Unidade VI -Estabilidade de Sistemas de Controle com Retroaçãocoral.ufsm.br/gepoc/renes/Templates/arquivos/elc1031/ELC... · 2006-06-08 · faixa de valores de K e de a para o qual

1Prof. José Renes Pinheiro, Dr.Eng

Unidade VI - Estabilidade de Sistemas de Controle com Retroação

Conceito de Estabilidade;Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz;A Estabilidade Relativa de Sistemas de Controle com Retroação;A Estabilidade de Sistemas com Variáveis de Estado;Estabilidade de Sistema usando MATLAB.


Caso 2Caso 2 .. Zeros na 1a. Coluna enquanto alguns dos outros elementos da linZeros na 1a. Coluna enquanto alguns dos outros elementos da linha ha são nãosão não--nulos.nulos.

Exemplo de um polinômio característico � 5 4 3 2( ) 2 2 4 11 10q s s s s s s= + + + + +

5

4

3

21

11

0

1 2 11

2 4 10

6

10

10

s

s

s

cs

ds

s

ε

1

4 12 12c

εε ε− −= =

O arranjo de Routh será

onde

Há duas mudanças de sinal, portanto o sistema é InstávelInstável .

11

1

6 106

cd

c

ε−= →

-


Exemplo de um polinômio característico � 4 3 2( )q s s s s s K= + + + +4

3

2

11

0

1 1

1 1

Ks

s

Ks

cs

Ks

ε1

K Kc

εε ε− −= =


onde

O sistema é InstávelInstável para qualquer valor de K.

Caso 3Caso 3 .. Zeros na 1Zeros na 1aa. Coluna enquanto todos os outros elementos da linha . Coluna enquanto todos os outros elementos da linha são nulos.são nulos.

Esta condição ocorre quando o polinômio contem singularidades que são localizadas simetricamente em torno da origem do plano s. Assim, quando ocorre fatores como (s+�)(s- �) ou (s+j�)(s-j�).

Este problema é contornado usando-se um polinômio auxiliar, U(s), que precede imediatamente a linha de elementos zeros do arranjo de Routh. A ordem do polinômio auxiliar é sempre par.


Exemplo, considere um sistema de 3a. ordem com um polinômio característico:3 2( ) 2 4q s s s s K= + + +3

2

1

0

1 4

2

8

2

s

s K

s K

Ks

−0 8K< <


O sistema será EstávelEstável quando:

Se as raízes sobre o eixo imaginário j� forem simples, o sistema é marginalmente estável, uma vez que possui um modo senoidal não-amortecido. Se as raízes forem repetidas, a resposta do sistema será instável, com a forma t[sen(�t+�)].

Quando K=8, os fatores do polinômio característico são:

( ) ( 2)( 2)( 2)q s s s j s j= + + −A resposta do caso marginal é uma oscilação não aceitável.

Caso 4Caso 4 .. Equação característica com raízes repetidas sobre o eixo Equação característica com raízes repetidas sobre o eixo jj��..

Os critérios de Os critérios de RouthRouth --HurwitzHurwitz não revelam esta forma de instabilidade.não revelam esta forma de instabilidade.


Exemplo: Controle de Solda

Nas fabricas de automóveis de hoje são usados grandes robôs de solda. O cabeçote de solda é deslocado para diferentes pontos do corpo do automóvel e se requer uma rápida resposta e precisa resposta. Assim, deseja-se determinar a faixa de valores de K e de a para o qual o sistema é estável. A EC é

( )1 ( ) 1

( 1)( 2)( 3)

K s aG s

s s s s

++ = ++ + +

4 3 2( ) 6 11 ( 6) 0q s s s s K s Ka= + + + + + =Portanto,

4

3

23

13

0

1 11

6 ( 6)

Kas

Ks

b Kas

cs

Kas

+3

600

6

Kb

−= ≥

33

3

( 6) 60

b K Kac

b

+ −= ≥

0Ka ≥

ESTÁVEL


,quando a for positivo.A relação requerida entre K e a é(60 )( 6)

36

K Ka

K

− +≤

Assim, se K=40, será necessário que a� 0,639.

