Matematica e Statistica - Dipartimento di Matematica · Matematica e Statistica Aritmetica - Appuntiv. 10 ottobre ENRICO ROGORA1 1Dipartimento di Matematica ”Sapienza”, Universita

Matematica e StatisticaAritmetica - Appunti v. 10 ottobre

ENRICO ROGORA1

1Dipartimento di Matematica”Sapienza”, Universita di Roma

Roma, Ottobre 2013

ENRICO ROGORA Matematica e Statistica

I fondamenti della geometria euclidea

La geometria elementare si basa su pochi concetti primitivi: punti,rette e piani. Tra i concetti primitivi esistono mutue relazioni cheindichiamo con parole quali: parallelo, congruente, tra. La descrizionecompleta di queste relazioni segue dagli assiomi della geometria, chesecondo la lezione di Hilbert, si dividono in cinque classi

7 assiomi di connessione (per esempio: due punti distinti determinanocompletamente una retta)

5 assiomi di ordine (per esempio: di ogni terna di punti su una retta, ce n’esempre uno e uno solo che giace tra gli altri due).

L’assioma di Euclide: In un piano α si puo tracciare da ogni punto A esterno adogni retta a una e una sola retta che non interseca a, che si dice retta parallelaad a condotta dal punto A.

6 assiomi di congruenza (per esempio: se A e B sono due punti su una retta a eA′ e un qualsiasi punto su una qualsiasi retta a′, allora, su ognuna delle semirettedeterminate da A′ su a′ esiste uno e un solo punto B′ tale che il segmento AB siacongruente al segmento A′B′. Inoltreogni segmento e congruente a se stesso.)

L’assioma di Archimede: sia a una retta, siano A e B due suoi punti e sia A1 unqualsiasi punto tra AeB di a. Siano A2, A3, A4,..., punti scelti in modo che A1 siatra A e A2, A2 sia tra A1 e A3, A3 sia tra A2 e A4, etc. e siano inoltre i segmentiAA1, A1A2, A2A3, A3A4,... congruenti l’uno all’altro. Allora, in questa serie dipunti, esiste sempre un punto An tale che B sta tra A e An.)


La geometria razionale

Dagli enti primitivi e dalle relazioni fondamentali e possibile definiretutti gli oggetti e le nozioni della geometria elementare: segmenti,triangoli, perpendicolarita, ecc.Dagli assiomi e possibile dedurre in maniera puramente logica tutti iteoremi della geometria elementare, per esempio il

Teorema di Pitagora

In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa eequivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.


Matematica logico intuitiva

Ogni parte della matematica puo essere fondata su un insieme di entiprimitivi ed assiomi in modo tale che ogni risultato segua logicamentedagli assiomi. Ma non e possibile e non bisogna insegnare lamatematica partendo dagli assiomi per dimostrare ogni teorema.Il nostro modo di procedere consistera invece nel cercare disviluppare l’intuizione sugli oggetti e sulle nozioni di base, di illustrarein esempi alcune proprieta generali e di dimostrare alcune proprietagenerali suggerite dall’intuizione e dagli esempi a partire da altreproprieta gia note o intuitive o che verranno esplicitamente assunte eche potrebbero essere dimostrate in maniera puramente logica apartire da un piccolo numero di assiomi.


L’aritmetica razionaleL’accento degli sviluppi formali che affronteremo nel corso sara sugliaspetti numerici, anche se appoggeremo costantemente la nostraintuizione sulla geometria. Anche l’aritmetica puo essere fondataassiomaticamente. Presentiamo brevemente un sistema di assiomiche caratterizzano i numeri naturali, cioe la serie dei numeri uno, due,tre, quattro, ecc. che utilizziamo da sempre per contare.

Enti primitivi

1 L’insieme dei numeri naturali, N.2 Il numero uno, 1.3 La nozione di successivo, che indiceremo s

Assiomi

uno e un numero intero, ovvero a ∈ N.

il successivo di un numero e un numero

uno non e il successivo di alcun numero

se i successivi di due numeri sono uguali, anche i numeri sono uguali

se un sottoinsieme A di N contiene il numero uno e i successivo di ogni suoelemento, allora A = N.


