View
5.818
Download
20
Category
Preview:
Citation preview
MEKANIKA BAHAN I (Mechanics of Materials)Semester II (3 SKS)
1/27/2008
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
1
BUKU ACUANMechanics of Materials R C Hibeller Mechanics of Engineering Materials P P Benham & R J Crawford
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
2
Profil DosenNama Tempat, tgl lahir p , g Pendidikan tertinggi Jabatan Akademik Home Address Email : Prof. Ir. Jamasri, Ph.D : Kudus, 4 Juli 1961 , : Ph.D. in Mech Eng (1993) : Professor (2006) : Pogung Raya 272D Yk : jamasri@ugm ac id jamasri@ugm.ac.id
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
3
SISTEM PENILAIANTugas & Quiz Mid-Semester End-Semester Justifikasi : 30% : 30% : 40% : A 80 65 B < 80 55 C < 65 40 D < 55 E < 404
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
Sil b SilabusKonsep tegangan Beban aksial tegangan dan regangan g g g g Beban torsi (puntir) Beban Lengkung murni g g Beban transversal Transformasi tegangan dan regangan Defleksi KolomProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 5
G Gaya (b b ) (beban)Gaya aksial :menyebabkan y memanjang/memendek arah aksial
tarik (+) Gaya geser :menyebabkan tergeser searah bebanProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
tekan(-)
6
Momen = gaya x jarakMomen puntir : menyebabkan terpuntirT=Pxl l P
T
Momen Lengkung : menyebabkan melengkungP
MM = P/2 x l lProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
M
7
Konsep teganganGaya aksial tarikP A A = luas penampang yang menahan P l h intensitas gaya yang terbagi p g y y g g pada luasan seluas A disebut tegangan, (sigma) Maka : =
P A
P adalah resultante gaya internal di penampang AProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 8
Satuan TeganganP satuan gaya (N) A satuan luas (m2) = P/A satuan : N/m2
1 N/m2 = 1 pascal (disingkat Pa) 1 kN/m2 = 103 N/m2 = 103 Pa = 1 kPa (kilo newton) (kilo pascal) 1 MPa (mega pascal) = 106 Pa = 106 N/m2 1 GPa (giga pascal) = 109 Pa = 109 N/m2Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 9
Beban aksialTegangan normal : tegangan pada bidang yang tegak lurus dengan arah gaya. =P/A b k tegangan di suatu titik P/A bukan t t pada penampang A, tetapi tegangan rata-rata semua titik pada penampang A Pada umumnya tegangan di suatu titik g g g tidak sama dengan tegangan rata-rata. Dalam praktek, tegangan ini dianggap seragam, kecuali pada titik beban, atau adanya konsentrasi tegangan.Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
tegangan normalP A
P A X Y
Gaya ada di titik X teg di X = besar teg t di Y = 0 Teg. Rata-rata di Penampang A= P/A
10
Contoh Tegangan normalP = 100 ND1 = 10 mm
Hitung tegangan normal Hit t l pada batang 1 dan batang 2 A = D2/4 A1 = 0,0000785 m2 A2 = 0,0003141 m2
1
30o+100V3 2D2 = 20 mm
100
-200
1 = 100V3/0,0000785 = 2206434N/m2 = 2,206 MPa (tarik) 2 = -200/0,0003141 = -636739.89 N/m2 = -0,636 MPa (tekan)Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 11
QUIZ 1 (Waktu: 07.00-07.15) 07 00 07 15)D1 = 15 mm1
45o
F1 = 5 kN
2
F2 = 10 kND2 = 20 mm
Hitung tegangan normal pada batang 1 dan batang 2 dalam MPa gProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 12
Beban geser
Tegangan geserP
P rata2 = A
P A = luas penampang yang menahan beban P h b b Tegangan yang terjadi pada luasan A g g g ( ) disebut tegangan geser, (tau)
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
13
Contoh Tegangan geserP P P P P P
P/2 P/2
P
=
P A
=
P 2A14
Single shearProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
Double shear
Diagram benda bebasSuatu benda yang statis, jika dipotong harus tetap g y (F=0) ) statis resultante gaya = 0 (30+50 = 80 kN Diameter = 30 mm B A Diameter = 20 mm B 30 kN A 50 kN 50 kN
30 kN
30 kN
30 kN
30 A-A= 0,000314 kPaProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
