Material Metodos Numericos

INSTITUTO TECNOLOGICO DE DELICIAS

Métodos Numéricos

Ing. Cyntia Araiza Delgado. M.C.

Métodos Numéricos Página 1

Unidad I Teoría de Errores

1.1 Importancia de los Métodos Numéricos.

Gran parte de la tecnología actual depende de la solución de modelos matemáticos que va desde la programación empotrada de una calculadora científica hasta el diseño y simulación de aeronaves y vuelos espaciales. La solución de un modelo matemático es sumamente sencillo puede obtenerse de manera analítica. Sin embargo, para la gran mayoría de modelos matemáticos del mundo real, las soluciones analíticas pueden no existir o ser extremadamente complejas, por lo cual se recurre a métodos numéricos, que aproximen las soluciones dentro de ciertos márgenes de tolerancia.

1.2 Conceptos Básicos.

Cifra Significativa:

Son aquellas que pueden ser empleadas en forma confiable para describir una cantidad.

Ejemplos:

.00123 3210,

1.23 x10−¿3 ¿ 3.21 x10¿3

3 C.S. 3 C.S.

Aproximación con t Cifras Significativas:

Sean Xv y Xc los valores verdadero y calculado de una cierta cantidad con Xv ≠ Xc. Decimos que Xc se aproxima a Xv con t cifras significativas cuando:

|Xv−XcXv |≤5 x10−¿ t ¿

Ejemplos:

Xv= 3.1415926 Xc se aproxima con 6 cifras significativas a Xv.

Xc= 3.1416

|3.1415926−3.14163.1415926 |≤5 x10−¿t ¿

2.3554 x 10−¿6≤5 x10−¿6¿¿

Precisión:

Expresa que tan cercana es una aproximación o una estimación con un valor respecto a las aproximaciones o iteraciones del mismo

Exactitud:

Indica que tan cercano es el valor calculado respecto al valor verdadero.

Incertidumbre:

Grado de acercamiento entre si a las diversas aproximaciones a un valor verdadero.

Sesgo:

Alejamiento sistemático del valor verdadero a calcular.

1.3 Errores

Si p* es una aproximación de p, el error se define comoE=p∗−p

Error Absoluto

EA=|p∗−p|

Error Relativo

ER=|p∗−p|p

si p≠0

Ejemplo:

x=3.141592654

a) X*= 3.1416 (Redondeada) b) X*= 3.1415 (Truncada)

ER=|x∗−x|x

ER=|3.1415−3.141592654|

3.141592654

ER=2.9492x10−¿5¿

ER=|3.1415−3.141592654|

3.141592654 ER=2.3383x 10−¿6 ¿

Ejemplo de la Tarea.

X=4.49921

∑i=1

501i=1

3+…+ 1

a) X*= 4.49b) X*= 4.50

Código:int i;double acum;acum=0;for ( I = 1 ; I < 50 ; i + + )acum = acum + ( 1 + i )console . writeline ( acum )

1.4 Software De Computo Numérico Software De Acceso Libre

Axiom Calc 3D Free Math Gnu Plot Jacal Mathscribe Non Euclid Octave PyLab RLab Sage Scilab Singular Surf Winplot WxMaxima

Software Comercial

Derive Lab View Maple MathCad Mathematica Scientific Workplace

1.5 Métodos Iterativos A diferencia de los métodos directos donde la solución o una ecuación o sistema de ecuaciones se logran siempre al primer intento siguiendo paso a paso un procedimiento determinado, los métodos iterativos obtienen la solución como resultado de una serie de aproximaciones generadas sucesivamente a partir de una aproximación inicial a la solución.

Llamamos método iterativo a un procedimiento que acepta:

a) F(x) la función a iterar, tal que ran(f)≤ dom(f) y además cumple un criterio de convergencia.

b) Xo ∈ don (f), la aproximación inicial a la solución.c) ε , tolerancia del error.

Y se encuentra mediante un numero finito de iteraciones, una solución aproximada X* (con error ≤ε) para la ecuación X= F(x).

Unidad II Métodos De Solución De Ecuaciones.

2.1 Método del Intervalo.Cuando para encontrar la solución a una ecuación F(x)=0 partimos de un intervalo [a ,b ] dentro del cual sabemos que se encuentra la solución.

2.2 Método de Bisección.Obtener una solución F(x)=0 dada una función f continua en [a ,b ] donde f(a) y f(b) tienen signos opuestos.

Encontrar un punto P tal que

p=a+ b−a2

Si f (p) . f (a) > a=p (signos iguales se mueve a)

Si f (p) . f (a) < a=p (signos iguales se mueve b)

|b−a|<0.000001Tol

Ejemplo:

n an bn Pn F(pn) F(an)0 1 2 1.5 -0.625 -51 1.5 2 1.75 2.35 -0.6252 1.5 1.75 1.62 0.73 -0.6253 1.5 1.62 1.56 0.0364 -0.6254 1.5 1.56 1.53 -0.2984 -0.6255 1.53 1.56 1.545 -0.1320 -0.26846 1.545 1.56 1.552 -0.048 -0.13207 1.552 1.56 1.556 -0.0087 -0.0488 1.556 1.56 1.558 0.01383 -0.00879 1.556 1.558 1.557 -0.00256 -0.008710 1.557 1.558 1.5575 -0.00819 -0.0025611 1.5575 1.558 1.55775 0.01101 -0.0081912 1.5575 1.55775 1.557625 0.0096 -0.0081913 1.557625 1.55775 1.7576875 0.0103 -0.009614 1.557625 1.5576875 1.55765625 -0.00996 -0.009615 1.55765625 1.5576875 1.55767187 0.0101 -0.0099616 1.55765625 1.557671875 1.557664663 0.0100 -0.00996

f ( x )=x ¿3−4 x−10a [ 1,2 ] b

|b−a|<0.000001

|1.557671875−1.55765625|<1.5625 x10−¿5¿

Operaciones Para sacar F(an)

f (1 )=1¿3+4 (1 )−10=1+4−10=5

f (2 )=2¿3+4 (2 )−10=8+8−10=6

f (1.5 )=1.5¿3+4 (1.5 )−10=3.375+6−10=−0.625

f (1.75 )=1.75¿3+4 (1.75 )−10=2.35

f (1.62 )=1.62¿3+4 (1.62 )−10=0.73¿

f (1.56 )=1 .56¿3+4 (1.56 )−10=0.0364¿

Para sacar Pn

p=1+22

=32=1.5

p1=1.5+22

p2=1.5+1.752

p3=1.5+1.622

Ejercicios:

1) f ( x )=√x−Cosx [ 0,1 ] *2) f ( x )=x ¿3−7 x ¿2+14 x−6*+

a¿ [ 0,1 ] b¿ [1,3.2 ]

3) f ( x )=x ¿4−2 x¿3+4 x¿2+4 x+4*

a¿ [−2 ,−1 ]b¿ [ 0,2 ]c ¿ [ 2,3 ] d¿ [−1,0 ]

(*) Programa

(+)Cuaderno

a) Intervalo [0,1] f ( x )=x ¿3−7 x ¿2+14 x−6

n an bn Pn F(pn) F(an)0 0 1 0.5 -0.625 -61 0.5 1 0.75 0.984375 -0.6252 0.5 0.75 0.625 0.259765625 -0.6253 0.50 0.625 0.5625 -0.16187 -0.6254 0.5625 0.625 0.59375 0.05405 -0.161875 0.5625 0.59375 0.57816 -0.05238 -0.161876 0.57816 0.59375 0.585955 0.00115 -0.52387 0.57816 0.585955 0.58206 -0.0255 -0.52388 0.58206 0.585955 0.58401 -0.01215 -0.02559 0.58401 0.585955 0.58498 .00551 -0.0121510 0.58401 0.58498 0.584495 0.00883 -0.0121511 0.58401 0.584495 0.58425 -0.01050 -0.0121512 0.58425 0.584495 0.58437 -0.00968 -0.0105013 0.58437 0.584495 0.58443 -0.00927 -0.0096814 0.58443 0.584495 0.58446 -0.00907 -0.00927

|b−a|<0.0001

|0.584495−0.58443|=6.5 x10−¿5<0.0001¿

b) Intervalo [1,3.2] f ( x )=x ¿3−7 x ¿2+14 x−6

n an bn Pn F(pn) F(an)0 1 3.2 2.1 1.791 21 2.1 3.2 2.65 0.5521 1.7912 2.65 3.2 2.925 0.0858 0.55213 2.925 3.2 3.0625 -0.0544 0.08584 2.925 3.0625 2.99375 0.0063 0.08585 2.99375 3.0625 3.028125 -0.0265 0.00636 2.99375 3.028125 3.01094 -0.0107 0.00637 2.99375 3.01094 3.00234 -0.0023 0.00638 2.99375 3.00234 2.9980 0.00208 0.00639 2.9980 3.00234 3.00017 −1.7 x10−¿4 ¿ 0.0020810 2.9980 3.00017 2.9991 9.016 x 10−¿4 ¿ 0.0020811 2.9991 3.00017 2.9996 4.003 x 10−¿4 ¿ 9.016 x 10−¿4 ¿12 2.9996 3.00017 2.9999 1.0002 x10−¿4¿ 4.003 x 10−¿4 ¿13 2.9999 3.00017 3.000035 −3.4997 x10−¿5¿1.0002 x10−¿4¿14 2.9999 3.000035 2.99997 3.0002 x10−¿5 ¿ 1.0002 x10−¿4¿15 2.99997 3.000035 3.0000025 −2.5001 x10−¿6 ¿3.0002 x10−¿5 ¿

|b−a|<0.0001

|3.000035−2.99997|=6.5 x10−¿5<0.0001¿

2.3 Métodos de Aproximaciones Sucesivas.

También conocido como punto fijo.

Es uno de los métodos recomendados cuando queremos resolver una ecuación de la forma x=f (x):

Criterio de paro

i≥ No|Xn−Xn−1|≤ε F ( x )=x

Ejemplo:

x3−7 x2+14 x−6=0 Xo=1

Despejar x

14 x−x3+7 x2+6=014 x+7 x2+6=x3

(1) x=−x3+7x2+614

(2)x=3√7 x2−14 x+6

7 x2−14 x+6=x . x27 x2=x3−14 x+6

(3)x=7 x2−14 x+6x2 (4)x=3√ x3−14 x+6

7 x2−14 x+6=x . x2

(5)7 x2−14 x+ 6x=x2 x=√ 7 x2−14 x+6

n Xn 1 2 3 4 50 1 1 1 1 1 11 6 /7 = 0.8571 -1 -1 1.1338 No Existe2 0.7509 3 27 1.27223 0.6802 3 1.4076

Ejercicios:

x4+2 x2−x−3=0 Xo=0

x−cos x=0 Xo=0

2.4 Métodos de Interpolación.Es una de las técnicas numéricas para resolver un problema de búsqueda de raíces F(x)=0 mas poderosas y conocidas-

Método de Newton.

Comienza con una aproximación inicial Po y genera nuevos puntos de la sig. Manera.

Pn=Pn−1−f (Pn−1)f ' (Pn−1)

Algoritmo:

Entrada: Po, TOL, No

Salida: Solución P o mensaje de Error.

1) i=12) Mientras i≤ No (pasos 3-6)

3) P=Po−f (Po)f '(Po)

4) si|P−Po|≤TOLentonces salida P y parar5) i=i+16) Po=P7) Salida (“El método fracasó después de No iteraciones”)

Ejemplo:

Tol=1x 10−¿5 ¿

f ( x )=cos ( x )−x Po=π4

n Pn F(Pn) F’(Pn)0

-0.078291 -1.7071

1 0.7395 -0.0006943 -1.67392 0.7391 −2.4881 x10−¿5 ¿ -1.6736233 0.739085 3.6 x10−¿10¿ -1.6736124 0.739085 3.6 x10−¿10¿ -1.673612

Ejercicios:

1) f ( x )=x2−6Po=1 *+

2) f ( x )=−cos ( x )−x3Po=−1 *+

3) f ( x )=x3−2x2−5 Po=1 *

4) f ( x )=x−0.8−0.2Sen ( x )Po= π2

5) f ( x )=x3+3 x2−1Po=−3 *

(*) Programa

(+)Cuaderno

Método de la Secante.

Para encontrar una solución para f(x)=0 dadas las aproximaciones iniciales Po y P1

Algoritmo:

Entrada: Po, P1, TOL, No

Salida: Solución aproximada P o mensaje de error.

