View
250
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
7/25/2019 matematica statistica
1/29
Exemplul 1 Considerm experiena de aruncare a unui zar. Evenimentele
elementare sunt egal posibile i avem 6 cazuri posibile. Notm cu A evenimentul
"apariia unei fee cu numr par de puncte 6" numrul cazurilor favorabile
evenimentului A este 3. Deci2
1
6
3)A(P .
Exemplul 1.1Dintr-o urn cu 15 bile numerotate de la 1 la 15 se extrage o billa ntmplare. Se consider evenimentele:
A = obinerea unui numr prim;B = obinerea unui numr par;C =obinerea unui numr divizibil prin 3.
S calculm probabilitile acestor evenimente.
Rezolvare
n aceast experien aleatoare numrul total al cazurilor posibile este15.
Pentru A numrul cazurilor favorabile este 6, adic {2, 3, 5, 7, 11, 13},
deci5
2
15
6)A(P .
Pentru B numrul cazurilor favorabile este 7, adic {2, 4, 6, 8, 10, 12,
14}, deci
15
7)B(P .
Pentru C, numrul cazurilor favorabile este 5, adic { 3, 6, 9, 12, 15},
deci3
1
15
5)C(P .
PROBABILITATI
Exemplul 1.2Cele 26 de litere ale alfabetului, scrise fiecare pe un cartona, suntintroduse ntr-o urn. Se cere probabilitatea ca extrgnd la ntmplare de 5 oricte un cartona i aezndu-le n ordinea extragerii s obinem cuvntul
LUCIA.
Rezolvare
Notm prin X evenimentul cutat, deci de a obine prin extragerisuccesive cuvntul LUCIA, de asemenea notm prin A1 = evenimentul ca la
prima extragere s obinem litera L; A2= evenimentul ca la a doua extrageresobinem litera U; A3= evenimentul ca la a treia extragere s obinem litera C; A4= evenimentul ca la a patra extragere s obinem litera I; A5 = evenimentul ca la acincea extragere s obinem litera A.
Atunci evenimentul X are loc dac avem
1 2 3 4 5X A A A A A .Rezult:
7/25/2019 matematica statistica
2/29
20
.22
1
23
1
24
1
25
1
26)
P() P(
45 1 32
3212 1 3 1 421
1
A A
) A )
P(A A A
P(X) P(A ) P(A A A A A A A A
Exemplul 1.3Dac probabilitatea ca un automobil s plece n curs ntr-odiminea friguroas este de 0,6 i dispunem de dou automobile de acest fel,
care este probabilitatea ca cel puin unul din automobile s plece n curs ntr-odiminea friguroas?
Rezolvare
Dac notm prin A1 i A2 evenimentele ca primul respectiv, al doileaautomobil s plece n curs i prin X evenimentul cutat, deci ca cel puin unuldintre automobile s plece n curs, avem: 21X A A , iar
P(X) P(A A )1 2 P(A ) P(A ) P(1 2 1 2A A ), deoarece evenimentele 1Ai 2A sunt compatibile (cele dou automobile pot s plece n curs deodat).
Cum P( 1A ) = P( 2A ) = 0,6, iar evenimentele 1A i 2A sunt independente ntreele (plecarea unui automobil nu depinde de plecarea sau neplecarea celuilalt),deci P( A A ) = P( A )P(A )1 2 1 2 = (0,6)
2 . Se obine c P(X) = 0,6 + 0,6 - (0,6)2
= 0,84.
Exemplul 1.4Trei secii ale unei ntreprinderi 321S ,S ,S depesc planul
zilnic de producie cu probabilitile de respectiv 0,7; 0,8 i 0,6. S se calculeze
probabilitile evenimentelor:A -cel puin o secie s depeasc planul de producie.B -toate seciile s depeasc planul de producie.
Rezolvar
Fe
ie iA evenimentul ca secia iS s depeasc planul de producie.
Avem: A = 1 32A A A , deci
P(A) = P (A A ) P(A A )1 3 1 322 A 1 A 1 2 3= 1 P(A ) P(A ) P(A ) =1- (1-0,7)(1-0,8)(1-0,6) = 1 0,3 0,2 0,4 0,976 .B = 321A A A i innd seama de independena evenimentelor, avem:
P(B) = P(A A ) P(A ) P(A ) P(A ) 0,7 0,8 0,6 0,3363 1 2 321 A .
7/25/2019 matematica statistica
3/29
probabilitatea ca s fie satisfcute toate trei caracteristicile se poate evalua cu
formula lui Boole. Astfel se poate scrie:
Exemplul 1.5O pres este considerat c satisface standardul de fabricaie dac
trei caracteristici sunt satisfcute. Dac aceste caracteristici A, B i C sunt
satisfcute cu probabilitile P(A) =10
9, P(B) =
7 i P(C) =
11 12
11, atunci
P( A B C) 1 P(A) P(B) P(C), adic
P(660
229
12
1
1110A B C) 1
1
4
.
