View
5.395
Download
4
Category
Preview:
Citation preview
MELAKUKAN OPERASI ALJABAR DENGAN
PEMODELAN GEOMETRI DATAR
Untuk Kelas VIII
Sekolah Menengah Pertama Negeri 1 Purwoharjo
Tahun Ajaran 2010 – 2011
Disusunoleh:
1. Betty YulianaWulandari
2. Mamik Sulastri
3. Ratna Yulis Tyaningsih
4. Tria Wulandari
5. Yosep Dwi Kristanto
MODUL
yos3prens.wordpress.com 2
A. Pemodelan Aljabar dalam Geometri Datar
1. Memodelkan Bentuk Konstanta
Perhatikan bentuk di bawah ini.
3 = 3 × (1 × 1)
Bentuk di atas dapat dimodelkan dalam geometri datar sebagai
berikut:
Soal:
Modelkan bentuk di bawah ini dalam bentuk geometri datar.
a. 8 b. 12
c. 5 d. 32
2. Pemodelan Aljabar Bentuk Variabel ke dalam Geometri Datar
Variabel Berpangkat Satu
Contoh:
2𝑥 = (1 × 𝑥) + (1 × 𝑥)
Bentuk di atas dapat dimodelkan ke dalam 2 kali luas daerah
persegi panjang yang masing-masing memiliki 𝑝 = 𝑥, 𝑙 = 1.
1
1 1
1
1
1
1
𝒙 𝒙
1
yos3prens.wordpress.com 3
Soal :
Modelkan bentuk di bawah ini dalam bentuk geometri datar
a. 3𝑥 b. 32𝑥
c. 2𝑦 d. 12𝑦
Variabel berpangkat dua
Contoh :
𝑥2 = 1 × (𝑥 × 𝑥)
Bentuk di atas dapat dimodelkan ke dalam satu kali luas daerah
persegi yang masing-masing memiliki 𝑠 = 𝑥.
Bentuk geometri datarnya adalah
Soal :
Modelkan bentuk di bawah ini dalam geometri datar :
a. 2𝑥2 b. 12𝑥2
c. 5𝑥2 d. 23𝑥2
Dua variabel yang berbeda
Contoh :
3𝑥𝑦 = 3 × (𝑥 × 𝑦)
Bentuk di atas dapat dianalogikan sebagai tiga kali luas persegi
panjang dengan 𝑝 = 𝑥 dan 𝑙 = 𝑦.
𝑥
𝑥
yos3prens.wordpress.com 4
𝑥 𝑥 𝑥
𝑦 𝑦 𝑦
yos3prens.wordpress.com 5
B. Membedakan Tanda Positif dan Negatif dalam Pemodelan Geometri
Datar
Perhatikan bentuk di bawah ini :
2𝑥 dan −2𝑥
2𝑥 dan −2𝑥 memiliki tanda yang berbeda yaitu positif dan negatif.
2𝑥 positif sedangkan −2𝑥 negatif
Untuk membedakan pemodelan 2𝑥 dan −2𝑥 dalam bentuk geometri datar
dapat digunakan dua warna yang berbeda.
Warna biru untuk 2𝑥 dan warna merah untuk −2𝑥
Soal :
Modelkan bentuk di bawah ini dalam geometri datar :
a. −3𝑥 b. 12𝑦
c. 3𝑥 d. −12𝑦
𝑥 𝑥
1 1
−2𝑥
2𝑥
𝑥 𝑥
1 1
yos3prens.wordpress.com 6
C. Melakukan Operasi Aljabar
1. Penjumlahan
Penjumlahan Variabel
Perhatikan uraian di bawah ini!
5𝑥 + 3𝑥 = (5 + 3)𝑥
= 8𝑥
Cermati :
5𝑥 = 5 × (1 × 𝑥)
Bentuk di atas dapat dimodelkan ke dalam lima kali luas daerah
persegi panjang yang masing-masing memiliki 𝑝 = 𝑥, 𝑙 = 1.
3𝑥 = 3(1 × 𝑥)
Bentuk di atas dapat dimodelkan ke dalam tiga kali luas daerah
persegi panjang yang masing-masing memiliki 𝑝 = 𝑥, 𝑙 = 1.