1) i=2qo=f (Po )q1= f ( p1)2) Mientras i≤ No ( pasos3−6 )

3) P=P1−q1 ( p1−p0 )q1−q 0

4) si|p−p1|≤TOLSalida P ,Parar5) i=i+16) Po=P1 , qo=q1 ,P1=p ,q1=f (p )7) Salida(El metodo fracasó despues de No iteraciones)

Ejemplo:

f ( x )=cos ( x )−x Po=0.5 P1=π4

n Pn qn=f(Pn)0 0.51

-0.078291

2 0.73638 0.00452463 0.739058 0.0000045264 0.739085 0.0000002235 0.739085133 0

Ejercicios:

1) f ( x )=x2−6Po=−3 ,P1=2 *+

2) f ( x )=−x3−cos ( x )Po=−1 ,P1=0 *+

3) f ( x )=x2−10 cos ( x )Po=−2 , P1=2 *

4) f ( x )=230x4+18x3−9x2−221 x−9 Po=−2 ,P1=2 *

(*) Programa

(+)Cuaderno

Unidad III Métodos De Solución De Sistemas De Ecuaciones.

3.1 Métodos Iterativos.Cuando el numero de variables de los sistemas a resolver es elevado (por ejemplo mas de 100) los métodos directos resultan imprácticos, es por eso que recurrimos a los iterativos.

Método de Jacobi.

Para resolver A x→=b→ dada la aproximación inicial x (0 ), donde A es una matriz y x→ y b→ dos vectores.

Algoritmo:

Entrada: No de ecuaciones e incógnitas n, los elementos de A (ai,j), los elementos b→ y los

elementos de X o→, TOL, No.

Salida: Solución aproximada X1, X2,…,Xn o mensaje de error.

1) K=12) Mientras (K≤ No ) paso (3−6)3) Para i=1,2,3 ,…,n

X 1=−∑J=i

(ai , j : Xo )+bn≠n

4) si||x→−Xo→||≤TOL Salida (X1,X2,…,Xn) Parar

5) K=K+16) parai=1,2,3 ,…,n Xoi=Xi7) Salida;El metodo fracasó despues de No Iteraciones

Ejemplo:10 x−x2+2 x3=6

−x1+11 x 2−x 3−x 4=252 x1−x2+10 x3−x 4=11

3 x2−x3+8 x 4=15Xo=[ 0,0,0,0 ]

X 1=6+x 2−2 x310

X 2=25+x 1−x3−3 x 411

X 3=−11−2 x1+x 2+x 410

X 4=15+3 x2−x38

n X1 X2 X3 X40 0 0 0 01 0.6 2.2727 -1.1 1.8752 1.0472 1.7159 -0.8052 0.188523 0.93263 2.05331 -1.04933 1.130894 1.015197 1.95369 -0.968106 0.97984255 0.98899 2.011415 -1.01028615 -0.0213536 1.0217138 1.992240 -0.9945212 0.9944347 0.998128 2.00399 -1.005675 1.0035958 1.001534 1.998333 -0.9988671 0.9977579 0.999607 2.00085 -1.0006978 1.2503447510 0.000225 1.931625 -0.974801925 1.375036511 0.9881229 1.90003 -0.96937905 1.028790412 0.983879 1.99385 -1.0047425 1.04131636913 1.000333 1.896835 -0.9930744 1.0017134414 0.997298 2.0001926 -1.001211756 1.005802615 1.0002616 1.99806168 -0.99886008 0.99977630516 0.999578 2.000188419 -1.0002685 1.0008693617 1.0000725 1.99970013 -0.9998098 0.9998957818 0.99993197 2.00005231 -1.00005491 1.00013622619 1.00001621 1.999951671 -0.99996754 0.9999735220 0.99998868 2.000011646 -1.000010723 1.00002218121 1.0000033 1.99999195 -0.999994353 0.99999429222 0.999998065 2.00000237 -0.1555552036 1.00000372523 1.0000006 1.999998623 -0.999999003 .999998856

X 1=√(1.0000006−0.999998065 )2+(1.999998623−2.00000237 )2+(−.999999003+1.000002036 )2+¿(.999998856−1.000003725)2

X 1=7.305647405 x 106≤1 x10−5

Ejercicios:

1)3 x1−x2+x 3=1

3 x 1+6 x2+2 x3=03 x1+3 x 2+7x 3=4

2)10x 1−x 2=9

−x1+10 x 2−2 x3=6−2 x2+10 x3=6

3)10 x1+5 x 2=6

5 x1+10 x2−4 x 3=254 x 2+8 x3−x 4=11

−x3+5x 4=−11

4)4 x1−x2−x 4=0

−x1+4 x 2−x3−x5=5−x2+4 x3−x6=0

x1−4 x 4−x5=6

−x 2−x 4+4 x5−x6=−2−x 3−x 5+4 x 6=6

5)4 x1+x 2+ x3+x 5=6

−x1−3 x2+x3+ x4=62 x1+x 2+5 x 3+4 x4−x 5=6

−x1−x2−x3+4 x 4=62 x2−x3+x 4+4 x 5=6

(*) Programa

(+)Cuaderno

Método de Gauss-Seidel.

Ejemplo:

10 x1+x 2+2x 3=6x 1+11x 2−x 3+3 x 4=25

2 x1+x 2−10 x3−x 4=−11

3 x2−x3+8 x 4=15

X (0 )=[ 0,0,0,0 ]

X 1=6+x 2−2 x310

X 2=25+x 1−x3−3 x 411

X 3=−11−2 x1+x 2+x 410

X 4=15+3 x2−x38

n X1 X2 X3 X40 0 0 0 01 .6 2.3272 -0.9872 0.87892 1.03016 2.03693 -1.014449 0.984353 1.00658 2.00355 -1.002526 0.9983534 1.0008602 2.0002978 -1.000307 0.999855 1.0000912 2.0000213 -1.000031 0.999996 1.0000083 2.00000066 -1.0000026 0.999999

X 1=√(1.0000006−1.00000083 )2+(2.00000009−2.0000066 )2+(−1.0000002+1.0000026 )2+¿(0.9999999−0.999998)2=8.135410254 X 10−6