Exemplul 1.6Un sortiment de marf dintr-o unitate comercial provine de la
trei fabrici diferite n proporii, respectiv1
de la prima fabric,3
1de la a doua
6fabric i restul de la fabrica a treia. Produsele de la cele trei fabrici satisfac
standardele de fabricaie n proporie de 90%, 95% i respectiv 92%. Un client
ia la ntmplare o bucat din sortimentul de marf respectiv.a) Care este probabilitatea ca produsul s satisfac standardele defabricaie?
b) Care este probabilitatea ca produsul s fie defect i s provin de laprima fabric?
Rezolvare
a) Notm cu 21A , A i 3A evenimentele ca produsul cumprat s fie de
la prima, a doua, respectiv a treia fabric. Aceste trei evenimente formeaz un
sistem complet de evenimente i au probabilitile P(6
, P(A )3
A )1
21 1
i
23P(A ) 1 . Dac A este evenimentul c produsul cumprat de client satisface
1standardele de fabricaie, atunci P(A A ) 0,90, 2P( A A ) 0,95 i
P( A A ) 0,923 . Folosind formula probabilitii totale se obine:
0,9186
5,510,92
2
10,95
6
10,90
9
1
1 3 3221
P(A) P(A ) P(A A ) P(A ) P(A A ) P(A ) P(A A )
b) Folosind formula lui Bayes, avem:
P( A A)A ) P(A )P(A A )P(A )P(A A ) P(A )P(A
P(A )P(A A )
2 3 31 1 2
111
=0,49
0,2
0,082
10,05
6
10,10
3
1
0,103
1
0,408.
7/25/2019 matematica statistica
4/29
22
Exemplul 1.7 Un student solicit o burs de studii la 3 universiti. Dup
trimiterea actelor necesare, acesta poate obine burs de la universitatea i (Ui)
sau nu (Ui ), 1 i 3 . Scriei evenimentele ce corespund urmtoarelor situaii :
a) primete o burs;
b) primete cel mult o burs;
c) primete cel puin o burs;
d) primete cel puin dou burse.
Rezolvarea) Bursa primit poate fi de la prima universitate, caz n care celelaltenu-i acord burs, sau de la a doua, caz n care prima i a treia nu-i acord burs,sau de la a treia, caz n care primele dou nu-i acord burs. Avem astfelevenimentul
1 2 3 1 3 1 2 32A (U U U ) (U U U ) (U U U ) .b) Avem dou variante : studentul nu primete nici o burs sau studentul
primete o burs. Obinem evenimentul
B (U U U ) A31 2 .c) Evenimentul poate fi scris ca reuniunea a trei evenimente : studentul
primete o burs, dou burse, trei burse. Astfel C A E F, unde) (1 2 3 1 2 3 1 2 3E (U U U U U U ) (U U U ) ,
iar 1 2 3F U U U .d) Avem D E F. Altfel, evenimentul D este contrar evenimentului
B, deci DB (U U U ) A1 2 3 .
Exemplul 1.8ntr-un grup de studeni aflai n excursie se gsesc 6 fete i 9biei. Se aleg la ntmplare doi studeni pentru a cerceta traseul. Care este
probabilitatea ca cei doi s fie :a) biei;
b) fete;c) un biat i o fat;
d) cel puin un biat;
e) primul biat i a doua fat;
f) de acelai sex.
Rezolvare
Notm cu A1i A2evenimentele alegerii unui biat la prima, respectiv adoua alegere. La primul punct avem de calculat probabilitatea 21P(A A ) .ntruct a doua alegere depinde de prima avem :
351214815) P(A )P(( 12121P AA A A ) 9 ,
deoarece alegnd un biat mai rmn n grup 14 studeni ntre care 8 biei.
Evenimentul de la punctul b) se scrie astfel : 1 2BA A . Deci
7
1
14
5
15) P(A )P((B) P( 1211 2P AA A A )
6 .
7/25/2019 matematica statistica
5/29
23
Evenimentul de la punctul c) este ( 1 2 2 1C AA ) (A A ) aadar
) P((C) P( 1 2 2 1P AA A A ) , 11 2 2(AA ,A A sunt incompatibile)
Dar14
6
15) P(A )P(( 1 2 2 11P A A A /A )
9 ,
iar14
9
15) P(A )P(( 1212 1P A A A /A )
6
de unde35
18
15 14P(C) 2
9
6 .
Am obinut i probabilitatea evenimentului de la punctul e) 21P(AA ) .Evenimentul de la punctul d) se exprim astfel : 21DA A .
El este contrar evenimentului : 1 2BA A , prin urmare
7
6
7P(D) 1 P(B) 1
1 . Evenimentul de la ultimul punct f) este
1 2 1 2 2 211 A AAAF (AA ) (AA ) . Cum ( ) ( ) cele douevenimente sunt incompatibile i deci
35
17
7
1
351 2 1 2P(F) P(A A ) P(A A )12
.
