Neživotní pojištění

Neživotní pojištění

Ve většině odvětví neživotního pojištění je náhodného charakteru okamžik vzniku pojistné události a výše pojistného plnění.

Tak lze výši pojistného plnění považovat za realizaci nezáporné náhodné veličiny . Veličina se též nazývá rizikem. Do této veličiny se zahrnují též náklady na likvidaci pojistné události.

Charakteristika

Neživotní pojištění zahrnuje: pojištění majetku pojištění odpovědnosti za škody další pojištění

např. úrazové, zdravotní atd.

Obsah

Např. zahrnuje pojištění pro případ:  poškození nebo zničení věci živelní událostí poškození nebo zničení věci vodou z vodovodních

zařízení poškození, zničení, odcizení nebo ztráty věci při vnitrostátní dopravě (pojištění kargo)  poškození, zničení nebo odcizení motorového

vozidla (havarijní pojištění, pojištění kasko)  odcizení věci (vloupáním nebo loupežným

přepadením)  úmyslného poškození nebo zničení věci.

Pojištění majetku (1)

Pojistit lze věc jednotlivě určenou (např. stavbu, motorové vozidlo) nebo soubor věcí (např. pojištění domácnosti). Na rozdíl od pojištění osob nemusí rozsah škod odpovídat sjednané pojistné částce. Je-li např. skutečná škoda vyšší (resp. nižší) než sjednaná pojistná částka, vyplatí pojišťovna nejvýše tuto pojistnou částku (resp. nejvýše skutečnou výši škody). Je-li sjednaná pojistná částka nižší než hodnota pojištěných věcí (tzv. podpojištění, snižuje se často pojistné plnění v poměru pojistné částky vůči hodnotě věcí.

Pojištění majetku (2)

Pojištěný má právo, aby pojistitel místo něho nahradil škodu vzniklou někomu jinému:

na zdraví nebo usmrcením poškozením, zničením nebo ztrátou věci.

Pojištění odpovědnosti za škody

Tarifní skupiny jsou homogenní skupiny pojistných smluv, pro něž je pojištěné riziko přibližně stejné. Každá tarifní skupina odpovídá určité rizikové úrovni tarifních proměnných.

Pro jednotlivé tarifní skupiny se v jednotlivých letech zjišťují zejména tyto statistické údaje:Nt počet pojištění v roce t

St celková pojistná částka v roce t.

Tarifní skupiny a ukazatele (1)

Pojistné

Vt Před celkové předepsané pojistné v roce t

Vt Přij celkové přijaté pojistné v roce t

Vt PřijZasl celkové přijaté zasloužené pojistné

v roce t

Vt PřijNezasl celkové přijaté nezasloužené pojistné

v roce t.

Tarifní skupiny a ukazatele (2)

Zasloužené pojistné je pojistné příslušné danému účetnímu období; představuje část pojistného, která se započítávaná do stávajícího roku. Nezasloužené pojistné je pojistné příslušné budoucímu účetnímu období; představuje část pojistného, která je započítávaná do budoucího roku.

Označíme

Vt celkové pojistné v roce t

použité při výpočtu, např. Vt Přij.

Tarifní skupiny a ukazatele (3)

Škody

nt počet pojistných událostí (škod) v roce t

Rt celkové pojistné plnění (škoda) v roce t

Rt max maximální pojistné plnění (škoda)

v roce t.

Tarifní skupiny a ukazatele (4)

Ze statistického i účetního hlediska se většina uvedených údajů rozděluje na poměrné části odpovídající jednotlivým kalendářním rokům.

Např. pojištění uzavřené 1. července roku t s pojistnou částkou 100 000 Kč a ročním pojistným 1 000 Kč přispěje do

Nt hodnotou 0,5

St hodnotou 50 000 Kč

Vt hodnotou 500 Kč.

Tarifní skupiny a ukazatele (5)

ŠFt Škodní frekvence q1t = nt/Nt

PPČt Průměrná pojistná částka St/Nt

PPPt Průměrné pojistné plnění Rt/Nt

PŠt Průměrná škoda Rt/nt

PSt Pojistná sazba Vt/St

ŠSt Škodní sazba (procento) Rt/St

ŠPt Škodní průběh (kvóta) Rt/Vt

ŠStt Škodní stupeň (rozsah) q2t

q2t = Rt/nt / St/Nt = Rt/nt Nt/St = PŠt / PPČt.