3.2 Sistema De Ecuaciones No Lineales.

Método iterativo secuencial

Un sistema de ecuaciones no lineales tuene la forma:

f 1 ( x1 , x2 ,…, xn )=0f 2 ( x1 , x2 ,…, xn )=0

⋮fn ( x1 , x2 ,…, xn )=0

Este método resuelve.

g1 (x 1 , x 2 ,… ,xn )=x1g2 (x 1 , x 2 ,… ,xn )=x2

⋮gn (x 1 , x 2 ,… ,xn )=x3

Ejemplo:

3 x1−cos x2 x 3−12=0

x12−81 (x2+0.1 )2+Senx 3+1.06=0

e−x 1x 2+20 x3+ 10π−33

X (0 )= [0.1,0 .1,0 .1 ]

x1=cos x2 x3+ 1

x2=√ x12+sen x 3+1.06−.1

x3=−( 10π−3

3 )−e−x 1x 2

n X1 X2 X30 0.1 0.1 0.11 0.499983 0.0201764 -0.5231012 0.499981434 0.000025561 -0.52309693 0.5 0.000025684 -0.5235981364 0.5 0.000025684 -0.523598136

La línea 3 y 4 son iguales por lo tanto el resultado es cero.

3.3 Interacción Y Convergencia En Un Sistema De Ecuaciones.

Método de Newton-Rapson.

Para aproximar la solución del sistema no lineal.

F→ (x→)=0→ dadax→(0)

Algoritmo:

Entrada: No de incógnitas y ecs. n, aproximación (x→ (0 ))=[ x1 , x 2 ,…,xn ] , TOL ,No .

Salida: Solución aproximada x→ o mensaje de error

1) K=12) Mientras K≤ No (pasos 3−7 )3) Calcular F→ ( x ) y J→(x ')4) Resolver el sistema lineal J→ (x ' ) y→=−F→ ( x )5) x→=x→+ y→

6) Si||y||≤TOLSalida (x→ ) parar7) K=K+18) Salida(“No máximo de iteraciones excedido”)

F→ (x→(K−1 ) )=

f 1(x1(K−1 ) x 2→(K−1 ) ,…, xn→ (K−1))f 2(x1(K−1 ) x 2→(K−1 ) ,…, xn→ (K−1))

⋮fn (x1(K−1 ) x2→ (K−1 ) ,…, xn→ (K−1))

y 1y 2⋮yn

J→(x→)=

∂ f 1∂ x1

∂ f 1∂ x2

∂ f 1∂xn

∂ f 2∂ x1

∂ f 2∂ x2

∂ f 2∂xn

⋮∂ fn∂ x 1

∂ fn∂x 2

∂ fn∂xn

Ejemplo:

f 1x12+x2−37=0

f 2x 1−x22−5=0

f 3 x 1+x 2+x3−3=0

f→ ( x )=[ x12+x2−37

x 1−x22−5

x 1+x2+x 3−3]=[ 02+0−370−02−5

0+0+0−3]=[−37−5−3 ]

J→ (x→ )=[2x 1101−x2

2 011 1 ]=[ 2 (0 ) 10

1−2 (0 )0111 ]=[0 10

1 00111]=[ y 1

y 2y 3]=−[−37

−5−3 ]

[0 y1+ y 2+0 y 3=37y1+0 y2+0 y 3=5y1+ y2+ y 3=3 ]=[ y1=5

y2=37y3=−39]

[ 52+37−375−372−5

5+37−39−3]=−[ 251369

0 ]J→ (x→ )=[ 2(5)10

1−2(37)01 11 ]=[ 10 1 0

1−74 01 11 ]=[ 10 10

1−74 01 11 ]=[ y1

y2y3]=−[ 25

−13690 ]

Ejercicios (Programados):

1)4 x1

2−20 x1+ 14x2

12x1 x2

2+2x 1−5 x2+8=0

2)x 1 (1−x 1 )+4 x 2=12

(x1−2)2+(2x−3)2=25

15 x1−x22−4 x 3=13

x12+10x 2−x 3=11

x23−25 x 3=−22

4) 5 X 12−x22=0x 2−.25 (senx 1+cosx 2 )=0

Documento:

“Ejemplo De Aplicaciones De Los Métodos Numéricos A Problemas De Ingeniería”

Autor:

Dr. Salvador Botello Rionda

Unidad IV Diferenciación E Integración Numérica.

4.1 Diferenciación Numérica.

4.1.1 Formulas de diferenciación progresiva y regresiva.

F ( x )=limh→0

f (Xo+h )−f (Xo)h

Cuando h>o es Dif. Progresiva

Cuando h>o es Dif. Regresiva

Ejemplo:

Xo=1.8 F(x)=Ln(x)

Xo F(Xo) F’(Xo)1.7 0.530628 0.571591.8 0.587787 0.540661.9 0.641853 0.512942.0 0.693147 0.48792.1 0.741937 0.4879

4.1.1 Formulas de 3 puntos.

f ' ( xo )= 12h

[−3 f ( xo )+4 f ( xo+h )−f ( xo+2h ) ]

f ' ( xo )= 12h

[ f ( xo+h )−f (xo−h)]

4.1.1 Formulas de 5 puntos.

f ' ( xo )= 12h

[ f ( xo−2h )+8 f ( xo−h )−8 f ( xo+h )−f ( xo+2h ) ]

f ' ( xo )= 12h

[25 f ( xo )+48 f ( xo+h )−36 f ( xo+2h )−16 f ( xo+3h )−3 f (xo+4 h ) ]

Ejemplo:

Xo F(Xo) F’(Xo)0.78 0.703279 0.7145750.80 0.717356 0.696620.82 0.7311458 0.6834250.84 0.744693 0.6674050.86 0.757842 0.651150.88 0.770739 0.63711250.90 0.783327 0.637125

4.2 Integración Numérica.

4.2.1 Regla del Trapecio

f ( x )dx=h2

[ f ( xo )+ f (x 1)]

h= X1-Xo

Ejemplo:

2dxx+1

=22 [ 1

0+1+ 1

2+1 ]=1+ 13=4

f ( x )= 1x+1

h= 2 - 0 = 2ln (x+1){20=ln3−ln 1=1.09861

4.2.1 Regla de Simpson.

f ( x )dx=h3

[ f ( xo )+4 f ( x 1 )+ f (x 2)]

h=b−a2

x1= a+h

Ejemplo:

bdxx+1

=13 [ 1

0+1+4( 1

1+1 )+ 12+1 ]=1

3 [ 103 ]=10

9=1.1111111

4.2.3 Integración de Roomberg.

f ( x )dx

R1,1=h12

[F (a )+F (b ) ]=b−a2

[ f (a )+f (b ) ]