Le operazioni aritmetiche e lo loro proprieta

Nell’ambito della teoria assiomatica di Peano possiamo definire le operazioniaritmetiche di somma e prodotto e dimostrare le loro proprieta.

La somma

La definizione e induttiva

1. a + 1 = s(a) 2. a + s(b) = s(a + b)

Il prodotto

La definizione e induttiva

1. a ∗ 1 = a 2. a ∗ s(b) = a ∗ b + a

Utilizzando gli assiomi di Peano e possibile dimostrare le consuete proprieta dellasomma e del prodotto: Commutativita della somma m + n = n + m e associativitadella somma (m + n) + q = m + (n + q). Commutativita del prodotto m ∗ n = n ∗m eassociativita del prodotto (m ∗ n) ∗ q = m ∗ (n ∗ q). Distributivita del prodotto rispettoalla somma (m + n) ∗ q = (m ∗ q) + (n ∗ q).


Possiamo dimostrare che due piu due fa quattro!!

Definiamo innanzitutto

2 = s(1) 3 = s(2) 4 = s(3)

Allora

2 + 2 = 2 + s(1) = (prop. 2. della somma) = s(2 + 1) =

(prop. 1. della somma) = s(s(2)) = s(3) = 4


Una nota sulla caratterizzazione dei numeri naturali

Gli assiomi di Peano caratterizzano l’insieme dei numeri naturali dalpunto di vista della struttura, non degli elementi, Cosı, se chiamiamoN l’insime dei numeri pari, se chiamiamo uno il numero 2, e sedefiniamo s come il numero pari successivo, anche l’insieme deinumeri pari verifica gli assiomi di Peano. Ma si tratta solo di unaquestione di nomi assegnati alle cose. Dal punto di vista strutturaleesiste una sola struttura matematica che verifica gli assiomi di Peano,ovvero, pur di cambiare il nome agli oggetti possiamo identificare traloro due qualsiasi terne (N,1, s) che verificano gli assiomi di Peano.E pur sempre vero che l’insieme dei numeri naturali contiene sempredei sottoinsiemi propri (per esempio quello dei numeri pari) in cui sipuo scegliere un elemento e si puo definire una opportuna nozione disuccessivo (che non e la restrizione di quella definita sull’insiemeprimitivo) in modo da ottenere un nuovo modello degli assiomi diPeano.Questo fatto paradossale ha a che fare con la natura dell’infinitomatematico, come gia osservo Galieleo riflettendo sul fatto che inumeri interi sono tanti quanti i loro quadrati.


Galileo - sull’infinito

Queste son di quelle difficolta che derivano dal discorrer che noifacciamo col nostro intelletto finito intorno agli infiniti dandogli quegliattributi che noi diamo alle cose finite e terminate; il che penso chesia inconveniente, perche stimo che questi attributi di maggiornaza,minorita e eguaglita non convenghino a gl’infiniti, de i quali non si puodire, uno esser maggiore o minore o eguale all’altro. [...] io non veggoa che ad altra decisione si possa venire, che a dire, infiniti essere tuttii numeri, infiniti i quadrati, infinite le loro radici, ne la moltitudine deiquadrati esser minore di quella di tutti i numeri, ne questa maggior diquella, e in ultima conclusione, gli attributi di eguale, maggiore eminore non aver luogo ne gli infiniti, ma solo nelle quantita terminate[Galiei G., Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuovescienze, 1638].

Alla fine del 1800 Cantor mostro come sia possibile confrontare gliinsiemi infiniti.


