Matemáticas Discretas TC1003cb.mty.itesm.mx/tc1003/lecturas/tc1003-024.pdf · Modus Ponens Ejemplo 1 Ejemplo 2 Modus Tollens Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7 Instanciacion´

Argumentos en FOL Matemáticas Discretas - p. 1/24

Matemáticas DiscretasTC1003

Argumentos en FOLDepartamento de Matemáticas / Centro de Sistema Inteligentes

ITESM

IntroduccionModus PonensEjemplo 1Ejemplo 2Modus TollensEjemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7InstanciacionCuantificacionGeneralizacionInterpretacionEjemplo 8ArgumentosEjemplo 9Ejemplo 10Ejemplo 11VariantesCondicionalCondicional yContrapositivaNotaSumario


Introducción

En esta lectura veremos principalmente cómo seconstruyen argumentos válidos en Lógica dePrimer Orden. Como en Cálculo Proposicional,seguiremos el método de Deducción Naturalutilizando equivalencias y reglas de inferencia. Lasequivalencias y reglas de inferencias vistasanteriormente seguirán siendo válidas y a ellassumaremos algunas otras. Cuando no es posibleconstruir un argumento válido para un conjunto depremisas y una conclusión, puede ocurrir que laconclusión no se deduzca de las hipótesis, paraprobar esto una alternativa aunque poco viable esla de construir una interpretación donde lashipótesis y la conclusión formen un argumentoinválido. El concepto de interpretación se incluyeen esta sección.



Modus Ponens Universal

Regla de Inferencia Modus Ponens Universal

∀ x ∈ D, P(x)→ Q(x)

P(a) para una a particular

∴ Q(a)



Ejemplo 1

EjemploConsidere el siguiente razonamiento:



Ejemplo 1


1. Para todo número entero, si su cuadrado es parentonces el número es par.



Ejemplo 1



2. k es un número entero cuyo cuadrado es par.



Ejemplo 1



2. k es un número entero cuyo cuadrado es par.3. k es par.



Ejemplo 2




Ejemplo 2


1. Para todo triángulo con longitudes de lados a, by c,



Ejemplo 2


1. Para todo triángulo con longitudes de lados a, by c, si c2

= a2+ b2 entonces triángulo es

rectángulo con hipotenusa c.



Ejemplo 2




rectángulo con hipotenusa c.2. El triángulo ∆DEF cumple d2

= e2+ f 2.



Ejemplo 2




rectángulo con hipotenusa c.2. El triángulo ∆DEF cumple d2

= e2+ f 2.

3. El triángulo ∆DEF es rectángulo con hipotenusad.



Modus Tollens Universal

Regla de Inferencia Modus Tollens Universal

∀ x ∈ D, P(x)→ Q(x)

¬Q(a) para una a particular

∴ ¬P(a)



Ejemplo 3




Ejemplo 3


1. Todos los humanos son mortales.



Ejemplo 3


1. Todos los humanos son mortales.2. Zeus no es mortal.



Ejemplo 3


1. Todos los humanos son mortales.2. Zeus no es mortal.3. Zeus no es humano.



Ejemplo 4




Ejemplo 4


1. Todas las personas normales tienen miedo a lamuerte.



Ejemplo 4



2. Rambo no tiene miedo a la muerte.



Ejemplo 4



2. Rambo no tiene miedo a la muerte.3. Rambo no es una persona normal.



Ejemplo 5

EjemploPara el siguiente razonamiento indique sudescripción:1. Ningún coche bueno es barato.2. Turtle Shell no es un coche barato.3. Por lo tanto, Turtle Shell es un buen coche.

A Razonamiento inválido: error de la recíproca.

B Razonamiento inválido: error de la inversa.

C Razonamiento válido por modus tollens universal.

D Razonamiento válido por modus ponens universal.



Ejemplo 5






1. ∀ coche,Bueno(coche)→ ¬Barato(coche)

2. ¬Barato(TurtleShell)3. Bueno(TurtleShell)



Ejemplo 5






1. ∀ coche,Bueno(coche)→ ¬Barato(coche)

2. ¬Barato(TurtleShell)3. Bueno(TurtleShell)



Ejemplo 6

EjemploPara el siguiente razonamiento indique su descripción:1. Ningún estudiante dedicada reprueba Discretas.