Para k=2,3,…, n

Rk−1=12

[Rk−1,1+hk−1 ]∑i=1

2k−2

f (a+ (2i−1 ) )hk

Para k=2,3,…, k

Rk , j=Rk , j−1+Rk , j−Rk−1 , j−1

4 j−1−1

Tabla de Resultados

R2,1 R2,2

R3,1 R3,2 R3,3

R4,1 R4,2 R4,3 R4,4

Rn , 1 Rn , 2 Rn , 3 Rn , 4 Rn , n

Ejemplo:

sin x dx n=6

f ( x )=Sen x a=0b=π h1=π−0=π

R1,1=h2

(f (a )+f (b ) )=π2

(sen 0+sen π )=0

R2,1=12 (R1,1+h1∑

22−2

f ( 0+(2i−1 ) )h2)k=2

h2= h1

22−1=π

R2,1=12 (0+π∑

f ( 0+(2 i−1 ) ) π2 )=R2,1=

12 (π (f (0+ (2i−1 ) ) π

2 [ πf ( π2 )]R2,1=

12 (πSen π2 )=π2

n 1 2 4 5 61 02

2.09439

3 1.896118 2.00455856 1.99856984 1.974231 2.00026867 1.9999827 2.0000051275 1.9935700 2.00001633 1.9999995 1.999999767 1.999999746 1.99839319 2.00000092 1.9999999 1.999999906 1.999999907 1.999999907

4.3 Integración Múltiple

Cuadratura Gaussiana.

f ( x , g )dydx≈ (b−a)(d−c )4

∑j=1

∑i=1

CmjCn , i f (b−a

2r n ,i+

b+a2,d−c

2rm, j+

Unidad V Interpolación.

5.1 Polinomios de Interpolación de Newton.

Para obtener los coeficientes del polinomio.

Pn (x )=f [Xo ]+∑k=1

f [ xo , x1 , x2 ,…, xn ] ( x−xo )…(x−xk−1)

Ejemplo:

k xk F(xk) F’(xk)0 1.3 0.6200860 -0.5220321 1.6 0.4554022 -0.56989592 1.9 0.2818186 -0.5811571

Ejercicios:

xj F(xj) F’(xj)8.3 17.56492 3.1162568.6 18.50515 3.151762

f (8.4 ) f ( x )=xln(x)

xj F(xj) F’(xj)-0.5 -0.024750 0.7510000-0.25 0.3349375 2.1890000 1.1010000 4.002000

f (−13 ) f ( x )=x3+4.0001 x2+4.002x+1.101

xj F(xj) F’(xj)0.1 -0.6249958 3.585020820.2 -0.28398668 3.140332710.3 0.00660095 2.666680430.4 0.2484244 2.16529366

f (0.25 ) f ( x )=x005 x−2 x2+3x−1

5.2Polinomio de Interpolación de LaGrange.Primero definimos

Lo ( x )= x−xixo−x 1

L1 (x)= x−xox1−xo

Y se define el polinomio

p ( x )=Lo ( x )F ( Xo )+ Li(X ) f (x)

Para mas funciones

Ln , k ( x )= ∏i=o i≠ k

n (x−Xi )(Xk−Xi)

El polinomio será

Pn (x )=∑K=0

f (Xk ) Ln ,k ( x )

Ejemplo:

i Xi F(Xi)0 2 0.51 2.5 0.42 4 0.253 5 0.20

L3,0= ∏i=o i≠ k

3 (x−Xi)(Xk−Xi)

=(x−X 1)(Xo−X 1)

.(x−X 2)

(Xo−X2).

(x−X3)(Xo−X 3)

L3,0=( x−2.5 )(2−2.5 )

.( x−4 )(2−4 )

.( x−5 )(2−5 )

=( x−2.5 ) ( x−4 ) (x−5 )

(−0.5 ) (−2 ) (−3 )

L3,0=( x−2.5)(x−4 )( x−5)

(−3)

L3,1=(x−xo)(x−x 2)(x−x3)

(x 1−xo)(x 1−x 2)(x 1−x3)=

(x−2)(x−4)(x−5)1.875

L3,2=(x−xo)(x−x 2)( x−x3)

(x 2−xo)(x 2−x 2)(x 2−x 3)=

(x−2)(x−2.5)( x−5)3

L3,3=(x−xo)( x−x2)(x−x3)

( x3−xo )(x3−x2)(x3−x3)=

(x−2)(x−2.5)(x−4)7.5

P3 (x )=f ( xo )L3,0+ f ( x 1 )L3,1+ f (x 2 ) L3,2+ f ( x3 )L3,3

P3 (3 )=0.5 [(x−2.5)(x−4)( x−5)−3 ]+0.4 [ (x−2)(x−4)(x−5)

1.875 ]+0.25[ (x−2)(x−2.5)(x−5)−3 ]+0.20[ (x−2)(x−2.5)(x−5)

7.5 ]P3 (3 )=0.5 [ 1

−3 ]+0.4 [1.0666 ]+0.25[ 1−3 ]+0.20 [−.0666 ]

P3 (3 )=0.33

Ejercicio:

i Xi F(Xi)0 0.0 1.000001 0.2 1.221402 0.4 1.491823 0.6 1.822124 0.8 2.22554

5.3Interpolacion Segmentada.

Método de Hermite.

