View
877
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
พื้นฐานการพิสจูนท์างคณิตศาสตร ์
P. Pooksombat [2011/10/14]
Version 1.0
ตดิตามผลงาน และสอบถามไดท้ี่ ppooksombat.blogspot.com
1
บทที่ 1 : บทน า
เนือ่งจากผูเ้ขยีนไดเ้ห็นถึงปัญหาของนกัเรียนขัน้มธัยมศึกษาทัว่ไป ท่ีไมส่ามารถท าโจทยป์ระเภท
“พิสจูน”์ ได ้เพราะตามหลกัสตูรมธัยมศึกษานัน้ไมไ่ดม้ีเนือ้หาการพิสจูน ์จึงเขยีนเอกสารฉบบันีข้ึน้มาเพื่อ
เผยแพร่ความรูใ้หมท่างคณิตศาสตรท่ี์ใครหลายคนยงัไมท่ราบชดัเจนนกั และการพิสจูนน์ีเ้องก็เป็นสว่นหนึง่
ในขอ้สอบชิงทนุตา่งๆดว้ย จึงเป็นสิ่งส าคญัย่ิงส าหรบัผูเ้ตรียมตวัสอบทนุ และหวังเป็นอย่างย่ิงว่าเอกสาร
ฉบบันีจ้ะเป็นประโยชนต์อ่ผูอ้่าน ทัง้ในระดบัมธัยมศึกษา และระดบัมหาวิทยาลยัในเบ้ืองตน้
บทที่ 2 : เนือ้หาตอนที่ 1 การพิสจูนโ์ดยทัว่ไป
การพิสจูน ์คือการแสดงใหเ้ห็นว่าส่ิงท่ีโจทยก์ าหนดนัน้เป็นจริงตามท่ีสัง่ หรือโจทยอ์าจใหพิ้สจูนไ์ดว่้า
ขอ้ความตอ่ไปนี ้เป็นจริงหรือเป็นเท็จแลว้แตโ่จทยก์ าหนด
การพิสจูนข์อ้ความตา่งๆโดยทัว่ไป มีวิธีท าได ้3 แนวทางที่ถือเป็นพ้ืนฐานส าหรบัการพิสจูน ์ไดแ้ก ่
การพิสูจน์โดยตรง, การพิสูจน์แบบ Contradiction และการพิสูจน์แบบ Contrapositive ซ่ึงแตล่ะวิธีจะมี
กระบวนการตา่งๆกนัดงันี้
- การพิสจูนโ์ดยตรง คือการพิสจูนต์ามตวั ตอ้งท าการวิเคราะหเ์ป็นขัน้เป็นตอนตามปกต ิโดยอาจ
ใชท้ฤษฎีตา่งๆเขา้มาชว่ยในการวิเคราะหแ์ละอธิบายได ้หรือบางทีการพิสจูนว่์าไมจ่ริงก็อาจ
ยกตวัอย่างคา้นตรงๆไดเ้ชน่กนั
- การพิสจูนแ์บบ Contradiction คือการพิสจูนโ์ดยสมมตสิิ่งท่ีตรงขา้มกบัที่โจทยใ์หพิ้สจูนว่์าเป็น
จริง จากนัน้ก็ท าการวิเคราะหม์าเร่ือยๆจนกว่าจะเจอขอ้ขดัแยง้ ถึงสรปุไดว่้าท่ีเราสมมตไิวเ้ป็น
เท็จ นัน่คือเป็นการจบการพิสจูนว่์าโจทยท่ี์ใหเ้ป็นจริง (วิธีนีพ้บบ่อย)
- การพิสจูนแ์บบ Contrapositive คือการใชข้อ้ความท่ีสมมลูกนัพิสจูนแ์ทน โดยเปลี่ยนขอ้ความ
พิสจูนจ์าก “A แลว้ B” เป็น “~B แลว้ ~A” แทน ซ่ึงก็คือขอ้ความเดียวกนัแตอ่าจพิสจูนง์า่ยกว่า
นอกจากนีผ้ ูอ้า่นอาจเจอค าว่า “โดยไมเ่สียนยัทัว่ไป” หรือ “Without Loss of Generality” (WLOG)
ซ่ึงก็คือ การสมมตอิย่างใดอย่างหนึง่ ซ่ึงไมม่ีผลตอ่การพิสจูน ์(หรืออาจน ามาเรียงสบัเปลี่ยนไดใ้นภายหลงั
ส าหรบับางโจทย)์ โดยในบทถดัๆไปนัน้ ผูเ้ขยีนขอใชค้ าว่า “WLOG” แทนค าว่า “สมมตโิดยไมเ่สียนยั”
จากการอธิบายรายละเอียดแตล่ะวิธีไปแลว้ คาดว่าผูอ้า่นหลายท่านยงัสงสยัอยู ่ดงันัน้ผูเ้ขยีนจึงขอ
