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TARCIS ALVAN OLIVA DOS SANTOS
APLICAÇÕES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE NA RESOLUÇÃO DE
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM LINEARES REFERENTES A
PROBLEMAS DA FÍSICA
Sinop/MT
2010
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TARCIS ALVAN OLIVA DOS SANTOS
APLICAÇÕES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE NA RESOLUÇÃO DE
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM LINEARES REFERENTES A
PROBLEMAS DA FÍSICA
Trabalho de Conclusão de Curso
apresentado à Banca Examinadora do
Departamento de Matemática -
UNEMAT, Campus Universitário de
Sinop, como requisito parcial para a
obtenção do título de Licenciado em
Matemática.
Orientador:
Prof. MSc. Rogério dos Reis Gonçalves
Co-orientador:
Prof. Dr. André Luis Christoforo
Sinop/MT
2010
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TARCIS ALVAN OLIVA DOS SANTOS
APLICAÇÕES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE NA RESOLUÇÃO DE
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM LINEARES REFERENTES A
PROBLEMAS DA FÍSICA
BANCA EXAMINADORA:
__________________________________
Prof. MSc. Rogério dos Reis GonçalvesProfessor Orientador
Unemat - Campus Universitário de Sinop
__________________________________
Profª. MSc. Chiara Maria Seidel Luciano DiasProfessora Avaliadora
Unemat - Campus Universitário de Sinop
__________________________________
Prof. Emerson Claudio Gentilin AdãoProfessor Avaliador
Unemat - Campus Universitário de Sinop
__________________________________
Prof. MSc. Odacir Elias Vieira MarquesPresidente da Banca
Unemat - Campus Universitário de Sinop
SINOP
15 de Novembro de 2010.
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iv
“A mente que se abre a novas ideias jamais
voltará ao seu tamanho original.”
Albert Einstein
“O que sabemos é insignificante, o que não
sabemos é imenso.”
Pierre Simon Laplace
O trabalho poupa-nos de três grandes males:
tédio, vício e necessidade.
Voltaire
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DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho à minha amada mãe, a quem este tem significado igual para mim,
senão maior; e a minha esposa Elisângela, a quem devo os estímulos que me impulsionaram abuscar vida nova a cada dia, meus agradecimentos por ter aceitado se privar de minhacompanhia pelos estudos, concedendo a mim a oportunidade de me realizar ainda mais.
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AGRADECIMENTO
Agradeço primeiramente a Deus, por dar-me a aptidão e a oportunidade de concluir um cursode Graduação.
Aos meus pais, pelo empenho que tiveram em garantir a base sólida para minhas conquistas.
Aos professores do Departamento de Matemática, por contribuírem direta ou indiretamentecom o aprendizado necessário à conclusão deste trabalho. Em especial aos professores eorientadores Rogério dos Reis Gonçalves e André Luis Christoforo por seu apoio e inspiraçãono amadurecimento dos meus conhecimentos e conceitos que me levaram a execução econclusão desta monografia
Aos meus amigos, por compartilharem os momentos bons que tive durante a Graduação.
E agradeço a minha esposa Elisângela, que além de compartilhar os momentos bons, tambémestava presente durante os não tão bons, me apoiando e dando forças, sempre.
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RESUMO
SANTOS, Tarcis A. O. Aplicações da Transformada de Laplace na Resolução de Equações Diferenciais de Primeira Ordem Lineares Referentes a Problemas da Física. Trabalho deConclusão de Curso (Graduação em Matemática) – Faculdade de Ciências Exatas.Universidade do Estado de Mato Grosso. Campus Universitário de Sinop, 2010.
Neste trabalho abordam-se dois métodos de resolução de Equações Diferenciais:Método do Fator Integrante e Método da Transformada de Laplace. O principal objetivo desteestudo é criar um texto didático, com conceitos gerais, que apresente os dois métodosaplicados a problemas modelo resultantes de experimentos físicos, dando ênfase à resoluçãodestes por meio da Transformada de Laplace. Para tanto, descrevem-se ambos os métodos e
os modelos, com as demonstrações e definições que se fazem necessárias ao bomentendimento do assunto. Na exposição dos dois problemas, os mesmos serão resolvidos pelométodo do Fator Integrante, comumente aplicado nos cursos de Graduação e, posteriormenteserão resolvidos pelo Método da Transformada de Laplace, para que fique evidenciada suafuncionalidade.
Palavras-chave: Transformada de Laplace. Fator Integrante. Equações Diferenciais.Cálculo Diferencial e Integral.
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ABSTRACT
SANTOS, Tarcis A. O. Applications of Laplace Transform in Solving Differential Equationsof First Order Linear Related to Problems of Physics. End of Course Work (Graduate inMathematics) - Faculty of Exact Sciences. University of Mato Grosso. Sinop, 2010.
This work deals with two methods of solving Differential Equations: Method of Integrating Factor and Method of Laplace Transform. The main objective of this study is tocreate a teaching text, with general concepts, which makes the two methods applied to modelproblems arising from physical experiments, with emphasis on addressing these through theLaplace Transform. To this end, will be described both methods and models, withdemonstrations and definitions that are necessary for the proper understanding of the subject.
In the exposition of the two problems, they will be solved by the Method of IntegratingFactor, commonly used in undergraduate courses, and later will be solved by LaplaceTransform Method, so that its functionality is highlighted.
Key-words: Laplace Transform. Integrating Factor. Differential Equations. Differential andIntegral Calculus.
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SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 1
2 PRELIMINARES ........................................................................................................ 3
2.1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS ...................................................... 3 2.1.1 Breve Histórico das Equações Diferencias Ordinárias ................................... 32.1.2 Conceitos e Definições ...................................................................................... 6
2.1.3 Classificação por tipo ....................................................................................... 72.1.4 Classificação por ordem ................................................................................... 82.1.5 Classificação por linearidade ........................................................................... 82.1.6 Problemas de Valor Inicial (PVI) ..................................................................... 92.1.7 Método do Fator Integrante ............................................................................. 9
2.2 A TRANSFORMADA DE LAPLACE ................................................................. 11 2.2.1 Definição da Transformada de Laplace......................................................... 122.2.2 Transformada Inversa.................................................................................... 142.2.3 Transformada de Derivadas .......................................................................... 162.2.4 Translação Sobre o Eixo s .............................................................................. 17
3 PROBLEMAS MODELO.......................................................................................... 18
3.1 QUEDA DE CORPOS CONSIDERANDO A RESISTÊNCIA DO AR ................ 183.2 RESOLUÇÃO DO PROBLEMA MODELO 1 SEGUNDO O MÉTODO DOFATOR INTEGRANTE .................................................................................................. 19 3.3 LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON .......................................................... 213.4 RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 2 SEGUNDO O MÉTODO DO FATORINTEGRANTE ................................................................................................................ 21
4 RESOLUÇÃO DOS PROBLEMAS MODELO SEGUNDO O MÉTODO DATRANSFORMADA DE LAPLACE ................................................................................. 24
4.1 QUEDA DE UM CORPO EM MEIO À RESISTÊNCIA DO AR ......................... 24 4.2 LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON .......................................................... 26
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................................................................... 28
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................. 29
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1
1. INTRODUÇÃO
O estudo do Cálculo Diferencial e Integral é de suma importância para o
desenvolvimento das ciências naturais e tecnológicas. Newton (1643-1727) foi capaz de
resolver diversos problemas de sua época através da esquematização de suas teorias referentes
à Mecânica. Da mesma forma deu-se o desenvolvimento das teorias sobre as Equações
Diferenciais para a resolução de problemas de diversas áreas do conhecimento que até então
não podiam ser respondidas.