H 2n+1 ( x )=∑J=0

f (Xj )H n , j+¿∑J=0

f ( Xj)H∆n , j ¿

H n+1=[1−2 ( x−xj ) L'n , j ( x ) ]Ln , j(x )

H∆n , j=( x−xj )L'n , j ( x )

Ejemplo:

Obtener el polinomio de Hermite y aproximar para F(1.5)

i F(Xi) F’(Xi)1.3 0.6200860 -0.52202321.6 0.4554022 -0.56989591.9 0.2818186 -0.5811571

L2,0=( x−x1 ) ( x−x2 )

( xo−x1 ) ( xo−x2 )=

( x−1.6 ) ( x−1.9 )(1.3−1.6 ) (1.3−1.9 )

= x2−1.6 x−1.9 x+3.04

(−0.3 ) (−0.6 )= x

2−3.5 x−3.040.18

L2,0=(2x )−3.5

L2,1=(x−xo ) ( x−x2 )

( x1−xo ) ( x1−x 2 )=

( x−1.3 ) ( x−1.9 )(1.6−1.3 ) (1.6−1.9 )

= x2−3.2 x+2.08(0.3 ) (−0.3 )

= x2−3.2x−2.47−0.09

L2,1=(2x )−3.2−0.09

L2,2=( x−xo ) ( x−x1 )

( x2−xo ) ( x2−x1 )=

( x−1.3 ) ( x−1.6 )(1.9−1.3 ) (1.9−1.6 )

= x2−2.9 x+2.08

(0.6 ) (0.3 )= x2−2.9 x−2.08

L2,2=(2x )−2.9

H 2,0=[1−2(x−xo )L'2,0](L '2,0)2

H 2,0=[1−2 ( x−1.3 )]( 2 x−3.5 x+3.04.18 )

H∆2,0=( x−xo )L'2,0

2=(x−1.3)[ x2−3.5 x+3.40.18 ]

H 2,1=[1−2 ( x−1.6 )( 2 x−3.2x−0.09 )] [( x2−3.2x+2.47

−0.09 )2]

H∆2,1=( x−1.6 ) [ x2−3.2x+2.47

−0.09 ]2

H 2,2=[1−2 ( x−1.9 )( 2x−2.9x.18 ) ][ x2−2.9 x+2.08

.18 ]2

H∆2,2=( x−1.9 )[ x2−2.9x+2.08

.18 ]2

H 5=f ( xo )H 2,0+f ( x1 )H 2,1+ f (x 2 )H 2,2+¿ f ' ( xo) H∆2,0+f

' ( x 1)H ∆2,1+f ' (x2 )H ∆

H 5=0.632143341

Ejercicios:

xj F(xj) F’(xj)8.3 17.56492 3.1162568.6 18.50515 3.151762

f (8.4 ) f ( x )=xln(x)

xj F(xj) F’(xj)-0.5 -0.024750 0.7510000-0.25 0.3349375 2.1890000 1.1010000 4.002000

f (−13 ) f ( x )=x3+4.0001 x2+4.002x+1.101

xj F(xj) F’(xj)0.1 -0.6249958 3.585020820.2 -0.28398668 3.140332710.3 0.00660095 2.666680430.4 0.2484244 2.16529366

f (0.25 ) f ( x )=x005 x−2 x2+3x−1

Unidad VI Solución de Ecuaciones Diferenciales.

6.1 Método de un Paso

Método de Euler.

Para resolver una ED y '=f (x , y ) dentro del intervalo a≤ x≤b con la condición inicial y (a )=α con N iteraciones.

La solución está dada por wi+1+hf ( xi ,wi )donde xi=a+ihWo (o )=α h=b−aN

Ejemplo:

y '= y−x2+1 0≤x ≤2 y (0 )=.5N=10

i xi wi yi |yi−wi|0 0.0 0.5 0.5 01 0.2 0.8 0.8292986 0.2929862 0.4 1.152 1.2140876 0.06208073 0.6 1.5504 1.6489406 0.09854064 0.8 1.98848 2.1272295 0.13874955 1.0 2.458176 2.640859 0.1826836 1.2 2.9498112 3.1799415 0.23013037 1.4 3.45177344 3.732400 0.280626568 1.6 3.950128128 4.283483 0.3333548729 1.8 4.428153754 4.815176 0.387022210 2.0 4.865784505 5.3054719 0.439687

Ejercicios:

1) y '=xe3 x−2 y 0≤ x≤1 y (0 )=0N=5 *+

2) y '=1+(x− y )2 2≤x ≤3 y (2 )=1N=10 *

3) y '=1+ yx

1≤x ≤2 y (1 )=2N=10*+

4) y '=cos 2x+Sen3 x 0≤x ≤1 y (0 )=1N=10 *

(*) Programa

(+)Cuaderno

Método de Rounge_kutta

Dada la ED y '=f (x , y ) en a≤ x≤b y y (a )=α , el método aproxima la solución de la sig. Manera:

K 1=hf ( xi,wi)

K 2=hf (xi+ h2,wi+ k 1

K 3=hf (xi+ h2,wi+ k 2

K 4=hf (xi+h ,wi+k3)

wi+1=wi+ 16(k 1+2k 2+2k3+k 4)

Donde h=b−aN

i xi wi yi |yi−wi|0 0.0 0.5 0.5 01 0.2 0.82928 0.82928 0.0000062 0.4 1.214043307 1.2140876 4.42 x10−5

3 0.6 1.648881828 1.6489406 5.87 10−5

4 0.8 2.127153575 2.1272295 7.59 x10−5

5 1.0 2.640762709 2.640859 9.62 x10−5

6 1.2 3.179820906 3.1799415 1.20 x10−5

7 1.4 3.732250588 3.732400 1.49 x10−5

8 1.6 4.283300201 4.283483 1.82 x10−5

9 1.8 4.814952199 4.815176 2.23 x10−5

10 2.0 5.29075359 5.3054719 0.01 x10−5

6.2 Método De Pasos Múltiples.

Corrector Predictor de Adams.

Calcular w1, w2 y w3 con Rounge_kutta a partir de i=4.5,…,N

X=a+ih

Predice w

w=w3+h[ 55 f ( x3 ,w3 )−59 f ( x2 ,w2 )+37 f (x 1 ,w1 )−9 f (xo ,wo)24 ]

Corrige wi

wi=w3+h[ 9 f ( x ,w )−19 f (x 3 ,w3 )+5 f ( x 2,w 2 )−f (x1 ,w1)24 ]

Ejemplo:

y '= y−x2+1o≤ x≤2 y (o )=0.5N=10

i xi wi yi0 0.0 0.5 0.51 0.2 0.82928 0.829282 0.4 1.15856 1.21408763 0.6 1.48784 1.64894064 0.8 2.023352533 2.12722955 1.0 2.520078434 2.6408596 1.2 3.030228351 3.17994157 1.4 3.549730104 3.7324008 1.6 4.0604522692 4.2834839 1.8 4.542751759 4.81517610 2.0 4.972726431 5.3054719

