Medidasresumo - UFJF · Medidasresumo TiagoM.Magalhães Departamento de Estatística - ICE-UFJF...

Medidas resumo

Tiago M. Magalhães

Departamento de Estatística - ICE-UFJF

Juiz de Fora, 13 de março de 2020

T. M. Magalhães (ICE-UFJF) Medidas resumo 13 de março de 2020 1 / 47

Roteiro

1 Definições

2 Tipos de variáveis

3 Distribuição de frequências

4 Medidas resumo

Roteiro

1 Definições

4 Medidas resumo

Definições

Estatística (Fisher)É o ramo da matemática aplicada que cuida da coleta, análise e interpreta-

ção dos dados.

Definições

Estatística (Fisher)É o ramo da matemática aplicada que cuida da coleta, análise e interpreta-

ção dos dados.

Definições

Observações:

População: é um conjunto de indivíduos ou objetos que possuem pelo

menos uma característica em comum.

Amostra: é um subconjunto da população.

Definições

Observações:

Definições

Observações:

Divisão

Estatística descritivaTem com o intuito de apresentar as observações de maneira resumida, atra-

vés de tabelas, gráficos e/ou medidas.

Divisão

Estatística descritivaTem com o intuito de apresentar as observações de maneira resumida, atra-

vés de tabelas, gráficos e/ou medidas.

Divisão

Inferência estatísticaTira resultados e conclusões de uma amostra (significativa da população) e

estende a população.

Divisão

Inferência estatísticaTira resultados e conclusões de uma amostra (significativa da população) e

estende a população.

Séries estatísticas

É toda e qualquer seleção de dados organizados em uma tabela, que res-

ponda a três questionamentos básicos:

O quê? Se refere ao fenômeno estudado.

Quando? Se refere ao período de tempo no qual se estudou o fenô-

Onde? Se refere a região geográfica onde foi estudado o fenômeno.

Tipos de séries

Temporal;

Geográfica;

Especificativa;

Mista.

Tipos de séries

Temporal;

Geográfica;

Especificativa;

Mista.

Tipos de séries

Temporal;

Geográfica;

Especificativa;

Mista.

Tipos de séries

Temporal;

Geográfica;

Especificativa;

Mista.

Tipos de séries

Temporal;

Geográfica;

Especificativa;

Mista.

Tipos de séries

Observações:

Fonte primária: o pesquisador é responsável pela coleta de informações.

Fonte secundária: quando as informações são retiradas de estatísticas

já existentes.

Tipos de séries

Observações:

já existentes.

Tipos de séries

Observações:

já existentes.

Roteiro

1 Definições

4 Medidas resumo

Tipos de variáveis

QuantitativasÉ o resultado de contagem (variável discreta) ou mensuração (variável con-

tínua).

Tipos de variáveis

QuantitativasÉ o resultado de contagem (variável discreta) ou mensuração (variável con-

tínua).

Tipos de variáveis

QualitativasQuando se refere a qualidade ou atributo de um indivíduo. Se não hou-

ver ordem em suas realizações, é dita qualitativa nominal, caso contrário,

qualitativa ordinal.

Tipos de variáveis

QualitativasQuando se refere a qualidade ou atributo de um indivíduo. Se não hou-

ver ordem em suas realizações, é dita qualitativa nominal, caso contrário,

qualitativa ordinal.

Exemplos

No de alunos em uma sala - variável quantitativa discreta;

No de erros por páginas em um livro - variável quantitativa discreta;

Temperatura - variável quantitativa contínua;

Peso - variável quantitativa contínua;

Sexo - variável qualitativa nominal;

Região de procedência - variável qualitativa nominal;

Classificação do vestibular - variável qualitativa ordinal;

Patente militar - variável qualitativa ordinal.

Exemplos

Roteiro

1 Definições

4 Medidas resumo

Distribuição de frequências

Foi perguntado a 27 alunos do curso de Estatística Economica I quantos

dias eles estudaram na semana anterior.

As respostas foram:

0 3 3 0 2 4 1 1 2

3 2 2 2 4 3 5 1 5

4 1 5 3 2 5 4 0 0

O que podemos observar/comentar?

dias eles estudaram na semana anterior. As respostas foram:

0 3 3 0 2 4 1 1 2

3 2 2 2 4 3 5 1 5

4 1 5 3 2 5 4 0 0

0 3 3 0 2 4 1 1 2

3 2 2 2 4 3 5 1 5

4 1 5 3 2 5 4 0 0

0 3 3 0 2 4 1 1 2

3 2 2 2 4 3 5 1 5

4 1 5 3 2 5 4 0 0

0 3 3 0 2 4 1 1 2

3 2 2 2 4 3 5 1 5

4 1 5 3 2 5 4 0 0

Distribuição de frequênciasUma maneira de se dispor um conjunto de dados para se ter uma ideia

global sobre eles, ou seja, de sua distribuição.

Distribuição de frequênciasUma maneira de se dispor um conjunto de dados para se ter uma ideia

global sobre eles, ou seja, de sua distribuição.