Equações Diferenciais são encontradas na Física na resolução de problemas como
resfriamento de corpos (Lei de Resfriamento de Newton), o experimento de queda livre de
corpos considerando a resistência do ar (Resistência em Fluidos). Na Engenharia Civil, em
particular, na mecânica dos materiais, destacam-se os problemas de Deflexão de Vigas, que
resultam em EDO’s Lineares de Segunda Ordem, além de diversas outras aplicações nas mais
diversas áreas do conhecimento humano.
Para a resolução de tais problemas recorre-se comumente a técnicas de resolução de
Equações Diferenciais Ordinárias (EDO’s), propostas e esquematizadas por diversos autores,
que podem ser de forma analítica ou numérica. Por forma analítica de resolução de EDO’s
entendem-se métodos convencionais de resolução de EDO’s, elaborados através de
desenvolvimentos minuciosos na álgebra linear, compreendendo os métodos presentes na
maioria dos cursos de Graduação de Ciências Exatas, onde são apresentados métodos
específicos para cada tipo de EDO. Através destes podem-se encontrar famílias de soluções
que, quando se tratar de Problema de Valor Inicial (PVI), são reduzidas a uma função como
resolução do problema. Na forma numérica encontra-se uma solução de valor aproximado,
com certa segurança, do real valor que poderia ser encontrado através do método analítico,
mas podendo ser aplicado a equações cujo método analítico não apresenta solução.
Além dos métodos analíticos convencionais do cálculo, destaca-se a Transformada de
Laplace como alternativa a resolução de problemas que levam a EDO’s. Este trabalho tem por
objetivo apresentar uma abordagem alternativa no estudo da Transformada de Laplace,
aplicando-a na resolução de EDO’s lineares de primeira ordem referentes a problemas da
Mecânica de maneira a apresentar em conjunto às soluções comumente utilizadas do Cálculo
(Técnica do Fator Integrante), objetivando-se motivar o leitor ao estudo do tema.
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Para tanto no capítulo 2 será destinado a uma retomada de assuntos pontuais como a
história do Cálculo Diferencial e Integral e das Equações Diferenciais, que apesar de
superficial, terá o intuito de mostrar em qual época surgiram os teoremas estudados hoje, bem
como definições e teoremas necessários para o bom entendimento deste trabalho.
No capítulo 3 serão apresentados os problemas Modelo, provenientes de experimentos
da Física, que serão tratados através do método do Fator Integrante, a fim de estabelecer uma
solução particular para cada modelo numa situação pertinente a este trabalho.
No capítulo 4 pretende-se apresentar a solução analítica dos dois modelos através do
método da Transformada de Laplace, uma Transformada Integral desenvolvida por um dos
maiores matemáticos que estudaram as equações diferenciais, Pierre Simon Laplace.
No capítulo 5 será apresentado breve comentário sobre os resultados obtidos, na formadas considerações finais, sem o interesse da discussão acerca da validade de cada método, já
que ambos são válidos e comprovados há quase um século.
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2. PRELIMINARES
Os resultados que se seguem são apenas abordados superficialmente, por isso
recomenda-se para maiores detalhes Boyce e Di Prima (1994) e Zill (2003), os quais foram
consultados para escrever esta seção. Apesar dos métodos analíticos serem validados pelas
teorias da Álgebra, e se farão presentes durante este trabalho, não é um dos principais
objetivos o estudo minicioso do tema pela abordagem da Álgebra. Desta forma, para maiores
informações sobre o assunto, os leitores devem consultar Boldrini (1980) e Steinbruch (1987).
2.1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
As equações diferenciais foram muito estudadas após a organização do Cálculo
Diferencial e Integral, engendrada principalmente por Newton e Leibniz, e do Teorema
Fundamental do Cálculo. Mesmo hoje me dia ainda é um assunto bastante dinâmico com
várias questões interessantes em aberto.
Para que se possa entender um pouco mais sobre as equações diferenciais antes de
focar as atenções em métodos para encontrar suas soluções, será apresentado um breve
histórico do surgimento das teorias que envolvem as equações diferenciais, algumas
definições importantes, que por si só se fazem necessárias e, a solução de uma equação
diferencial de primeira ordem.
2.1.1 Breve Histórico das Equações Diferencias Ordinárias
O cálculo, apoiado na geometria analítica, foi o maiorinstrumento matemático descoberto no séc. XVIII. Ele semostrou notavelmente poderoso e eficiente para atacarproblemas inexpugnáveis em tempos anteriores. Foi suaampla e surpreendente aplicabilidade que atraiu o grossodos pesquisadores em matemática da época, resultandodaí uma profusão de artigos pouco preocupados com o
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resultado bastante insatisfatório dos fundamentos doassunto. (EVES, 462).
Pode-se dizer que os estudos das equações diferenciais começaram com os esforços de
Sir Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz de organizar os pensamentos por vezes
desencontrados de seus antecessores no que hoje conhecemos como Cálculo Diferencial e
Integral.
Newton nasceu em Woolsthorpe, Inglaterra, em 1642. Era filho de agricultores pobres,
mas devido à sua excelência em experimentos mecânicos desde cedo sua educação foi
fortemente apoiada, principalmente por sua mãe. Aos dezoito anos de idade já estudava no
Trinity College, Canbridge. A partir daí começou a estudar profundamente a matemática e
desenvolveu suas teorias.
Suas maiores e notáveis conquistas estão no campo da gravitação celeste e na óptica.
Na óptica obteve grande sucesso na teoria das cores e com algumas suposições inquietantes
foi capaz de movimentar o interesse e as discussões em sua época. No campo da gravitação,
com sua primazia no estudo das equações, desenvolveu a lei da gravitação que leva seu nome.