80 B-B= 0,000707 kPa15
Tegangan pada bidang miringBeban aksial tidak hanya menyebabkan tegangan normal, juga tegangan geser jika bekerja pada bidang yang bersudut thd beban thd.P P P P A P A P P P A PA A
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
P A
16
P
P
P
P
P A0
F A V
P
F = P cos V=Ps sin
= F/A = (P cos )/(A0 /cos ) = (P/A0) cos2 pada = 0 = P/A0 (maks) = 90 = 0 Pada maks, maka = P/2A0Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
= V/A = (P sin )/(A0//cos ) = (P/A0) sin .cos = (1/2) (P/Ao) sin2 pada = 0 = 0 = 90 = 0 maksimum di = 45 maks = P/2A017
ContohSuatu pipa baja dimeter luar 300 mm dibuat dari plat setebal 8 mm dengan mengelas melingkar (helix) yang membentuk sudut 20o terhadap bidang tegak lurus sumbu pipa. Bila P = 250 kN tentukan tegak lurus dan sejajar bidang las kN, las. = P 20o 8 mm P Las
A - 250 kN = (do2-di2) 4 = - 34,083 MPa
= cos2 = - 30 1 MPa 30.1Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
= 0,5 sin2 = 10.95 MPa
18
Tegangan ultimate dan tegangan ijinTegangan (beban) ultimate adalah tegangan (beban) maksimum yang bisa terjadi pada bahan hasil pengujian Dalam desain, maka beban yang dikenakan p y g pada komponen mesin p harus lebih kecil dari beban ultimate bahan. Perbandingan antara keduanya disebut faktor keamanan (factor of safety, safety FS) beban _ ultimate FS = beban _ yang _ diijinkan y g j
tegangan _ ultimate FS = tegangan _ yang _ diijinkanProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 19
QUIZ 2 (Waktu: 07.00-07.15) 07 00 07 15)D = . ?
F = 100 kN
Sebuah batang terbuat dari baja dengan kekuatan 500MPa ditarik dengan gaya 100 kN. Jika factor of g g y safety adalah 2, hitung diameter minimal yang diperbolehkanProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 20
Tegangan dan reganganJika suatu benda diberi beban, akan mengalami perubahan bentuk (deformasi) memanjang, memendek, membesar, mengecil dsb.Perubahan panjang = . Semakin besar P, juga semakin besar.
LP
Jika dib t Jik dibuat grafik P - fik
A
P
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
21
Regangan normal karena beban aksialSemakin besar L, pertambahan panjangnya juga semakin besar
L 2L A P
Jika panjang mula mula = L dan luas mula-mula L, penampang konstan, maka deformasi per satuan panjang disebut regangan, , (epsilon) ,( p )
=A 2 P
L
= satuan panjang L=satuan panjang
>
, tanpa satuan
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
22
Satuan reganganTanpa satuan Persen (%) regangan = 10% (dari mula2) mm/m L=10 m = 20 mm m, = 2 mm/m In/in Contoh : Sebuah batang panjang 0,6 m dengan penampang seragam, mengalami deformasi sebesar = 150 m =150 x 10-6 m. Maka regangannya adalah :150 10 = = L 0 ,6
6
= 250 10
6
m / m = 250 10
6
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
23
Diagram tegangan - reganganDiagram yang menunjukkan hubungan antara tegangan dan regangan ( ) tidak sama untuk setiap material. Diagram ini merupakan sifat material yang penting penting. Untuk mendapatkan diagram dari suatu material harus dilakukan uji tarik Spesimen patah u P (M MPa) y B
Lo
Luas = Ao = P/Ao /Lo = /L P
0,004Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
0,2
24
Aluminium Paduan
Diagram tegangan regangan450
u (MP Pa) y
450
u y
(M MPa)
300
300
150
B
150
B
0,0012 0,02
0,2
0,25
0,004 0,2
Baja karbon rendah
Aluminium Paduan
u = tegangan ultimate = kekuatan ultimate y = tegangan yield (luluh) = kekuatan luluh B = tegangan patah = kekuatan patahProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 25
Bahan liat (ductile)450
u (M MPa)300
yluluh Pengerasan regangan necking
150
B
necking
45o
cup cone
0,0012 0,02
0,2
0,25
Bahan liat : baja karbon rendah, aluminium,
Bahan liat tidak tahan geser Patah pada tegangan geser terbesar (sudut 45o)Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
