View
135
Download
4
Category
Preview:
DESCRIPTION
Matematika prvi deo matrice, linearne jednacine itd..
Citation preview
Viša tehnička škola Doboj
VježbeProf.Vesna Mišić
Doboj 2003
Stepen
n-činilaca
Proizvod stepena istih baza Dijeljenje stepena istih baza
Stepenovanje stepena Korjenovanje korijena
LogaritamLogaritam pozitivnog realnog broja x po bazi a je eksponent y kojim treba stepenovati bazu a da bi se dobio broj x.
- baza - numerus
Li
nearne jednačine
I. - jedinstveno rješenje
II. i.) ii.)
i.) , jednačina je neodređena ii.) nemoguće, nema rješenja
sabiranje razlomaka
množenje razlomaka
dijeljenje razlomaka
jedinstveno rješenje
I.
II. neodređeno rješenje
razlika kvadrata kvadrat binoma
Binomna formula
jedinstveno rješenje
I.
II. neodređeno rješenje
jedinstveno rješenje
I. jedinstveno rješenje
II.
nije definisan za
neodređeno
za neodređeno rješenje Sistem linearnih jednačina
Deteminante
m – vrsta n – kolona
rješenja
rješenja jednačine ima u kolonama koeficijente uz u prvoj koloni umjesto koeficijenata uz ima slobodne članove u drugoj koloni umjesto koeficijenata uz ima slobodne članove u trećoj koloni umjesto koeficijenata uz ima slobodne članove
Kvadratna jednačina
- Diskriminanta
Rješenja kvadratne jednačine
- konjugovano kompleksan broj Rastavljanje kvadratnog trinoma na
linearne činioce
Vietove formule
sastaviti jednačinu čija su rješenja
.
25. Neka su x1 i x2 korijeni (rješenja jednačine)
gdje je sastaviti jednačinu čiji su korijeni :a) i b) u dobijenoj jednačini odrediti m tako da je c) za odgovarajuće vrijednosti m odrediti odgovarajuće vrijednosti x1
i x2.
Sistemi linearne i kvadratne jednačine
Rješava se metodom zamjene ili supstitucije, tako da se iz linearne jednačine jedna nepoznata izrazi preko druge i uvrsti u kvadratnu jednačinu.
A (-4,-5) B(2,4)
A (-3,-2) , B (-3,2)C (3,2) , D (3,-2)
R={(-6,-2);(-6,2);(6,-2);(6,2);}
Recipročne jednačine trećeg stepena
Iracionalne jednačineIracionalna jednačina je jednačina u kojoj se nepoznata nalazi pod korijenom.
Trinomna jednačina
Eksponencijalne jednačine
Nejednačine
x2x1
T
x1 x2 x1=x2=
a>0 min
D>0
21
21
21
0
, 0
,, 0
xxxxy
xxxy
xxxy
kvadratna fukcija (parabola)
Funkcija ima minimum
x1 x2
D>0
21
21
21
0
,, 0
, 0
xxxxy
xxxy
xxxy
a<0 max
D=0
D<0
0
0
2max
a
by
y
Rxy 0
2 3 x
x-2 - - + +
x-3 - - - +
+ + - +
3,2x
Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne faktore
2 6 x
x-2 - - + +
12-2x + + + -
- - + 0 -
,62,x
1
0
-1
2
2
O=2rπr =1O=2π
k (0,1)
poluprečnikcentar
1cossin
sin
coscos
sin
22
ctg
tg
osnovni trigonometrijski indetitetcos
sin
osu - x za M tačtabroj je M ,cos0M
osu-y za M tačtabroj je M ,sin0M
Mkruznica trig.krak II
0Xkrak I,
xx
yy
T
M
0
a
b
c
α
β
γ
kateta suprotna
kateta nalegla
kateta nalegla
kateta suprotna
hipotenuza
kateta naleglacos
hipotenuza
kateta suprotnasin
ctg
tg
broja gkompleksnooblik algebarski yixZ
jedinica imaginarna1
1
1
012
2
i
Rx
x
x
x=2 tačka prekidax=6 nula izraza
Kompleksni brojevi
Trigonometrijska kružnica k (0,1) je kružnica u centru poluprečnika jedan na koju se može preslikati brojna prava.Definicija :Sinus (kosinus) je trigonometrijska funkcija koja svakom realnom broju α pridružuje broj jednak ordinati (apcisi) tačke koja odgovara broju α na trigonometrijskoj kružnici.