2. Rosana no reprobó Discretas.

3. Por lo tanto, Rosana es una estudiante dedicada.A Razonamiento válido por modus tollens universal.


C Razonamiento inválido: error de la recíproca.




Ejemplo 6







1. ∀estudiante,Dedicada(estudiante)→ ¬Reprueba(estudiante)

2. ¬Reprobo(Rosana)

3. Dedicada(Rosana)



Ejemplo 6







1. ∀estudiante,Dedicada(estudiante)→ ¬Reprueba(estudiante)

2. ¬Reprobo(Rosana)

3. Dedicada(Rosana)

Razonamiento inválido: error de la recíproca.



Ejemplo 7

Ejemplo

Para el siguiente razonamiento indique su descripción:1. Si una serie

∑∞i=1 ai converge entonces el término i-ésimo ai

tiende a 0. (una=cualquiera)

2. La serie∑∞

i=1 bi no converge.(Una serie particular)

3. Por lo tanto, su término i-ésimo bi no tiende a cero.A Razonamiento inválido: error de la recíproca.

B Razonamiento válido por modus tollens universal.

C Razonamiento inválido: error de la inversa.




Ejemplo 7

Ejemplo




2. La serie∑∞






1. ∀ serie x,Conv(serie x)→ Z(serie x)

2. ¬Conv(serie b)

3. Z(serie b)



Ejemplo 7

Ejemplo




2. La serie∑∞






1. ∀ serie x,Conv(serie x)→ Z(serie x)

2. ¬Conv(serie b)

3. Z(serie b)

Razonamiento inválido: error de la inversa.



Instanciación Universal

Regla de Inferencia de Instanciación Universal

∀ x ∈ D, P(x)

∴ P(a) para cualquier a en el dominio D



Cuantificación Existencial

Regla de Inferencia de Cuantificación Existencial

P(a) para un a en el dominio D

∴ ∃ x ∈ D, P(x)



Generalización

Regla de Inferencia de Instanciación Universal

P(t) para t cualquiera en el dominio D

∴ ∀ x ∈ D, P(x)



Interpretación

Una intrepretación para una expresión en lógicade primer orden es:■ Una definición de un conjunto de valores

posibles para los predicados que aparecen en laexpresión.

■ Una posible definición de valores de verdad (T oF) del comportamiento de todos los predicadosen la fórmula en todos los valores posibles delas variables en los predicados.

Es decir, una interpretación para una expresiónlógica es un caso particular para ella.



Ejemplo 8

Para la interpretación:

D = {a, b, c}

R P Q J

a F T T T

b T F T T

c T F T T

Indique cuáles de las siguientes FBFs son verdaderas:1. (∃ x, R(x)) ∨ (∃ x, P(x)) −→ (∃ x, (R(x) ∨ P(x)))

2. (∃ x, P(x)) ∧ (∃ x, P(x)) −→ (∃ x, (R(x) ∧ P(x)))

3. ¬ (∀ x, R(x)) −→ (∀ x, ¬R(x))

4. (∀ x, (R(x) ∨ P(x))) −→ (∀ x, R(x)) ∨ (∀ x, P(x))

5. (∀ x, (Q(x) ∧ J(x))) −→ (∀ x, Q(x)) ∧ (∀ x, J(x))

6. (∀ x, (Q(x) ∧ R(x))) −→ (∀ x, Q(x)) ∧ (∀ x, R(x))



Ejemplo 8

Para la interpretación:

D = {a, b, c}

R P Q J

a F T T T

b T F T T

c T F T T

Indique cuáles de las siguientes FBFs son verdaderas:1. (∃ x, R(x)) ∨ (∃ x, P(x)) −→ (∃ x, (R(x) ∨ P(x)))

2. (∃ x, P(x)) ∧ (∃ x, P(x)) −→ (∃ x, (R(x) ∧ P(x)))

3. ¬ (∀ x, R(x)) −→ (∀ x, ¬R(x))

4. (∀ x, (R(x) ∨ P(x))) −→ (∀ x, R(x)) ∨ (∀ x, P(x))

5. (∀ x, (Q(x) ∧ J(x))) −→ (∀ x, Q(x)) ∧ (∀ x, J(x))

6. (∀ x, (Q(x) ∧ R(x))) −→ (∀ x, Q(x)) ∧ (∀ x, R(x))

Son verdaderas 1, 5 y 6.