De seus estudos de equações formulou um método de resolução que chamou de Método dos
Fluxos, conhecido hoje como Cálculo Diferencial, sendo esta uma das maiores contribuições
feita para a matemática moderna. Mesmo em seu tempo seu trabalho foi reconhecido por
vários matemáticos famosos.
[...] sua grandeza foi reconhecida por juízes de elevadoquilate científico, como Leibniz, que lhe prestou umtributo dizendo: “Tomando a Matemática desde o iniciodo mundo até a época em que Newton viveu, o que elefez foi, em grande escala, a metade melhor”. (EVES,441)
Gottfried Wilhelm Leibniz nasceu em Leipzig, em 1464. Desde pequeno aprendeuoutras línguas, filosofia e matemática. Como autodidata aos doze anos de idade já dominava
todo o conhecimento corrente de matemática e as leis publicadas pelos textos da época.
Trabalhou quase que sua vida toda no trabalho diplomático e entre 1673 e 1676 já havia
inventado o seu Cálculo.
Apesar de Newton ter desenvolvido o Cálculo Diferencial, sua notação gerava certo
desconforto e embaraço ao ser utilizada. Leibniz introduziu então a maior parte da simbologia
empregada no Cálculo atual. Foi o primeiro a utilizar o símbolo de Integral, um s alongado, emesmo a notação de variação conhecida hoje por dy/dx, surgiu de seus trabalhos.
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Outra enorme contribuição é o teorema Fundamental do Cálculo, cuja notação e
muitas fórmulas de diferenciação já haviam sido escritas ate 1676, quando se mudou de Paris
para Hanover. Também se deve a ele o método de separação de variáveis, a redução de
equações homogêneas em equações separáveis em 1691 e o procedimento para resolver
equações diferenciais lineares de primeira ordem em 1694.
Por volta de 1700 o Cálculo como é conhecido hoje já estava escrito, mas foi Leonard
Euler que trouxe enormes avanços a teoria das equações diferenciais. Coube a ele dar inicio
ao emprego do Fator Integrante na resolução destas equações, já que ele introduziu a idéia do
número e, base dos logaritmos naturais. Também foi ele quem apresentou o método
sistemático de resolução de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes, muito
usado até hoje, e a distinção entre Equações Diferenciais Lineares Homogêneas e Não-Homogêneas.
A partir desta época surge a questão da resolução de problemas apresentados por
questões advindas principalmente da Mecânica e da Astronomia. Segundo EVES, as
contribuições matemáticas dos grandes cátedras que seguiram com estudos matemáticos no
séc. XVIII se devem à grandes nomes como a Família Bernoulli, Lagrange, Laplace, dentre
outros, porém, estes estudos não foram basicamente matemáticos. Os teoremas e esquemas de
resolução apresentados por eles são obras construídas para derrubar paradigmas da época decada um destes estudiosos, principalmente nos campos da Mecânica e Astronomia. Para
EVES “... foi só no séc. XIX que a pesquisa matemática se emancipou dessas balizas
científicas” (EVES, 463).
Mesmo com os resultados obtidos não podendo ser considerados friamente corretos,
ainda assim os resultados obtidos na utilização de tais métodos eram surpreendentes e não
restava dúvida de que tal teoria matemática renderia bons frutos em sua pesquisa.
Com esta lacuna crescente no estudo da formalidade dos métodos até então utilizados,a maioria dos problemas que podiam já ser resolvidos geravam grandes discussões pela
validade do método utilizado. E quanto mais as discussões se intensificavam e agravavam,
mais se mostrava nítida a necessidade de transpor a fragilidade dos métodos.
Foi então que as atenções voltaram-se para a Análise Matemática, com o intuito de
esclarecer os fundamentos teóricos do Cálculo Diferencial e Integral e procurar por métodos
de estudos das equações diferenciais que não a sua solução explícita.
Um dos grandes nomes que se destacou nesta época foi Augustin-Louis Cauchy. Foi
graças aos seus estudos na área de Análise que se tem até hoje algumas de suas contribuições
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nos livros de Cálculo. Deve-se a ele a abordagem com que se trabalham os conceitos do
Cálculo nos cursos de Ensino Superior de hoje, sendo ele quem definiu a derivada de uma
função ( ) y f x= em relação a x como o limite, quando ∆ →0, da razão
∆
∆= lim
∆→
(+∆) − ()
∆
Cauchy também foi o primeiro a desenvolver uma teoria sistemática para números
complexos e a desenvolver a transformada de Fourier para prover soluções algébricas para
equações diferenciais.
Contemporaneamente outro nome que se destaca é o de Gauss. Suas contribuições
foram inúmeras e dentre as mais importantes destaca-se que ele usou equações diferenciais
para melhorar as teorias das órbitas planetárias e gravitação. Gauss ainda estabeleceu a teoriado potencial como um ramo coerente da matemática. Também reconheceu que a teoria das
funções de uma variável complexa era a chave para entender muitos dos resultados
necessários em equações diferenciais aplicadas.
A partir do séc. XX as técnicas numéricas de encontrar solução de equações
diferenciais foram aprimoradas, da mesma maneira que novas teorias surgiram. Muitos
matemáticos deste século trabalharam com equações e sistemas de equações diferenciais não
lineares. Um dos grandes nomes que trouxe grandes progressos foi Henry Poincaré,conseguindo resultados bastante expressivos em no estudo do movimento de muitos corpos,
especialmente a descoberta do comportamento caótico das soluções para sistemas de três
corpos. Dentre outras de suas descobertas estão estudos sobre óptica, eletricidade, telegrafia,
capilaridade, elasticidade, termodinâmica, mecânica quântica, teoria da relatividade e
cosmologia.
Mesmo hoje as pesquisas no campo das equações diferenciais ainda podem evoluir
muito. Muitos dos campos onde as equações diferenciais parciais e sistemas de equaçõesdiferenciais são aplicados ainda possuem pouco interesse de pesquisadores ou necessitam de
mais avanços no campo tecnológico. Desta maneira a história das equações diferenciais ainda
está sendo escrita, e não há como prever um fim para estas pesquisas.
2.1.2 Conceitos e Definições
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Uma equação diferencial é uma igualdade que envolve uma função incógnita de uma
ou mais variáveis, suas variáveis independentes e suas derivadas até determinada ordem. Uma
EDO pode ser encontrada em aplicações como reações químicas, decaimento radioativo e
corpos em queda. No entanto, nem toda equação diferencial ordinária apresenta solução
analítica. A este tipo de equações diferenciais são aplicados comumente métodos numéricos
de resolução, que proporcionam uma solução aproximada da que se encontraria caso utilizado
um método analítico.