Výpočtové ukazatele v roce t

Škodní tabulky přehledně popisují rozdělení četností výše škod pro danou tarifní skupinu. Jednotlivé škodní stupně jsou v ní uváděny s příslušnými četnostmi. Škodní tabulky lze chápat jako jistou analogii úmrtnostních tabulek pro neživotní pojištění.

Škodní tabulka (1)

Uvažujme 10 000 pojistných událostí. Každá pojistná událost je zařazena do jedné z k tříd, které jsou určeny podle toho, kolik procent pojistné částky v rámci příslušné pojistné smlouvy představuje skutečné pojistné plnění (pojistná částka se zde chápe jako maximálně možné pojistné plnění St ).

Škodní tabulka (2)

Uvažujme dále sjednanou pojistnou částku ve výši 1 000,-Kč.

Do první třídy náleží všechny pojistné události, u nichž pojistné plnění nepřesáhlo např. 10% sjednané pojistné částky.

Do druhé třídy náleží všechny pojistné události, u nichž pojistné plnění přesáhlo 10% a nepřesáhlo např. 20% sjednané pojistné částky.

Pokračujeme takto dokud nevyčerpáme celou pojistnou částku.

Škodní tabulka (3)

Třídí se tedy vlastně podle velikosti pojistného plnění jednotlivých pojistných událostí.

Škodní tabulku lze získat na základě statistických pozorování stejně jako úmrtnostní tabulku v životním pojištění. Škodní tabulka představuje hypotetický snímek škodního chování pro uvažovanou tarifní skupinu.

Škodní tabulka (4)

Označme

k počet škodních intervalů

i škodní stupeň pojistné události (škodní

interval (zi-1,zi>) i=1, 2, …, k

zi-1 dolní mez intervalu pro škodní stupeň i

(z0 = 0)

zi horní mez intervalu pro škodní stupeň i

Hodnoty zi lze standardizovat tak, že

z0 = 0 a zk = 1.

Škodní tabulka (5)

Označme dále

Ti počet pojistných událostí ve škodním

intervalu i

n celkový počet pojistných událostí (škod).

Platí

n = T1 + T2 + … +Tk .

Hodnota n se zpravidla se standardizuje např. tak, že n=100 000.

Škodní tabulka (6)

Označme dále

ti relativní počet pojistných událostí (škod)

ve škodním intervalu i; ti =Ti /n

zi střed škodního intervalu.

Zpravidla se pokládá zi=½(zi-1+zi)

Yi vážená výše škod (průměrné pojistné

plnění)

ve škodním intervalu i; Yi= ti zi .

Škodní tabulka (7)

Označme dále

bm kumulativní relativní výše škod

v intervalech 1,2, …,mk

bm = t1 + t2 + … +tm .

Gm kumulativní relativní výše škod

v intervalech 1,2, …, mk

Gm = Y1 + Y2 + … +Ym .

Škodní tabulka (8)

Škodní tabulka

Inter. (zi-1, zi> zi zi Ti ti Yi bi Gi

1 (0, z1 > z1 z1 T1 t1 Y1 b1 G1

2 (z1, z2 > z2 z2 T2 t2 Y2 b2 G2

3 (z2, z3 > z3 z3 T3 t3 Y3 b3 G3

… … … … … … … … …

k-1 (zk-2, z1k-1 > zk-1 zk-1 Tk-1 tk-1 Yk-1 bk-1 Gk-1

k (zk-1, zk > 1 zk Tk tk Yk bk=1 Gk

Suma       n=100000 1 Gk  

Zlepšení odhadu škodního stupně

Z tabulky ihned vyplývá, že lze zpřesnit odhad škodního stupně (střední škodní stupeň) pomocí vztahu

q2 = i ti zi = i Yi = Gk ,

kde i značí součet přes všechna i=1, …, k .