Argumentos Válidos en FOL

DefinicionUn argumento válido en FOL es un argumento quees válido para cualquier interpretación posible.



Ejemplo 9

EjemploEn el siguiente argumento válido indique en ordenlas opciones que lo completan:P1: ∀ x, (P(x) −→ Q(x) ∨ R(x))

P2: ¬Q(a)

P3: ¬R(a)

C: ¬P(a)

1. ¬Q(a) . . .2. ¬R(a) . . . .3. ¬Q(a) ∧ ¬R(a)

4. De Morgan en 35. hipótesis 16. ¬P(a) . . . . modus tollens universal con 5 y 4



Ejemplo 10

Ejemplo

Demuestre que la conclusión se deduce de la hipótesis:H1: S (a)

H2: ∀x ((S (x) ∧ ¬R(x))→ Q(x))

H3: ∀x (S (x)→ ¬R(x))

C: Q(a)

Solucion

1.



Ejemplo 10

Ejemplo


H2: ∀x ((S (x) ∧ ¬R(x))→ Q(x))

H3: ∀x (S (x)→ ¬R(x))

C: Q(a)

Solucion

1. ∀x (S (x)→ ¬R(x)) . . . . . . . .



Ejemplo 10

Ejemplo


H2: ∀x ((S (x) ∧ ¬R(x))→ Q(x))

H3: ∀x (S (x)→ ¬R(x))

C: Q(a)

Solucion

1. ∀x (S (x)→ ¬R(x)) . . . . . . . . Hipótesis 3

2.



Ejemplo 10

Ejemplo


H2: ∀x ((S (x) ∧ ¬R(x))→ Q(x))

H3: ∀x (S (x)→ ¬R(x))

C: Q(a)

Solucion

1. ∀x (S (x)→ ¬R(x)) . . . . . . . . Hipótesis 3

2. S (a)→ ¬R(a) . . . . . . . . . . . . .



Ejemplo 10

Ejemplo


H2: ∀x ((S (x) ∧ ¬R(x))→ Q(x))

H3: ∀x (S (x)→ ¬R(x))

C: Q(a)

Solucion

1. ∀x (S (x)→ ¬R(x)) . . . . . . . . Hipótesis 3

2. S (a)→ ¬R(a) . . . . . . . . . . . . . Instanciación universal de 1 en x = a

3.



Ejemplo 10

Ejemplo


H2: ∀x ((S (x) ∧ ¬R(x))→ Q(x))

H3: ∀x (S (x)→ ¬R(x))

C: Q(a)

Solucion

1. ∀x (S (x)→ ¬R(x)) . . . . . . . . Hipótesis 3


3. S (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Ejemplo 10

Ejemplo


H2: ∀x ((S (x) ∧ ¬R(x))→ Q(x))

H3: ∀x (S (x)→ ¬R(x))

C: Q(a)

Solucion

1. ∀x (S (x)→ ¬R(x)) . . . . . . . . Hipótesis 3


3. S (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 1

4.



Ejemplo 10

Ejemplo


H2: ∀x ((S (x) ∧ ¬R(x))→ Q(x))

H3: ∀x (S (x)→ ¬R(x))

C: Q(a)

Solucion

1. ∀x (S (x)→ ¬R(x)) . . . . . . . . Hipótesis 3


3. S (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 1

4. ¬R(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Ejemplo 10

Ejemplo


H2: ∀x ((S (x) ∧ ¬R(x))→ Q(x))

H3: ∀x (S (x)→ ¬R(x))

C: Q(a)

Solucion

1. ∀x (S (x)→ ¬R(x)) . . . . . . . . Hipótesis 3


3. S (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 1

4. ¬R(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modus Ponens con 2 y 3

5.



Ejemplo 10

Ejemplo


H2: ∀x ((S (x) ∧ ¬R(x))→ Q(x))

H3: ∀x (S (x)→ ¬R(x))

C: Q(a)

Solucion

1. ∀x (S (x)→ ¬R(x)) . . . . . . . . Hipótesis 3


3. S (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 1


5. S (a) ∧ ¬R(a) . . . . . . . . . . . . . .



Ejemplo 10

Ejemplo


H2: ∀x ((S (x) ∧ ¬R(x))→ Q(x))

H3: ∀x (S (x)→ ¬R(x))

C: Q(a)

Solucion

1. ∀x (S (x)→ ¬R(x)) . . . . . . . . Hipótesis 3


3. S (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 1


5. S (a) ∧ ¬R(a) . . . . . . . . . . . . . . Adición conjuntiva con 3 y 4

6.