เสนอตวัอย่างโจทยใ์นบทถดัไปเลย
2
บทที่ 3 : เฉลยโจทยปั์ญหาตอนที่ 1 การพิสจูนโ์ดยทัว่ไป
1. ให ้𝑧1, 𝑧2, 𝑧3 เป็นรากสมการ 𝑧3 + 𝑎1𝑧
2 + 𝑎2𝑧 + 𝑎3 = 0 โดยท่ี 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 เป็นจ านวนเชิงซอ้น และให ้
𝐴 = max{ 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 } จงพิสจูนว่์า 𝑧𝑖 < 1 + 𝐴 ทกุ 𝑖 = 1,2,3
พิสจูน ์ (วิธีตรง) ให ้z เป็นรากสมการดงักลา่ว แสดงว่า – 𝑧3 = 𝑎1𝑧2 + 𝑎2𝑧 + 𝑎3
ดงันัน้ |𝑧|3 = |𝑎1𝑧2 + 𝑎2𝑧 + 𝑎3|
แตโ่ดยอสมการสามเหล่ียม, 𝑎1𝑧2 + 𝑎2𝑧 + 𝑎3 ≤ 𝑎1 𝑧
2 + 𝑎2 𝑧 + |𝑎3|
ท าให ้ |𝑧|3 ≤ 𝑎1 𝑧 2 + 𝑎2 𝑧 + |𝑎3|
เนือ่งจาก 𝐴 = max{ 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 } แสดงว่า 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ≤ 𝐴
|𝑧|3 ≤ 𝐴 𝑧 2 + 𝐴 𝑧 + 𝐴
แต ่|𝑧|3 − 1 < 𝑧 3, |𝑧|3 − 1 < 𝐴{ 𝑧 2 + 𝑧 + 1}
เพราะว่า 𝑧 2 + 𝑧 + 1 > 0 จึงหารสองฝัง่อสมการไดเ้ลยเป็น 𝑧 − 1 < 𝐴
ได ้ 𝑧 < 1 + 𝐴 #
2. ก าหนด 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑚, 𝑛 > 0 โดยท่ี 𝑎𝑚 + 𝑏𝑚 = 𝑐𝑚 และ 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 = 𝑐𝑛 จงพิสจูนว่์า 𝑚 = 𝑛 เท่านัน้
พิสจูน ์ (Contradiction) สมมตว่ิา 𝑚 ≠ 𝑛 และเราสามารถ WLOG ว่า 𝑚 > 𝑛
จากสมการท่ีโจทยก์ าหนด ชดัเจนว่า 𝑐 > 𝑎 และ 𝑐 > 𝑏
ดงันัน้ 𝑐𝑚−𝑛 > 𝑎𝑚−𝑛 และ 𝑐𝑚−𝑛 > 𝑏𝑚−𝑛
𝑐𝑚−𝑛𝑎𝑛 > 𝑎𝑚 และ 𝑐𝑚−𝑛𝑏𝑛 > 𝑏𝑚
น าสองอสมการมาบวกกนัได ้ 𝑐𝑚−𝑛 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 > 𝑎𝑚 + 𝑏𝑚
แทนสมการจากโจทยไ์ด ้ 𝑐𝑚−𝑛(𝑐𝑛) > 𝑐𝑚
𝑐𝑚 > 𝑐𝑚 เกิดขอ้ขดัแยง้
แสดงว่าท่ีสมมตไิวไ้มจ่ริง นัน่คือ 𝑚 = 𝑛 เท่านัน้ #
3
3. ในการแขง่ขนัเป่าย้ิงฉบุของคนกลุม่หนึง่ แขง่แบบพบกนัหมดทกุคู ่ถา้ชนะได ้1 คะแนน ถา้เสมอได ้½
คะแนน และถา้แพไ้มไ่ดค้ะแนน ถา้ในการแขง่ขนัครัง้นีม้ีผูท่ี้ไดค้ะแนนเท่ากนั จงพิสจูนว่์ามีบางคูท่ี่มีการเสมอ
กนั ไมเ่ชน่นัน้ก็จะเกิดเหตกุารณท่ี์ A ชนะ B, B ชนะ C และ C ชนะ A (เรียก 3-cycle)
พิสจูน ์ (Contrapositive) “ถา้มีคนไดค้ะแนนเท่ากนั แลว้มีบางคูเ่สมอ หรือ เกิด 3-cycle”
เราจะพิสจูน ์“ถา้ทกุคูไ่มม่ีการเสมอกนั และไมเ่กิด 3-cycle แลว้ไมม่ีคนไดค้ะแนนเท่ากนั” แทน
By Contradiction, สมมตว่ิามีบางคูไ่ดค้ะแนนเท่ากนั จากเงือ่นไขท่ีว่า ไมม่ีการเสมอ ไมม่ี 3-cycle
สมมตเิป็น M และ N ท่ีไดค้ะแนนเท่ากนั นัน่คือแตล่ะคนชนะคนอ่ืนมาแลว้ k คนเท่ากนั
แตเ่นือ่งจากไมมี่การเสมอ และการแขง่ขนัพบกนัทกุคู ่เราสามารถ WLOG ไดว่้า M ชนะ N