Nozioni e notazioni insiemistiche

Nell’enunciato degli assiomi di Peano si fa riferimento a sempliciconcetti della teoria degli insiemi. Ci guardiamo bene dall’accennarealla teoria assiomatica degli insiemi, ritenendo piu che appropriatal’idea che ognuno di noi ha di insieme, sottoinsieme, elemento,appartenenza di un elemento ad un insieme.Faremo uso senz’altro di semplici notazioni insiemistiche quali

a ∈ A per dire che a appartiene ad A, ovvero che a e unelemento di BA ⊆ B per denotare che l’insieme A e un sottoinsiemedell’insieme B ovvero che tutti gli elementi di A sono ancheelementi di B. Si noti che e improprio utilizzare il simbolo a ⊆ Aperche un elemento non e un insieme. E invece corretto scrivere{a} ⊆ A, dove {a} indica l’insieme costituito dal solo elemento a.Si noti anche che l’uguaglianza di insiemi A = B equivale alledue condizioni A ⊆ B e B ⊆ A e quindi per verificarel’uguaglianza di due insiemi bisogna verificare che tutti glielementi del primo appartengono al secondo e tutti gli elementidel secondo appartengono al primo.


Altri simboli e notazioni

Simboli logici

∃, esiste; ∀, per ogni;⇒, implica;⇔, se e solo se.

Simboli logici

∪, unione; ∩, intersezione; ×, prodotto cartesiano; \, differenza; ⊂sottoinsieme; ∅, insieme vuoto; ∈, appartiene.

Alfabeto greco

α, alfa; β, beta; γ, gamma; δ, delta; ε, epsilon; ζ, zeta; η, eta; θ, teta;ι, iota; κ, kappa; λ, lambda; µ, mi; ν, ni; ξ, xi; o, omicron; π, pi; ρ, ro;σ, sigma; τ , tau; υ, upsilon; φ, fi; χ, chi; ψ, psi; ω, omega;


Il numero zero

L’esigenza del contare porta all’introduzione dei numeri interi.L’esigenza di suddividere porta all’introduzione delle frazioni.L’esigenza di conteggi piu astratti porta all’introduzione dei numerirelativi e dello zero. L’esigenza di misurare porta all’introduzione deinumeri reali.L’introduzione dello zero e necessaria per contare l’assenza. Questaidea sta alla base deil sistemi di numerazione decimale. La notazione1432 per il numero millequattrocentotrentadue indica che tale numeroe composto da una migliaia, quattro centinaia, tre decine e due unita.Lo zero e necessario per esprimere numeri quali 1020, costituito dauna migliaia, nessuna centinaia, due decine e nessuna unita.La nostra notazione decimale puo essere sostituita da notazioni inbase diverse, come quella in base due o in base sedici, che sonoimportanti nei sistemi elettronici di gestione dell’informazione.


Rappresentazione dei numeri naturali sulla retta

Per rappresentare i numeri naturali sulla retta e necessario fissare unpunto origine O e un punto unita U.


Rappresentazione dei numeri interi sulla retta

Proseguendo la costruzione anche a sinistra del punto origine, sirappresentano sulla retta i numeri interi, cioe i numeri. . . ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,. . . . Indicheremo con Z l’insieme dei numeriinteri.


Operazioni aritmetiche e ordinamento dei numeri interi

Si daranno per scontate le capacita di svolgere correttamente leoperazioni aritmetiche sui numeri naturali e le conoscenze relativeall’ordinamento degli stessi. Notiamo semplicemente che e possibiledefinire le operazioni sui numeri interi in maniera completamentegeometrica.

Somma e prodotto


Algoritmo per la divisione

La notazione posizionale in base dieci permette di introdurreprocedure efficaci per operare sui numeri. Sono ben noti dalla scuolaelementare gli algoritmi per eseguire somme e prodotti in colonna eper eseguire la divisione con il resto.

1 3 5 7 2 1− 1 2 6 6 4

9 7− 8 4

1 3

Per eseguire questi algoritmi bisogna saper calcolare le somme e iprodotti degli interi 0,1, . . . ,9 e saper separare le unita dalle decineper i riporti. Il risultato della divisione di un dividendo m per undivisore n e un quoziente q e un resto r determinati dalle condizioni

m = n · q + r 0 ≤ r < n.


Suddivisione di una unita in parti uguali

nasce spesso l’esigienza di suddividere una unita in parti uguali. Laprocedura per la suddivisione di un segmento in n parti uguali efattibile con riga e compasso ed e illustrata nella figura seguente.

L’esigenza di suddividere un numero in parti uguali viene risoltaintroducendo l’insieme dei numeri razionali, che indicheremo con Q.