Proses patah spesimen dari material P t h i d i t i l yang liat26
450
u (MPa) y
450
u y
(MP Pa)
300
300
150
B
150
B
0,0012 0,02
0,2
0,25
0,004 0,2
Baja karbon rendah jPada tegangan luluh tegangan konstan walaupun regangan bertambah
Aluminium Paduan Titik luluh tidak jelas
Titik l l h j l Ti ik luluh jelas
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
27
Mencari k k t luluh dengan offset M i kekuatan l l h d ff tu y B
(MPa)
0,2% ofset Bahan yang titik luluhnya tidak jelas Tegangan luluh dicari dengan metode ofset T l l h di i d t d f t Kekuatan luluh pada offset 0,2% Titik potong antara kurva dengan garis yang sejajar dengan bagian lurus dari kurva yang ditarik dari nilai sebesar 0,2% 0 2%
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
28
Ukuran ke liatan (ductility) ke-liatanLB Lo 100 Lo
Persentase perpanjangan =LB: panjang patah Lo : panjang mula-mula
%cup cone
Baja struktur = 20%
Persentase pengurangan luas penampang lAB: luas penampang patah Ao : luas penampang mula-mula
Ao A B = 100 % AoBaja struktur = 60 - 70%
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
29
Bahan G t (b ittl ) B h Getas (brittle)450
u = B u = B
(M MPa)
300
150
0o
0,0012 0,02
Besi tuang, g g gelas, batu (keramik), ( ) bahan komposit, dsb
Bahan getas tidak tahan tarik Patah pada tegangan tarik h d ik terbesar (sudut 0o)Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
Proses patah spesimen dari material P t h i d i t i l yang getas30
Beban tekanBahan liat : kekuatan tekan dan tarik sama (pada tekan tidak ada necking) necking ) Bahan t B h getas : k k t ultimate tekan jauh lebih kekuatan lti t t k j h l bih tinggi daripada kekuatan tarik, karena retak-retak kecil k il yang ada mempengaruhi k k t t ik t t i d hi kekuatan tarik, tetapi tidak mempengaruhi kekuatan tekanProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 31
Tegangan dan regangan yang sesungguhnya Pada diagram , tegangan dan dihitung dg. Persamaan : =P/Ao dan = (L-Lo)/Lo Ao adalah luas penampang mula-mula Tegangan ini disebut : tegangan teknik (engineering stress) g g g g ( g g ) Kenyataannya, Ao semakin kecil (jika beban ditarik) sesungguhnya lebih besar, disebut : tegangan sesungguhnya Demikian juga sebenarnya adalah : = = (L/L) Atau : 450
450
t =
L
(M MPa)
(MPa)
u300 150
u300 150
Lo
dL L =l ln L LoB
yluluh Pengerasan regangan necking
B
yluluh Pengerasan regangan necking
0,0012 0,02
0,2
0,25
0,0012 0,02 0 0012 0 02
0,2 02
0,25 02
Tegangan regangan teknik,Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
Tegangan regangan sesungguhnya32
Hukum HOOK dan Modulus elastisitasPada umumnya elemen struktur (mesin) didesain sedemikian sehingga deformasinya kecil, dan hanya bergerak pada daerah garis lurus pada diagram Pada daerah ini, tegangan berbanding lurus dengan regangan : 450 =E u 300 Persamaan ini disebut : hukum Hook. (Robert Hook, 1635-1703) y Koefisien E disebut modulus elastisitas disebut juga modulus Young 150 ( (Thomas Young, 1773 1829) g, ) (MPa a)
luluh
Karena tanpa satuan, maka satuan E sama dengan satuan
0,0012 Teg
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
33
Kekakuan (stiffness)E menunjukkan mudah-tidaknya bahan berubah bentuk menunjukkan kekakuan (stiffness) bahan E dit j kk oleh k i i ditunjukkan l h kemiringan garis li i pada di i linier d diagram ( = E )
E besar kecil sulit berubah bentuk E kecil
besar mudah berubah bentuk34
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
Batas proporsional
Tegangan terbesar dimana hukum Hook p p masih berlaku disebut batas proporsional bahan. Pada bahan yang luluhnya jelas, maka batas proporsional hampir berimpit dengan p p p p g tegangan luluh Pada beberapa bahan, penambahan bahan paduan, p p perlakuan p panas dan proses pembuatan mengubah kekuatan, duktilitas, ketahanan korosi dsb.