ฉะนัน้ M ชนะคนอ่ืนอีก k-1 คน แต ่N ชนะคนอ่ืนอีกถึง k คน
แสดงว่าในกลุม่ k คนท่ี N ชนะ มีบางคนท่ี M ไมไ่ดช้นะ เพราะถา้ทกุคนท่ี N ชนะถกู M ชนะหมด
ก็จะขดัแยง้ท่ี M ชนะเพียง k-1 คน แตค่นทีแพ ้N มีถึง k คนซ่ึงเยอะกว่า
นัน่คือ มีบางคนท่ี N ชนะ แต ่M ไมไ่ดช้นะ และจากท่ีไมม่ีการเสมอ บอกว่าคนนัน้ตอ้งชนะ M เท่านัน้
จึงเกดิ X ซ่ึง X ชนะ M, M ชนะ N และ N ชนะ X กลายเป็นว่าเกิด 3-cycle ขดัแยง้กบัที่ก าหนดไว ้
ฉะนัน้ไมม่ีคนบางคูซ่ึ่งไดค้ะแนนเท่ากนั #
(หมายเหต ุ: เราไดพิ้สจูนแ์ลว้ว่าขอ้ความ
“ถา้ทกุคูไ่มม่ีการเสมอกนั และไมเ่กิด 3-cycle แลว้ไมม่ีคนไดค้ะแนนเท่ากนั”
เป็นจริง ซ่ึงขอ้ความนีก็้สมมลูกบัขอ้ความ
“ถา้มีคนไดค้ะแนนเท่ากนั แลว้มีบางคูเ่สมอ หรือ เกิด 3-cycle”
จึงเป็นอนัจบการพิสจูน)์
4
4. ก าหนดจ านวนจริง 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≠ 0 ซ่ึง 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 และ 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 = 0 พิสจูนว่์า −4 ≤ 𝑥𝑦𝑧 < 0
พิสจูน ์ สมการที่มี 𝑥, 𝑦, 𝑧 เป็นค าตอบคือ 𝐴3 − 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝐴2 + 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 𝐴 − 𝑥𝑦𝑧 = 0
ให ้𝑝 = 𝑥𝑦𝑧 แสดงว่า 𝑝 = 𝐴3 − 3𝐴2 , By Contradiction, สมมตใิห ้𝑝 ≥ 0 หรือ 𝑝 < −4
ถา้ 𝑝 ≥ 0
𝐴3 − 3𝐴2 ≥ 0
𝐴2(𝐴 − 3) ≥ 0
𝐴 ≥ 3 นัน่คือ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≥ 3 ท าให ้𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≥ 9 ขดัแยง้กบั 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3
และถา้ 𝑝 < −4
𝐴3 − 3𝐴2 < −4
𝐴 + 1 𝐴 − 2 2 < 0
𝐴 < −1 นัน่คือ 𝑥, 𝑦, 𝑧 < −1 ท าให ้𝑥 + 𝑦 + 𝑧 < −3 ขดัแยง้กบั 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3
ดงันัน้ −4 ≤ 𝑥𝑦𝑧 < 0 #
5. ก าหนดจ านวนนบั 𝑚, 𝑛 โดยท่ี 𝑚 ≠ 𝑛 และ 𝑚 + 𝑛 + 1 | 2 𝑚2 + 𝑛2 − 1 จงพิสจูนว่์า 𝑚 + 𝑛 + 1
เป็นจ านวนประกอบ (ไมเ่ป็นจ านวนเฉพาะ)
พิสจูน ์ By Contradiction, สมมตใิห ้𝑚 + 𝑛 + 1 เป็นจ านวนเฉพาะ
แตจ่าก 2 𝑚2 + 𝑛2 − 1 = 𝑚 + 𝑛 2 + 𝑚 − 𝑛 2 − 1
= 𝑚 + 𝑛 + 1 (𝑚 + 𝑛 − 1) + 𝑚 − 𝑛 2
ดงันัน้ 𝑚 + 𝑛 + 1 | 𝑚 − 𝑛 2
แต ่𝑚 + 𝑛 + 1 เป็นจ านวนเฉพาะ จึงสามารถพิจารณาเพียงก าลงั 1 ได ้
ไดเ้ป็น 𝑚 + 𝑛 + 1 | 𝑚 − 𝑛 ซ่ึงเป็นไปไมไ่ดเ้พราะว่า 𝑚 + 𝑛 + 1 > | 𝑚 − 𝑛| จะไปหารลงตวัไมไ่ด ้
สรปุไดว่้า 𝑚 + 𝑛 + 1 เป็นจ านวนประกอบ #
5
6. ก าหนดพหนุาม 𝑝(𝑥) ∈ ℝ[𝑥] (แปลว่า 𝑝(𝑥) มีสมัประสิทธ์ิเป็นจ านวนจริง) ซ่ึงสมการ 𝑝 𝑥 = 𝑥 ไมม่ี
