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Grafos: Conceptos Básicos Matemáticas Discretas - p. 1/12
Matemáticas DiscretasTC1003
Grafos: Conceptos BásicosDepartamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes
ITESM
HistoriaEl problemaAplicacionFormalizacionConceptosGrafo SimpleKn
Kn,m
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Grafos: Conceptos Básicos Matemáticas Discretas - p. 2/12
Grafos: Historia
El tema de Teoría de Grafosapareció referenciado por primeravez en 1736 cuando el granmatemático suizo Leonard Euler(1707-1783) publicó un artículodandole solución.
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Grafos: Historia
El tema de Teoría de Grafosapareció referenciado por primeravez en 1736 cuando el granmatemático suizo Leonard Euler(1707-1783) publicó un artículodandole solución.
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Grafos: Conceptos Básicos Matemáticas Discretas - p. 3/12
Grafos: El problema
Figura 1: Un grabado antiguo dela ciudad.
El problema resuelto yreferido por Euler es unaespecie de acertijo; en laantigua ciudad de Konis-berg de la Prusia del sigloXVIII
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Grafos: El problema
Figura 1: Un puente peatonal hoyen día.
El problema resuelto yreferido por Euler es unaespecie de acertijo; en laantigua ciudad de Konis-berg de la Prusia del sigloXVIII el problema consis-tia en recorrer los puentespeatonales que están enel centro de la ciudad deforma tal que
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Grafos: El problema
Figura 1: El grabado con lospuentes resaltados.
El problema resuelto yreferido por Euler es unaespecie de acertijo; en laantigua ciudad de Konis-berg de la Prusia del sigloXVIII el problema consis-tia en recorrer los puentespeatonales que están enel centro de la ciudad deforma tal que habrá querecorrerlos todos exacta-mente una vez y regresaral mismo sitio de inicio.
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Grafos: El problema
Figura 1: Un modelo de lasituación.
El problema resuelto yreferido por Euler es unaespecie de acertijo; en laantigua ciudad de Konis-berg de la Prusia del sigloXVIII el problema consis-tia en recorrer los puentespeatonales que están enel centro de la ciudad deforma tal que habrá querecorrerlos todos exacta-mente una vez y regresaral mismo sitio de inicio.
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Grafos: Conceptos Básicos Matemáticas Discretas - p. 4/12
Grafos: Aplicación actual
Imagine un compañía que adquiere seiscomputadoras diferentes. Para armar una red decomputadoras no es requerido conectar cadacomputadora a todas las restantes, más bien unconsejo técnico se reune y decide por situacionestécnicas y de seguridad establecer las siguientesconexiones:■ Que la computadora A esté conectada a las computadoras: B, C,
D, y E;
■ Que la computadora B esté conectada a las computadoras: A, yC;
■ Que la computadora C esté conectada a las computadoras: A, B,D, y E;
■ Que la computadora D esté conectada a las computadoras: A y C;
■ Que la computadora E esté conectada a las computadoras: A y C;
■ Que la computadora F esté conectada a la computadora: E.
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Lo anterior podría representarse por medio de ungrafo.
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Lo anterior podría representarse por medio de ungrafo. Cada computadora se representará pormedio de un nodo o vértice (círculo o punto)
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Lo anterior podría representarse por medio de ungrafo. Cada computadora se representará pormedio de un nodo o vértice (círculo o punto) ycada conexión entre computadoras serepresentará por medio de una arista o lado (línea,no necesariamente, recta uniendo los nodoscorrespondientes)
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Lo anterior podría representarse por medio de ungrafo. Cada computadora se representará pormedio de un nodo o vértice (círculo o punto) ycada conexión entre computadoras serepresentará por medio de una arista o lado (línea,no necesariamente, recta uniendo los nodoscorrespondientes)
A
B
C
DEF
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Grafos: Formalización
Un Grafo G consiste de dos conjuntos finitos:
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Un Grafo G consiste de dos conjuntos finitos: Unconjunto V llamado de vértices o nodos
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Un Grafo G consiste de dos conjuntos finitos: Unconjunto V llamado de vértices o nodos y de otroconjunto E llamado de aristas o lados.
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Un Grafo G consiste de dos conjuntos finitos: Unconjunto V llamado de vértices o nodos y de otroconjunto E llamado de aristas o lados. Asociado acada elemento de E existe un conjunto de uno odos vértices que se llamarán extremos del lado.
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Un Grafo G consiste de dos conjuntos finitos: Unconjunto V llamado de vértices o nodos y de otroconjunto E llamado de aristas o lados. Asociado acada elemento de E existe un conjunto de uno odos vértices que se llamarán extremos del lado.La correspondencia entre lados y extremos dellado se llamará función lado-extremos.