Baja paduan yang diquenced dan ditemper Baja karbon tinggi Baja karbon rendah
besi murni
Kekuatan berbeda, kekakuan sama
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
35
Contoh : Hitunglah perubahan panjang pada batang konis bertangga seperti gambar di bawah. Batang dianggap mempunyai bahan yang sama dengan harga E = 208 GN/ m 2 . g g Jawab : Secara umum persolan di atas dapat diwakili dengan gambar di samping ini. Jari-jari batang dapat dituliskan sebagai berikut b ik t : x r = r -(r - r1 ) L Luas penampang pada setiap r :x Ax = ro (ro r1 ) L Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 36
Jika potongan dx bertambah panjang du akibat pembebanan, maka regangannya menjadi: j di du W 1 = dx Ax E sehingga: L W W L dx u= dx d = x E 0 [r (r r1 ) L ]2 Ax E 0 WL u= Ero r1 Kita aplikasikan pada batang bagian bawah (B) 10000 x0,6 u B == = 0,0319mm 9 208.10 . .0,012.0,006
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
37
Sedangkan untuk batang bagian atas (A) ditentukan terlebih dahulu besar b b d h l b bebannya. Beban tekan : -2. .0,03 = -0,06 MN = -188,5 kN Beban yang bekerja pada batang A : -188,5 + 10 = -178,5 kN 188,5 178,5 Pengurangan panjang pada batang A : 178,5.103.0,6 uA = = 0,0669mm 9 208.10 . .0,0035.0,00175 Perubahan panjang pada batang = -0,0669 + 0,0319 = -0,035 mm 0 035
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
38
Deformasi batang karena beban aksialBatang BC, panjang L dibebani beban terpusat P
L P
Jika tegangan y g timbul tidak melebihi batas g g yang proporsional, maka berlaku hukum Hook :
A
=EAtau :
= /E = P/AE
Mengingat bahwa = /L, atau = L, maka bisa dituliskan
=
PL AE
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
39
Angka poisson (Poisson s ratio) (PoissonsJika suatu batang ditarik pada satu arah : Memanjang pada arah beban x Memendek pada arah tegak lurus beban y Poisson ratio = -y / x Nilai (nu) adalah 00, >0 ditahan kiri-kanan tegangan 0
T P
T + P = 0 (T ) L +P = AE (T )
PL =0 AE
Maka tegangan yang timbul :
P = = E (T ) A43
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
Hubungan Tegangan-Regangan Secara Umum: Untuk memperoleh hubungan antara tegangan dan regangan secara umum dapat dilihat gambar di bawah ini.
a. TeganganProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
b. Regangan44
Untuk tegangan x , y , z :
x = y =z =
x yzE
E
E
(
y
+ z )
E
( z + x )
E E Jika komponen tegangan pada arah z adalah nol, maka kondisi ini disebut dengan kondisi plane stress (tegangan bidang), sedangkan jika komponen regangan pada arah z adalah nol, maka kondisi ini disebut kondisi plane strain (regangan bidang). bidang)
(
x
+ y )
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
45
plane stress: z = 0; z 0 (pelat tipis) plane strain: z = 0; z 0 (pelat tebal)
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
46
Contoh aplikasi: Silinder di di Sili d dinding tipis bertekanan seperti gambar di bawah. i i b k i b b h Tentukan regangan pada arah aksial dan radial. Jawab: Tegangan radial dan aksial pada silinder dinding tipis bertekanan adalah: pr pr x = ; y = t 2t dimana: p = tekanan dalam silinder r = jari-jari rerata t = tebal silinderProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 47
Dari persamaan tegangan-regangan, regangan aksial : x y pr pr pr (1 2 ) x = = = E E 2tE tE 2tE sedangkan regangan radial: y x pr pr pr y = = = (2 ) E E tE 2tE 2te Perbandingan antara regangan radial dengan regangan aksial untuk = 0,3 adalah: dlh y 1,7 = = 4,25 x 0,4
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
48
Harga ini dapat dibandingkan dengan harga:
y x
= 2, ternyata
perbandingan regangan yang t j di jauh lebih besar dari pada b di terjadi j h l bih b d i d perbandingan tegangan. Oleh karena itu, untuk kasus semacam ini perlu diperhatikan batas regangan yang diperbolehkan bahan. l di h ik b di b l hk b h
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
49
QUIZ 3 (W kt 15.00-15.15) (Waktu: 15 00 15 15)D = 20 mm L = 60 mm
5 kN
Sebuah batang terbuat dari baja berdiameter 20 mm dan panjang 60 mm. Batang tersebut mempunyai modulus elastisitas (E) = 200 GPa dan koefisien ekspansi termal ()=11 (10-6). Jika batang dibebani dengan gaya 5 kN, tentukan perubahan suhu yang diperlukan di l k agar panjang batang tidak j b t tid k berubah.
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
50
Sistim Tegangan pada dua bahan atau lebihPendekatan solusi: 1. Persamaan kesembangan gaya 2. Persamaan k 2P kompatibilitas tibilit 3. Hubungan antara beban-deformasi (persamaan konstitutif)
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
51
Interaksi dua bahan diseri:
Bahan a: Ea , a , Aa , a Bahan b: Eb , b , Ab , b Persamaan keseimbangan: Fa = Fb = F Persamaan kompatibilitas: = a + b Hubungan tegangan-regangan:
(1) (2) (3)52
a a = Ea a = Ea a = Ea a la
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
b b = Eb b = Eb b = Eb b lbDari:
(4)
Fa a Fe l a (5) = Ea a = a = la Aa E a Aa Fb b Fb l b (6) = Eb b = b = lb Ab E b Ab Fa l a Fb l b Dari persamaan (2) diperoleh: = + Aa E a Ab E b Jika Aa = Ab = A dan dari persamaan (1) Fa = Fb = F , diperoleh:F la lb = E + E A a b Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 53
Interaksi dua bahan diparalel: p
Persamaan keseimbangan: Fa + Fb = F Persamaan kompatibilitas: a = b =
(1) (2)
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
54
Hubungantegangan-regangan:
Dari:
l l Aa Fb b = = E b Fb = E b Ab l l Ab Dari persamaan (1):
a = Ea a = Ea a = Ea a l b = Eb b = Eb b = Eb l b Fa a = = E a Fa = E a Aa
(3) (4)
Ea Aa
l
+ Eb Ab
l
=F55
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
Fl atau = Ea Aa + Eb Ab gg sehingga: FEa Aa Fa = Ea Aa + Eb Ab FEb Ab dan Fb = Ea Aa + Eb Ab
(5)
(6) (7)
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
56
Contoh 1:Batang baja ACB dipasang dengan pas pada temperatur -50oC. Tentukan tegangan pada bagian AC dan CB dari batang tsb. pada temperatur 25oC ( E baja = 200 GPa, = 12x10-6/oC).T = 25 - (-50) = +75oC A=400mm2 A C A=800mm2 B Deformasi karena temperatur : T =(T)L = (12x10-6/oC) (75oC) (0 6m) (T)L C).(75 C).(0,6m) = 540x10-6 m Deformasi karena gaya yang mengembalikan ke panjang semula :300 mm 300 mm