รากเป็นจ านวนจริง พิสจูนว่์าสมการ 𝑝 𝑝 𝑥 = 𝑥 ก็ไมม่ีรากเป็นจ านวนจริงเชน่กนั
พิสจูน ์ เนือ่งจากพหนุามเป็นฟังกช์นัท่ีตอ่เนือ่งทกุจดุบนจ านวนจริง นัน่คือถา้พหนุาม 𝑄(𝑥) ∈ ℝ[𝑥]
มีบาง 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ ซ่ึง 𝑎 < 𝑏 ท่ีท าให ้𝑄 𝑎 < 0 และ 𝑄 𝑏 > 0 (อาจสลบักนัได)้ แลว้จะมี 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏)
ท่ีท าให ้𝑄 𝑐 = 0 เสมอ พดูงา่ยๆคือจดุ (𝑎, 𝑄 𝑎 ) เชื่อมกบัจดุ (𝑏, 𝑄 𝑏 ) ตอ้งตดัแกน x เสมอ
ก็จะท าใหส้มการ 𝑄 𝑥 = 0 มีรากเป็นจ านวนจริง
ฉะนัน้ ถา้ 𝑄 𝑥 = 0 ไมม่ีรากจริงแลว้ 𝑄 𝑥 < 0 เสมอหรือไมก็่ 𝑄 𝑥 > 0 เสมอทกุ 𝑥 ∈ ℝ
กลบัมาท่ีโจทย,์ WLOG ว่า 𝑝 𝑥 − 𝑥 > 0 เสมอทกุจ านวนจริง x
By Contradiction, ใหม้ีบางจ านวนจริง r ซ่ึง 𝑝 𝑝 𝑟 = 𝑟 (นัน่ก็คือสมการมีรากเป็นจ านวนจริง)
จากเดมิมี 𝑝 𝑟 − 𝑟 > 0 แสดงว่า 𝑝 𝑟 > 𝑟
และ 𝑝 𝑝(𝑟) − 𝑝(𝑟) > 0 แสดงว่า 𝑟 > 𝑝(𝑟)
สองอสมการขดัแยง้กนัเอง จึงสรปุไดว่้าสมการ 𝑝 𝑝 𝑥 = 𝑥 ก็ไมม่ีรากเป็นจ านวนจริง #
(หมายเหต ุ: ถา้ไมแ่นใ่จท่ี WLOG ว่า 𝑝 𝑥 − 𝑥 > 0 ก็ลองท ากรณี 𝑝 𝑥 − 𝑥 < 0 เพิ่มดว้ยก็ได)้
7. ก าหนดจ านวนจริงตา่งกนั 𝑥, 𝑦, 𝑧 พิสจูนว่์า 𝑥 − 𝑦3 + 𝑦 − 𝑧3 + 𝑧 − 𝑥3
≠ 0
พิสจูน ์ เนือ่งจาก 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 3 − 3 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 + 3𝑎𝑏𝑐
ดงันัน้ ถา้ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 แลว้ 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 = 3𝑎𝑏𝑐
By Contradiction, สมมตใิห ้ 𝑥 − 𝑦3 + 𝑦 − 𝑧3 + 𝑧 − 𝑥3
= 0
โดยท่ีแสดงไวข้า้งตน้สรปุไดว่้า 𝑥 − 𝑦 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑧 − 𝑥 = 3 𝑥 − 𝑦 𝑦 − 𝑧 (𝑧 − 𝑥)3
0 = 3 𝑥 − 𝑦 𝑦 − 𝑧 (𝑧 − 𝑥)3
0 = 𝑥 − 𝑦 𝑦 − 𝑧 (𝑧 − 𝑥)
นัน่คือ 𝑥 = 𝑦 หรือ 𝑦 = 𝑧 หรือ 𝑧 = 𝑥 ซ่ึงขดัแยง้กบัโจทย ์
ฉะนัน้ 𝑥 − 𝑦3 + 𝑦 − 𝑧3 + 𝑧 − 𝑥3
≠ 0 #
6
บทที่ 4 : เนือ้หาตอนที่ 2 การพิสจูนอ์ย่างมีระบบ
เม่ือเราท าการพิสจูนโ์ดยทัว่ไปไดแ้ลว้ ขัน้ตอ่ไปท่ีจะกลา่วถึงคือ “การพิสจูนอ์ย่างมีระบบ” ซ่ึงเป็น
พ้ืนฐานท่ีส าคญัอนัหนึง่ที่ใชพิ้สจูนท์ฤษฎีตา่งๆไดอ้ย่างดีกว่าท่ีจะท าตรงๆ
การพิสจูนอ์ย่างมีระบบระเบียบโดยพ้ืนฐานแลว้มี 2 วิธี อนัไดแ้ก ่การอปุนัยเชิงคณิตศาสตร์ และ
การอปุนัยเชิงคณิตศาสตร์อย่างเขม้ขน้ เรียกสัน้ๆว่า Induction และ Strong Induction ตามล าดบั โดย
แตล่ะวิธีมีขัน้ตอนการพิสจูนอ์ย่างงา่ยดงัตอ่ไปนี้