𝑥 𝑥
𝑥 𝑥
𝑥
1
1
1
1
1
𝑥 𝑥 𝑥
1 1 1
yos3prens.wordpress.com 7
5𝑥 + 3𝑥 = 𝐿𝐴 + 𝐿𝐵
= 5𝑥 + 3𝑥
= (5 + 3)𝑥
= 8𝑥
Penjumlahan Konstanta
Carilah 1 + 3 = 1 × (1 × 1) + 3 × (1 × 1)
Sehingga dapat dimodelkan seperti gambar di bawah ini:
5 × (1 × 𝑥)
3 × (1 × 𝑥)
(5 + 3) × (1 × 𝑥)
𝑥
1
1
1
1 1
1
1
1
1
3 × (1 × 1) 1 × (1 × 1)
(1 + 3) × (1 × 1)
yos3prens.wordpress.com 8
Jadi 1 + 3 = 4
Penjumlahan Bentuk Polinomial yang Lebih Kompleks
Carilah (𝑥2 + 5𝑦 + 6) + (𝑥 − 2𝑥2 + 3𝑦2 + 7)
Sehingga dapat dimodelkan seperti gambar di bawah ini:
𝑥
𝑥
𝑦
5 × 1 3 × 1
1
1
𝑥
1
7 × 1
1
𝑥 𝑥
𝑥
𝑦
𝑦
1
1
yos3prens.wordpress.com 9
2. Pengurangan
Perhatikan ilustrasi di bawah ini.
(3𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 3𝑦2) − (𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 2𝑦2)
= 3𝑥2 − 𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 2𝑥𝑦 − 3𝑦2 − (−2𝑦2)
= 3𝑥2 + (−𝑥2) + 2𝑥𝑦 + (−2𝑥𝑦) + (−3𝑦2) + 2𝑦2
= �3 + (−1)�𝑥2 + �2 + (−2)�𝑥𝑦 + ((−3) + 2)𝑦2
= 2𝑥2 − 𝑦2
= 2𝑥2 + (−𝑦2)
Operasi pengurangan aljabar di atas dapat dimodelkan kedalam geometri
datar sebagai berikut.
yos3prens.wordpress.com 10
3. Perkalian
a. Perkalian Konstanta dengan Konstanta
Contoh:
2 × 3 = 2 × (1 × 1) × 3 × (1 × 1)
Sehingga bentuk di atas dapat dimodelkan sebagai berikut.
yos3prens.wordpress.com 11
b. Perkalian Konstanta dengan Variabel
Contoh:
5𝑥 = 5 × (1 × 1) × (1 × 𝑥)
Sehingga bentuk di atas dapat dimodelkan sebagai berikut.
…
…
…
…
…
Sehingga dari 1 dan 2 diperoleh bahwa 5𝑥 dapat dimodelkan dengan
dua cara,
a. Balok (1 × 𝑥) disusun 5 kali ke bawah, ditulis
(1 × 𝑥) × 5 = 𝑥 × 5 = 𝑥5.
b. Balok 5 × (1 × 1) dikalikan 𝑥 satuan ke kanan, ditulis
5 × (1 × 1) × 𝑥 = 5 × 𝑥 = 5𝑥.
1
2
yos3prens.wordpress.com 12
Jadi 5𝑥 = 𝑥5 (sifat komutatif).
Sifat komutatif ini berlaku juga untuk perkalian konstanta dengan
konstanta. Kenapa?
c. PerkalianVariabel dengan Variabel
𝑥 × 𝑥 = (1 × 𝑥) × (1 × 𝑥)
… … …
… …
… … … …
… …
Sehingga dari gambar di atas 𝑥 × 𝑥 dapat dimodelkan dengan 3
cara yang berbeda.
1. Pada gambar 1, banyaknya persegi panjang1 × 𝑥 adalah 𝑥
buah ke bawah. Sehingga luas keseluruhan adalah banyaknya
persegi panjang dikali luas persegi panjang 1 × 𝑥.
𝐿𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑥 × (1 × 𝑥) = 𝑥2.
2. Pada gambar 2 hampir sama dengan sebelumnya, tetapi
persegi panjang 1 × 𝑥 dikalikan sebanyak 𝑦 ke bawah.
3. Pada gambar 3, luas daerah keseluruhan adalah banyaknya
persegi satuan 1 × 1 dikalikan dengan luas persegi satuan.
1
2 3
𝑥
𝑥
𝑥 × (1 × 𝑥)
(1 × 𝑥) × 𝑥 (𝑥 × 𝑥) × (1 × 1)
yos3prens.wordpress.com 13
Ada 𝑥 persegi satuan ke kanan dan ke bawah sehingga
banyak persegi satuan keseluruhan adalah 𝑥 × 𝑥 = 𝑥2.
Sedangkan luas persegi satuan 1 × 1 = 1. Jadi, luas
keseluruhannya: (𝑥 × 𝑥) × (1 × 1) = 𝑥2 × 1 = 𝑥2.
𝑥 × 𝑦 = (1 × 𝑥) × (1 × 𝑦).