Para os dados anteriores:

Dias Freq. obs.

ObservaçãoEm algumas situações, é conveniente adicionar informações extras a distri-

buição de frequências, como a frequência acumulada, relativa ou relativa

em porcentagem.

ObservaçãoEm algumas situações, é conveniente adicionar informações extras a distri-

buição de frequências, como a frequência acumulada, relativa ou relativa

em porcentagem.

Dias f fR fR(%) fac

0 4 4/27 400/27 4

1 4 4/27 400/27 8

2 6 6/27 600/27 14

3 5 5/27 500/27 19

4 4 4/27 400/27 23

5 4 4/27 400/27 27

Dias f fR fR(%) fac

0 4 4/27 400/27 4

1 4 4/27 400/27 8

2 6 6/27 600/27 14

3 5 5/27 500/27 19

4 4 4/27 400/27 23

5 4 4/27 400/27 27

Em que:

f é a frequência observada;

fR é a frequência relativa;

fR(%) é a frequência relativa percentual;

fac é a frequência relativa acumulada;

Em que:

se n é o total de observações, l é o total de observações distintas (linhas) e

i a posição da linha, temos que

f1 + f2 + · · ·+ fn = n;

fRi = fi/n;

fRi (%) = 100× fi/n;

faci = f1 + f2 + · · ·+ fi ;

i = 1, 2, . . . , l

f1 + f2 + · · ·+ fn = n;

fRi = fi/n;

fRi (%) = 100× fi/n;

faci = f1 + f2 + · · ·+ fi ;

i = 1, 2, . . . , l

f1 + f2 + · · ·+ fn = n;

fRi = fi/n;

fRi (%) = 100× fi/n;

faci = f1 + f2 + · · ·+ fi ;

i = 1, 2, . . . , l

f1 + f2 + · · ·+ fn = n;

fRi = fi/n;

fRi (%) = 100× fi/n;

faci = f1 + f2 + · · ·+ fi ;

i = 1, 2, . . . , l

f1 + f2 + · · ·+ fn = n;

fRi = fi/n;

fRi (%) = 100× fi/n;

faci = f1 + f2 + · · ·+ fi ;

i = 1, 2, . . . , l

Construção de uma distribuição de frequências

Em situações com muitas observações ou para o caso de variáveis quantita-

tivas contínuas, o procedimento para a construção de uma distribuição de

frequências é o seguinte:

Em situações com muitas observações ou para o caso de variáveis quantita-

tivas contínuas, o procedimento para a construção de uma distribuição de

frequências é o seguinte:

Definir:

1 Rol: a organização dos dados em ordem crescente.

2 Amplitude total (AT ): Valor máximo (max) − valor mínimo (min).

3 Número de classes (c): c ≈ 1 + 3, 22 logn10 (fórmula de Sturges).

4 Amplitude de classes (h): h ≈ AT /c.

Definir:

Classe Freq. obs.

1: min (inclusive) |- min +h f1

2: min +h (inclusive) |- min +2h f2...

c: min +(c − 1)h (inclusive) |- min +ch fc

Roteiro

1 Definições

4 Medidas resumo

Exemplo

Marcio é aluno da disciplina de Estatística Avançada I, com prova marcada

para as 8h, sem a possibilidade de entrada após este horário.

Às 7h44, ele chega no Terminal Butantã e, neste exato momento, os dois

ônibus das linhas que lhe serve, 8012 e 8022, estão prestes a partir.

Exemplo

Figura 1: Terminal Butantã, São Paulo/SP (Créditos: Google imagens).

Exemplo

Desesperado, ele pergunta para o fiscal quanto tempo cada um deles leva

até chegar ao Departamento de Estatística. O fiscal responde: “nestas

mesmas condições, eu observei, em minutos:”

8012 13 15 12 10 19 17 10 14 15 15

8022 16 16 15 16 16 14 15 15 14 15

Qual o ônibus Marcio deveria pegar?

Exemplo

8012 13 15 12 10 19 17 10 14 15 15

8022 16 16 15 16 16 14 15 15 14 15

Exemplo

8012 13 15 12 10 19 17 10 14 15 15

8022 16 16 15 16 16 14 15 15 14 15

Exemplo

8012 13 15 12 10 19 17 10 14 15 15

8022 16 16 15 16 16 14 15 15 14 15

Medidas de posição

Média (X̄ )Se temos as observações X1, X2, . . . , Xn, a média aritmética desses valores

é o quociente entre a soma deles e o total de observações.

X̄ = X1 + X2 + · · ·+ Xnn =

∑ni=1 Xin .

X̄ = X1 + X2 + · · ·+ Xnn =

∑ni=1 Xin .

X̄ = X1 + X2 + · · ·+ Xnn =

∑ni=1 Xin .

Propriedades da média1 Se somarmos uma constante a todos os elementos do conjunto, a nova

média ficará somada desta constante.

2 Se multiplicarmos todos os elementos de um conjunto por uma cons-

tante, a nova média ficará multiplicada por esta constante.