Definizione formale di numero razionale

Q = Z× Z/ ∼, dove (a,b) ∼ (c,d)⇔ ad = bc.

Somma

(a,b) + (c,d) = (ad + bc,bd)

Prodotto

(a,b) ∗ (c,d) = (ac,bd)

Ordine

Se a,b, c,d > 0, allora (a,b) > (c,d) se e solo se ad > bc


Tra due numeri razionali ne esiste sempre un terzo

Se a e b sono due numeri razionali, anche (a + b)/2 e un numerorazionale, ed e compreso tra i a e b. Infatti, supponiamo a < b(altrimenti basta scambiare a con b). Allora

a = a/2 + a/2 < a/2 + b/2 < b/2 + b/2 = b.


I punti razionali sono densi sulla retta

Per ogni punto della retta e per ogni ε > 0, esiste un punto razionaleq che dista da P meno di ε

E una conseguenza dell’assioma di Archimede. Supponiamo che Psia dalla stessa parte di U rispetto ad O. Sia n1 l’ultimo numeronaturale tale che n0 ≤ P ma (n0 + 1) > P. Allora almeno uno tra ipunti n0 e n0 + 1 dista da P meno di 1.Suddividiamo ora l’intervallo OU in dieci parti. Sia n1 tale chen0 + n1/10 ≤ P ma n0 + (n1 + 1)/10 > P. Allora almeno uno tra ipunti n0 + n1/10 e n0 + (n1 + 1)/10 distano da P meno di 1/10.Iterando la suddivisione in dieci parti il segmento gia suddiviso alpasso precedente otteniamo due punti razionali,

n0 + n1/10 + n2/100 + · · ·+ nk/10k ≤ P <

< n0 + n1/10 + n2/100 + · · ·+ (nk + 1)/10k

tali che almeno uno dei due dista da P meno di 1/10k . Pur diprendere k abbastanza grande, 1/10k si puo rendere minore di ogniε > 0 fissato.


Espansione decimale

Indichiamo il numero n0 + n1/10 + n2/100 + · · ·+ nk/10k con lanotazione decimale n0,n1n2 . . . nk .Abbiamo dimostrato nella slide precedente che ad ogni punto dellaretta possiamo associare una espansione decimale infinita, ottenutaapprossimando sempre meglio il punto dato con particolari puntirazionali. Puo succedere che ad un certa iterazione il punton0.n1 . . . nk cada esattamente sul punto P. Proseguendo con laprocedura descritta, abbiamo in questo caso che nh = 0 per tutti glih ≥ k . Conveniamo di abbreviare la successionen0,n1n2 . . . nk 0000 . . . con n0,n1n2 . . . nk .


Esistono punti non razionali

La densita dei punti razionali sulla retta po lasciarci con il dubbio chetutti i punti della retta siano razionali. Questo infatti venne assunto daPitagora e dalla sua scuola agli albori della matematica greca. MANON E COSI.Si consideri per esempio il punto P seguente. Si costruisca unquadrato sul segmento OU e si tracci la circonferenza di centro O eraggio uguale alla diagonale OX del quadrato appena costruito. SiaP il punto di intersezione della circonferenza con la retta per O e perU. Se P fosse un punto razionale x = m/n, per il teorema di Pitagorasarebbe

m2 = 2n2. (1)

Possiamo sempre supporre che n e m siano privi di fattori comuni.Da (1) segue che m2 e pari e quindi m e pari e m2 e divisibile per 4,cioe 4q = 2n2 che, dividendo ambo i menmbri per 2, implica n2 pari equindi n pari. Ma questo e assurdo, avendo supposto m ed n privi didivisori comuni. L’assurdo viene dall’aver supposto che P siarazionale e quindi P non e razionale.


Definizione di numero reale

Un numero reale e una qualsiasi espressione decimale infinita.Abbiamo visto precedentemente come ad ogni punto della retta epossibile associare una espansione decimale infinita, iterando ilprocesso di approssimazioni con multipli dell’unita, della decimaparte dell’unita, della centesima parte dell’unita, ecc.Il viceversa non si puo dimostrare. Assumiamo come assioma che adogni espansione decimale infinita sia possibile associare uno ed unsolo punto della retta, con l’eccezione che all’espansionen0,n1 . . . nk 0000 . . . corrisponde lo stesso punton0,n1 . . . (nk − 1)9999 . . . (infatti la distanza tra queste espansioni sipuo rendere arbitrariamente piccola).