Ejemplo 10

Ejemplo


H2: ∀x ((S (x) ∧ ¬R(x))→ Q(x))

H3: ∀x (S (x)→ ¬R(x))

C: Q(a)

Solucion

1. ∀x (S (x)→ ¬R(x)) . . . . . . . . Hipótesis 3


3. S (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 1



6. ∀x ((S (x) ∧ ¬R(x))→ Q(x))



Ejemplo 10

Ejemplo


H2: ∀x ((S (x) ∧ ¬R(x))→ Q(x))

H3: ∀x (S (x)→ ¬R(x))

C: Q(a)

Solucion

1. ∀x (S (x)→ ¬R(x)) . . . . . . . . Hipótesis 3


3. S (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 1



6. ∀x ((S (x) ∧ ¬R(x))→ Q(x)) Hipótesis 2

7.



Ejemplo 10

Ejemplo


H2: ∀x ((S (x) ∧ ¬R(x))→ Q(x))

H3: ∀x (S (x)→ ¬R(x))

C: Q(a)

Solucion

1. ∀x (S (x)→ ¬R(x)) . . . . . . . . Hipótesis 3


3. S (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 1




7. (S (a) ∧ ¬R(s))→ Q(a) . . . . .



Ejemplo 10

Ejemplo


H2: ∀x ((S (x) ∧ ¬R(x))→ Q(x))

H3: ∀x (S (x)→ ¬R(x))

C: Q(a)

Solucion

1. ∀x (S (x)→ ¬R(x)) . . . . . . . . Hipótesis 3


3. S (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 1




7. (S (a) ∧ ¬R(s))→ Q(a) . . . . . Instanciación universal de 6 en x = a

8.



Ejemplo 10

Ejemplo


H2: ∀x ((S (x) ∧ ¬R(x))→ Q(x))

H3: ∀x (S (x)→ ¬R(x))

C: Q(a)

Solucion

1. ∀x (S (x)→ ¬R(x)) . . . . . . . . Hipótesis 3


3. S (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 1





8. Q(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Ejemplo 10

Ejemplo


H2: ∀x ((S (x) ∧ ¬R(x))→ Q(x))

H3: ∀x (S (x)→ ¬R(x))

C: Q(a)

Solucion

1. ∀x (S (x)→ ¬R(x)) . . . . . . . . Hipótesis 3


3. S (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 1





8. Q(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modus ponens con 7 y 5



Ejemplo 11

Demuestre que la conclusión se deduce de la hipótesis:H1: Q(a)

H2: ∀x (S (x) −→ ¬Q(x))

H3: S (a) ∨ R(a)

C: R(a)

Solucion

1.



Ejemplo 11


H2: ∀x (S (x) −→ ¬Q(x))

H3: S (a) ∨ R(a)

C: R(a)

Solucion

1. ∀x (S (x) −→ ¬Q(x)) . . . . . . .



Ejemplo 11


H2: ∀x (S (x) −→ ¬Q(x))

H3: S (a) ∨ R(a)

C: R(a)

Solucion

1. ∀x (S (x) −→ ¬Q(x)) . . . . . . . Hipótesis 1

2.



Ejemplo 11


H2: ∀x (S (x) −→ ¬Q(x))

H3: S (a) ∨ R(a)

C: R(a)

Solucion

1. ∀x (S (x) −→ ¬Q(x)) . . . . . . . Hipótesis 1

2. S (a)→ ¬Q(a) . . . . . . . . . . . . .



Ejemplo 11


H2: ∀x (S (x) −→ ¬Q(x))

H3: S (a) ∨ R(a)

C: R(a)

Solucion

1. ∀x (S (x) −→ ¬Q(x)) . . . . . . . Hipótesis 1

2. S (a)→ ¬Q(a) . . . . . . . . . . . . . Instanciación universal de 1 en x = a

3.