- การอปุนยัเชิงคณิตศาสตร ์(Induction) คือการก าหนดขอ้ความ 𝑃(𝑛) ขึน้มาขอ้ความหนึง่ เรา
จะเร่ิมพิสจูนว่์า 𝑃(1) เป็นจริงกอ่น พอพิสจูนเ์สร็จเราก็สมมตว่ิา 𝑃(𝑘) เป็นจริง แลว้ตอ้งพิสจูนต์อ่
ใหไ้ดว่้า 𝑃(𝑘 + 1) ก็เป็นจริง จึงเป็นอนัจบการพิสจูน ์(เพราะถา้พิสจูนไ์ดแ้ลว้ ในเมื่อ 𝑃(1) เป็นจริง
ก็ท าให ้P(2) เป็นจริงดว้ย และยงัท าให ้𝑃(3) เป็นจริงอีก... เราจึงเรียกการพิสจูนน์ีว่้า Induction
ซ่ึงแปลว่าการเหนีย่วน านัน่เอง)
- การอปุนยัเชิงคณิตศาสตรอ์ย่างเขม้ขน้ (Strong Induction) คลา้ยกบั Induction ธรรมดา
เพียงแตเ่ปลี่ยนขัน้ตอนสองโดยก าหนดให ้𝑃(1), 𝑃(2), …𝑃(𝑘) เป็นจริง แลว้พิสจูนใ์หไ้ดว่้า
𝑃(𝑘 + 1) ก็เป็นจริงดว้ย (ขัน้ตอนแรกอาจพิสจูน ์𝑃(2) หรือ 𝑃(3) เพิ่มขึน้ก็ได ้ขึน้อยู่กบัความ
ตอ้งการของการพิสจูน)์
ในการพิสจูนด์ว้ยวิธีสองวิธีนี ้อาจเร่ิมตน้จาก 𝑃(𝑎) ใดๆก็ได ้ไมจ่ าเป็นว่าตอ้งขึน้ดว้ย 1 เสมอไป
สว่นรายละเอียดการพิสจูนท่ี์ละเอียดและวิธีการท่ีมากกว่านีส้ามารถหาอ่านไดใ้นหนงัสือ ทฤษฎีจ านวน ของ
สอวน.
7
บทที่ 5 : เฉลยโจทยปั์ญหาตอนที่ 2 การพิสจูนอ์ย่างมีระบบ
1. จงพิสจูนว่์า 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =𝑛 𝑛+1
2 ทกุจ านวนนบั n
พิสจูน ์ (Induction) ให ้𝑃(𝑛) แทนขอ้ความ 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =𝑛 𝑛+1
2
เราตอ้งแสดงว่าเป็นจริงตัง้แต ่𝑛 = 1,2,3, …
ขัน้แรก พิจารณา 𝑃(1) กลา่วคือ 1 =1 2
2 ซ่ึงเป็นจริง
ตอ่ไปสมมตว่ิา 𝑃(𝑘) เป็นจริง ตอ้งแสดงว่า 𝑃(𝑘 + 1) ก็เป็นจริงดว้ย
นัน่คือ สมมตว่ิา 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 =𝑘 𝑘+1
2
บวก 𝑘 + 1 ทัง้สองฝัง่ได ้ 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + 𝑘 + 1 =𝑘 𝑘+1
2+ 𝑘 + 1
จดัรปูเป็น 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + 𝑘 + 1 = 𝑘+1 (𝑘+2)
2
แสดงว่า 𝑃(𝑘 + 1) ก็เป็นจริงดว้ย จึงไดข้อ้สรปุว่าขอ้ความ 𝑃(𝑛) ก็เป็นจริงทกุจ านวนนบั n
ซ่ึงก็คือ 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =𝑛 𝑛+1
2 ทกุจ านวนนบั n #
ค าถาม ∶ ท าไมตอ้งพิสจูนด์ว้ยว่า 𝑃(1) เป็นจริง?
ค าตอบ ∶ ถา้ 𝑃(1) ไมจ่ริงแลว้เราจะร ูไ้ดอ้ย่างไรว่า 𝑃(2) เป็นจริงหรือเปลา่
ค าถาม ∶ อา้ว แลว้ถา้เราร ูแ้ลว้ละ่ว่า 𝑃(1) เป็นจริง จะร ูไ้ดไ้งว่า 𝑃(2) ก็เป็นจริงไปดว้ย?
ค าตอบ ∶ ก็เราพิสจูนแ์ลว้ไงครบั ว่า “ถา้ 𝑃(𝑘) เป็นจริงแลว้ 𝑃(𝑘 + 1) ก็เป็นจริงดว้ย”
ฉะนัน้ พอเราไดแ้ลว้ว่า 𝑃(1) จึงร ูท้นัทีว่า 𝑃(2) เป็นจริงดว้ย
ค าถาม ∶ แลว้ 𝑃(3) ละ่?