Divisione con il resto e rappresentazione decimale diun numero razionale

L’espansione decimale associata ad un punto razionale puo esserecalcolata utilizzando l’algoritmo per la divisione intera, abbassandouno zero per ogni nuova cifra decimale che si vuole calcolare.Per esempio

1 I 7I ———–

1 0 I 0.1428573 0 I

2 0 I6 0 I

4 0 I5 0 I

1 ISi ha allora che 1 = 7 ∗ 0.142857 + 1/1000000. Inoltre, iterando laprocedura i resti si ripetono e la rappresentazione decimale diventaperiodica. Questa proprieta caratterizza le espansioni decimali deinumeri razionali come quelle periodiche da un certo punto in avanti(eventualmente con ripetizione infinita di zeri).


Rappresentazione dei numeri reali sulla retta

Abbiamo detto che, in conseguenza dell’assioma di Archimede, adogni punto della retta. una volta fissata un’origine e un punto unita,corrisponde una espressione decimale infinita. Viceversa,

Assioma di completezza

ad ogni espressione decimale infinita, corrisponde un solo puntodella retta


Difficolta della definizione di numero realeAbbiamo definito un numero reale come una qualsiasi espressionedecimale finita modulo la relazione di equivalenza che identifica

n0,n1n2 . . . nk 999999 . . . con n0,n1n2 . . . (nk + 1)

Questa definizione non pone problemi quando si vuole introdurre unordinamento sull’insieme dei numeri reali ma risultacomplicatodefinire le operazioni aritmetiche e dimostrarne leproprieta. E conveniente, a questo scopo, usare definizioni piuastratte ma piu maneggevoli. Non ci interessa entrare nei dettagli ditali costruzioni e ci limiteremo ad assumere che

Sull’insieme dei numeri reali si possono definire le ordinarieoperazioni aritmetiche che godono di tutte le proprieta di cuigodono nel campo razionaleSostituendo a due numeri reali α e β loro approssimazionidecimali αk e βh dal prodotto αk ∗ βh si puo trarre unaapprossimazione decimale di α ∗ β che, pur avendo in generaleun numero di decimali “esatti” inferiori a quelli di αk e βh puoessere resa arbitrariamente precisa aumentando la precisione diαk e di βh.


Propagazione dell’incertezza

1 Se una misura positiva µ e compresa tra due valori, a ≤ µ ≤ b,l’incertezza della misura e ∆ = b − a.

2 Date due misure, a ≤ µ ≤ b e a′ ≤ µ′ ≤ b′ come si propagano leincertezze e le incertezze relative per le operazioni aritmetiche?

+ a + a′ ≤ µ+ µ′ ≤ b + b′ ∆µ+µ′ = ∆µ + ∆µ′

− a− b′ ≤ µ− µ′ ≤ b − a′ ∆µ−µ′ = ∆µ + ∆µ′

∗ a ∗ a′ ≤ µ ∗ µ′ ≤ b ∗ b′ ∆µ∗µ′ = b∆′ + a′∆/ a/b′ ≤ µ/µ′ ≤ b/a′ ∆µ/µ′ = (b′∆µ + a∆µ′)/a′b′

L’ultima uguaglianza si dimostra cosı.

∆µ/µ′ = b/a′ − a/b′ = (b′b − a′a)/a′b′ =

(bb′ − ab′ + ab′ − aa′)/a′b′ = (b′∆µ + a∆µ′)/a′b′ (2)


Errore assoluto e errore relativo

Le formule per l’incertezza del prodotto e del quoziente di due misuresono piu complicate e asimmetriche rispetto a quelle per l’incertezzadella somma e della differenza. E possibile ottenere formuleapprossimate piu simmetriche introducendo nuove variabili:

c =b + a

2δ =

b − a2

c′ =b′ + a′

2δ′ =

b′ − a′

2

In queste nuove variabili

a = c − δ b = c + δ a′ = c′ − δ′ b′ = c′ + δ′.