),(
231
yxyixz
iz
a x
b z (a,b)
yi
zb
iza
biaz
Im
jedinica imaginarna 1 Re
biaz
Raia
aa
0
0,
- Konjugovano kompleksan broj ima isti realan, a suprotan imaginarni dio
a
b
z (a,b)
yi
z
a
btg
a
b
cos
sin
Modul kompleksnog broja
iz
b
a
sincos
sin
cos
trigonometrijski oblik kompleksnog broja
ii sincos
sincossincos ini n
Eulorova formula Moavrova formula
2sin
2cos1
2 1 1,0
iz
iz
z
378470533
43
4
52516943
43 .43
22
1
arctg
tg
iz
7053sin7053cos5 iz
111
1
11
1
224
23
22
iii
iiiii
i
i
,...3,2,1,0 Zk
77319315419
9
17
1917
9
17
442
289
442
289
81361
17
9
17
19
17
9Im ;
17
19Re
17
9
17
19
17
919
116
14520
4
4
4
5
4
5 .45
22
arctgarctg
z
ZZ
iiii
i
i
i
i
i
iz
22
50
433
50
343
50
334
100
638Im
50
433
100
836Re
100
638836
100
863836
86
86
86
3
432
1
2
3
436
sin6
cos .46
iiZ
Z
iiii
i
i
i
i
i
i
i
i
2
1
4
1
2
10
2
1Im
0Re
2
1
4
2
2
2
2
1
121
1
1
1
1 .47
22
2
2
Z
Z
iii
i
iiiz
iz
k22
1arcsin
2
12
1
sin
3
132 .48
2
i
ii
631125365
3arcsin
5
3sin
52591634
3410
1339927
3
3
3
139
3
41239
3
1343
3
13144
22
iii
i
i
i
i
i
ii
i
ii
i
ii
01615
1516
154
4
82
15
2815
/ 8i-15 .49
24
22
22
22
22
2
yy
yy
yy
yx
ixyi
yx
yxyixi
yix
ii
x
x
y
y
t
t
tt
ty
4815
41
4
41
4
1
1
1
16
01615
: smjena
2
1
2,1
2
2
1
2
2
! 55
4
525
2
112
2
11
8
2626
22
22
22
3
44
26
4411
217
211
217
54121
?2
21 1
7 .50
22
2
22
2
Dokazano
z
iii
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
z
fzDokazati
izz
zf
z
z
51. f(z)=z2-5(1+i)z+17iDokazati da su 4+i i 1+4i nule polinoma f(z)
T
T
yT
yT
yxx
yxx
,,
,,
4524
1
2
22
2
112
2
2
2
2
2
2
2
2
1
12
012 .52
22
1
3
3
3
karctgarctg
iz
iz
iz
iz
12
17sin
12
17cos
3
224sin
3
224cos1
4
3sin
4
3cos
3
124cossin
3
124cos1
12sin
12cos
3
024sin
3
024cos1
2sin
2cos
4sin
4cos1
2
32
1
31
0
30
1
iz
iz
iz
iz
iz
iz
n
ki
n
kz
iz
nnk
z0
z1
z2
0
53. Odrediti a i b tako da kompleksan broj 1+i bude rješenje jednačine
1
8
888
0888
011 67
a
b
iabi
biai
biai
iii
ii
iii
ii
karctg
z
iz
82
3sin
2
3cos81
46sin
46cos21
882
2
2
2281
47sin
47cos21
241
1
211
1
6
66
7
77
00002
10
2
1
112
111
2
11
4
4
2
11
4
4
2
1
12
1
2
11
2
1
2
1
412111
412111
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
44
4
2224
2224
44
4
ii
iiii
iiiiff
iii
iii
iiiiiiff
n
nn
n
nn
nnnn
nn
22122
22221
2
2
2
241
4sin
4cos41
iz
iz
iz
iz
32213sin32213cos137
14601433sin
7
14601433cos13
50159sin50159cos137
10801433sin
7
10801433cos13
04107sin04107cos137
7201433sin
7
7201433cos13
4156sin4156cos137
3601433sin
7
3601433cos13
844sin844cos137
1433sin
7
1433cos13
244214333
2arctg 1323 23 23 .56
14144
14143
14142
14141
14140
2211
7
iiz
iiz
iiz
iiz
iiz
ziziz
41316sin41316cos13
7
21801433sin
7
21801433cos13
48264sin48264cos13
7
18201433sin
7
18201433cos13
146
146
145
145
iz
iz
iz
iz
8
13sin
8
13cos
4
62sin
4
62cos1
8
9sin
8
9cos
4
42sin
4
42cos1
8
5sin
8
5cos
4
22sin
4
22cos1
8sin
8cos
42sin
42cos1
22
1 .57
43
42
41
40
4
iiz
iiz
iiz
iiz
kiz
15263sin15263cos103
7203371sin
3
7203371cos10
15143sin15143cos103
3603371sin
3
3603371cos10
1523sin1523cos103
3371sin
3
3371cos10
184533713 10 31 .58
662
661
660
3
iiz
iiz
iiz
arctgziz
54. Ako je gdje je n prirodan broj.Dokazati da je
55. Odrediti kompleksan broj z ako se zna da je .
59. Odrediti skup tačaka u kompleksnoj ravni za koje je realni dio
.