3 A soma dos desvios tomados em relação a média é nula.

Isto é,

1.(X1 + c) + (X2 + c) + · · ·+ (Xn + c)

n = X̄ + c;

2.(X1 × c)× (X2 + c)× · · · × (Xn + c)

n = X̄ × c;

3. (X1 − X̄ ) + (X2 − X̄ ) + · · ·+ (Xn − X̄ ) = 0.

Isto é,

1.(X1 + c) + (X2 + c) + · · ·+ (Xn + c)

n = X̄ + c;

2.(X1 × c)× (X2 + c)× · · · × (Xn + c)

n = X̄ × c;

3. (X1 − X̄ ) + (X2 − X̄ ) + · · ·+ (Xn − X̄ ) = 0.

Mediana (Md)É o valor que divide exatamente no meio um conjunto de dados, isto é, o

número de observações a sua direita é o mesmo a sua esquerda.

Mediana (Md)É o valor que divide exatamente no meio um conjunto de dados, isto é, o

número de observações a sua direita é o mesmo a sua esquerda.

Mediana

Se X1, X2, . . . , Xn é um conjunto de dados não ordenados com n observações

e X(1), X(2), . . . , X(n) o conjunto de dados anterior ordenado, então

X(1), X(2), . . . , X( n2 ), Md , X( n

2 +1), X( n2 +2), . . . , X(n)

50%←− 50%−→.

Mediana

X(1), X(2), . . . , X( n2 ), Md , X( n

2 +1), X( n2 +2), . . . , X(n)

50%←− 50%−→.

Cálculo da mediana

Se n é ímpar, a mediana é o valor da observação que está na posiçãon2 + 1 do conjunto de dados ordenados,

Md = X( n2 +1).

Se n é par, a mediana é a média dos valores das observações que estão

nas posições n2 e n

2 + 1 do conjunto de dados ordenados,

Md =X( n

2 ) + X( n2 +1)

Cálculo da mediana

Md = X( n2 +1).

Md =X( n

2 ) + X( n2 +1)

Cálculo da mediana

Md = X( n2 +1).

Md =X( n

2 ) + X( n2 +1)

Moda (Mo)É o valor mais frequente de um conjunto de observações.

Relações entre X̄ , Md e Mo

Se X̄ > Md > Mo, a distribuição dos dados é assimétrica à direita.

Se X̄ < Md < Mo, a distribuição dos dados é assimétrica à esquerda.

Se X̄ = Md = Mo, a distribuição dos dados é simétrica.

Relações entre X̄ , Md e MoSe X̄ > Md > Mo, a distribuição dos dados é assimétrica à direita.

QuartisOs quartis Q1 a Q3 dividem o conjunto de observações em quatro partes.

Q1: deixa 25% dos elementos abaixo dele e 75% acima.

Quartis

X(1), . . . , X( n4 ), Q1, X( n

4 +1), . . . , X( n2 ), Q2, X( n

2 +1), . . . , X( 3n4 ), Q3, X( 3n

4 +1), . . . , X(n)25%←− 25%−→

50%←− 50%−→

Quartis

X(1), . . . , X( n4 ), Q1, X( n

4 +1), . . . , X( n2 ), Q2, X( n

2 +1), . . . , X( 3n4 ), Q3, X( 3n

4 +1), . . . , X(n)25%←− 25%−→

50%←− 50%−→

Cálculo dos quartis

Q2: é a mediana de todas as observações (Md);

Q1: é mediana das observações que são menores que Md;

Q3: é mediana das observações que são maiores que Md.

Medidas resumo

Com o conhecimento de medidas de posição, o fiscal obteve:

Linha Min Q1 Md X̄ Moda Q3 Max

8012 10 12,3 14,5 14,0 15 15 19

8022 14 15,0 15,0 15,2 15 e 16 16 16

Agora, qual o ônibus Marcio deveria pegar?

Medidas resumo

8012 10 12,3 14,5 14,0 15 15 19

8022 14 15,0 15,0 15,2 15 e 16 16 16

Medidas resumo

8012 10 12,3 14,5 14,0 15 15 19

8022 14 15,0 15,0 15,2 15 e 16 16 16

Medidas resumo

8012 10 12,3 14,5 14,0 15 15 19

8022 14 15,0 15,0 15,2 15 e 16 16 16

Medidas de dispersão

Variância (S2)Mede o grau de dispersão dos valores em torno da média. Quanto menor a

variância, maior a homogeneidade. É calculada da seguinte forma

S2 = Var(X ) =∑n

i=1 X 2i − nX̄ 2

n − 1 .

S2 = Var(X ) =∑n

i=1 X 2i − nX̄ 2

n − 1 .

S2 = Var(X ) =∑n

i=1 X 2i − nX̄ 2

n − 1 .

Propriedades da variânciaSejam X e Y dois conjuntos de dados e c uma constante, então:

1 Var(c) = 0;

2 Var(X ± c) = Var(X );

3 Var(cX ) = c2Var(X );