Výlukový řád (1)

Výlukový řád ze škodního stavu se používá v situacích, kdy výše pojistného plnění (škody) závisí na době trvání následků pojistné události. Délku trvání následků v rámci období jednotkové délky měříme vhodně zvolenou částí období jednotkové délky. Je-li např. obdobím jednotkové délky rok, můžeme za jednotku měření části vzít měsíc, týden nebo den. Tato volba závisí na charakteru pojištění.

Výlukový řád (2)

Označme

k maximální počet částí jednotkového

intervalu trvání následků pojistné události

vyžadujících pojistné plnění

i pořadové číslo časového intervalu (zi-1,zi>

trvání následků pojistné události

i=1, 2, …, k

Výlukový řád (3)

zi-1 dolní mez intervalu pro dobu trvání

následků pojistné události (z0 = 0)

zi horní mez intervalu pro dobu trvání

následků pojistné události.

Hodnoty zi se standardizují tak, že

z0 = 0

zk odpovídá konci období jednotkové

délky.

Výlukový řád (4)

Dále označme

Zi střed časového intervalu (zi-1,zi>

Zpravidla se pokládá zi=½(zi-1+zi)

Vi počet pojistných událostí (škod),

jejichž důsledky v okamžiku zi trvají.

Údaje Vi se standardizují tak, že

V0 je rovno vhodnému číslu n, např. 10000.

Hodnota k se volí tak, že Vk = 0 .

Výlukový řád (5)

Ui počet pojistných událostí (škod),

jejichž důsledky přestaly trvat v intervalu

(zi-1,zi> .

Ui = Vi-1 - Vi

ui relativní počet pojistných událostí (škod)

jejichž důsledky přestaly trvat v intervalu

(zi-1,zi> .

ui = Ui / n .

Tabulka výlukového řádu

i (zi-1, zi> zi zi ViUi=Vi-1-Vi ui=Ui/n ui zi

1 (0, z1 > z1 z1 V0 = n U1 u1 u1z1

2 (z1, z2 > z2 z2 V1 U2 u2

u2 z2

3 (z2, z3 > z3 z3 V2 U3 u3 u3z3

… … … … … … … …

k-1 (zk-2, zk-1 > zk-1 zk-1 Vk-1 Uk-1 uk-1

k (zk-1, zk > zk zkVk = 0 Uk uk ukzk

Součet         n 1,00 d

Střední délka škodního období d se určí pomocí vzorced = i ui zi .

Pojistné (1)

Pojistné je cena, za kterou pojišťovna poskytuje pojistnou ochranu. Netto pojistné (ryzí pojistné) slouží ke krytí rizika , je v daném období střední hodnotou náhodné veličiny .

Pojistné předepsané a zasloužené

Předepsané pojistné je pojistné, které podle pojistných smluv má být inkasováno v daném účetním období.

Protože platnost předepsaného pojistného příslušného ke smlouvě může přesáhnout účetní období, uvažuje se též jeho část, která odpovídá účetnímu období. Tato část se nazývá zasloužené pojistné.

Pojistné nezasloužení a přijaté

Nezasloužené pojistné je část předepsaného pojistného, která odpovídá období, které následuje po daném účetním období.

Protože předepsané pojistné nemusí být celé inkasováno v daném účetním období používá se termínu přijaté pojistné pro úhrn pojistného, které bylo skutečně inkasováno.

Výpočet netto pojistného za období jednotkové délky

V praxi je jednotkovým obdobím jeden rok.

Pojistné P se obvykle vztahuje k vhodně zvolené pojistné jednotce.

Pojistnou jednotkou může být:a) jednotková pojistná částka (příp. zvolená suma, např. 1000 Kč pojistné částky) P = ŠSt = Rt/St

b) jedno pojištění P = Rt/Nt= PPPt

c) jednotková pojistná částka a jedno pojištění.

Obecný vztah pro netto pojistné (1)

Pro nějakou tarifní skupinu a předpokládejme, že: jednotkou,na kterou se vztahuje jedno pojištění je pojistná částka S každá z N pojistek má stejnou pojistnou částku S, takže průměrná pojistná částka PPČ je rovna S příjmy z pojistného a výdaje na pojistná plnění n pojistných událostí jsou během jednotkového časového období rozloženy rovnoměrně.

Obecný vztah pro netto pojistné (2)

Z předpokladu rovnoměrného rozdělení příjmů z pojistného a výdajů na pojistná plnění plyne, že úrokový výnos z pojistného se vztahuje k polovině časového období.