60. Dati su kompleksni brojevi .Odrediti t
ako je z1=z2 .
61. Odrediti kompleksan broj, ako vrijedi
62. z = 2-2i z 7 = ?
kt
kt
tttt
ttttt
tt
22
242
2
2
2
tsin
2
cos:/ 2
cos2
sin2
cos22
2
2cos
2sin2
22sinsin
2cossin
2
2
Matematička indukcijaI korak : Provjeri da li je formula tačna za n=1.II korak : Pretpostavimo da je formula tačna za n = k (n=1).III korak : Treba dokazati da je formula tačna za n=k+1.
66. Dokazati da je za svaki prirodni broj n , djeljiv sa 3.
67. Dokazati da je za svaki prirodan broj n, djeljivo sa 64.
Binomna formula
Binomna formula
Po definiciji
Binomni koeficijenti .
Opšti član binomnog razvoja
70. Naći četvrti član razvoja .
71. Odrediti koeficijent člana koji sadrži na (k+1) mjestu biti će
bcacabcbacbacbacba 2222222
18208268208
4244168164
2848241681644241
42414241
424412122121
2345678
8765476543
654325432432
432432
24322242242
xxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
72. odrediti srednji član?
73. Ako je u razvoju binoma koeficijent II člana je za 44
manji od koeficijenata III člana.Odrediti član koji ne sadrži x .
Tražimo član koji ne sadrži x.
74. Za koje x je peti član razvoja jednak 700?
75.
76. Dokazati da je djeljivo sa 7.
77. Dokazati da li je djeljivo sa 133?
78. Dokazati da li je djeljivo sa 21?
79.
80.
81.
82. Odrediti 28 član razvoja .28 član je .
3
2
9
4
y
x
a
a
83. Diskutovati sistem
Da bi sistem imao jedinstvena rješenja m mora biti različit .
Nemoguće, nema rješenja.
Neodređeno, ima beskonačno rješenja
84.Diskutovati sistem.
Sistem je neodređen ima beskonačno rješenja
Sistem je neodređen, ima beskonačno mnogo rješenja
Sistem je nemoguć, nema rješenja
6
36
2
ay
ax
Jedinstvena rješenja
Matrice
85. Izračunati
86.Izračunati
87. Izračunati
Sistem je neodređen ima beskonačno rješenja.88.Izračunati
Homogeni sistem, svi slobodni članovi jednaki su nuli.Trivijalno rješenje Kod homogenog sistema je
13226
54
6 .1
zyax
zyax
zyx
1
1
1 .2
x-y-az
zayx
zyax
12323
522
42 .3
zyx
zyx
zymx
32
125
22 .4
bzyx
yx
zax
0136
032
052 .5
zyx
zyx
zyx
Zadaci za vježbu :
Vektori
89. Izračunati površinu paralelograma
90.Ako su p i q bilo kakvi vektori dokazati da vrijedi relacija.
91.Dati su vektori i .Odrediti ugao između vektora.
92. Dati su vektori izračunati k iz postavljenog uslova .
6,4,2
4
062
6
0212
2
z
y
y
z
z
x
b
h
a ba
,
Uvrstimo u (1).
babaP
haP
,sin
1
baP
222
111
,,
,,
zyxb
zyxa
222
111
zyx
zyx
kji
ba
93. Dati su vektori .Odrediti vektor iz postavljenih uslova. i
Vektorski proizvod
pedaparalelopi,, Vcbacba
C(3,4,-3D(x,y,z)
A(6,2,3) B(0,-1,5)
1,2
3,
2
3
1 1 3
23 32 36
12
3
2
3
2
2
2
3
2
6
zyx
zyx
zyx
4,1,931,21,63 AD
4,1,9 AD
94. Izračunati površinu paralelograma kojeg čine tačke A(6,2,3), B(0,-1,5) i tačka C(3,4,-3).
Mješoviti proizvod
a
b
c
iKomplanarn,,0,, cbacba
ab
c
Zapremina trostrane prizme
cbaV
,,2
1
a
bc
cbaV
,,6
1Zapremina
trostrane piramide
95. Pokazati da su vektori komplanarni (leže u istoj ravni).
leže u istoj ravni,
odnosno komplanarni su.96.Izračunati zapreminu prizme ako su nam poznata tjemena.
97. Izračunati , ako je i .
98. Dati su vektori .Izračunati sljedeće formule.
99. Sastaviti jednačinu ravni koja prolazi kroz presjek ravni i i normalna je na ravan .
Jednačina ravni α.
Matematika
Recommended