Exemplul 1.9La un examen de licen particip mai muli absolveni, ntre
care numai trei din strintate. Probabilitatea ca primul student s promoveze
este , probabilitatea ca al doilea s promoveze este 4/5, iar pentru al treilea
5/6. S se determine probabilitile ca :a) toi cei trei studeni s promoveze;
b) cel puin unul s promoveze examenul.
1 2 3
RezolvareFie Aievenimentul promovrii examenului de ctre studentul i, i=1,2,3.Evenimentul de la punctul a) este A A A A , iar de la punctul b) este
1 2 3BA A A . Evenimentele Ai sunt independente (rezultatele celor 3studeni nedepinznd unul de celelalte), deci
2
1
6
5
5
4
41P(A) P(A )P(A2 )P(A3)
3 .
2 1 1 323231
Folosind proprietile probabilitii avem :
P(B) P(A A A ) P(A A ) P(A ) P((A A ) A )
2 2 3 321311 A A P(A ) P(A ) P(AA ) P(A ) P((AA ) ( ))
A )
A ) A ) A )
)) P((A ) P())(((
P(P A [P(A AP(A )(A ) P(A ) P(
31 23231
32 2313211
P A AA AP A
()() 321323121 P A A A P A A P(AA ) P(A A ).
innd seama de independena evenimentelor Ai, i=1,2,3, avem:
.120
119
6
5
5
4
4
3
6
5
5
4
6
5
4
3
5
4
4
3
6
5
5
4
43)
))()(A ))
1 2
3 32121321
3
P(A )P(A )P(A
P(A )P(A ) P(A )P(AP A )P(AP(APP(B) P(A
7/25/2019 matematica statistica
6/29
24
Exemplul 2.0Din mai multe controale asupra activitilor a trei magazine se
apreciaz c n proporie de 90%, 80%, 70%, cele trei magazine au declaratmarfa vndut. La un nou control, comisia de control solicit 50 de documente
privind activitatea comercial: 20 de la primul magazin, 15 de la al doilea, 15
de la al treilea. Dintre acestea se alege unul la ntmplare pentru a fi verificat:a) Cu ce probabilitate documentul ales este corect (nregistrat)?b) Constatnd c este corect, cu ce probabilitate el aparine primului
magazin?
Rezolvare
a) Notm cu A1, A2, A3evenimentul ca documentul controlat s provinde la primul, al doilea i respectiv al treilea magazin. Avem astfel
50;
15
50;
15
50
20321 P(A )P(A )P(A ) .
Fie A evenimentul ca documentul controlat s fie corect. Atunci A /A1, A / A2, A / A3reprezint evenimentul ca documentul controlat s fie corecttiind c el provine de la primul, al doilea, al treilea magazin. Prin urmare :P(A/A1)=0,90; P(A/A2)=0,80; P(A/A3)=0,70 . Cum {A1, A2, A3} este un sistemcomplet de evenimente
A AA A A A A 33 1 1 3 2221A E,A
aplicnd formula probabilitii totale avem:
0,81.0,7050
150,80
50
150,90
50
20
(A) P(A )P(A /A ) P(A )P(A /A ) P(A )P(A /A )1 2 2 3 31
P
7/25/2019 matematica statistica
7/29
25
VARIABILE ALEATOARE
Exemplul 1Se consider vectorul aleator discret (X,Y) cu repartiia dat n
tabelul:
a) s se determine repartiia variabilelor X,Y, X+Y;
b) s se stabileasc dac X i Y sunt independente sau nu;
c) s se calculeze 2F7
,5
.
Rezolvare
a) Variabila X are repartiia:
YX
2 6
0,20 0,10
0,05 0,15
0,45 0,05
1
3
4
X:
2 p31
4
p
3
p
1, unde
0,500,050,45pp p
0,200,150,05pp p
0,300,100,20ppp
32313
22212
12111
, adic
X:
0,50
4
0,20
3
0,30
1.
Analog, variabila Y are repartiia Y:
21 q
6
q
2, unde
0,300,050,150,10q p
0,700,450,050,20pppq
322 2212
3121111
p p
, adic Y:
0,30
6
0,70
2.
Avem: X+Y:
0,05
10
0,150,10
87
0,450,05
64
0,20
3.
b) Pentru verificarea independenei variabilelor X,Y, efectum uncontrol, de exemplu:
P(X=1) P(Y=2) = 0,30 0,70 0,21, iar P[(X=1) (Y=2)] = p 0,2011 .Cum 0,21 0,20, deducem c X i Y sunt dependente.
c) F(2
,5) P(2
7X
7,Y 5) P[(X 1,Y 2) (X 3,Y 2)]
=P(X=1,Y=2) +P(X=3,Y=2) = 0,20+0,05 = 0,25.
