Ωζ + φx)ζx − φy = 0 sobre y = ζ(x, t),
φt +1
2(φ2
x + φ2y) + (F + Ωζ)φx + ζ − Ωψ = −P (x) sobre y = ζ(x, t).
(4.12)
Ribeiro-Jr, Nachbin e Milewski [3] estudaram condicoes para a formacao de pontos
de estagnacao, pontos crıticos do sistema dinamico citado, quando este e formulado
98
no referencial movel da onda em canais com fundo plano. Vamos analisar esse
problema so o efeito da topografia. Este problema e de enorme interesse em Analise.
No caso do problema estudado nesta tese de doutoramento, as orbitas de partıculas
nao foram exploradas de nenhuma forma, teorica ou numerica. Trata-se de um
problema interessante, pois foi mostrado que no regime de ondas longas (aguas rasas)
as equacoes da teoria do potencial nao distigue o efeito de uma pressao viajante
sobre a superfıcie livre de uma correnteza interagindo com a topografia. Comparar
as trajetorias das partıculas sobre a superfıcie livre deve mostrar que no interior do
fluido os efeitos sao distintos. Devido a riqueza da dinamica na superfıcie livre para
diferentes numeros de Froude, e esperado resultados muito interessantes quando as
trajetorias das partıculas forem estudadas, principalmente no caso rotacional.
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Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA
Estrada Dona Castorina, 110, Jardim Botanico, Rio de Janeiro - RJ
CEP: 22460 - 320
<http://www.impa.br>
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