Je-li i pojistně technická úroková míra, pak výnos z peněžní jednotky je charakterizován hodnotou

½ i .

Obecný vztah pro netto pojistné (3)

Z principu ekvivalence musí mezi příjmy z pojistného a výdaji na pojistná plnění platit vztah

N P (1+ ½ i) = R

N P (1+ ½ i) = n R/n

N P (1+ ½ i) = n PŠ .

Výpočtem zjistíme

P = (1+ ½ i)-1 (n/N) PŠ = (n/N) PŠ ,

kde pokládáme = (1+ ½ i)-1 .

Obecný vztah pro netto pojistné (4)

Úpravou získáme

P = (n/N) (PŠ/PPČ) PPČ

P = q1 q2 PPČ ,

kde

q1 = ŠF = n/N

q2 = i ti zi = i Yi = Gk .

a PPČ je průměrná pojistná částka.

Obecný vztah pro netto pojistné (3)

V případě, že použijeme výlukový řád, dostaneme netto pojistné pomocí vztahu

P = q1 q2 d S ,

kde

d = i ui zi

značí střední délku škodního období.

Veličiny užívané při výpočtu netto pojistného

M největší možná škoda

H pojistná hodnota

S pojistná částka

P netto pojistné

x škoda, pro kterou platí 0 x M

y pojistné plnění.

Přestože jsou možné případy, že MH, budeme předpokládat M=H .

Intenzita pojistné ochrany I

Poměr pojistného plnění y ke škodě x, tj.

I = y / x .

Aby nemohlo dojít k nezákonnému obohacení musí pro intenzitu pojistné ochrany platit

0 I 1 .

V případě, že by platilo I>1, pak by bylo y>x a tedy pojistné plnění by bylo větší než škoda.

Druhy pojistného plnění

Pojistné plnění y se může vyskytovat jako: jednorázové proplacení pojistné částky časové rozložení pojistné částky do několika stejných plateb zproštění od placení pojistného.

S ohledem na tuto poznámku veličina y představuje současnou hodnotu pojistného plnění.

Formy pojištění

Základní1. Pojištění nezávisející na škodě2. Škodové pojištění Doplňkové

Pojištění nezávisející na škodě

Jde o pojištění na pojistnou částku, které se též nazývá obnosové pojištění nebo sumové pojištění. Pojistné plnění závisí pouze na vzniku pojistné události. Intenzita pojistné ochrany se neurčuje. V tomto pojištění pojistné plnění nezávisí na výši škody. Platí vztahy

y = S

P = q1 S .

Škodové pojištění

Ve škodovém pojištění výše pojistného plnění závisí na výši škody. Jde o formu, která se užívá zejména v majetkových pojištěních a při pojištění odpovědnosti.

Toto pojištění má následující typy: Ryzí zájmové pojištění Pojištění na plnou hodnotu Pojištění na první riziko Kvótové pojištění.

Ryzí zájmové pojištění

V ryzím zájmovém pojištění není uvažována pojistná částka. Používá se tam, kde lze určit pojistnou hodnotu H resp. maximální škodu M. Předpokládá se M = H. V této formě je intenzita pojistné ochrany rovná jednotce. Platí

y =x

P = q1 q2 H .

Požadavky užívané při výpočtu netto pojistného

Z našich předpokladů plyne

0 y/x 1

0 y x M = H .

Někdy lze požadovat, aby velikost škody byla v intervalu <0,1>. Tento požadavek je např. použit v konstrukci škodní tabulky. V tomto případě používáme normalizovanou škodu x

x = x / H .

Pojištění na plnou hodnotu

V tomto druhu pojištění jde o implicitní spoluúčast, při které S = s H, kde pokládáme s = S / H < 1. Z uvedeného plyne S < H. Platí

y = s x

P = q1 q2 S = q1 q2 s H .

Pojištění na první riziko (1)

Někdy se hovoří o omezeném ryzím zájmovém pojištění. Toto pojištění se používá tehdy, jsou-li typické malé škody, chce-li pojištěný pojistit jen část celkové pojistné hodnoty, v případě odpovědnosti za škody apod. Položíme s = S/H. Veličina s značí škodní stupeň v příslušné škodní tabulce. Pro pojistné plnění y platí

0 x S y = x

S < x H y = S.