DefiniieFie variabila aleatoare X avnd funcia de repartiie F, vomspune cX este variabil aleatoare de tip continuu dac funcia de repartiie se poatereprezenta sub forma:
F(x) = (t)dt, x Rx
.
Funcia :R Rse numete densitate de probabilitate a variabileialeatoare X.
Propoziie.Au loc afirmaiile:
7/25/2019 matematica statistica
8/29
33
1) xR, (x ) 0 .
2) F'(x) = (x) a.p.t. pe R.
3)b
P(aX
7/25/2019 matematica statistica
9/29
34
Rezolvare
Calculm repartiiile marginale:
166164166
210X : ;
168164164
211Y :
Avem:2
3;
4)
3;
4) 1; 2 )
7
XVar(XE(XE(X
210;
2) 3;
2) 1; E(Y
2 ) 5 YVar(YE(Y
163
164
166
162
161
42012X Y : , E(XY)=1
2
10
2
3
E(X Y) - E(X)E(Y) 1 1
r
YX
0
ExempluFie X o variabil aleatoare care are densitatea de
probabilitate definit prin:
(x)1/ 2, x (0,2)
0,x (0,2).
a) S se determine modulul i mediana
b) S se calculeze momentul de ordin k, m (x)k ..
Rezolvarea) Conform definiiei, M0 este valoarea pentru care (x) max.adic
M (0,2)0 adic existo infinitate de valori modale situate pe segmentul (0,2).
Mese determin din ecuaia 2) 1eF(M .
Cum 12
x)()(M ) P(0
ee
M
ee MdxM
XMFe
.
b)
1
2
2
1(X) E(Xk)
k
kx k dxmk .
7/25/2019 matematica statistica
10/29
REPARTITIE BINOMIALA BERNOULLI
Exemplul 1 Dacn
A ,A ,...,A21 sunt evenimente independente i
i P(A ) p, i 1,2,...,n , iar Xreprezint numrul evenimentelor care se
realizeaz n cadrul unei experiene , atunciXare repartiie binomial cuparametrii n i p (conform schemei lui Bernoulli).
DacA este un eveniment legat de o anumit experien i probabilitatea caA
s se produc cnd efectum o singur dat experiena este P(A) =p , atuncivariabila aleatoare care are ca valori numrul realizrilor lui
Acnd efectum de nori experiena are repartiie binomial cu parametrii n i
p.
Teorema Dac variabila aleatoareXare repartiie binomial cu parametrii n
i p, atunci valoarea medie i dispersia sa sunt
E(X) np, Var(X) npq.
DemonstraieValoare medie a variabilei aleatoare Xeste
) 00
022100
2 n 1 2 1n
k
k k nknn
n
n
n
n
n
n kC p qCnp
nqC p qC pqC p qE(X .
Pentru a calcula suma de mai sus vom considera polinomul
n
k
n
k
k k nk kn
k nk k nkn
n n
n
n
n
n
nn
C p q xC p q x
C
1
pq
n1
x C qP px q)n
C
0
p
n
x
n
C p
n1
qx
0 0
11
.(x) (
Derivnd polinomul de mai sus obinem
.
1))('(x)
0
1 n 1
2101
0
(n n
k
k k nk kn
n n
n
n
n
n
n
n n
n
n
kC p q xC qC 1pq
C1pn1qxnC p xP np px q
Lundx
=1n relaia , obinem
n
k
k k nkn np(p qkC p q
0
)n1, de unde
rezult c E(X) np.
7/25/2019 matematica statistica
11/29
Pentru a calcula dispersia lui Xvom folosi formula
Var(X)E(X2 ) [E(X)]2 .
Media variabilei X2 este E(X2 )0
n
k
k k nknk
2C p q .
nmulim relaia cuxi obinem
0
n
k k nk kn
n n
n
n
n
n
nn
n
kC p q xC q
C 1pq n
1xnC pnxn (n 1)C1p n1qxxP npx(px q 101
.
)'(x)
k0
Dac derivm relaia de mai sus deducem c
0
1
2 n
k
k k nk knP'(x) xP' '(x) np(px q)
n1 n(n 1)p 2x(px q)n k2C p q x .
Lund x 1 n relaia de mai sus deducem cE(X2 ) np n(n 1)p 2 .Obinemastfel dispersia luiX
Var(X) =np+n(n1)p 2 n2p 2 =npnp 2 =npq.q.e.d.
Propoziia Dac este modulul (valoarea cea mai probabil) a unei variabilealeatoare X cu repartiie binomialcu parametrii n ip, atunci
np q np p,
unde q 1p.
DemonstraieDaceste modulul variabilei Xatunci
P(X 1) P(X ), P(X 1) P(X ).
Inegalitile de mai sus ne conduc la sistemul
np
np
,
1
11
111
q
p
n
qp
p
n
q
Cp
qC
1p
1q
CpqC p q
n
n
n
n
n
n
n
n
de unde rezult concluzia propoziiei. q.e.d.