6.3 Sistema De Ecuaciones Diferenciales.

Sistema de orden m de problemas de valor inicial de primero orden puede expresarse como:

u1'du1dx

=f 1(x ,u1 ,u2 ,…,um)

u2'du2dx

=f 2(x ,u1 ,u2 ,…,um)

um' dumdx

=fm(x ,u1, u2 ,…,um)

Para a≤ x≤b con condiciones iniciales.

u1' (a)=α 1u2' (a)=α 2

⋮um' (a)=αm

Método de Rounge_kutta

Entrada: a, b, m, N, condiciones iniciales α 1 , α 2 ,…,αm

Salida: aproximaciones wi a uj(x)

1) h=b−aN

2) para j=1,2 ,…,mwj=αj3) Salida(x ,w1,w2 ,…,wm)4) parai=1 ,2 ,…, N pasos(5−11)5) para j=1,2 ,…,mkj=hfj(x ,w1 ,w2 ,…,wm)

6) para j=1,2 ,…,mk 2 j=hfj(x+ h2,w1+

2,…,wm+

7) para j=1,2 ,…,mk 3 j=hfj(x+ h2,w1+

2,…,wm+

8) para j=1,2 ,…,mk 4 j=hfj¿9) para j=1,2 ,…,mwj ¿10) x=a+ih11) Salida ( x ,w1 ,w2 ,…,wm )12) Parar

Anexos

Instituto Tecnológico de Delicias

Método Bisección

Métodos Numéricos

Nombre de la maestra: Cyntia Araiza Delgado

Nombre de los integrantes: Cesar Guerrero

Fernando Soto

Fernando Reyes

13 de Febrero del 2012

Introducción

En esta ocasión el programa que se creo utiliza el método de Bisección el cual consiste en encontrar el valor que se encuentra en medio entre un intervalo cerrado [a, b]. Se basa en el teorema de Bolzano, el cual establece:

Una función f : R ! R es cero de al menos un valor de x entre a y b si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y f(a) y f(b) tienen signos opuestos.

La estrategia de este método, es partir de un intervalo [a, b] que cumple la condición f(a)f(b) < 0 y en cada iteración bisectar lo para obtener un nuevo intervalo [a1, b1] que también cumple con f(a1)f(b1) < 0 , hasta obtener un intervalo [an, bn] que cumple f(an)f(bn) < 0 pero además |b − a| <=tol, para un correspondiente a la tolerancia del error.

Se presentara el algoritmo utilizado:

Dado: f: función asociada a la ecuación f(x) = 0 a resolver, a y b: valores iníciales que cumplen f(a)f(b) < 0, : tolerancia del error. Entrega: c: la solución aproximada a la ecuación f(x) = 0 con un errorBiseccion (f, a, b, tol)2: repeats (a + b)/24: if f(s) = 0 then .// caso excepcionalreturn s6: else if f(a)f(s) < 0 thenb = s8: elsea = s10: end ifuntil |b − a| <=tol12: return send

LENGUAJE EN EL QUE SE DESARROLLO LA APLICACIÓN

C#.- es un lenguaje de programación orientado a objetos desarrollado y estandarizado por Microsoft como parte de su plataforma .NET, que después fue aprobado como un estándar por la ECMA (ECMA-334) e ISO (ISO/IEC 23270). C# es uno de los lenguajes de programación diseñados para la infraestructura de lenguaje común.

Interfaz Grafica

A través de imágenes se explicara el programa utilizado para resolver problemas asignados durante la semana pasada.

El programa consiste de:

Cuatro botones, cada botón realiza la función que aparece en la superficie del botón. Un botón elimina los datos de los cuadros de texto y los listbox.

Aparecen cuatro cuadros de texto

o El primer cuadro de texto es utilizado para capturar el número de iteraciones que se desea utilizar para resolver la función. En ocasiones el usuario ingresa muchas iteraciones, para ello, el programa se detiene cuando encuentra las condiciones que cumplan el algoritmo.

o El segundo y tercero son utilizados para capturar los valores del intervalo [a,b]

o La tolerancia del error es capturada dentro del tercer cuadro de texto. Ojo: la tolerancia se debe ser ingresada en forma decimal y no utilizando notación científica.

Se utilizan dos listbox para demostrar los resultados.

PARAMETROS CON LOS QUE SE PROBO LA APLICACIÓN.

f(x)=√X – Cos X [0 , 1] TOL= 1x10-4

f(x)= X3 – 7X2 + 14X – 6

a)[0,1] b)[1,3.2]

f(x)= X4 – 2X3 – 4X2 + 4X + 4

a) [-2,1] b)[0,2]

c)[2,3] d)[-1,0]

INSTITUTO TECNOLOGICO DE DELICIAS

METODOS ITERATIVOS:

JACOBI Y GAUSS-SEIDEL

METODOS NUMERICOS

Fernando Soto

Fernando Reyes

Introducción

En esta ocasión el programa que se creo utiliza los métodos de solución de sistemas de ecuaciones de jacobi y de gauss-seidel.

-El método de jacobi consiste en resolver Ax=b dada una aproximación inicial x (0), donde A es una matriz, y x y b dos vectores.

ALGORITMO PARA EL METODO DE JACOBI

ENTRADA: No. de ecuacion e incognitas n, los elementos de A, los elementos de b y los elementos de Xo, TOL,No.

SALIDA: Solucion aproximada x1,x2,….xn o mensaje de error.

1) K=12) Mientras k <= No (pasos 3-6)3) Para i=1,2,….,r)

Xi=∑(ai,x0)+b4) Si ll x-x0ll<= TOL

SALIDA (x1,x2,…..,xn) parar5) K=k+16) Para i=1,2,3,….,n

X=07) SALIDA (‘EL METODO FRACASO DESPUES DE No. Iteraciones.

En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera. Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, en notación matricia.

ALGORITMO PARA METODO GAUSS-SEIDEL

función Gauss-Seidel ( , )// es una aproximación inicial a la solución//para hasta convergencia hacerpara hasta hacer

para hasta hacer

si entonces

fin para

fin paracomprobar si se alcanza convergenciafin para

Interfaz Grafica

A través de imágenes se explicara el programa utilizado para resolver problemas asignados durante la semana.