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Un Grafo G consiste de dos conjuntos finitos: Unconjunto V llamado de vértices o nodos y de otroconjunto E llamado de aristas o lados. Asociado acada elemento de E existe un conjunto de uno odos vértices que se llamarán extremos del lado.La correspondencia entre lados y extremos dellado se llamará función lado-extremos. Un ladoque sólo tiene un vértice asociado en el conjuntode vértices extremos se dice ciclo o loop.
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Grafos: Formalización
Un Grafo G consiste de dos conjuntos finitos: Unconjunto V llamado de vértices o nodos y de otroconjunto E llamado de aristas o lados. Asociado acada elemento de E existe un conjunto de uno odos vértices que se llamarán extremos del lado.La correspondencia entre lados y extremos dellado se llamará función lado-extremos. Un ladoque sólo tiene un vértice asociado en el conjuntode vértices extremos se dice ciclo o loop. Doslados que tiene el mismo conjunto de vérticesextremos se dicen lados paralelos.
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Grafos: Conceptos Básicos Matemáticas Discretas - p. 7/12
Grafos: Conceptos
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■ Conjunto de vértices: {v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7}
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■ Conjunto de vértices: {v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7}
■ Conjunto de lados: {e1, e2, e3, e4, e5, e6}
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■ Conjunto de vértices: {v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7}
■ Conjunto de lados: {e1, e2, e3, e4, e5, e6}
■ Lados Paralelos: e2 y e3
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■ Conjunto de vértices: {v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7}
■ Conjunto de lados: {e1, e2, e3, e4, e5, e6}
■ Lados Paralelos: e2 y e3
■ Lazos o Cíclos: e5
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■ Conjunto de lados: {e1, e2, e3, e4, e5, e6}
■ Lados Paralelos: e2 y e3
■ Lazos o Cíclos: e5
■ Vértices aislados: v5
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■ Conjunto de vértices: {v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7}
■ Conjunto de lados: {e1, e2, e3, e4, e5, e6}
■ Lados Paralelos: e2 y e3
■ Lazos o Cíclos: e5
■ Vértices aislados: v5
■ Vértices adyacentes: v1 y v4, v2 y v3, v3 y v4, v6 yv7, y v4 es adyacente con él mismo.
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Grafos: Conceptos Básicos Matemáticas Discretas - p. 8/12
Grafo Simple
Definici on :
Un Grafo Simple es un grafo que no tieneciclos ni lados paralelos.
Ejemplos
G1
v1
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G2
v1
v2 v3
G3
v1
v2
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v4
G4
v1
v2
v3
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Grafos: Conceptos Básicos Matemáticas Discretas - p. 9/12
Grafo Completo con n vértices: Kn
Definici on :
Sea n un entero positivo. Un Grafo Completocon n vértices es un grafo simple dondetodos los vértices están conectados por unlado: Kn.
Ejemplos
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K1
v1
v2
K2
v1
v2
v3
K3
v1
v2
v3
v4
K4
v1 v2
v3
v4
v5
K5
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Kn,m
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Grafos: Conceptos Básicos Matemáticas Discretas - p. 10/12
Grafo Completo Bipartita: Kn,m
Definici on :
Sean n y m dos enteros positivos (iguales odiferentes). Un Grafo Completo Bipartita en(n,m) vértices es un grafo simple convértices v1, v2, . . . ,vn, w1, w2, . . . ,wm tal quelos únicos lados son los lados que conectantodos los vértices vi con todos los vérticeswj: Kn,m.
Ejemplos
v1
v2
w1
w2
K2,2
v1
v2
v3
w1
w2
K3,2
v1
v2
v3
w1
w2
w3
K3,3
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Kn,m
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Grafos: Conceptos Básicos Matemáticas Discretas - p. 11/12
El grado de un vértice
Definici on :
Sea G un grafo y v un vértice de G. El gradode v es el número de lados que indicen en v
(Los ciclos cuentan doble). Se simboliza pordeg(v). El grado total de G es la suma de losgrados de todos los vértices de G. Sesimboliza por deg(G).
Ejemplo En el grafo G:
ab
c
def
Se tiene deg(a) = 4, deg(b) = 2, deg(c) = 4,deg(d) = 2, deg(e) = 4, deg(f) = 0, y deg(G) = 16
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Kn,m
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Grafos: Conceptos Básicos Matemáticas Discretas - p. 12/12
Resultados Básicos en Grafos
Sea G = (V,E) un grafo, entonces se cumple:■ La suma de todos los grados de los vértices de
G es igual a dos veces el número de lados.■ La suma de los grados de los vértices da un
número par.■ El número de vértices que tienen grado impar en
el grafo G es un número par.
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