Propoziia Dac variabila aleatoareXare repartiie binomial cu parametrii n
i p, atunci funcia sa caracteristic este
(t) (peit q)n , tR.
7/25/2019 matematica statistica
12/29
50
DemonstraieConform formulei pentru funcia caracteristic avem
(t)(00
peit q)n , tRC (pe ) qC p q e
n
k
it k nkkn
n
k
k k nk itk n
.
q.e.d.
Teorema Dac variabilele independente X i Y au repartiii binomiale cuparametrii n
i p, respectiv m i p, atunci variabila X+Y are repartiie binomial cu parametriim+n i
p.
DemonstraieDeoareceX ia valorile0,1,,n, iarY ia valorile0,1,,m,rezult c variabila
X+Y va lua valorile 0,1,,n+m.Variabila X+Y are valoarea k
(k
{0,1,,n
+m} ) dac (X=0 i Y=k) sau (X=1i Y=k-1) sau ... sau (X=ki
Y=0). Atunci vom obine
.
)}{(
0
0 0
00
k mnkkmn
k
j
jk
mn
k mnk
k
j
k
j
j kj mkjm
j j njn
k
j
k
j
p qCCjCp q
C p q C k p qP(X j)P(Y
P(X j, Y k jX j, Y jP X Y k) P
k j)
k
Am folosit mai sus faptul c evenimentele X i Y sunt independente, i de
asemenea am utilizat formula ,0
k
mn
k
j
k
mnCCjC
j care poate fi dedus egalnd
coeficientul lui x k din dezvoltrile (1x)n (1x)m i (1x)nm .Deci am obinut
P(X Y k) Ck p kqmnk, k 0,1,,n m,mn
adic variabilaX+Yare o repartiie binomial cu parametrii m+nip.
Concluzia teoremei mai poate fi obinut folosind proprietatea de la funciicaracteristice care spune c funcia caracteristic a sumei a dou variabilealeatoare independente cu funciile caracteristice 1 (t) i (t), tR2 , are forma
(t) (t),21(t) =t R. Astfel folosind relaia deducemc funciacaracteristic a variabileiX+Yeste
peit q peit qm peit qmn , tR.(t) n
7/25/2019 matematica statistica
13/29
Din expresia de mai sus a funciei c tragem concluzia c variabila aleatoareX+Yare repartiie binomial cu parametrii m+nip. q.e.d.
Teorema (Bernoulli) Un eveniment are probabilitatea de realizare p
atunci cnd facem o singur dat experiena de care este legat. Dacn
este
numrul de realizri ale evenimentului cnd repetm experiena de n ori,atunci
0,lim
p
nP n
n
oricare ar fi 0.
DemonstraieVariabila aleatoare
n care are ca valori numrul de realizri ale evenimentului
din problem are repartiie binomial cu parametrii n i p. Conform Teoremei
navemE(=)npi Var(npq. n ) Variabila aleatoare
n
n va avea atunci
valoarea medie, dispersia i abaterea medie ptratic1
E( )n
np
nnn
nmE
p ,
,( )1
2n
pq
n
pqVar
nnVar Xn
n
.
n
n i a .Vom folosi acum Inegalitatea lui Cebev pentru variabila
Obinem
22
2
n
pqp
n P n
.
0,Deoarece lim2
n
pq
ndin inegalitatea de mai sus rezult inegalitatea
q.e.d.
ObservaieO mbuntire a inegalitii este dat de teorema lui Borel, carespune c n condiiile Teoremei are loc relaia
P
np
n 1.
Aplicaien cadrul unei experiene evenimentele independente
nA ,A ,A21 k kau probabilitile de realizare P(A ) p , k 1,2,,n. S se
calculeze valoarea medie i dispersia numrului de evenimente care serealizeaz atunci cnd experiena are loc.
Rezolvare
S notm cu X variabila aleatoare care are ca valori numrul de
evenimente care se realizeaz n cadrul experienei. Valorile variabilei X sunt0,1,2,,n. Probabilitatea ca X s ia valoarea k ( k 0,1,2,,n) este, conform
schemei lui Poisson (schema binomial generalizat) coeficientul lui x kdin
polinomul
7/25/2019 matematica statistica
14/29
72
),)((x) ( 1 n1 2 2 nQ p x q p x q )(p x q
unde q 1p , i 1,2,i i
,n. Dac scriem desfurat pe Q(x) sub forma
,(x) 0n
1 2 nQ a a x a x2 a x
atunci tabloul repartiiei variabileiX este
210:
210
naaa a
nX
.
Suma tuturor elementelor de pe linia a doua a tabloului de mai sus este 1. ntr-adevr
((1)n1 1 2 2 n0 1 n p q )(p q )(p qa a a Q ) 1.