P1 L1 P2 L 2 R = + A1 E1 A2 E 2T R R = (5,625x10-9 m/N). R = R+T = 0
P1 = P2 = R, L1 = L2 = 300mm, E1 = E2 = 200 GPa
540x10-6 + (5,625x10-9 m/N). R = 0
R = - 96x103 N = - 96 kN
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
AC= R/AAC, CB = R/ACB
57
Contoh 2: Dua buah batang konsentrik terbuat dari baja pada bagian D b hb t k t ik t b t d i b j d b i dalamnya dan tembaga pada bagian luarnya. Jika temperatur berubah dari 10 C ke 100 C, tentukan tegangan aksial pada batang tembaga dan baja. Baja: E s = 205 GN/m 2 ; s = 11.10 6/ C ; As = 600 mm 2 Tembaga: E c = 115 GN/m 2 ; c = 16.10 6/ C ; Ac = 1200mm 2
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
58
Jawab: Persamaan keseimbangan: Fc + Fs = 0 atau c Ac + s As = 0 (1) Persamaan kompatibilitas: c = s atau ( + T )c = ( + T )s (2) Hubungan tegangan-regangan: tegangan regangan:
c = s = c
c
s
Ec
+ c (T To ) + s (T To )
(3) (4)
Es Substitusikan persamaan (3) dan (4) ke persamaan (2): Ec+ c (T To ) =
s
Es
+ s (T To )
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
59
Dari persamaan (1): = sehingga:
c AcAc+ s (T To )
c
Ec
+ c (T To ) =
c AcEs As
1 Ac c + E E A = (T To )( s c ) c s s As Es Ec (T To )( s c ) atau: c = As Es + Ac Ec Ac Ec Es (T To )( s c ) dan s = As Es + Ac Ec
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
60
Tanda (-) menunjukkan bahwa s berlawanan arah dengan c . () j g Jika harga-harga di atas dimasukkan maka akan diperoleh: c = 217MN/ m2 ,
s = 43,4MN/ m
2
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
61
Beban Torsi (puntir)
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
62
Tegangan pada beban puntirT L dA dF P T = P.L
dF = T = dF/dA dF= dA (dA) = T ( dA)
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
63
(dA) = T Tegangan geser tidak hanya timbul pada satu sisi
Pada torsi timbul tegangan geser
Teg. geser
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
64
Deformasi pada poros bulat
Tiap bagian tetap datar dan tidak terjadi distorsi
Poros terpuntir dg. S d puntir, i d Sudut i sebanding dengan T dan LProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
Tiap bagian tidak datar dan terjadi distorsi 65
Distribusi regangan geserDistribusi regangan geser pada poros sepanjang L, dengan jari-jari c dan dipuntir dengan sudut puntir bisa dijelaskan sbb: Kita lihat silinder diameter r dan perhatikan elemen bujursangkar pada permukaannya. Sebelum torsi dikenakan, lurus (gbr. b) Setelah dikenai puntiran terdeformasi (gbr. c.) Timbul regangan geser = sudut antara AB dengan AB g
=
L
max
=
c L
dan dalam radianProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
=
c
max
66
Tegangan pada daerah elastis = G = c
G = Gmax
c
max
max
= G
max
= G
c
max
=
c
max
Tegangan g g g geser berubah linier terhadap jjarak dari pusat p p p poros Untuk poros berlubang :
c
min
max
c1 c2
max
min
c1 = c2
max
Poros pejalProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
Poros berlubang67
Sebelumnya kit d tk persamaan S b l kita dapatkan
(dA) ( dA) = T
Substitusi ke pers. sebelumnya : T= (dA) = maxc
2dA =JTc J T=
2dA adalah momen inersia polarMaka :
max Jc
max
=
Sehingga kita dapat menghitung pada sembarang jarak dari sumbu :
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
=
T J68
Nilai JNilai J untuk poros bulat pejal : untuk poros bulat berlubang :
1 J = c 2
4
1 1 1 4 4 4 4 J = c 2 c1 = ( c 2 c1 ) 2 2 2c c1 c2 Poros bulat pejalProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
Poros bulat berlubang69
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
70
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