ค าตอบ ∶ ตอบเหมือนในบทเนือ้หาครบั ก็เพราะว่าเราไดแ้ลว้ว่า 𝑃(2) เป็นจริง
เราก็ไดต้อ่ไงครบัว่า 𝑃(3) ก็เป็นจริง เชน่เดียวกนั พอได ้𝑃(3) เป็นจริง
ก็จะได ้𝑃(4) เป็นจริง … ไปเร่ือยๆ สรปุไดว่้าเป็นจริงทกุจ านวนนบั 𝑛 นัน่เอง
8
2. พิสจูนว่์า ถา้ 𝜃 เป็นจ านวนจริงที่ท าให ้cos 𝜃 ∈ ℚ แลว้ cos 𝑛𝜃 ∈ ℚ ทกุจ านวนนบั n ดว้ย
พิสจูน ์ (Strong Induction) ใหข้อ้ความ 𝑃(𝑛) แทน cos 𝑛𝜃 ∈ ℚ
ขัน้แรกตอ้งเร่ิมจาก 𝑛 = 2 กอ่น เพราะโจทยก์ าหนด 𝑛 = 1 เป็นจริงมาแลว้
cos 2𝜃 = 2 cos2 𝜃 − 1 ∈ ℚ เพราะ cos 𝜃 ∈ ℚ
เพ่ือความมัน่ใจ พิสจูน ์𝑛 = 3 ไปเผื่อดว้ย, cos 3𝜃 = 4 cos3 𝜃 − 3 cos 𝜃 ∈ ℚ เพราะ cos 𝜃 ∈ ℚ
ตอ่ไปสมมตใิห ้𝑃 1 , 𝑃(2), … , 𝑃(𝑘) เป็นจริงหมด ตอ้งพิสจูนว่์า 𝑃(𝑘 + 1) เป็นจริงดว้ย
cos 𝑘 + 1 𝜃 = cos 𝑘𝜃 + 𝜃 = cos k𝜃 cos 𝜃 − sin 𝑘𝜃 sin 𝜃
= cos k𝜃 cos 𝜃 −12
(cos 𝑘 − 1 𝜃 − cos 𝑘 + 1 𝜃)
จดัรปูสมการเป็น cos(𝑘 + 1)𝜃 = 2 cos k𝜃 cos 𝜃 − cos 𝑘 − 1 𝜃
แตท่ัง้ cos 𝜃 , cos 𝑘 − 1 𝜃 , cos 𝑘𝜃 ตา่งเป็นจ านวนตรรกยะหมด จึงท าให ้cos(𝑘 + 1)𝜃 ∈ ℚ
ดงันัน้ cos 𝑛𝜃 ∈ ℚ ทกุจ านวนนบั n #
3. พิสจูนว่์า 𝑛! < 2𝑛 !
2𝑛 ทกุจ านวนนบั 𝑛 ≥ 2
พิสจูน ์ ให ้𝑃(𝑛) แทนขอ้ความ 𝑛! < 2𝑛 !
2𝑛
พิจารณา 𝑃(2) คือ 2! < 4!
22 ซ่ึงเป็นจริงเพราะ 2 < 6
ให ้𝑃(𝑘) เป็นจริง นัน่คือ 𝑘! < 2𝑘 !
2𝑘
𝑘 + 1 ! < (𝑘 + 1) 2𝑘 !
2𝑘
แต ่ 𝑘 + 1 = 𝑘2 + 2𝑘 + 1 < 2𝑘2 + 3𝑘 + 1 = 2𝑘+2 (2𝑘+1)2
ดงันัน้ 𝑘 + 1 ! < 2𝑘+2 (2𝑘+1) 2𝑘 !
2∙2𝑘 =
2𝑘+2 !
2𝑘+1
𝑃(𝑘 + 1) เป็นจริงดว้ย นัน่คือ 𝑛! < 2𝑛 !