Dentre as EDO’s que possuem solução analítica podem-se destacar inúmeros métodos
de resolução, cada um deles levando-se em consideração a classificação da equação
diferencial em análise. As equações diferenciais podem ser classificadas quanto à ordem da
derivada encontrada na equação e à família de equações diferenciais de acordo com o métodocom o qual comumente são encontradas suas soluções. Para o trabalho proposto serão
analisadas as equações diferenciais lineares de primeira ordem, resultantes do estudo de
Resfriamento de Corpos e Queda de Corpos meio a Resistência do Ar.
Para tal serão apresentadas a seguir as principais classificações que uma EDO pode
assumir.
2.1.3 Classificação por tipo
Como já foi dito uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função
incógnita e suas derivadas. A classificação por tipo destas equações se dá pela quantidade de
variáveis independentes presentes na função incógnita. Se tal função for de apenas uma
variável, então uma equação que a contenha será uma equação diferencial ordinária, por setratar da derivada de apenas uma variável. Se tal função possuir mais de uma variável
independente, então suas derivadas serão parciais, então uma equação que contenha tal função
será uma equação diferencial parcial ou uma equação de derivadas parciais.
Equação Diferencial Ordinária
22
22 1 y d y dy
edx dx
+ =
Equação Diferencial Parcial
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8
2 2
2 24 0
x x
y t
∂ ∂− =
∂ ∂
2.1.4 Classificação por ordem
A ordem de uma equação diferencial é determinada pela ordem das derivadas que
estão presentes na equação. A ordem é determinada pela maior derivada presente:
Equação Diferencial de Primeira Ordem
5 3dy
xdx
= +
Equação diferencial de Segunda Ordem
7 223
23 5
d y dy dy y y x
dx dx dx
+ + =
Equação Diferencial de Terceira Ordem
( )3 2
3 24 5 0d y d ysenx xy
dx dx + + =
2.1.5 Classificação por linearidade
Uma Equação Diferencial Ordinária Linear de ordem n pode ser descrita como sendo
da forma:
)()()()()( 011
1
1 xg y xadx
dy xa
dx
yd xa
dx
yd xa
n
n
nn
n
n =++++ −
−
− K
Esta equação é composta de uma função f(x,y), onde y depende somente de x, a única
variável independente. As funções de x, ( )1 2 1 0, ,..., , , ,n na a a a a g x− são ditas funções arbitrárias
conhecidas da equação diferencial, e dependem exclusivamente de x. Quando alguma destas
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funções não depender apenas de x, ou se a equação não puder ser expressa desta forma a
equação diferencial deixa de ser linear e se diz que é uma equação não-linear .
Pretende-se estudar, no trabalho proposto, os supracitados problemas encontrados na
grande área da Física, que resultam em Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de
Primeira Ordem (EDOL’s). Considerando as funções arbitrárias de x, 1 2, ,...,n na a a− , sendo
iguais à zero, uma Equação Diferencial Ordinária Linear de Primeira Ordem pode ser descrita
como sendo da forma:
)()()( 01 xg y xadx
dy xa =+
2.1.6 Problemas de Valor Inicial (PVI)
Em geral deseja-se encontrar a solução de uma equação diferencial sujeita a
determinadas condições pré-definidas, condições estas que são impostas à solução
desconhecida ( ) y y x= e suas derivadas. Quando a solução da equação diferencial for
relevante somente se esta solução contiver determinado ponto, esta equação é dita fazer parte
de um Problema de Valor Inicial (PVI).
Supondo-se que ( ) y x represente uma solução do problema de valor inicial, os
seguintes três conjuntos da reta real podem não ser os mesmos: o domínio da função ( ) y x , o
intervalo I sobre o qual a solução está definida e o intervalo Φ de existência e unicidade.
Considera-se geralmente como intervalo I de definição para este problema de valor
inicial o maior intervalo contendo 0 x , sobre o qual a solução ( ) y x está definida. O intervalo
I depende de ( ), f x y e da condição inicial ( )0 0 y x y= .
2.1.7 Método do Fator Integrante
A equação diferencial a ser resolvida é do tipo:
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10
)()()()()( 011
1
1 xg y xadx
dy xa
dx
yd xa
dx
yd xa
n
n
nn
n
n =++++ −
−
− K
Sabendo que a equação em questão é de grau 1, temos uma equação do tipo:
)()()( 01 xg y xadx
dy xa =+
Definição: Chama-se Solução de uma Equação Diferencial uma função que verifica
identicamente esta equação.
Toda função y, definida em um intervalo I que tem ao menos n derivadas contínuas em
I , as quais quando substituídas em uma equação diferencial ordinária reduzem a mesma à
identidade, é denominada solução da equação diferencial no intervalo I .
Uma solução de equação diferencial ordinária de ordem n é uma função y que tem ao
menos n derivadas e que, para todo x pertencente ao intervalo I , assume o valor
( ) ( ) ( )( ), , ´ ,..., 0nF x y x y x y x =
Considerando a equação diferencial linear de primeira ordem
)()()( 01 xg y xadx
dy xa =+
Que pode ser escrita como
( ) ( ) ( ) ( )’ y x P x y x Q x+ =
apenas dividindo a equação pelo coeficiente 1( )a x .
( ) ( ) ( )dy
p x y x q xdx
+ =
multiplicado ambos os termos da equação por ( )U x , temos
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )’ y x U x U x p x y x U x q x+ =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )’ ’U x y x U x q x y x U x U x p x y x= = +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )’ ’ ’U x y x U x y x y x U x U x p x y x U x q x+ = + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )’U x y x U x p x y x=
multiplicando por( )
1
y x, com ( ) 0 y x ≠ , obtemos
( ) ( ) ( )’U x p x U x=
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11
multiplicando por( )
1
U x, com ( ) 0U x ≠ , temos
'( )
( )( )
U x
p xU x =
integrando a equação, obtemos
'( )( )
( )
U xdx p x dx
U x=∫ ∫
ln | ( ) | ( )U x p x dx= ∫
ln ( ) ( )U x p x dx= ∫
aplicando a função inversa de ln, obtemos
( )ln ( ) p x dxU xe e∫ =
( )( )
p x dxU x e∫ =
Esta equação é chamada de fator integrante da Equação Diferencial Linear.
)().()]'().([ xQ xU x y xU = , integrando ambos os membros da equação, obtém-se
[ ( ). ( )]' ( ). ( )U x y x dx U x Q x dx=∫ ∫
1( ). ( ) ( ). ( ) ( ) . ( ). ( )
( )U x y x U x Q x dx y x U x Q x dx c
U x = ⇒ = + ∫ ∫
Sendo1
( ) . ( ). ( )( )
y x U x Q x dx cU x
= + ∫ a solução genérica de Equações Diferenciais
Lineares de primeira ordem.