Použijeme-li normalizovanou škodu, lze psát

0 x s y = x

s < x 1 y = S.

Pojištění na první riziko (2)

Pro pojistné platí

P = q1 Gs H + (1-bs) S = q1 Gs + (1-bs) s H .

Poznamenejme, že

Gs H značí střední výši poj. plnění pro škody

do škodního stupně s

(1-bs) S značí střední výši poj. plnění pro škody

nad škodním stupněm s.

Kvótové pojištění

V tomto případě zvolíme U>S. Odtud lze definovat kvótu t výrazem S/U, tj. platí t<0,1>. Dále definujeme =U/H. Pro pojistné plnění y platí

0 x S/ y = xS/ < x H y = S.

Použijeme-li normalizovanou škodu, lze psát

0 x s/ y = xs/ < x 1 y = S.

Pro pojistné platí

P = q1 Gt U + (1-bt) S = q1 Gt + (1-bs) t U .

Doplňkové formy pojištění - franšíza

Spoluúčast (franšíza) je doplňková forma pojištění, kdy pojištěný se explicitním způsobem podílí na úhradě škody. Franšíza se vždy kombinuje se základními formami pojištění.

Rozlišujeme různé typy spoluúčasti. Jde o: procentní (podílovou) spoluúčast excendentní (odečtenou) spoluúčast integrální spoluúčast.

Procentní (podílová) spoluúčast

Tato spoluúčast se např. vyskytuje spolu s ryzím zájmovým pojištěním.

Pojistné při této spoluúčasti Psp se určí pomocí vztahu

Psp = (100-p)/p P,

kde

P = q1 q2 H

a kde p je velikost spoluúčasti vyjádřená v procentech.

Excendentní (odečtená spoluúčast)

Při této spoluúčasti se sjednává hodnota Fo . Pojištěný

nese při škodě x Fo tuto škodu a při škodě x > Fo

nese na svůj vrub částku Fo . Položíme

fo = Fo/H.

Pojistné kombinace pojistného na první riziko s excendentní spoluúčastí lze určit ze vztahu

P = q1 Gs + (1-bs) s - Gfo - (1-bfo

) fo H .

Integrální spoluúčast

Při integrální spoluúčasti pojištěný nese na svůj vrub částku nepřesahující sjednanou hodnotu Fi a při škodě x>Fi se na

úhradě škody nepodílí. Položíme fi = Fi/H. Při kombinaci

s nějakou základní formou pojištění někdy mluvíme o pojištění s výhradou drobných škod.

Pojistné kombinace pojistného na plnou hodnotu s integrální spoluúčastí lze určit ze vztahu

P = q1 (q2 - Gfi) S .

Uvědomíme-li si, že q2 = G1,00 , můžeme psát

P = q1 (G1,00 - Gfi) S .

Stornování pojistné smlouvy

Při uvažování pojistného pro více období je nutno přihlížet k možnosti stornování (ukončení) pojistné smlouvy. K ukončení pojistné smlouvy může dojít:

z rozhodnutí pojištěného (dobrovolné bezdůvodné) storno) v důsledku zániku pojistného rizika nebo pojistného zájmu (přirozené storno) po škodě (pojistné události), když pojistná smlouva po pojistné události podle všeobecných pojistných podmínek zaniká (mnohdy jde o přirozené storno).

Předplacené pojistné

Pojištěný si předplatí pojistné na více období. Přitom pojišťovna:

přiznává úrok z předplacených částek ve výši pojistně technické úrokové míry i při předčasném stornu pojišťovna vrací nespotřebované pojistné.

Předplacené netto pojistné na n>0 období nP se určí podle

vztahu

nP = P + (1+i)-1 P + … + (1+i)-(n-1) P ,

kde P je netto pojistné pro jedno období.

Částka určená k vrácení po k obdobích (n>k) je n-kP .

Jednorázové pojistné (1)

U jednorázového pojistného si pojištěný předplatí pojistné na více období. Přitom pojišťovna:

přiznává úrok z předplacených částek ve výši pojistně technické úrokové míry i při stornu pojišťovna nevrací nespotřebované pojistné.

