Masalah Harga Awal Persamaan Differensial Biasa Satu Dimensi (bagian 2)

Masalah Harga AwalPersamaan Differensial Biasa

Satu Dimensi (bagian 2)Metode Numerik

Prodi Teknik Sipil

Metode Finite Difference (Beda Hingga)

• Diskritasi daerah fisik kontinu ke dalam sebuah grid beda hingga diskrit

• Mendekati turunan eksak di dalam PDB masalah harga awal dengan aproksimasi beda hingga (ABH) aljabar

• Substitusikan ABH ke dalam PDB untuk mendapatkan persamaan beda hingga (PBH) aljabar

• Selesaikan PBH aljabar yang dihasilkan

Grid Beda Hingga

• Penyelesaian beda hingga dari PDB didapatkan pada titik-titik grid ini. • Subscript n digunakan untuk menyatakan (grid points) titik-titik grid

fisik, yaitu tn (atau xn)• Titik grid n bersesuaian dengan lokasi tn (atau xn) di dalam daerah

penyelesaian D(t) [atau D(x)]• Jumlah total titik grid dinyatakan oleh nmax• Fungsi y(t) pada titik grid n dinyatakan oleh

D(t) [atau D(x)]

• Hal yang sama juga digunakan untuk menyatakan turunan sebagai berikut

Simbol untuk solusi eksak dan solusi pendekatan

solusi eksak

solusi pendekatan

Pendekatan beda maju orde satuDeret taylor untuk menggunakan titik grid n sebagai titik basis

Penyelesaian untuk menghasilkan

Jika dihentikan setelah suku pertama di ruas kiri akan didapatkan

adalah kesalahan pemotongan pada deret taylor

pendekatan beda maju orde satu dari

pada n

menyatakan orde dari pendekatan

Pendekatan beda mundur orde satu

Pendekatan beda mundur orde satu untuk pada titik grid n+1 didapatkan dg

menuliskan deret Taylor untuk menggunakan titik grid n+1 sebagai basis

kemudian diselesaikan untuk sehingga

Pendekatan beda tengah orde dua

Pendekatan beda tengah orde dua untuk pada titik grid n+1/2 didapatkan dg

menuliskan deret Taylor untuk menggunakan titik grid n+1/2

sebagai basis

dan

pengurangan kedua persamaan menghasilkan

Persamaan Beda Hingga

Solusi beda hingga dari persamaan differensial didapatkan dengan diskritasi daerah solusi kontinu dan menggantikan turunan eksak dalam persamaan differensial dengan aproksimasi beda hingga (ABH) untuk mendapatkan persamaan beda hingga (PBH)

Contoh

PBH eksplisit krn fn tergantung kepada yn+1

Menggunakan pendekatan beda maju orde satu

Menggunakan pendekatan beda mundur orde satu

Masalah harga awal

PBH implisit krn fn+1 tergantung kepada yn+1

Soal

Berikut adalah persamaan differensial dan solusi eksaknya. Selesaikan persamaan differensial dengan mendekati turunan eksak dengan beda maju orde satu untuk titik grid 1, dan titik grid 2. Bandingkan dengan solusi eksaknya. t = 0,5

Soal 1

Soal 2

Aproksimasi Beda Hingga (ABH)Aproksimasi beda hingga terhadap turunan eksak dalam PDB diselesaikan dengan pendekatan deret taylor