2.2 A TRANSFORMADA DE LAPLACE
Existem várias técnicas de resolução de equações diferenciais lineares, dentre elas
destaca-se as transformadas integrais. Uma transformada integral é uma relação com a
forma
( ) ( ) ( )∫ = β
αdt t f t sK sF , (1)
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onde f é uma função dada que se transforma em outra função F mediante uma integral. A
função F é a transformada de f e a função K é o núcleo da transformação. Muitos
problemas que envolvem equações diferenciais lineares podem, muitas vezes, ser facilmenteresolvido com uma escolha conveniente do núcleo K e dos limites de integração α e β ,
isto é, diversas transformadas integrais são muito usadas, cada qual apropriada a certo tipo de
problema.
Para definir a Transformada de Laplace, precisa-se da noção de integral imprópria e
esta pode ser vista em Stweart (2006). Será definida agora a lei matemática que rege a
operação Transformada de Laplace.
2.2.1 Definição da Transformada de Laplace
Definição 1: Seja a aplicação [ ): 0, n f +∞ → ¡ . A Transformada de Laplace da
função ( )t f é denotada e definida por:
( ){ } ( ) ( )0
st f t F s e f t dt ∞ −= = ∫ L (2)
para todos os valores de s para os quais a integral imprópria converge.
Para simplificar, representaremos a função original por uma letra minúscula e a sua
variável por t , e a sua Transformada de Laplace pela letra correspondente maiúscula e a sua
variável por s .
Conforme (2) pode-se ver que o núcleo da Transformada de Laplace ést e−
. Como as
soluções de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes se baseiam em funções
exponenciais, a Transformada de Laplace é particularmente útil para resolver equações desse
tipo. Ainda, se a integral acima converge, ela converge para uma função F de s e isto fica
claro, pois o integrando da integral imprópria contém o parâmetro s adicionalmente à
variável de integração t .
Considera-se o seguinte exemplo. Toma-se ( ) 1=t f para 0≥t . Usando a
definição (1) obtêm-se
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13
{ }0
0
11 st st
t
e dt es
∞∞ − −
=
= = − ∫ L
=
+− −
∞→ se
ssb
b11lim ,
e, portanto,
{ }1
1s
=L para 0>s
É importante notar que o limite calculado acima não existiria se 0<s . Por isso
{ }1L é definido apenas para 0>s . Isto é típico das transformadas de Laplace; o domíniode uma transformada é normalmente da forma as > para algum número a .
O Teorema a seguir, mostra de modo generalizado transformadas de Laplace de
algumas funções elementares importantes que podem ser úteis na resolução dos problemas
propostos e não serão apresentadas suas demonstrações. De agora em diante não se deve
preocupar-se com as restrições impostas sobre s , já que s está suficientemente restrito para
garantir a convergência da Transformada de Laplace apropriada.
Teorema 1: Transformada de algumas funções elementares
(a) { } 1
!nn
nt
s +=L ,
K,2,1,0=n
(b) { }
1t es a
=−
L
(c) { }
1kt es k
− =+
L
(d) { }
( )
11 kt e
s s k −− =
+L
(e) ( ){ } 2 2
k sen kt
s k =
+L
(f) ( ){ } 2 2
coss
kt s k
=+
L
(g) (h)
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( ){ } 2 2
k senh kt
s k =
−L ( ){ } 2 2
coshs
kt s k
=−
L
Teorema 2: para [ ): 0, n f +∞ → ¡ , L é uma transformação linear
Com efeito, usando propriedades da integral imprópria, segue que
( ) ( )[ ] ( ) ( )dt t gedt t f edt t gt f e st st st ∫ ∫ ∫ ∞ −∞ −∞ − +=+000
βαβα
sempre que ambas as integrais convergirem para cs > .
Assim,
( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } f t g t f t g t α β α β+ = +L L L
É um fato familiar do cálculo que se g é contínua por partes no intervalo limitado
[ ]ba, a integral ( )dt t gb
a∫ existe. O teorema a seguir dará condição suficiente da existência
da Transformada de Laplace de uma função, mas antes precisa-se da seguinte definição.
Definição 2: (Ordem exponencial) Dizemos que uma função f é de ordem
exponencial c se existem constantes c , 0> M e 0>T de forma que ( ) ct Met f ≤.
Teorema 3: Condições suficientes para a Existência
Se ( )t f é contínua por partes no intervalo [ )∞,0 e de ordem exponencial c para
T t > , então ( ){ }t f L existe para cs > .
A fim de resolver problemas envolvendo equações diferenciais precisa-se de alguns
conhecimentos preliminares importantes sobre as transformadas de Laplace de derivadas e
ainda, inverter o operador Transformada de Laplace. Além disso, é necessário que o operador
inverso seja linear e isso é garantido em virtude da Transformada de Laplace ser uma
transformação linear. Começa-se primeiro pela transformada inversa de Laplace ou, mais
precisamente, pela inversa de uma Transformada de Laplace ( )sF .
2.2.2 Transformada Inversa
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Uma transformada inversa de Laplace de uma função ( )sF , designada por
( ){ }1
F s−
L , é outra função ( )t f que goza da propriedade ( ){ } ( ) f t F s=L .
A ideia é a partir da função ( )sF determinar a função ( )t f tal que
( ){ } ( ) f t F s=L . Sendo assim, surge de modo natural o seguinte questionamento. A
função de s que encontramos tem apenas uma transformada inversa de Laplace que poderia
ser a solução desejada?
Duas funções contínuas por partes, de ordem exponencial, com a mesma
Transformada de Laplace, podem diferir apenas nos seus pontos de descontinuidade isolados.Isso não é importante na maioria das aplicações práticas. Logo, pode-se considerar as
transformadas inversas de Laplace como sendo essencialmente únicas. Em particular, duas
soluções de uma equação diferencial devem ambas ser contínuas, e por isso devem ser a
mesma solução se tiverem a mesma Transformada de Laplace.
É frequente que a Transformada de Laplace ( )sF seja expressa como a soma de
diversos termos,
( ) ( ) ( ) ( )sF sF sF sF n+++= L21
Suponha que ( ) { } ( ) { }1 11 1 n nf t F (s) , , f t F (s)− −= =KL L . Então, pela
linearidade da transformada inversa, a função
( ) ( ) ( ) ( )t f t f t f t f n+++= L21
tem a Transformada de Laplace ( )sF . Pela propriedade de unicidade não há outra função
contínua f com a mesma transformada. Então( ){ } { } { } { }1 1 1 1
1 2( ) ( ) ( )nF s F s F s F s− − − −= + + +LL L L L ;
ou seja, a Transformada de Laplace inversa também é um operador linear.
É importante salientar que há uma fórmula geral para a Transformada de Laplace
inversa, mas o seu emprego exige o conhecimento da teoria das funções de variável complexa
e esta não será considerada nessa exposição e para evitar o estudo das variáveis complexas
pode-se recorrer a propriedades importantes da Transformada de Laplace e resolver muitos
problemas interessantes.