2𝑛 ก็เป็นจริงทกุจ านวนนบั 𝑛 ≥ 2 #
9
บทที่ 6 : โจทยปั์ญหาที่เกี่ยวกบัการพิสจูน ์
1. ส าหรบัจ านวนนบั 𝑛 ≥ 2 และจ านวนจริง 𝑎0, 𝑎1,… , 𝑎𝑛 > 0 ซ่ึงทกุ 𝑘 = 1,2, … , 𝑛 − 1 จะสอดคลอ้งกบั
𝑎𝑘−1 + 𝑎𝑘 (𝑎𝑘 + 𝑎𝑘+1) = 𝑎𝑘−1 − 𝑎𝑘+1 พิสจูน ์𝑎𝑛 <1
𝑛−1
2. ก าหนดพหนุาม 𝑃(𝑥) ∈ ℝ[𝑥] (แปลว่ามี สปส. เป็นจ านวนจริง) เป็นพหนุามโมนคิ (แปลว่ามี สปส. น า
เป็น 1) มีดีกรีค่ี และพหนุาม 𝑄 𝑥 = 𝑃 𝑥 + 120 เป็นพหนุามท่ีมีรากเป็นจ านวนเต็มอย่างนอ้ย 7 ตวั
ตา่งกนั จงพิสจูนว่์า 𝑃(𝑥) มีรากบางตวัเป็นจ านวนอตรรกยะ
3. ก าหนด 𝑃 𝑧 = 𝑧2 + 𝑎𝑧 + 𝑏 เป็นพหนุามซ่ึง 𝑃(𝑥) ∈ ℂ[𝑥] และสอดคลอ้งเงือ่นไขว่า ถา้ |𝑧| = 1 เมื่อ
𝑧 ∈ ℂ แลว้ 𝑃 𝑧 = 1 จงแสดงว่า 𝑎 = 𝑏 = 0 เท่านัน้
4. ส าหรบั 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3 ∈ ℂ ซ่ึง 𝑧1 = 𝑧2 = 𝑧3 = 𝑟 และ 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 ≠ 0 จงพิสจูนว่์า
𝑧1𝑧2 + 𝑧2𝑧3 + 𝑧3𝑧1
𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 = 𝑟
5. ให ้A เป็น Triangular Matrix มิต ิ3 × 3 ท่ีไมเ่ป็น 0 มีสมบตัว่ิา 𝐴𝑛 = 𝐴 ทกุ 𝑛 ∈ ℕ จงพิสจูนว่์ามี
สมาชิกบางตวัใน A เป็น 1
6. พิจารณาว่า 𝑓 𝑥 = ln(tan 𝑥 + sec 𝑥) เป็นฟังกช์นัคูห่รือฟังกช์นัค่ีหรือไมเ่ป็นทัง้สองเลย พรอ้มทัง้
พิสจูน ์และหาอินเวอรส์ของฟังกช์นันีบ้นชว่ง 𝑥 ∈ (−𝜋2
,𝜋2
) โดยนยิาม
ถา้ 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) ทกุ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 เรียก 𝑓 ว่าเป็นฟังกช์นัคู่
ถา้ 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) ทกุ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 เรียก 𝑓 ว่าเป็นฟังกช์นัค่ี
7. จงพิสจูนว่์า 1 ∙ 1! + 2 ∙ 2! + ⋯ + 𝑛 ∙ 𝑛! = 𝑛 + 1 ! − 1 ทกุจ านวนนบั n
8. จงพิสจูนว่์า 1
1+
1
2+ ⋯ +
1
𝑛> 𝑛 ทกุจ านวนนบั 𝑛 ≥ 2
10
9. จงพิสจูนว่์า 1
12 +1
22 +1
32 + ⋯ +1
𝑛2 ≤ 2 −1
𝑛 ทกุจ านวนนบั n
10. จงแสดงว่า 3! 𝑛 | 3𝑛 ! ส าหรบัจ านวนเต็ม 𝑛 ≥ 0
11. พิสจูนว่์าจ านวนเฉพาะมีมากมายเป็นอนนัต ์
12. พิสจูนว่์าไมม่ีฟังกช์นัพหนุาม 𝑃(𝑥) ∈ ℤ[𝑥] ซ่ึง 𝑃(𝑛) เป็นจ านวนเฉพาะทกุ 𝑛 = 0,1,2, …
(หมายเหต ุ: ℤ คือเซตของจ านวนเต็ม บางต าราอาจใชส้ญัลกัษณ ์𝕀 ก็ได)้
13. จงแสดงว่า ถา้ 𝑥 +1𝑥
= 2 cos 𝛼 แลว้ 𝑥𝑛 +1𝑥𝑛 = 2 cos 𝑛𝛼 ทกุจ านวนนบั n
14. ก าหนดจ านวนเต็มตา่งกนั 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 และพหนุาม 𝑝 𝑥 = 𝑥 − 𝑎1 2 𝑥 − 𝑎2
2 … 𝑥 − 𝑎𝑛 2 + 1
พิสจูนว่์า 𝑝 𝑥 ไมส่ามารถลดทอนไดเ้หนอื ℤ
(หมายเหต ุ: ไมส่ามารลดทอนไดเ้หนอื 𝕏 หมายถึง ไมส่ามารถแยกตวัประกอบเป็นอย่างนอ้ยสองแฟคเตอร์
ท่ีแตล่ะแฟคเตอรมี์สมัประสิทธ์ิเป็นจ านวนใน 𝕏)
15. ก าหนดพหนุาม 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 ∈ ℤ โดย 𝑎0 เป็นจ านวนเฉพาะ และสอดคลอ้งกบั