…
…
Soal
Modelkan bentuk perkalian aljabar di bawah ini.
a. (𝑥 + 1)𝑦
Petunjuk: 𝑥 + 1 = 1 × (𝑥 + 1) = (1 × 𝑥) + (1 + 1).
Dengan model,
𝑦
𝑥
…
𝑥 × (1 × 𝑦)
(1 × 𝑦) × 𝑥 (𝑥 × 𝑦) × (1 × 1)
yos3prens.wordpress.com 14
b. (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
c. 2𝑥 × 3𝑥
d. 5𝑥𝑦 × 2𝑥𝑦
4. Pemfaktoran
Sebelumnya sudah dikerjakan bentuk(𝑥 + 3)(𝑥 − 1). Nilai dari
(𝑥 + 3)(𝑥 − 1) adalah 𝑥2 + 2𝑥 − 3. Kemudian 𝑥 + 3 dan 𝑥 − 1 disebut
faktor-faktor dari 𝑥2 + 2𝑥 − 3.
Contoh lainnya adalah
a. 𝑥2 + 5𝑥 + 6 = (𝑥 + 3)(𝑥 + 2)
b. 𝑥2 + 𝑥 − 6 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
c. 2𝑥2 + 5𝑥 + 2 = (2𝑥 + 1)(𝑥 + 2)
Sekarang masalahnya bagaimana cara memodelkan pemfaktoran bentuk
aljabar di atas.
Perhatikan contoh (a).
𝑥2 + 5𝑥 + 6 adalah penjumlahan dari 𝑥2, 5𝑥, dan 6 sehingga dapat
dimodelkan seperti di bawah ini.
𝑥
1
1
yos3prens.wordpress.com 15
Pada pembahasan sebelumnya sudah dibahas mengenai perkalian bentuk-
bentuk aljabar. Dalam pemfaktoran juga menggunakan operasi perkalian
aljabar. Sehingga pemodelan operasi perkalian aljabar sebelumnya juga
digunakan dalam pemfaktoran. Dalam pemodelan perkalian aljabar, hasil
dari perkalian selalu dimodelkan dalam bentuk persegipanjang. Pada
contoh kali ini, 𝑥2 + 5𝑥 + 6 adalah hasil perkalian dari faktor-faktornya
sehingga pemodelan 𝑥2 + 5𝑥 + 6 seharusnya berbentuk persegi panjang.
Dari model 𝑥2 + 5𝑥 + 6 di atas tidak berbentuk persegi panjang
sehingga pemodelan di atas harus disusuns demikian rupa agar berbentuk
persegi panjang.
Diperoleh bentuk di bawah ini.
Atau seperti yang dimodelkan
dibalik halman ini.
yos3prens.wordpress.com 16
Jadi, 𝑥2 + 5𝑥 + 6 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 3) = (𝑥 + 3)(𝑥 + 2)
yos3prens.wordpress.com 17
KUNCI JAWABAN AKTIVITAS SISWA
MELAKUKAN OPERASI ALJABAR DENGAN
PEMODELAN GEOMETRI DATAR
yos3prens.wordpress.com 18
AKTIVITAS 1
a.
b.
c.
d.
8
5
𝟏𝟐
𝟑𝟐
Model 8
Model 5
Model 12
Model 32
yos3prens.wordpress.com 19
AKTIVITAS 2
a.
b.
c.
d.
Model 12𝑦
Model 2𝑦
Model 32𝑥
Model 3𝑥
yos3prens.wordpress.com 20
AKTIVITAS 3
a.
b.
c.
d.
Model 2𝑥2
Model 12𝑥2
Model 5𝑥2
Model 23𝑦2
yos3prens.wordpress.com 21
AKTIVITAS 4
a.
b.
c.
d.
Model 2𝑥𝑦
Model −5𝑥𝑦
Model 58𝑥𝑦
Model −34𝑥𝑦
yos3prens.wordpress.com 22
AKTIVITAS 5
a.
b.
c.
d.
yos3prens.wordpress.com 23
AKTIVITAS 6
a
b
c
d
yos3prens.wordpress.com 24
AKTIVITAS 7
a.
b.
c.
yos3prens.wordpress.com 25
d.
yos3prens.wordpress.com 26
AKTIVITAS 8
a.
+
=
yos3prens.wordpress.com 27
b.
yos3prens.wordpress.com 28
AKTIVITAS 9
a.
b.
yos3prens.wordpress.com 29
yos3prens.wordpress.com 30
AKTIVITAS 10
a. b.
AKTIVITAS 11
a.
b.
yos3prens.wordpress.com 31
AKTIVITAS 12
a. b.
c.
yos3prens.wordpress.com 32
AKTIVITAS 13
a.
b.
Recommended