δ prende il nome di errore assoluto e δ/c prende il nome di errorerelativo.


Errore relativo del prodotto I

Indichiamo con [a,b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}. Supponiamo

µ ∈ [c − δ, c + δ] µ′ ∈ [c′ − δ′, c′ + δ′]

Allora µ · µ′ ∈ [c · c′ − δc′ − δ′c + δ · δ′, c · c′ + δc′ + δ′c + δ · δ′]Si osservi che il punto medio di quest’ultimo intervallo non e c · c′ acausa del termine δ · δ′. Quando e possibile trascurare questotermine?

Esperimentodelta1=0.1delta2=0.2c1*c2-delta1*c2-delta2*c1c1*c2-delta1*c2-delta2*c1+delta1*delta2

delta1=0.000001delta2=0.000002c1*c2-delta1*c2-delta2*c1c1*c2-delta1*c2-delta2*c1+delta1*delta2


Errore relativo del prodotto II

Conseguenze dell’esperimento

Se gli errori relativi sono molto piccoli, il termine δ · δ′ e trascurabile.

Calcolo approssimato

Nell’ipotesi che δ · δ′ sia trascurabile, abbiamo approssimativamente

µ · µ′ ∈ [c · c′ − δc′ − δ′c, c · c′ + δc′ + δ′c]

Calcolo approssimativo dell’errore relativo del prodotto

Se il prodotto degli errori assoluti e trascurabile, allora l’errore relativodel prodotto e CIRCA

(δc′ + δ′c)/c · c′ = δ/c + δ′/c′

in altre parole L’ERRORE RELATIVO DEL PRODOTTO EAPPROSSIMATIVAMENTE LA SOMMA DEGLI ERRORI RELATIVI


Errore relativo del quoziente

Valgono risultati analoghi per l’errore relativo del quoziente

Calcolo approssimato

Nell’ipotesi che δ · δ′ e (δ′)2 siano trascurabili, abbiamoapprossimativamente

µ/µ′ ∈ [c/c′ − δc′ − δ′c, c/c′ + δc′ + δ′c]

Calcolo approssimativo dell’errore relativo del quoziente

Nell’ipotesi che δ · δ′e (δ′)2 siano trascurabili, allora l’errore relativodel quoziente e CIRCA

(δc′ + δ′c)/c · c′ = δ/c + δ′/c′

in altre parole L’ERRORE RELATIVO DEL QUOZIENTE EAPPROSSIMATIVAMENTE LA SOMMA DEGLI ERRORI RELATIVI


Arrotondamento, troncamento

Indichiamo un numero, di cui conosciamo esattamente solo le primecifre decimali, con una notazione del tipo 137.4215062. . .

TroncamentoIl troncamento alla i-esima cifra decimale significa semplicementesostituire il numero dato con quello che si ottiene eliminando dutte lecifre successive alla i-esima. Per esempio, il troncamento del numerodato nell’esempio alla terza cifra e 137.421

Arrotondamentol’arrotondamento alla i-esima cifra decimale si fa guardano la cifra(i+1)-esima. Se questa cifra e minore o uguale a 5, l’arrotondamentocoincide con il troncamento, altrimenti la cifra i-esima vieneaumentata di 1. In particolare, se la cifra i-esima e 9, viene sostituitacon 0, aumentando di uno, con la stessa cautela riguardo al 9, anchela cifra i − 1-esima. Per esempio, l’arrotondamento del numero datonell’esempio alla terza cifra e 137.422 e l’arrotondamento di0.99999 . . . alla terza cifra e 1.000.