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2.2.3 Transformada de Derivadas
A propriedade fundamental que permite a aplicação da Transformada de Laplace na
resolução de equações diferenciais é a da derivada, a qual transforma equações diferenciais
em algébricas, e é dada pela seguinte relação:
( )( ){ } ( ) ( ) ( )0 0
df t s f t f sF s f
dt
= − = −
L L (3)
onde ( )t f é contínua e ( ) dt t df / é contínua por partes para 0≥t . Esta propriedade
permite que se avalie a transformada da derivada de ( )t f como uma função de ( )sF . No
caso de ( ) dt t df / ser contínua, a prova da Equação (3) segue diretamente da definição,
bastando apenas que se faça a integração por partes.
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )00 0
0st st st t t
df t df t e dt s e f t dt f t e sF s f
dt dt
∞ ∞− − − =∞=
= = + = −
∫ ∫ L
Aplicando-se procedimento análogo para a derivada segunda, obtemos
( )( ) ( ) ( )
22
20 ' 0
d f t s F s sf f
dt
= − −
L (4)
É possível deduzir uma expressão para a transformada da enésima derivada( )n f ,
mediante aplicações sucessivas deste teorema. Veja:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 10 0 0 0n
n n n nnn
d f t s F s s f s f sf f dt
− − − − = − − − − −
LL
Como( )n
n
d f t
dt
L , 1>n depende de ( )t f e de suas 1−n derivadas no ponto
0=t , a Transformada de Laplace é apropriada para problemas lineares de valor inicial com
coeficientes constantes e é este o caso que será analisado nos problemas modelo. Mas
primeiramente deve-se enunciar um importante teorema que pode poupar trabalho na
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determinação da Transformada de Laplace de um múltiplo exponencial de uma função f
desde que se conheça sua transformada.
2.2.4 Translação Sobre o Eixo s
Muitas vezes precisa-se encontrar a Transformada de Laplace de um múltiplo
exponencial de uma função f e ela pode ser determinada a partir da Transformada de
Laplace de f sem aplicar a definição (1). Para isso, pode-se recorrer ao seguinte teorema:
Teorema 4: (Primeiro Teorema do Deslocamento) Se ( ){ } ( ) f t F s=L e a for
um número real qualquer, então
( ){ } ( )at e f t F s a= −L
Prova: A prova é imediata, pois pela Definição 1,
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )0 0
s a t at st at e f t e e f t dt s e f t dt F s a∞ ∞ − −−= = = −∫ ∫ L
O teorema acima é conhecido como Teorema da Translação sobre o eixo s.
Com a exposição dos teoremas e definições necessárias, pode-se então partir para os
problemas propostos e suas soluções. A seguir serão apresentados problemas oriundos de
experimentos da física, bastante comentados durante o Ensino Médio e a disciplina que
trabalha Equações Diferenciais nos cursos de Ensino Superior, bem como sua resolução
através do Método do Fator Integrante.
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18
3. PROBLEMAS MODELO
Como citado anteriormente, este trabalho tem o interesse de propiciar fonte de dados
relativos à resolução de dois problemas da Física: queda de um corpo em meio à resistência
do ar e a Lei de resfriamento de Newton.
3.1 QUEDA DE CORPOS CONSIDERANDO A RESISTÊNCIA DO AR
Um dos principais exemplos de movimento uniformemente acelerado estudado
durante o Ensino Médio é o experimento de queda livre. Devido à distância dos corpos a
Terra ser pequena, a aceleração gravitacional é sempre considerada constante, auxiliando
assim os estudos da Física. Com o aparecimento das teorias das equações diferenciais, tornou-
se possível adicionar mais fatores ao modelo até então estudado.
Durante o Ensino Médio, quando se estudava a queda livre, para que os estudosfossem condizentes com o nível de conhecimento exigido dos alunos a resistência do ar era
desprezada, tornando o experimento uma ocorrência um tanto quanto longe do que ocorre
realmente próximo à superfície da Terra. Com a consideração de mais um fator durante a
queda de um corpo, os experimentos aproximaram-se da realidade cotidiana e tornam este
assunto relevante novamente durante o Ensino Superior, no que tange o estudo de Equações
Diferenciais.
Toma-se então, um corpo de massa m, abandonado no ar sob influência da forçagravitacional de intensidade g. O seguinte esquema representa as forças aplicadas sobre o
corpo no instante em que é abandonado.
Figura 1 - Forças atuantes sobre o corpo
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19
No instante em que o corpo é abandonado, há duas forças atuantes neste sistema. A
força RF →
, que é contrária ao sentido do movimento, e varia de acordo com a variação da
velocidade do corpo, pela função ( )v t
→
, e a força peso P
→
, constante, e que é influenciada pela
massa do corpo e a aceleração gravitacional g→
.
Sabe-se, pela Segunda Lei de Newton, da Mecânica, que
1
.n
ii
F m a→ →
=
=∑
Como a aceleração atuante no corpo é a variação da velocidade, tem-se
( ) ( )´v t a a v t t
→
→ → →∆= ⇒ =∆
Conhecendo a aceleração como variação da velocidade e as forças atuantes no corpo,
pode-se escrever a seguinte equação diferencial, que representa a variação da velocidade do
corpo em função do tempo.
( ) ( )´m g kv t mv t →
− =
3.2 RESOLUÇÃO DO PROBLEMA MODELO 1 SEGUNDO O MÉTODO DO FATOR
INTEGRANTE
Reescrevendo a equação ( ) ( )´m g kv t mv t →
− = na forma
( ) ( ) ( ) ( )´ y x p x y x q x+ = Obtém-se,
( ) ( )´k
v t v t gm
+ =
Com a equação na forma diferencial e com
( ) ( );k
p t q t gm
= =
Aplica-se o método do fator integrante. Desta forma, tem-se
( )k k kt
dt dt m m mu t e e e∫ ∫ = = =
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20
( )( )
( ) ( )1
v t u t q t dt cu t
= + ∫
( )
kt kt
m m
v t e e gdt c
−
= + ∫
Aplicando o método de substituição para resolver a integral, tem-se
kt k mw dw dt dt dw
m m k = ⇒ = ⇒ =
( )kt
wmmg
v t e e dw ck
− = + ∫
( )
kt wm
mgv t e e c
k
−
= +
( )kt kt m mmg
v t e e ck
− = +
( )kt
mmg
v t cek
−= + , sendo esta a solução geral para o modelo de queda livre, pelo
método do fator integrante.