71
Patahan bahan liat dan getas
Bahan liat
tidak tahan geser
patah pada teg. Geser terbesar
Bahan getas
tidak tahan tarik
patah pada teg. tarik terbesar
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
72
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
73
Sudut puntir maxc = L
Pada daerah elastis, tegangan luluh tidak tercapai, sehingga berlaku hukum Hook : max = max/G, maka :
max
Tc = = G JG
max
Sehingga sudut p gg puntir bisa dihitung : g
TL = GJProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 74
QUIZ 4: 14.10-14.35 14.10 14.35Sebuah poros akan digunakan untuk mentransmisikan daya sebesar 60 kW pada 60 putaran/detik. T d b d t /d tik Tegangan geser maksimum poros adalah 60 MN/m2 dan factor of safety adalah 2 sedangkan sudut puntir poros tid k f t d l h 2, d k d t ti tidak melebihi 1o untuk setiap 2 m panjang poros, G = 77 GN/m2. GN/ 2 Hitunglah ukuran poros minimal agar tetap aman, jika: 1. Poros pejall 1 P j 2. Poros berlubang dengan perbandingan diameter luar dan dalam d l h 1,5 d d l adalah 1 5Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 75
Poros bertangga (bertingkat)T3 L3 T1 L 1 T2 L2 = + + + ... G1 J 1 G 2 J 2 G3J3
=
i
Ti Li GiJi
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
76
Torsi Pada Poros Bertangga
- Persamaan keseimbangan: T = T1 = T2 - Geometri deformasi: = 1 2 Persamaan (1) dapat ditulis: T =1r1 J1 =
2r2
(1) ( ) (2)J2
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
77
atau:
1 . r14r1 23
=
2 . r24r2 2
1 r2 = 2 r1 sedangkan dari persamaan (2):1 1 L1 2 L2 = + = r + r r1G r2 G G 1 2
(3)
1 L1 2 L2
atau:1 L1 L2 = + G J1 J 2 Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
(4)78
Contoh: Bandingkan t i B di k torsi yang dapat ditransmisikan oleh poros d t dit i ik l h berlubang dengan poros pejal, pada material dengan berat, berat panjang dan tegangan yang diijinkan sama sama. Jawab: Torsi pada poros berlubang:Tlub =
.
r2 . 2
( r24 r14 )
(1)
dan
Tpejal =
r2
r
4
(2)
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
79
Eliminasi diperoleh: p
Tlub = Tpejal r2 . r l2 4 2
4 r2
4 r1 3
(3)4 1
Karena kedua poros mempunyai berat sama, maka:
.r = (r r
)
( (karena panjang poros sama), sehingga persamaan (3) p j g p ), gg p ( ) menjadiTlub r22 + r12 r2 1 = = 1 2 T pejal r2 r r n r2 dimana n = r1Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
(4)
80
Sekarang diambil r =2
r22
r12 ,
r1 dan r2 = n , maka:
r1 r = r n2 2 1
2
atau
r1 = r
(n
n2
1
)
Karena ituTlub n 2 1 = T pejal n n 2 1 misal n = 2, maka:
(
)
Tlub 5 = = 1, 44 Tpejal 2 3
Jadi poros berlubang dapat menerima torsi 44 % lebih tinggi.Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 81
Torsi Pada Poros Konsentris
T = T1 + T2
- Persamaan keseimbangan:
T=
1 r2
(r 2
4 2
r +4 1
)
r 2
r4
(5)
- Geometri deformasi: = 1 = 2 , T1 L T2 L = G1 J1 G2 J 2Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
atau: (6)82
Jika kedua poros mempunyai bahan sama ( G = G1 = G2 ), maka k dimana: T1 dan T2 dapat ditulis dalam 1 dan (r24 r14 ) 1 4 424 T1 J1 r24 1 = = T2 J 2 r4
(7)
sebagai berikut: diperoleh:
2
r2
r3
r2 r1 = 4 r
1 r1 = r
(8)
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
83
Contoh: Tegangan g g g geser yang diijinkan pada baja adalah 55 y g j p j MN/m 2 , Gbaja= 82 GN/m 2 , G kuningan = 41 GN/m 2 . Tentukan: Tmaks dan maks pada kuningan. k
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
84
Jawab: Persamaan keseimbangan: T = Tbaja Tkng Torsi yang dapat ditransmisikan oleh baja: 6 2.55 .10 4 4 Ts = r 0,025 = 169 Nm 0,025 32 r 2 Geometri deformasi: baja = kng pada baja: bajaTL 169 0, 2 = = = 0 , 0108 9 GJ 0 , 025 4 82 .10 32
rad
Karena itu kng = 0 , 0108 radProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
85
GJ Tkng = = L
4110 . .