Osservazioni sull’arrotondamento

La procedura di arrotondamento e in realta piu complicata di quelladescritta nella slide precedente. Esistono delle specificheinternazionali descritte nel documento

IEC 60559 standard

reperibile in rete al sito

http://www.iso.org

Informazioni riassuntive si possono ottenere anche da wikipedia

http://en.wikipedia.org/wiki/IEEE_floating_point


Arrotondamento e trocancamento con R

e=exp(1)round(e,4)#L’operazione di troncamento va definitatronca=function(x,digits=0){return(trunc(x*10ˆdigits)/10ˆdigits)}tronca(e,4)

E meglio il troncamento o l’arrotondamento? Vediamo come sicomportano nell’approssimazione di e2.

eˆ2round(e,4)*round(e,4)tronca(e,4)*tronca(e,4)

Le regole per l’arrotondamento non sono banaliround(1.5)round(0.5)round(0.500001)


Calcoli approssimati

Regola pratica per operare con i calcoli approssimati

Step 1, arrotondare tutti i termini allo stesso numero di cifre decimalidi quello che ha il numero minimo di cifre decimali esatteStep 2 Arrotondare il risultato al numero di cifre decimali di cui allostep 1

NOTA:12 ha infinite cifre decimali esatte, uguali a zero. 1.3... ha una cifradecimale esatta 1.3 ha infinite cifre decimali esatte. Attenzione peroche non si pone spesso cura a differenziare una approssimazione(1.3...) da un decimale esatto (1.3)

Esempio: Calcolare (1.13...+0.24273..)*7.248+0.1

Il numero minimo di cifre decimali esatte dei diversi termini e 2, quindicalcolare (1.13+0.24)*7.25+0.1. Il risultato e 10.0325.arrotondare il risultato alla seconda cifra decimale. Il risultato e 10.03.


Approssimazioni per troncamento e arrotondamentoUn numero reale α puo essere approssimato con un numerodecimale per troncamento o per arrotondamento. Per esempio, iltroncamento alla quarta cifra decimale del numero di Nepero e e2.7182 mentre l’arrotondamento alla quarta cifra decimale e 2.78183.Indicheremo la prima circostanza con la scrittura

e = 2.7182 . . .

e la seconda, con la scrittura

e = 2.7183 · · ·

Dalla prima segue2.7182 ≤ e < 2.7183

e dalla seconda2.71825 ≤ e < 2.71835

Essendoe = 2.718281828 . . .

l’approssimazione per arrotondamento e piu vicina al vero valore.ENRICO ROGORA Matematica e Statistica

Calcoli approssimatiSia a = 2.145 . . . , b = 4.191 . . . e c = 3.154 . . . . Determinare le cifredecimali esatte del numero

b2 − 3 · ac

.

Sappiamo che

2.145 ≤ a < 2.146 4.191 ≤ b < 4.192 3.154 ≤ c < 3.155

e quindi

3.526618 =4.191 ∗ 4.191− 3 ∗ 2.146

3.155<

b2 − 3 · ac

<4.192 ∗ 4.192− 3 ∗ 2.145

3.154= 3.531346

Quindi possiamo solo affermare che b2−3·ac = 3.5 . . . in quanto la

seconda cifra decimale potrebbe essere, con le informazioni di cuidisponiamo, 2 o 3. L’arrotondamento alla seconda cifra decimale einvece 3.53 · · · .


Calcoli approssimati (II)Sia a = 2.145 · · · , b = 4.191 · · · e c = 3.154 · · · . Determinare le cifredecimali esatte del numero

b2 − 3 · ac

.

Sappiamo che

2.1445 ≤ a < 2.1455 4.1905 ≤ b < 4.1915 3.1535 ≤ c < 3.1545

e quindi

3.526324 =4.1905 ∗ 4.1905− 3 ∗ 2.1455

3.1545<

b2 − 3 · ac

<4.1915 ∗ 4.1915− 3 ∗ 2.1445

3.1535= 3.531052

Anche in questo caso possiamo solo affermare che b2−3·ac = 3.5 . . .

in quanto la seconda cifra decimale potrebbe essere, con leinformazioni di cui disponiamo, 2 o 3. L’arrotondamento alla secondacifra decimale e invece 3.53 · · · .


Bibliografia

B. De Finetti, Matematica logico intuitiva, ed. Cremonese, 1959.P. Halmos, Teoria elementare degli insiemi, Feltrinelli, 1970.D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, (1899), trad. inglese, Thefoundations of Geometry, disponibile su www.gutemberg.net(EBook n. 17384).G. Israel, A. Milan Gasca, Pensare in matematica, Zanichelli,2012.


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