Matemática Financeira Séries de Pagamentos Prof. Ms. Cristiane Attili Castela

Matemática FinanceiraMatemática Financeira

Séries de Séries de PagamentosPagamentos

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Noções de Fluxo de CaixaNoções de Fluxo de Caixa

• É uma sucessão de pagamentos e recebimentos em dinheiro previstos para uma determinada data ou período.

• O fluxo de caixa é representado por um gráfico que indica o recebimento com uma seta para cima e o pagamento com uma seta para baixo.

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Exemplo de fluxo de caixaExemplo de fluxo de caixa

• Um banco concede um empréstimo de $40.000,00 a um cliente, para pagamento em seis parcelas iguais de $9.000,00.

• Representar o fluxo de caixa (a) do ponto de vista do banco e (b) do ponto de vista do cliente.

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Solução: Ponto de vista do Solução: Ponto de vista do BancoBanco

40.000,00

01 2 3 4 5 6

9.000 9.000 9.000 9.000 9.000 9.000

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Solução: Ponto de vista do Solução: Ponto de vista do ClienteCliente

40.000,00

01 2 3 4 5 6

9.000 9.000 9.000 9.000 9.000 9.000

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Tipos de Séries de PagamentosTipos de Séries de Pagamentos

1. Série de pagamentos iguais com termos vencidos (postecipadas);

2. Série de pagamentos iguais com termos antecipados;

3. Série de pagamentos variáveis com termos vencidos;

4. Série de pagamentos variáveis com termos antecipados.

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ObservaçõesObservações

1. A diferença de prazo entre dois termos consecutivos é sempre constante;

2. O número de termos é finito (quando o número de termos é infinito trata-se de rendas perpétuas que não será tratado neste tópico).

3. Os cálculos são baseados no sistema de capitalização composta (juros compostos).

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Aplicações das séries de Aplicações das séries de pagamentospagamentos

Financiamento de veículos e imóveis

Investimento em poupança, fundos, etc

Compras com pagamento parcelado

Empréstimos

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Exemplo 1Exemplo 1

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Exemplo 2Exemplo 2

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Tipos de cálculos que Tipos de cálculos que podemos efetuarpodemos efetuar

• Montante acumulado após uma série de aplicações;

• O valor de cada termo para formar um montante desejado;

• Valor presente de uma série de pagamentos;

• Número de termos para formar um montante com taxa e prestações conhecidas;

• Taxa de juros de uma série de pagamentos.

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Montante de uma série de Montante de uma série de pagamentos vencidospagamentos vencidos

VF

0 1 2 3 4 5 6

R R R R R R

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Cálculo do montante de uma Cálculo do montante de uma série de pagamentos vencidossérie de pagamentos vencidos

i

iRVF

n 11

R = valor de cada parcelai = taxa de jurosn = número de parcelas

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Exemplo 1Exemplo 1

Determinar o valor do montante, no final do 5º mês, de uma série de 5 aplicações mensais, iguais e consecutivas, no valor de $1000,00 cada uma, a uma taxa de 4% ao mês, sabendo-se que a primeira parcela é aplicada no final do primeiro mês, ou seja, a 30 dias da data tomada como base, e que a última, no final do 5º mês, é coincidente com o momento em que é pedido o montante.

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Solução do exemplo 1:Solução do exemplo 1:fluxo de caixafluxo de caixa

VF=?

01 2 3 4 5

1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

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Continuação da soluçãoContinuação da solução

32,5416

04,0

104,011000

11 5

i

iRVF

n

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ExercíciosExercícios

01. Qual o montante, no final de 8 meses, referente a uma aplicação de $ 1.000,00 por mês, à taxa de 3% a.m.?

$ 8.892,34

02. Quanto deverá ser aplicado, a cada 2 meses, em um “Fundo de Renda Fixa”, à taxa de 5% a.b., durante 3 anos e meio, para que se obtenha, no final desse prazo, um montante de $ 175.000,00?

$ 4.899,32

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Cálculo do VP para série de Cálculo do VP para série de pagamentos constantes pagamentos constantes

postecipadospostecipados

• E se no exemplo anterior, ao invés do Valor Futuro (VF) pedíssemos o Valor Presente (VP)?

• Como encontrar VP?

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Fluxo de caixa para VPFluxo de caixa para VP

VP=?

01 2 3 4 5

1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

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Mais uma Fórmula!!!Mais uma Fórmula!!!

• Sabemos que VF = VP (1+i)n .