Valoarea medie a variabileiXeste E(X)0
n
k
kka . Ideea de demonstraie a
teoremei este asemntoare cu cea a Teoremei Vom deriva polinomul Q, scrissub cele dou forme de mai sus . Derivnd relaia obinem
3 2321n a nQ'(x) 2a x a x na x
1,
de unde rezult
3'(1)1
321 ka Mnaaa 2aQn
k
kn (X).
Pe de alt parte parte, derivnd relaia obinem
()((2
2k1
1
) kn
kkn
k
kkkkp x qpqp xpp x qQ'(x) p ),
iar pentru x 1 deducem Q'(1) 1 2 n p p p . Rezult c
(X) 1n
k
kpE .
0
n
k
k
k2a . nmulimPentru a calcula dispersia, vom calcula mai nti E(X2 )
relaia (3.2.8) cuxi obinem
3'(x) 3321n
nxQ a x 2a x2 a x na x .
7/25/2019 matematica statistica
15/29
73
Derivnd egalitatea de mai sus rezult
322Q'(x) xQ' ' (x) a 22
1n a x2 n2a x3 na x
1.
Pentru x 1deducemdin relaia de mai sus Q'(1) Q''(1)1
n
k
kk2a . Deci
'(1) Q''(1)1
p QE(X2 ) Qn
k
k
''(1).
Derivm acum relaia pentru a determina Q' '(x); obinem
).(()(
)(((
1121
1,33
1,221
)
) q )
j1,njjn
j2,njj
j1,njjn
j1,njjn
j
jj
j
jj
p x
qpp x
qpp x qp p
p x qpp x qp x pQ' '(x) p p
Pentru x 1 obinem din relaia de mai sus
.(X)][
)) ()((](X)
](X)(X)''(1)
1
22
222121
221k 121
Q p p p p
p ]
n
k
k
nnnn
knn
k
1 k 2 kk
pE
pp2 ppppp [E p E X
p p p [E p [E p
Din relaia (3.2.11) i din relaia de mai sus deducem c
(X)]2 )1
22
1
n n
k
k
k
k pp [EE(X .
Folosind acum relaiile rezult c dispersia luiX este
.)(1
)])][)][(X) E(X2 )
1 11
2
1
2
1
22
1
2
p p
n
k
n
k
k kkk
n
k
k
n
k
k
n n
k
k
k
k
p qpp
p [E(XE(XpE(XVar
O alt metod mai simpl pentru calculul mediei i dispersiei variabileiXeste
kurmtoarea: s notm cu X variabila aleatoare care are ca valori pe 1dac
kA se
7/25/2019 matematica statistica
16/29
realizeaz, i pe 0 dack
A nu se realizeaz, pentru k 1,2,,n. Tablourile de
repartiiepentru variabilelekX sunt
,01
: kqp
Xkk
k
1,2,,n.
XX X , deci1 nAtunci numrul evenimentelor care se realizeaz este
media sa va fi
k))11
n
k
k
n
k
pE(XE(X .
Deoarece variabilele aleatoare Xk, k 1,2,,n sunt independente, atunci
dispersia varaibileiXva fi
n
n
k k
n
k
k k
n
k
kkkk p qppE(XE(XVar(XVar(X
1 1 11
)]2 2 )([2 )k)) .
q.e.d.
Pentru n 1, legea binomial este cunoscut i sub numele de legeaBernoulli cu parametrul p. Variabila aleatoare X care urmeaz legea Bernoullicu parametrul p admite doar dou valori posibile 0 i 1 cu probabilitile derealizare q=1-pip, avnd tabloul repartiiei
,10
: qq p
X 1
p.
Valoarea medie i dispersia variabileiX sunt E(X) =pi Var(X) =pq .O variabil aleatoare cu repartiie binomial cu parametrii n i pdat de
Definiia 3.2.1 este suma a n variabile aleatoare independente cu repartiiiBernoulli cu acelai parametrup.
7/25/2019 matematica statistica
17/29
7/25/2019 matematica statistica
18/29
76
DemonstraieValoarea medie a variabilei aleatoareXeste
11
11
0
apa b
anC
C
aC
1C
C
a
Ck
C C nabn
ab
n
k
nkb
k
an
ab
n
kn
ab
nkb
k
a E(X)
.
Pentru calculul dispersiei, vom calcula mai nti media variabileiX2 ; avem
.