1 21 2 1 0n n n n

n n ns a s a s a s ω− −− −+ + + + + =L

A forma Geral da EC de um sistema de ordem n é

Obtém-se a forma normalizada da equação 1 2 1 0n n ns bs cs− −+ + + + =L/ nonde s s ω=

Exemplo, normaliza-se 3 25 2 8 0s s s+ + + =3 2

3 2

5 21 0

2 4n n n

s s s

ω ω ω+ + + =

3 22,5 0,5 1 0s s s+ + + =ou

(bcd+bf-d2-b2e)e+b2c-bd-bc2f-f2+bfe+cdf>0s6+bs5+cs4+ds3+es2+fs+1=06

bcd+b-d2-b2e>0s5+bs4+cs3+ds2+es+1=05

bcd-d2-b2>0s4+bs3+cs2+ds+1=04

bc-1>0s3+bs2+cs+1=03

b>0s2+bs+1=02

CritérioEquação Característican

O Critério de Estabilidade de Routh-HurwitzÉ ESTÁVELESTÁVEL , pois bc=1,25.


Estabilidade Relativa de Sistemas de Controle com Retroação

Se o sistema satisfaz Routh-Hurwitz e for absolutamente estável é desejável determinar a estabilidade relativa, estabilidade relativa, i.é, é necessário investigar o amortecimento relativo de cada uma das raízes da EC.A estabilidade relativa de um sistema pode ser definida como uma propriedade que é medida pela parte real relativa de cada raiz ou par de raízes.

Como a estabilidade relativa é ditada pela localização das raízes da EC, a primeira abordagem usando uma formulação no plano s é estender o Critério de Routh-Hurwitz para assegurar a estabilidade relativa. Isto pode ser feito usando-se uma substituição de variáveis, que desloca os eixos do plano s de modo a utilizar o critério de Routh-Hurwitz.


Exemplo: Descolamento de EixosConsidere-se a EC simples de 3a. ordem 3 2( ) 4 6 4q s s s s= + + +

Como 1a. Tentativa, seja sn=s+2 e observe-se que se obtém um arranjo de Routhsem ocorrência de zero na 1a. Coluna. Contudo, ao se definira variável deslocada sn igual a s+1, obtém-se 3 2 3 2( 1) 4( 1) 6( 1) 4 1n n n n n ns s s s s s− + − + − + = + + +

3

2

1

0

1 1

1 1

0 0

1 0

n

n

n

n

s

s

s

s

O arranjo é

Há raízes sobre o eixo imaginário deslocado que pode ser obtidas a partir do polinômio auxiliar

2( ) 1 ( ) ) [ ](1 )(n n n nU s s s j s j js= + = + + ±+ − →

O deslocamento de eixo do plano s para assegurar a estabilidade relativa de um sistema é uma abordagem muito útil, particularmente para sistemas de ordem elevada com diversos pares de raízes a malha fechada complexas conjugadas.


Estabilidade de Sistemas com Variáveis de Estado

Se o sistema que se investiga for representado por um diagrama de fluxo de sinal com variáveis de estado, a partir de um conjunto de equações diferenciais de estado. Obtém-se a EC calculando o determinante �(s) do diagrama de fluxo.

Exemplo: Estabilidade de um sistema de 2a. OrdemSendo o sistema descrito por 2 equações diferenciais de 1a. ordem

1 1 2

2 2 1

3x x x

x x Kx Ku

= − += − +

&

&

Usando a formula de Mason:

11

12

23

3

L s

L s

L Ks

−

−

−

=

= −

= −

3 malhas que não se tocam

1 2 3 1 2

1 1 2 2

2

1 ( )

1 ( 3 ) ( )

2 ( 0

3

3)

L L L L L

s s Ks

s

s

s K

− − − −

∆ = − + + +

= −∆ = + + −

− + −=

−

Como todos os coeficientes devem ser positivospositivos , é necessário que K>3.Para que o Sistema seja ESTÁVELESTÁVEL.