Once botones, cada botón realiza la función que aparece en la superficie del botón. Un botón elimina los datos de los cuadros de texto y los listbox.

Aparece un cuadro de texto

o El cuadro de texto es utilizado para capturar el número de iteraciones que se desea utilizar para resolver la función. En ocasiones el usuario ingresa muchas iteraciones, para ello, el programa se detiene cuando encuentra las condiciones que cumplan el algoritmo.

Se utilizan siete listbox para demostrar los resultados.

METODO DE JACOBI.

1) 3X1-X2+X3=13X1+6X2+2X3=03X1+3X2+7X3=4

2) 10X1-X2=9-X1+10X2-2X3=6-2X2+10X3=6

3) 10X1+5X2

5X1+10X2-4X3

-4X2+8X3-X4= -11-X3+5X4= -11

4) 4X1-X2-X4=0 -X1+4X2-X3-X5=5 -X2+4X3-X6=0 -X1+4X4-4X5=6 -X2-X4+4X5-X6=-2 -X3-X5+4X6=6

5)4X1+X2+X3+X5=6-X1-3X2+X3+X4=62X1+X2+5X3+4X4-X5=6X1-X2-X3+4X4=62X2-X3+X4+4X5=6

METODO DE GAUSS-SEIDEL.

1) 3X1-X2+X3=13X1+6X2+2X3=03X1+3X2+7X3=4

2) 10X1-X2=9-X1+10X2-2X3=6-2X2+10X3=6

3) 10X1+5X2

5X1+10X2-4X3

-4X2+8X3-X4= -11-X3+5X4= -11

4) 4X1-X2-X4=0 -X1+4X2-X3-X5=5 -X2+4X3-X6=0 -X1+4X4-4X5=6 -X2-X4+4X5-X6=-2 -X3-X5+4X6=6

5)4X1+X2+X3+X5=6-X1-3X2+X3+X4=62X1+X2+5X3+4X4-X5=6X1-X2-X3+4X4=62X2-X3+X4+4X5=6

Método de la Secante

Métodos Numéricos

Fernando Soto

Fernando Reyes

21 de Febrero del 2012

Introducción

En método se que utilizo en esta ocasión es el de la Secante, este método consiste del siguiente algoritmo:

Entrada: Po,P1,Tol,No

Salida: Solución aproximada P o mensaje de error

1. I=0;

Qo=F(Po)

Q1=F(P1)

2. Mientras i<=No(Pasos 3-6)

3. P=P1-(Q1(P1-Po))/Q1-Qo

4. Si |P-P1|<=Tol

Salida P1, parar

5. i=i+1;

6. Po=P1;

Qo=Q1;

Q1=F(P);

7. Salida (“El método fracaso de No iteraciones”);

Este método se basa en la utilización de dos puntos x0 y x1 como aproximaciones iníciales a la solución de la ecuación f(x) = 0, y calcula el tercer punto x2 resolviendo la siguiente ecuación de la secante, para y = 0 y x2 = x:

Interfaz Grafica

En la siguiente imagen se muestra el programa que se creo en el cual se utiliza el método ya mencionado anteriormente y se hicieron ejemplos en clase.

Cinco botones, cuatro de ellos realiza la función que se muestra en ellos. El otro botón se encarga de limpiar o borrar los datos de los cuadros de texto y listbox.

Se muestran tres cuadros de texto

o El primer cuadro de texto que se muestra es utilizado para darle el número de iteraciones que se desea que realice el programa o que crea que son las correctas para resolver la función. El programa se detiene cuando encuentra las condiciones que cumplan el algoritmo.

o El segundo y tercero son utilizados para capturar las aproximaciones iníciales (Po y P1).

Se utilizan tres listbox

o El primero muestra el número de iteraciones que se utilizan.

o En el segundo muestra los valores que salen en Pn.

o En el tercero se muestra el valor de Qn.

f(x)= x2 -6 Po= -3 P1= 2 TOL=1x10-5

f(x)= -x3 -Cosx Po= -1 P1= 0 TOL=1x10-5

f(x)= x2 -10Cosx Po= -2 P1= 2 TOL=1x10-5

f(x)= 230x4+18x3+9x2-221x-9 Po= -2 P1= 2 TOL=1x10-5

Método Roomberg

Métodos Numéricos

Fernando Soto

Fernando Reyes

27de abril del 2012

Introducción

En esta ocasión el programa que se creo resuelve el método de Roomberg para integración.

El Método de Romberg genera una matriz triangular cuyos elementos son estimaciones numéricas de

la integral definida siguiente:

Usando la extrapolación de Richardson de forma reiterada en la regla del trapecio. El método de Romberg

evalúa el integrando en puntos equiespaciados del intervalo de integración estudiado. Para que este método

funcione, el integrando debe ser suficientemente derivable en el intervalo, aunque se obtienen resultados

bastante buenos incluso para integrandos poco derivables. Aunque es posible evaluar el integrando en puntos

no equiespaciados, en ese caso otros métodos como la cuadratura gaussiana o la cuadratura de Clenshaw–

Curtis son más adecuados.

Interfaz Grafica

A través de imágenes se explicara el programa utilizado para resolver problemas asignados durante la semana pasada.

Cuatro botones, cada botón realiza la función que aparece en la superficie del botón. Un botón elimina los datos de los cuadros de texto y los listbox.

Aparecen cinco ListBox

o Cada listbox demuestra una posición de la matriz generada por el método de Roomberg

∫x^4 dx [0 , 1] n=4

∫2dx/x-4 [0,0.5]

∫x²lnx dx [1,1.5]

∫e^3x sen2x dx [0, π/4]

INSTITUTO TECNOLÓGICO

De DELICIAS

Métodos: Runge Kutta y Euler

Catedrático.-Cyntia Araiza Delgado M. C.

Francisco Javier Salazar ContrerasAracely Escudero Urrutia

EQUIPO:

INTRODUCCIÓN

En esta ocasión se han programado los métodos de Runge Kutta Y Euler. Nuestra aplicación está programada en C# y se muestra enseguida.

Esta ventana es donde está en ejecución el programa y esta con dos apartados mencionados en la introducción y los cuales los llevan por título respectivamente.

Cada método contiene los mismos cuatro ejercicios separados en pestañas. En este caso llegamos ala conclusión de que Euler es mejor.

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