1)(
1)(n 1))
1)1)
1)2 )
22
22
010
a b
an
a b)(a b
an(a
a b
anC
C
a(aE(XC 2C
C
a(a
Ck
C C
C
C Ck(k
Ck
2 C CE(X
n
abnab
n
k
nkb
k
an
ab
n n n
kn
ab
nkb
k
a
kn
ab
nkb
k
a
kn
ab
nkb
k
a
Deci dispersia luiXeste
.a b 11)(
)
)(1)(
1)(n 1))][
2
222
b
npq a n
a b)2 (a babn(a b n
a b
a n
a b
an
a b)(a b
an(aE(X2 )Var(X)E(X
Folosind modelul urnei dinvaloarea medie a variabilei Xdin problem se poate calcula i n felul urmtor. Considerm o urn cu a bilealbe i bbile negre din care se extrag una cte una nbile (fr ntoarcerea bilei nurn) i considerm variabilele aleatoare
kX , pentru k 1,2,,n , unde variabila
kX ( k 1,2,,n ) are ca valori numrul de bile albe obinute la extragerea k(1
dac obinem bil alb i 0dac obinem bil neagr). Pentru 1X ,avem
, P(X 0)11a b
b
a b
aP(X 1) .
7/25/2019 matematica statistica
19/29
77
Deci tabloul repartiiei variabilei 1X este01
:1
a b
b
a b
aX .Pentru variabila
2X obinem (n urn au rmas a+b-1bile)
.1)(
1)
1
1
1
0)0)0 /1)1)0 /0)
,)1)(
1)11
1
0)0)1/1)1/1)
1121122
1121122
a b
b
b)(a ba
b(a b
a b
b
a b
b
a b
a
a b
b
P(XXP(XP(XXP(XP(X
a ba
baa ba(a b
a bb
a ba
a ba
a
a
P(XXP(XP(XXP(XP(X
b
1)
Deci tabloul repartiiei variabilei 2X este .01
:2
a b
b
a b
aX Pentru variabila
3X avem (n urn au rmas a+b-2bile)
0)] 0)0)0) /1/((
(X 1)1)0) /1/0)] [0)
1) /1/(X 1) P((1)1) /1/[
0)0)1/1)1)1/(X 1)
21123
112321
1231123
2232233
1)
P(XP(XXXP X
PXXP((XP(XP(X
XXXPXXP((X
P(XXP(XP(XXP(XP
.)2)((
2))((
)2)((
2(a 1)(a 2)
2
2
1
2
1
2
2
2
2
22
a b
a
a ba b
a a b a
a ba b
ab aba
a b
b
a b
b
a b
a
a b
a
a b
a
a b
a
a b
b
a b
a
a b
a
a b
a
b
7/25/2019 matematica statistica
20/29
78
( 1 P( 33 0) Xa b
bAsemntor se arat c P(X 1)). Deci tabloul
repartiiei variabilei 3X este01
:3
a b
b
a b
aX .
Se arat n acelai mod c toate variabilele Xk
, k 1,2,,n au acelai tablou
de repartiie 1,2,,n ,,01
: k
a b
b
a b
aXk
(dei ele sunt variabile
dependente).
Cu ajutorul variabilelor X , k 1,2,k
,n , variabilaXse scrie ,1
n
k
kXX
deci media variabileiX este
)()11
npa b
na
a b
aE XE(X
n
k
n
k
k
.
Var(X) este egal cu n
Var(Xk1
k) ,Pentru dispersie nu mai putem scrie c
deoarece variabilele Xk
, k 1,2,,n nu sunt independente. q.e.d.
7/25/2019 matematica statistica
21/29
Legea Poisson (legea evenimentelor rare)
Definiie Variabila aleatoare X urmeaz legea Poisson (X are repartiiePoisson) cu parametrul >(0)dac poate lua orice valoare ntreagpozitiv
i
!k) e , kk
P(X k 0,1,2,
Tabloul repartiiei variabilei Xeste
!2!1!0!
210
: 210
e
ek
ee
k
X k .
Pentru a verifica c suma probabilitilor de pe linia a doua a tabloului de maisus este 1, vom folosi dezvoltarea n serie de puteri a funciei f(x) ex ,i anume
!2!1!
2
x Rk
x
xe
x kx 1 , .
Folosind relaia pentrux =, avem
!00 ee
kk) eP(X
k
k
k
1.
Teorema Dac variabila aleatoare X are repartiie Poisson cu parametrul ,atunci valoarea medie i dispersia sa sunt
E(X) , Var(X) .
DemonstraieValoarea medie a variabileiXeste
(k1)!!)
1
1
0
eeeek
kE(Xk
k
k
k .
Pentru dispersie, calculm mai nti media variabileiX2 . Obinem
.)(k 2)!
)
!1)
!!)(
!2 )
2
2
2
2
211
2
0
2
2
e
eE(XeE(X
ek
k(kek
kek
kkek
kE(X
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
Atunci dispersia luiXeste
Var(X) =E(X2)[E(X)]2 =2+2 =.q.e.d.
7/25/2019 matematica statistica
22/29
PropoziiaDac variabila aleatoareXare repartiie Poisson cu parametrul ,
atuncifuncia sa caracteristic este
e(eit
1) , tR.(t)
DemonstraieFolosind formula de calcul de la funcia caracteristic, avem
.!
(e ) k
!!
t)( (eit1)
000
Ree
ke
itk e
ke
e
itk e
k
ite
k
it k
kk
k
, t e
q.e.d.
