View
225
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Modelos Matematicos de Sistemas
Introdução;Equações Diferenciais de Sistemas Físicos;Aproximações Lineares de Sistemas Físicos;Transformada de Laplace;Função de Transferência de Sistemas Lineares;Modelos em Diagrama de Blocos;Modelos em Diagramas de Fluxo de Sinais;Analise Computacional de Sistemas de Controle;Exemplo de Projetos.
2Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Equações Diferenciais de Sistemas Físicos
( ) ( ) 0a sT t T t− =
( ) ( ) ( )s aw t w t w t= −
As Equações Diferenciais que descrevem o desempenho de um sistema dinâmico de um sistema físico são obtidas u tilizando-se as Leis físicas do processo.
(a) Sistema de Torção Massa-Mola (b) Elemento Mola
Variável-Através
Variável-Sobre
3Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Resumo das Variáveis Através e Sobre para Sistemas Físi cos
Diferença de Temperatura T21
Energia Térmica HFluxo Térmico qTérmico
Momento de Pressão (21
Diferença de Pressão P21
Volume VVazão Volumétrica Q
Fluido
Diferença de deslocamento angular 221
Diferença de velocidade angular T21
Momento cinético hTorque TMecânico em Rotação
Diferença de deslocamento y21
Diferença de velocidade v21
Quantidade de Movimento P
Força FMecânico em Translação
Enlace de Fluxo 821
Diferença de Tensão v21
Carga qCorrente iElétrico
Variável Através Integrada
Variável de Elemento Sobre
Variável Através Integrada
Variável deElemento Através
Sistema
4Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Sistema Massa-Mola-Amortecedor
2
2
( ) ( )( ) ( )
d y t dy tM b ky t r t
dt dt+ + =
(b) Diagrama Corpo Livre
(a) Sistema Massa-Mola-Amortecedor
5Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Circuito RLC
0
( ) ( ) 1( ) ( )
tv t dv tC v t dt r t
R dT L+ + =∫
6Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Solução da Equação Diferencial
Métodos Clássicos:1. Fatores de Integração2. Método dos coeficientes a determinar3. Transformada de Laplace
11 1 1( ) ( )ty t K e sen tβ θ−α= +
22 2 2( ) ( )tv t K e sen tβ θ−α= +
7Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Aproximações Lineares de Sistemas Físicos
� Os modelos mais precisos de sistemas físicos são não-lineares.
� A Transformada de Laplace não pode ser utilizada na solução de equações diferenciais não-lineares.
Técnica de Linearização de sistemas não-lineares
8Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Modelo Oscilador Tipo Pendulo
L →→→→ comprimento do pêndulo;M →→→→ massa do pêndulo;f →→→→ força que atua no pêndulo;g →→→→ gravidade.
L
g
d t
dtt.
( )sen ( )
2
2
θθ= −
A equação diferencial que descreve o movimento do p êndulo
9Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Série de Taylor
f fdf
d
d f
d( ) ( ) .( ) .
( )
!......
( ) ( )θ θ
θθ θ
θθ θ
θ θ θ θ= + − +
−+
= =00
0
2
20
02
2
Se a variação “q - θ0” é pequena, os termos de maior grau podem ser desprezados na série de Taylor. Isto resulta em:
f(θ) = sen θ , e:
Como, o pêndulo mostrado, opera na região em que , pode-se linearizar a função em torno do ponto .
L
g
d t
dtt.
( )( )
2
2
θθ= −
f fdf
d( ) ( ) . ( )
( )θ θ
θθ θ
θ θ≅ + −
=00
0
{ } ( )sen sen cos .θ θ θ θ θ= + −0 0 0
( )sen .θ θ≅ + − ∴0 1 00 senθ θ≅
10Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
Transformada de Laplace
11Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Onde: n≥mx(t) ⇒ entrada (função excitação) e y(t) ⇒ saída (função resposta)
A FT de um LTI é definida como sendo a relação entre as Transformadas de Laplace da saída e da entrada, com todas as condições iniciais nulas.
LTI – Linear Time Invariant - Sistema Linear Invariante no Tempo
1 1
0 1 1 0 1 11 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... . ( ) ... . ( )
n n m m
n n m mn n m m
d y t d y t dy t d x t d x t dx ta a a a y t b b b b x t
dt dt dt dt dt dt
− −
− −− −+ + + = + + +
( ) ( )a a S a a Y s b b b b X sn nn n
m mm m0 1
11 0 1
11.S .... .S ( ) .S .S .... .S ( )+ + + + = + + + +−
−−
−
Aplicando-se a transformação de laplace, temos:
10 1 1
10 1 1
. . .... .( )( )
( ) . . .... .
m mm m
n nn n
b S b S b S bY sG s
X s a S a S a S a
−−
−−
+ + + += =+ + + +
Função de Transferência
Sistema de ordem n
12Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng
COMENTÁRIOS SOBRE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
A FT de um sistema é uma propriedade que independende d a natureza e da magnitude da entrada;
Possibilitar um sistema dinâmico ser representado por expressões algébricas da variável complexa “S”;
A FT não fornece informações a respeito da estrutura f ísica do sistema. A FT de sistemas fisicamente diferentes pod em ser idênticas;
Se a FT de um sistema é conhecida, a resposta do mesm o pode ser analisada para diferentes formas de excitação (ent rada), com a finalidade de compreender a natureza e o comportament o do sistema;
Se a FT pode ser obtida experimentalmente pela introdu ção de sinais de entrada conhecidos e estudando-se as respo stas obtidas.
A FT fornece uma descrição completa das característi cas dinâmicas do sistema.
Recommended