Ejemplo 11


H2: ∀x (S (x) −→ ¬Q(x))

H3: S (a) ∨ R(a)

C: R(a)

Solucion

1. ∀x (S (x) −→ ¬Q(x)) . . . . . . . Hipótesis 1


3. Q(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Ejemplo 11


H2: ∀x (S (x) −→ ¬Q(x))

H3: S (a) ∨ R(a)

C: R(a)

Solucion

1. ∀x (S (x) −→ ¬Q(x)) . . . . . . . Hipótesis 1


3. Q(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 1

4.



Ejemplo 11


H2: ∀x (S (x) −→ ¬Q(x))

H3: S (a) ∨ R(a)

C: R(a)

Solucion

1. ∀x (S (x) −→ ¬Q(x)) . . . . . . . Hipótesis 1


3. Q(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 1

4. ¬S (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Ejemplo 11


H2: ∀x (S (x) −→ ¬Q(x))

H3: S (a) ∨ R(a)

C: R(a)

Solucion

1. ∀x (S (x) −→ ¬Q(x)) . . . . . . . Hipótesis 1


3. Q(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 1

4. ¬S (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modus Tollens con 2 y 3

5.



Ejemplo 11


H2: ∀x (S (x) −→ ¬Q(x))

H3: S (a) ∨ R(a)

C: R(a)

Solucion

1. ∀x (S (x) −→ ¬Q(x)) . . . . . . . Hipótesis 1


3. Q(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 1


5. S (a) ∨ R(a) . . . . . . . . . . . . . . . .



Ejemplo 11


H2: ∀x (S (x) −→ ¬Q(x))

H3: S (a) ∨ R(a)

C: R(a)

Solucion

1. ∀x (S (x) −→ ¬Q(x)) . . . . . . . Hipótesis 1


3. Q(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 1


5. S (a) ∨ R(a) . . . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 3

6.



Ejemplo 11


H2: ∀x (S (x) −→ ¬Q(x))

H3: S (a) ∨ R(a)

C: R(a)

Solucion

1. ∀x (S (x) −→ ¬Q(x)) . . . . . . . Hipótesis 1


3. Q(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 1


5. S (a) ∨ R(a) . . . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 3

6. R(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Ejemplo 11


H2: ∀x (S (x) −→ ¬Q(x))

H3: S (a) ∨ R(a)

C: R(a)

Solucion

1. ∀x (S (x) −→ ¬Q(x)) . . . . . . . Hipótesis 1


3. Q(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 1


5. S (a) ∨ R(a) . . . . . . . . . . . . . . . . Hipótesis 3

6. R(a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Silogismo disjuntivo con 5 y 4



Variantes de una Condicional

Consideremos la afirmación:

∀ x ∈ D, (P(x)→ Q(x))





∀ x ∈ D, (P(x)→ Q(x))

■ Su contrapositiva es

∀ x ∈ D, (¬Q(x)→ ¬P(x))





∀ x ∈ D, (P(x)→ Q(x))


∀ x ∈ D, (¬Q(x)→ ¬P(x))

■ Su recíproca es

∀ x ∈ D, (Q(x)→ P(x))





∀ x ∈ D, (P(x)→ Q(x))


∀ x ∈ D, (¬Q(x)→ ¬P(x))

■ Su recíproca es

∀ x ∈ D, (Q(x)→ P(x))

■ Su inversa es

∀ x ∈ D, (¬P(x)→ ¬Q(x))



Implicación y Contrapositiva

Como en Cálculo Proposicional:





La implicación y su contrapositiva sonlógicamente equivalentes:





La implicación y su contrapositiva sonlógicamente equivalentes: Si una esverdadera la otra también.



Ojo con los textos



Ojo con los textos

■ ∀x, r(x) es una condición suficiente para s(x)significa:



Ojo con los textos


∀x, r(x)→ s(x)



Ojo con los textos


∀x, r(x)→ s(x)

■ ∀x, r(x) es una condición necesaria para s(x)significa:



Ojo con los textos


∀x, r(x)→ s(x)


∀x, s(x)→ r(x)



Ojo con los textos


∀x, r(x)→ s(x)


∀x, s(x)→ r(x)

■ ∀x, r(x) sólo si s(x) significa:



Ojo con los textos


∀x, r(x)→ s(x)


∀x, s(x)→ r(x)

■ ∀x, r(x) sólo si s(x) significa:

∀x,¬s(x)→ ¬r(x)



Temas Vistos

■ Modus Ponens Universal■ Modus Tollens Universal■ Deducción Natural en Lógica de Predicados■ Concepto de Interpretación

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