Teorema Variabilele aleatoare independente 1X i 2X au repartiii
1 2Poisson cu parametrii i respectiv .Atunci variabila aleatoare 21X X
are repartiie Poisson cu parametrul .21
1 2X X are ca valori pe 0,1,2, Fie k 0 ntreg.
Demonstraie
Variabila aleatoare
Atunci avem
.!
)(
!)!! ((
),,((
)21
0 0
21
)
0
2121
0
1 20 2121
21
2121
(
(
k j)
k k j) X k)
ek
Ck
ee
k je
jP X j)P(X
P(X j X jX j XP X P
k
k
j
k
j
j jkjk
k
j
kjj
k
j
k
j
Deducem astfel c variabila aleatoare1 2
X X are repartiie Poisson cu
.2 Folosind funciile caracteristice ale variabilelor 21X , X ,parametrul 1exprimate cu ajutorul formulei , i anume
21 (t) e1 (e
it1) , (t) e
2 (eit
1) , tR , deducem c funcia caracteristic a
variabilei 21X X este
)(eit1) ,(t) (t)2121 Reet t( ) e
1(eit
1) 2 (e
it1)
( .
Din expresia de mai sus a funciei caracteristice rezult c variabila 21X X are
repartiie Poisson cu parametrul .21 q.e.d.
Legtura dintre repartiia binomial i repartiia Poisson este dat deurmtoarea teorem.
7/25/2019 matematica statistica
23/29
nX careTeorema Fie k
N
fixat, iar pentru n
>k
considerm variabilele au
repartiii binomiale cu parametrii n inp , astfel nct toate s aib aceeai
valoare medie . Atunci are loc relaia
!lim P(
k) e
kX
k
nn
.
RezolvareDeoarece variabilele X
n, n kau aceeai valoare medie , deducem
conform primei relaii din (3.5.3) c valoarea medie a acestor variabile este(X )
nE np . Deci p
n n/ n. Atunci obinem
,!
lim1) ( 1)
!limlim P(
lim1
1
k1) )
eknn
n kn(n
nnklim
1)(nn(nC p
kqX k
knk
nk
k
nkk
n
nknn
k
nn
nn
k!n
Observaia Relaia ne arat c dac n
q.e.d.
p este suficient de mic i nsuficient de mare, atunci putem aproxima repartiia binomial cu parametrii n i
np , prin repartiia Poisson de parametru np . Din acest motiv repartiianPoisson se mai numete legea evenimentelor rare. Dac n 30i np 5 atuncirepartiia Poisson cu parametrul np este o bun aproximare a repartiiei
binomiale cu parametrii n i p.
Aplicaia S se calculeze momentele iniiale 3m (X) i 4m (X), precum i
momentele centrate 3 (X) i 4 (X) pentru o variabil aleatoare X cu
repartiie Poisson cu parametrul .
Rezolvare
Din demonstraia teoremei tim c (X)E(X) 1m , iar
.(X)E(X2 )2m 2 Momentul iniial de ordinul al treilea al variabilei X
este!
(X)E(X3 )0
33
k
ke
kkm
.
Deoarece k3 k(k1)(k 2) 3k(k1) k, vom scrie pe 3m (X) astfel
7/25/2019 matematica statistica
24/29
.3
(k1)!( 2)!(k 3)!
k!!3 k(k1)
!1)(k 2)(X)
22
3
1
1
2
22
3
3
3
1123
3
3
3
e
ee
e
e eek
ee
ekek
ek
k(km
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
Apoi momentul centrat de ordinul al treilea este
.3
)3(33 )
3 ) 3 )3()(
33
2331
223
32
2322333
3
3
32
)
mmmE(X
E(XE(XXXE XX)E(X
Pentru momentul iniial de ordinul al patrulea avem
0
444 .
!(X)E(X4 )
k
ek
km Deoarece
k4 k(k1)(k 2)(k 3) 6k(k1)(k 2) 7k(k1) k, momentul 4m (X) se
scrie astfel
3
3
3
4
4
4
11
k234
(k 3)!6
( 4)!!!7 k(k1)
!6 1)(k 2)
!1)(k 2)(k 3))
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
ek
eek
kek
ek
k(kek
k(km (X
.76
6(k1)!( 2)!
234
234
1
1
2
22 7
7
ee
e
eeee ee
ke
k
k
k
k
Apoi momentul centrat de ordinul al patrulea este
.) 6 (34(7
64 ) 6 ) 4 )
) E(X )64()(X)E(
2442223234
41
32
234
43223
443223444
346
44
4
)
m
mmmE(XE(XE(X
XXXE XX
7/25/2019 matematica statistica
25/29
7/25/2019 matematica statistica
26/29
7/25/2019 matematica statistica
27/29
7/25/2019 matematica statistica
28/29
89
7/25/2019 matematica statistica
29/29
Recommended