9
32
0, 05 .0, 0108 0, 3
4
= 906 Nm
Torsi total: 169 + 906 = 1078 Nm Tegangan geser maksimum pada kuningan: Gr 41.109.0,0108 25 2 kng = = = = 36,8 MN/m 3 L 0,3 10
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
86
Torsi Pada Poros KonisSebuah poros konis mempunyai jari-jari terkecil r1 dan terbesar r2 dan panjang L dikenai torsi T seperti T, ditunjukkan pada gambar di bawah.
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
87
Misal: 1 = tegangan geser maksimum pada radius r1 2 = tegangan geser maksimum pada radius r2 = tegangan geser maksimum pada radius r ki d di Torsi:T=
. 1r132
=
. 2 r232
=
. . r 32
= = . r atau: (1) p j g j Jika x adalah panjang elemen kecil berjarak x dari ujung diameter yang besar, radius elemen keci = r dan sudut puntir , sehingga3Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 88
3 1r1
3 2 r2
r2 r1 tetapi: r = r2 x . tg = r2 x L = r2 ax p ( ) (3) 2T (r2 r1 ) (r ax ) 4 x =
T 2 T x = x = JG G r 4
(2)
dimana:
a=
L
, sehingga:
G
2
2T 4 atau: d = G (r2 ax ) dx Sudut puntir total untuk panjang L:2T 4 (r2 ax ) dx = d = 0 0 G 1 2T L 1 3 3 = G 3(r2 r1 ) r1 r2 L LProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 89
Karena it K itu: 2TL r12 r1r2 r22 = 3 3 G 3r1 r2 Untuk r1 = r2 akan diperoleh: p
(
)
(4)
2 T L TL = = 4 G r1 GJ
(5)
yang merupakan persamaan sudut puntir untuk silinder datar.
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
90
Torsi untuk komponen y g p yang tidak bulatmax
Hanya untuk poros penampang bulat penampang tetap datar Untuk penampang yang lain tidak berlaku
Tc T = J
=
TL GJassumsi :
penampang berubah
Contoh : Dengan rumus di atas, maka tegangan pada elemen di sudut poros adalah maksimum. Kenyataannya : Bidang yang tegak lurus sb-y : permukaan bebas tegangan = 0, demikian pula yang tegak lurus sb-z. yz= zx = xy = 0 kenyataannya :t tegangan geser di sudut = 0 d t Pada tepi tidak ada deformasi tegangan = 0
Deformasi maks pada tengah-tengah poros tegangan maksimum di tengah-tengah porosProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 91
Torsi pada plat tebal/balokUntuk plat, maka teg Maks terjadi pada plat teg. tengah-tengah bagian yang lebar Dan sudut puntirnya :
max =
T c1ab 2
=c1 0.208 0 208 0,219 0,231 0,246 0,258 0,267 0,282 0,291 0 291 0,312 0,333
TL c2 ab 3Gc2 0,1406 0 1406 0,1661 0,1958 0,229 0,249 0,263 0,281 0,291 0 291 0,312 0,33392
Dimana c1 dan c2 adalah sebagai berikut : g
a/b 1,0 10 1,2 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 50 10,0
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
Torsi pada plat tipis maxT = 2 c1ab
TL = c2 ab 3GKarena a>>b, maka a/b= c1 = c2 = 0,333
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
93
Torsi Pada Silinder Berlubang Berdinding Tipis
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
94
Silinder berdinding tipis dengan jari-jari rerata r, tebal t dan panjang L (lihat gambar diatas), diberikan torsi T pada ujungnya yang menyebabkan silinder terpuntir relatif terhadap aksis longitudinal. Tegangan geser uniform keliling silinder z timbul sebagai reaksi torsi T.
Tegangan geser z pada elemen dinding sebesar: trd memberikan gaya geser sebesar: F = z trd Ini akan mengakibatkan momen reaksi thd aksis netral sebesar: 2 Fr = z tr dProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 95
Torsi total adalah:
T = z t d tr2 0
2
T = z tr 2 2T z = atau: (1) 2 2r t Karena tidak ada tegangan geser yang lain maka z hanya ditulis saja saja. - Dari gambar diatas dapat diperoleh juga : l = r r atau = (2) lProf. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM 96
- Hubungan tegangan regangan geser:
= G = G G r T atau = G = 2 l 2r t
(3) (4)
Prof. Ir. Jamasri, Ph.D. - T. Mesin UGM
97
Recommended