𝑎0 > 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 พิสจูนว่์า 𝑓 𝑥 ไมส่ามารถลดทอนไดเ้หนอื ℤ
16. ให ้P และ Q เป็นจดุตา่งกนับนระนาบ สรา้งวงกลมสองวงสมัผสักนัภายนอก โดยมีจดุ P และ Q เป็นจดุ
ศนูยก์ลาง และให ้AB เป็นเสน้สมัผสัร่วมของวงกลมทัง้สอง เมื่อจดุ A, B อยู่บนวงกลม P, Q ตามล าดบั จง
วิเคราะหว่์าจดุกึ่งกลาง AB เป็นภาคตดักรวยชนดิใดหรือไม ่ถา้เป็นแลว้เป็นชนดิใด
17. เมื่อเราวาดกราฟของ 𝑦 = 𝑎 sin 𝑥 + 𝑏 sin 𝑥 ไมว่่าจะใชจ้ านวนจริง 𝑎, 𝑏 ใดๆ ก็จะไดร้ปูร่างคลา้ย sine
curve ธรรมดา แตม่ีคา่สงูสดุและต า่สดุอยู่ท่ี ± 𝑎2 + 𝑏2 เสมอ จงใหเ้หตผุลอธิบายเหตกุารณเ์หลา่นี ้
11
18. จงพิสจูนว่์า ฟังกชั์นแกมมา (Gamma Function) นยิามโดย
Γ 𝑥 = 𝑒−𝑡𝑡𝑥−1 𝑑𝑡∞
0
เป็นการวางนยัทัว่ไปของ 𝑥 − 1 ! กลา่วคือ Γ 𝑥 = 𝑥 − 1 ! เมื่อ 𝑥 > 0
(ค าแนะน า : ใชก้ารอินทิเกรตแยกส่วน (Integration by Parts), 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣 𝑑𝑢 )
19. ก าหนดให ้ cos2𝑥−1 𝜃 sin2𝑦−1 𝜃 𝑑𝜃𝜋/2
0=
Γ 𝑥 Γ 𝑦
2Γ 𝑥+𝑦 และฟังกชั์นบีตา (Beta Function) นยิามโดย
B 𝑥, 𝑦 = 𝑡𝑥−1 1 − 𝑡 𝑦−1 𝑑𝑡1
0
พิสจูนว่์า B 𝑥, 𝑦 =Γ 𝑥 Γ 𝑦
Γ 𝑥+𝑦 ส าหรบัจ านวนจริง 𝑥, 𝑦 > 0
(หมายเหต ุ: จริงๆเรายงัไมไ่ดพ้ดูถึงกรณีท่ี 𝑥, 𝑦 ≤ 0 เลยใสเ่งือ่นไขเพียงเท่านี้)
(ค าแนะน า : แทน 𝑡 = cos2 𝜃 ลงในปริพนัธข์องนยิามฟังกช์นับีตา)
20. ให ้Â เป็นตวัด าเนนิการซ่ึงใชก้บัฟังกช์นัใดๆเพื่อใหเ้กิดฟังกช์นัใหม ่กลา่วคือ Â𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥)
เชน่ Â = 2 −𝑑𝑑𝑥
และ 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 ก็จะได ้Â𝑓 𝑥 = 2𝑒𝑥 −𝑑𝑑𝑥
𝑒𝑥 = 2𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 = 𝑒𝑥 และนยิาม
ถา้มีฟังกช์นั 𝑓(𝑥) ซ่ึง Â𝑓(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑓(𝑥) แลว้
เราจะเรียก 𝑓(𝑥) ว่าเป็นฟังกชั์นไอเกน (𝑒𝑖𝑔𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛) ของ Â
และเรียก 𝑎 ว่าเป็นค่าไอเกน (𝑒𝑖𝑔𝑒𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒) ของ Â
ĜĤ = ĤĜ ก็ตอ่เมื่อ Ĝ(Ĥ𝑓(𝑥)) = Ĥ(Ĝ𝑓(𝑥)) ส าหรบัฟังกช์นั 𝑓(𝑥) ใดๆ
พิสจูนว่์า ถา้ 𝑓(𝑥) เป็นฟังกช์นัไอเกนของ 𝐴 และ 𝐴 𝐵 = 𝐵 𝐴 แลว้ 𝑓(𝑥) ก็เป็นฟังกช์นัไอเกนของ 𝐵 ดว้ย
21. จงแสดงว่าฟังกช์นั 𝜓1 = 𝑎𝑒−𝑥2/2 และ 𝜓2 = 𝑏𝑥𝑒−𝑥2/2 เมื่อ 𝑎, 𝑏 เป็นคา่คงที่ ตา่งเป็นฟังกช์นัไอเกน
ของ 𝐴 =12
(x2 −𝑑
2
𝑑𝑥2 ) และหาคา่ไอเกนในแตล่ะกรณี
12
22. พิสจูนว่์า sin 𝜃 + sin 2𝜃 + ⋯ + sin 𝑛𝜃 =sin𝑛𝜃
2sin 𝑛+1 𝜃
2
sin𝜃2
23. พิสจูนว่์า cos 𝜃 + cos 2𝜃 + ⋯ + cos 𝑛𝜃 =sin𝑛𝜃
2cos 𝑛+1 𝜃
2
sin𝜃2
24. (Bonus) ใชผ้ลจากขอ้ 23 ในการหาคา่ของ sin2 𝜃 + sin2 2𝜃 + ⋯ + sin2 𝑛𝜃 และ cos2 𝜃 +
cos2 2𝜃 + ⋯ + cos2 𝑛𝜃
25. (Bonus) พิสจูนว่์า 1 − 1 − 1 − … หาคา่ไมไ่ด ้(หาคา่ไมไ่ดจ้ริงๆนะครบั และไมใ่ช ่ 5−1
2 ดว้ย)
Recommended