O determinante é


Um método de obtenção da EC diretamente da equação diferencial vetorial se baseia no fato de que a solução do sistema livre é uma função exponencial.A equação diferencial vetorial sem sinais de entrada é

x = Ax&A solução é de forma exponencial e se pode definir uma constante � tal que xi(t)=kie

�it. Os �i são chamados de raízes características ou de autovalores do

sistema e são simplesmente as raízes da EC. Assim,λt λt

λke = Akeλx = Ax

ou

Que pode ser reescrita como (λI - A)x = 0

A solução deste sistema de equações simultâneas possui uma solução não-trivial se e somente se o determinante se anular, i.é somente se

det(λI - A)x = 0

A equação de ordem n em � resultante do calculo do determinante é a EC, assim a estabilidade do sistema pode ser prontamente determinada.


Exemplo de Projeto: Controle de manobre de veículo sobre lagartas

As 2 lagartas são operadas com velocidades diferentes a fim de manobrar o veículo.Selecionar K e a de modo que o sistema seja estável e que o erro estacionário a um comando em rampa seja menor ou igual a 24% da magnitude do comando.A EC do sistema com retroação é 1 ( ) 0

( )1 0

( 1)( 2)( 5)

cG G s

K s a

s s s s

+ =++ =

+ + +Por conseguinte,4 3 2( 1)( 2)( 5) ( ) 0 8 17 ( 10) 0s s s s K s a s s s K s Ka→+ + + + + = + + + + + =

4

3

23

13

0

1 17

8 ( 10)

Kas

Ks

b Kas

cs

Kas

+3

1260

8

Kb

−= ≥

33

3

( 10) 80

b K Kac

b

+ −= ≥

0Ka ≥


/ss ve A K=

126

(126 )( 10) 64 0

0

K

K K Ka

Ka

≥− + − ≥

≥

Portanto, é necessário que

O erro estacionário para uma entrada em rampa r(t)=At, t>0 é

0lim /10v cs

K sG G Ka→

= =

10ss

Ae

Ka=

Para ess ser igual a 23,8% de A, será requerido ka=42 �K=70 e a=0,6.Um outro projeto aceitável seria � K=50 e a=0,84.Varias outras combinações podem satisfazer Ka=42, mantendo na região estável.

Assim,

onde


Estabilidade de Sistemas usando o MATLAB

Estabilidade de Routh-Hurwitz:Dada a EC com coeficientes fixos, considere a equação

3 2( ) 2 24q s s s s= + + +Sistema de controle a Malha Fechada

Arranjo de Routh-Hurwitz:

Pode-se usar também a função rootsroots ((dengdeng )) para calcular os pólos do sistema (raízes do polinômio).


Toda as vezes em que a EC for um único parâmetro, pode-se utilizar o método de Routh_Hurwitz para determinar a faixa de valores que o parâmetro pode assumirmantendo a estabilidade. Seja a EC

3 2( ) 2 4q s s s s K= + + +

0 8K≤ ≤

O sistema será EstávelEstável quando:

Gráfico da localização da raízes para 0<K<20


A função for...for... endend define um laço de calculo repetitivo


A estabilidade de Sistema com varáveis de estado:A estabilidade de Sistema com varáveis de estado:Um sistema descrito na forma de espaço de estado. A estabilidade pode ser calculada com a equação característica associada com a matriz de sistema. Assim,

det s( I - A) = 0Se todas as raízes da EC possuírem parte real negativa (Re(si)<0), então o sistema será estável.A função poly pode ser usada para calcular a EC associada a matriz A. A função poly é usada para formar um polinômio a partir de um vetor de raízes.

Sendo a Matriz A 8 16 6

1 0 0

0 1 0

− − − =

A

Polinômio característico associado é3 28 16 6s s s+ + +

Se A for uma matriz nxn, poly(A ) é o polinômio característico representado pelo vetor linha n+1elementos cujos elementos são os coeficientes do polinômio característico.


Método do Lugar das Raízes

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