• Sabemos também que

• Assim

i

iRVF

n 11

i

iRiVP

nn 11

)1(

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Portanto:Portanto:

n

n

ii

iRVP

)1(

11

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E em nosso exemplo:E em nosso exemplo:

????04,0104,0

104,011000

1

115

5

n

n

ii

iRVP

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$ 4.451,82

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03. Calcular o valor atual de uma série de 24 prestações iguais, mensais e consecutivas de $ 3.500,00 cada uma, considerando uma taxa de 5% a.m. $ 48.295,24

04. Um empréstimo de $30.000,00 é concedido por uma instituição financeira para ser liquidado em 12 prestações iguais, mensais e consecutivas. Sabendo-se que a taxa de juros é 3,5% a.m., calcular o valor da prestação. $ 3.104,52

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ExercíciosExercícios

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Na HP 12CNa HP 12C• Série de pagamentos

postecipados (vencidos)

Utilize END (Teclas: g - END)

• Série de pagamentos antecipados

Utilize BEGIN( Teclas: g - BEG)

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NA HP 12C...NA HP 12C...

• PMT – parcelas.

• n – prazo, quantidade de parcelas.

• FV – valor futuro.

• i – taxa de juros (em porcentagem) de acordo com as parcelas.

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Série de Pagamentos Série de Pagamentos AntecipadosAntecipados

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Cálculo do Valor FuturoCálculo do Valor FuturoSérie de pagamentos antecipadosSérie de pagamentos antecipados

VF=?

01 2 3 4 5

1.000 1.000 1.000 1.0001.000

VF=?

0 1 2 3 45

1.000 1.000 1.000 1.0001.000

Termos vencidos (postecipados)

Termos antecipados

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Cada um dos termos é aplicado em Cada um dos termos é aplicado em um um período a maisperíodo a mais do que na série de do que na série de

termos vencidostermos vencidos

• Valor futuro da série de termos antecipados:

• Valor Presente da série de pagamentos antecipados:

i

iiRVF

n 111

n

n

ii

iiRVP

1

111

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Exercício 5Exercício 5

Uma dona de casa compra uma TV em 24 prestações de $630,64, sendo que a primeira prestação é dada como entrada. Sabendo-se que a taxa de mercado é de 4% a.m., qual o valor da TV à vista?

$ 10.000,00

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Determinar o montante ao final do 5º mês de uma série de 5 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de $1.000,00 à taxa de 1% a.m., de forma antecipada.

$ 5.152,02

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Exercício 6Exercício 6

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Um empréstimo de $ 4.000,00 é concedido por uma instituição financeira para ser liquidado em 12 prestações iguais, mensais, consecutivas e antecipadas. Sabendo-se que a taxa de juros é de 2,7% a.m. determine:

a) O gráfico de fluxo de caixa do ponto de vista de quem contraiu o empréstimo;

b) O valor da prestação.$ 384,31

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Exercício 7Exercício 7

Exercícios ExtrasExercícios Extras

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Um veículo é financiado para pagamento em 36 parcelas mensais, à taxa de 4,5% ao mês.Sabendo-se que o valor financiado foi de $ 245.000,00, calcular o valor das prestações:

a) de acordo com o conceito de termos vencidos;

b) de acordo com o conceito de termos antecipados.

$ 13.868,42

$ 13.271,21

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Exercício 8Exercício 8

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Exercício 9Exercício 9

Qual é o valor de um empréstimo que pode ser liquidado em 10 prestações mensais (vencidas), à taxa de 3,5% ao mês, sendo as quatro primeiras prestações de $3.000,00 e as 6 últimas de $4.500,00?

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SoluçãoSolução

104

VP

4.500,003.000,00

ii

iRVP n

n

.1

11

0

$ 31.915,10

Vp=11.019,24 Vp4=23.978,49 Vp=20.895,87

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Exercício 10Exercício 10

Qual o valor financiado que pode ser liquidado em 18 parcelas mensais, à taxa de 4% ao mês, sendo as 9 primeiras prestações de 4.000,00 e as restantes de 3.000,00?

$ 45.413,23

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Exercício 11Exercício 11

Calcular o valor presente da série representada por 5 pagamentos mensais consecutivos de $ 1.700,00, $ 3.000,00, $ 1.250,00, $ 2.300,00 e $ 980,00, considerando-se a taxa de 4% ao mês.

$ 8.291,08

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Exercício 12Exercício 12

Qual o montante, no final de seis trimestres resultante da aplicação de seis parcelas trimestrais de $ 1.000,00, $ 4.000,00, $ 2.000,00, $ 6.000,00, $ 3.000,00 e $ 5.000,00, à taxa de 10% ao trimestre, sendo a primeira aplicação feita no final do primeiro trimestre?

$ 25.688,91

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Exercício 13Exercício 13

Quanto terei, no final de 42 meses, se aplicar 10 parcelas trimestrais, iguais e consecutivas de $ 5.000,00, a partir de hoje, a uma taxa de 10% ao trimestre?

$ 128.336,91

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Exercício 14Exercício 14

Quanto terei, no final de 20 meses, se aplicar, alternadamente, $ 200,00 e $ 400,00 por mês, respectivamente, a uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de termos vencidos?

$ 7.631,86

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Resolver os exercícios propostos na lista e os exercícios da pág. 154 até 163 do livro do José Dutra Sobrinho.

Lista de ExercíciosLista de Exercícios

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