Tomando-se como valores iniciais
( )0 0 0t t v t v= ⇒ =
Tem-se
( )}0
0
`
0
vk
t m
mgv t ce
k
−= +
0
0
k t
mmg
ce vk
−= −
00
1k t m
mg
c v k e
−
= −
0
0
k t
mmgc v e
k = −
, sendo este o valor da constante arbitrária proveniente da
integração. Substituir o valor da constante na solução geral resulta em
( )0
0
kt k t
m mmg mgv t e v e
k k
− = + −
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( )( )0
0
k t t
mmg mgv t v e
k k
− = + −
, sendo esta a solução particular do problema de valor
inicial para o modelo de queda livre considerando resistência do ar, pelo método do fator
integrante, quando as condições iniciais são ( )0 0 0;t t t = Τ = Τ .
Considerando o tempo inicial como 0 0t = , obtém-se a seguinte solução particular
( ) 0
kt
mmg mg
v t v ek k
− = + −
3.3 LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON
Isaac Newton estudou a troca de energia em forma de calor entre corpos e o meio
ambiente, concluindo que a variação da temperatura do corpo com o tempo é proporcional à
diferença de temperatura entre o corpo e o meio onde este está inserido. Newton descreveu
este fato segundo leis matemáticas que expressam a temperatura do corpo em função do
tempo e a temperatura ambiente sendo constante. Vale lembrar que este Modelo criado por
Newton é válido somente se a diferença de temperatura entre o corpo e o meio não forem
muito elevadas.
A seguinte equação diferencial representa a variação de temperatura no decorrer do
tempo
( )( )( )m
d t k t
dt
Τ= − Τ − Τ
Onde T(t ) é a função que representa a temperatura do corpo, Tm a temperatura do meio
em que o corpo está presente e k é uma constante positiva de proporcionalidade. Para que esta
constante assuma valor positivo no caso de resfriamentos, onde a temperatura inicial do corpo
seja maior que a do meio onde ele se encontra, na equação foi adicionado um sinal negativo.
3.4 RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 2 SEGUNDO O MÉTODO DO FATOR
INTEGRANTE
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22
Considerando a equação anterior, pode-se aplicar o Método do fator integrante para
encontrar uma solução geral e uma específica para o caso do Modelo da Lei de Resfriamento
de Newton. Dada a equação
( )( )( )m
d t k t
dt
Τ= − Τ − Τ
Basta colocar esta equação na forma
( ) ( ) ( )p .y qdy
x x xdx
+ =
De forma que se possa aplicar o método em questão
Assim:
( ) ( )( )md t k t
dt Τ = − Τ − Τ
( )( ) ( ) ( )´m m
d t k t k t k t k
dt
Τ= − Τ + Τ ⇒ Τ + Τ = Τ
Onde
( ) ( ); m p t k q t k = = Τ
Desta forma:
( ) ( ) ( )kdt k dt kt u t e u t e u t e∫ ∫ = ⇒ = ⇒ =
Conhecendo o fator integrante:
( )( )
( ) ( )1
t u t q t dt cu t
Τ = + ∫
( ) kt kt mt e e k dt c− Τ = Τ + ∫
( ) kt kt mt e k e dt c− Τ = Τ + ∫
Utilizando a técnica de substituição para resolver a integral:
1w kt dw kdt dt dw
k = ⇒ = ⇒ =
( ) kt wmk t e e dw c
k − Τ Τ = + ∫
( ) ( )kt wmt e e c−Τ = Τ +
( ) ( )kt kt mt e e c−Τ = Τ +
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( ) kt mt ce−Τ = Τ + , sendo esta a solução geral para o modelo de resfriamento de
Newton. Tomando
( )0 0 0;t t t
= Τ = Τ
Tem-se
( )}0
00
kt mt ce
Τ
−Τ = Τ +
00
kt mce− = Τ −Τ
( )0 0
1mkt
ce−= Τ − Τ
( )0
0
kt
mc e= Τ − Τ , sendo este o valor da constante arbitrária resultante da integração.Substituindo este valor na solução geral temos:
( ) ( ) 00
kt kt m mt e e−Τ = Τ + Τ − Τ
( ) ( ) ( )0
0k t t
m mt e −Τ = Τ + Τ − Τ , que é a solução particular do PVI, quando
( )0 0 0;t t t = Τ = Τ , são as condições iniciais.
Considerando o tempo inicial como 0 0t = , obtém-se a seguinte solução particular
( ) ( )0kt
m mt e−Τ = Τ + Τ − Τ
Com as soluções particulares dos problemas modelo definidas, parte-se então para a
exposição do Método das Transformadas de Laplace para encontrar a solução de Equações
Diferenciais Lineares de Primeira Ordem.
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4. RESOLUÇÃO DOS PROBLEMAS MODELO SEGUNDO O MÉTODO DA
TRANSFORMADA DE LAPLACE
4.1 QUEDA DE UM CORPO EM MEIO À RESISTÊNCIA DO AR
Sabe-se que a equação que expressa a força resultante que atua sobre um corpo em
queda em meio à resistência do ar é da forma
1
.n
i
i
F m a→ →
=
=
∑, sendo que as forças que atuam sobre o corpo são
P m g→ →
= e ( )1F kv t →
= − , substituindo na equação da força resultante, obtém-se
( ) ( )´mg kv t mv t − = , então a equação diferencial que representa a velocidade do corpo
em queda é
( ) ( )´k
v t v t gm
+ =
Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os membros da equação anterior,
obtém-se
( ) ( ) ( )´k
v t v t gm
+ =
L L
Pela linearidade de L :
( ){ } ( ){ } ( )´ 1k
v t v t gm
+ =L L L
Supondo ( )0 0 00;t t v t v= = = e tomando a Transformada de Laplace da derivada e da
constante 1, segue que:
( ){ } ( ) ( ){ }1
0k
s v t v v t gm s
− + =L L
( ){ } 0
1k s v t v g
m s + − =
L
( ){ } 0
1k s v t v g
m s + = +
L
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25
( ){ } 0 1 1vv t g
k k ss sm m
= ++ +
L
( ){ } 0 1vv t gk k s s sm m
= + + +
L
Aplicando o método das frações parciais no termo1
k s s
m +
, obtém-se
1 A Bk k s ss smm
= + ++
1k
A s Bsm
= + +
Para o valor de 0s =
11
k A A
k mm
= ⇒ =
Para o valor dek
s
m
= −
11
k B B
k mm
= − ⇒ = −
Desta maneira, segue que
( ){ } 0
1 1 1mg mgv t v
k k k s k s sm m
= + −+ +
L
Aplicando a Transformada Inversa e o primeiro Teorema do Deslocamento, segue que
( ) 0
kt kt m mmg mg
v t v e ek k
− −= + −
( ) 0
kt mmg mg
v t v ek k
− = + −
, que é exatamente o mesmo resultado obtido pelo método
do Fator Integrante, para o Modelo de Queda de Corpos em Meio à Resistência do Ar.
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26
4.2 LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON
Sabe-se que a equação que expressa a temperatura de um corpo, exposto a diferenças
de temperatura como o meio, em função do tempo é da forma
( )( )( )m
d t k t
dt
Τ= − Τ − Τ , que pode ser expressa na forma diferencial, como segue
( )( ) m
d t k t k
dt
Τ= − Τ + Τ
( ) ( )´ mt k t k Τ + Τ = Τ
Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os membros da equação anterior,
obtém-se
( ) ( ){ } { }´ mt k t k Τ + Τ = ΤL L
Pela linearidade de L :
( ){ } ( ){ } ( )´ 1mt k t k Τ + Τ = ΤL L L
Supondo ( )0 0 00;t t t = = Τ = Τ ; e tomando a Transformada de Laplace da derivada e da
constante 1, segue que:
( ){ } ( ) ( ){ }1
0 ms t k t k s
Τ − Τ + Τ = ΤL L
( ) ( ){ } 0
1ms k t k
s+ Τ − Τ = ΤL
( ) ( ){ } 0
1ms k t k
s+ Τ = Τ + ΤL
( ){ } ( )0 mk
t s k s s k
Τ Τ
Τ = ++ +L
( ){ }( )
0
1 1mt k
s k s s k
Τ = Τ + Τ + +
L
Aplicando o método das frações parciais no termo( )
1
s s k +, obtém-se
( )
1 A B
s s k s s k = +
+ +
( )1 A s k Bs= + +
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27
Para o valor de 0s =
11 Ak A
k = ⇒ =
Para o valor de s k = −
( )1
1 B k Bk
= − ⇒ = −
Desta maneira, segue que
( ){ } 0
1 1 1 1 1mt k
s k k s k s k Τ = Τ + Τ ⋅ − ⋅ + +
L
( ){ } 0
1 1 1m mt
s k s s k Τ = Τ + Τ − Τ
+ +L
Aplicando a Transformada Inversa e o primeiro Teorema do Deslocamento, segue que
( ) 0kt kt
m mt e e− −Τ = Τ + Τ − Τ
( ) ( )0kt
m mt e−Τ = Τ + Τ − Τ , que é exatamente o mesmo resultado obtido pelo método
do Fator Integrante, para o Modelo da Lei de Resfriamento de Newton.
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28
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao se desenvolver este trabalho, uma pesquisa bibliográfica sobre a resolução de
equações diferenciais lineares utilizando o método da Transformada de Laplace, ressaltam-se
alguns pontos interessantes. Em primeiro lugar, o conhecimento adquirido durante o curso de
Graduação. Em segundo, os resultados obtidos, a partir do objetivo deste trabalho, exposto no
projeto de pesquisa.
Durante a concretização deste trabalho, a principal intenção tornou-se criar um
documento introdutório, didático e de fácil entendimento, sobre a Transformada de Laplace.
Para tanto, ressalta-se a importância e a contribuição do Cálculo Diferencial e Integral e daÁlgebra. Com o surgimento de tais teorias, a quantia de teóricos dispostos a resolver mais
problemas cresceu assustadoramente, culminando na criação de inúmeros Métodos de
resolução de equações diferenciais, bem como novos campos a serem pesquisados.
Em contrapartida tais métodos não se preocupavam com a formalidade matemática,
especialmente na época em que foram introduzidos seus resultados. Desta maneira, a Álgebra
teve papel fundamental no desenvolvimento matemático na formalização dos métodos, tanto
do cálculo como das equações diferenciais, e hoje, faz-se notória nas matrizes curriculares doscursos superiores das áreas exatas.
A Transformada de Laplace mostra-se então ferramenta indispensável na pesquisa das
teorias que envolvem equações diferenciais. Não porque se mostrou um método melhor que
os outros, mas sim pela sua versatilidade. Apesar de, neste trabalho, terem sido estudadas
apenas equações de primeira ordem, a Transformada de Laplace pode ser aplicada na
resolução de equações diferenciais de ordem n.
Não foi o interesse deste trabalho apenas a comparação entre dois métodos deresolução de equações diferenciais. O principal interesse mostra-se, então, ser apresentar
novos rumos que os acadêmicos dos cursos de Matemática e Engenharia Civil podem trilhar e
que ainda não haviam sido abordados na matriz curricular dos mesmos. Talvez essa
abordagem inicial se apresente futuramente como um caminho interessante, instigando nos
outros acadêmicos um maior desenvolvimento de seu estudo ou servindo como propulsora
para que novos temas, aparentemente desconhecidos no curso de Licenciatura Plena em
Matemática, possam começar a ser discutidos e trabalhados.
5/10/2018 Monografia Tarcis Santos Edo Laplace - slidepdf.com
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra Linear . São Paulo: Harper e Row do Brasil, 1980.
BOYCE, W. E.; Di PRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas deValores de Contorno. 5ª Ed. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, 1994.
BOYER, Carl B.; História da Matemática / Revista por Uta C. Merzback; tradução Elza F.Gomide. 2ª Edição. São Paulo: Edgar Blücher, 2003.
BRONSON, Richard. Moderna introdução às Equações Diferenciais; tradução de AlfredoAlves de Farias, revisão técnica Roberto Romano. São Paulo: McGraw-Hill, 1977.
BRONSON, Richard. Moderna introdução às Equações Diferenciais; tradução de AlfredoAlves de Farias, revisão técnica Antonio Pertence Junior. 2ª Edição. São Paulo: Makron
Books, 1994.
EVES, Howard. Introdução a Historia da Matemática. Tradução: Hygino H. Domingues.Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 1995.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo; Volume 4; 5ª Edição. Rio de Janeiro:RJ. LTC – Livros Técnicos e Científicos, 2002.
STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear . 2ª. ed. São Paulo: McGraw-Hill,
1987
STEWART, James. Cálculo; Vol. 1, 5ª Edição. São Paulo, SP: Pioneira Thomson Learning,2006.
ZILL, Dennis G. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem. 1ª Ed. São Paulo:Thomson, 2003.
SILVA, João Assumpção Da. Aplicação da Transformada de Laplace na Resolução deEquações Diferenciais Ordinárias. 2010. Monografia (Graduação). Universidade do Estadode Mato Grosso. Campus Universitário de Sinop. Sinop – MT.
Santos, Reginaldo J. Introdução as Equações Diferenciais Ordinárias. Belo Horizonte:Imprensa Universitária da UFMG, 2010. Disponível em:<http://www.mat.ufmg.br/~regi/eqdif/iedo.pdf > Acesso em: 11 de novembro de 2010.
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