V tomto případě se nemusí brát v úvahu storno z rozhodnutí pojištěného (dobrovolné (bezdůvodné) storno), protože pojištěný je si vědom, že pojistné se nevrací, a proto nebude pojistku předčasně rušit.

Jednorázové pojistné (2)

Označíme a pravděpodobnost přirozeného storna a q1 pravděpodobnost storna po škodě (škodní

frekvence).

Jednorázové netto pojistné na n období (n>0) označené nP se určí podle vztahu

nP = P + (1+i)-1 (1-a) (1- q1) P + … +

+ (1+i)-(n-1) (1-a)(n-1) (1- q1)(n-1) P ,

kde P je netto pojistné pro jedno období.

Brutto pojistné

Roční brutto pojistné B je roční netto pojistné rozšířené o bezpečnostní přirážku a složky na pokrytí správních nákladů a zisku pojišťovny.

Netto pojistné značí střední hodnotu náhodné veličiny , která znamená velikost škody.

Někteří autoři netto pojistné nazývají rizikové pojistné a pod termínem netto pojistné rozumějí rizikové pojistné s bezpečnostní přirážkou.

Bezpečnostní přirážka

Netto pojistné se zvyšuje o bezpečnostní přirážku, která zabezpečuje ochranu proti nepříznivému škodnímu průběhu v případě, že realizace náhodné veličiny je větší než její střední hodnota E.

Postupy určení bezpečnostní přirážky

P = (1+) E princip střední hodnoty,

P = E + 1 princip směrodatné odchylky,

P = E + 2 2 princip rozptylu,

kde parametry a i i=0,1 jsou kladné hodnoty a kde

= (var )½.

Zřídka se bezpečnostní přirážka kalkuluje kombinací uvedených principů, tj. užije se vzorce

P = (1+) E + 1 (var )½ + 2 var ,

kde některý z parametrů může být nulový.

Bezpečnostní přirážka pomocí Pro určitou tarifní skupinu uvažujme škodní sazby

ŠSt = st / Ut

v obdobích t, t+1, t+2, t+k-1.

Předpokládejme, že roční netto pojistné je navrhováno ve výši aritmetického průměru uvažovaných škodních sazeb, který označíme = P.

Směrodatnou odchylku určíme ze vztahu

2 = 1/k (ŠSt - P)2 + (ŠSt+1 - P)2 + … + (ŠSt+k-1 - P)2

Směrodatná odchylka určuje určitý poměr pojistné částky.

Zahrnutí správních nákladů a zisku

Do netto pojistného se dále zahrnuje přirážka na pokrytí správních nákladů a zisku. Vzniklá hodnota se nazývá brutto pojistné.

Správní náklady (1)

Správní náklady se zpravidla dělí na nezávislé náklady Cf a na závislé náklady označené Cz . Přitom:

 nezávislé náklady Cf nezávisejí na výši pojistného

resp. pojistné částky závislé náklady Cz závisejí na výši pojistného

resp. pojistné částky.

Poznamenejme, že závislé náklady rostou s růstem pojistného resp. pojistné částky.

Správní náklady se člení na jednotlivé nákladové složky jako např. na náklady získávací, organizační, správní ve vlastním slova smyslu, inkasní, stornovací, likvidační.

Správní náklady (2)

Předpokládejme, že: nezávislé správní náklady jsou dány veličinou Cf

 závislé správní náklady představují v průměruCz = B

 kalkulovaný zisk Z = B.

Výsledné brutto pojistné B musí splňovat vztah

B = PR + Cf + Cz + Z = PR + Cf + B + B .

Odtud dostaneme vztah

B = (PR + Cf) / (1- - ).

Rezervy v neživotním pojištění

Časově rozložené rezervyJde především o odhad potřebných budoucích rezerv, neboť zjištění konečné výše škody zde může trvat i několik let. Vystupují zde přitom především následující typy pojistných rezerv: - rezerva pro vzniklé, ale doposud nehlášené pojistné událostí (tzv. IBNR rezerva = Incurred But Not Reported); - rezerva pro hlášené, ale doposud nevyřízené pojistné události (tzv. RBNS rezerva = Reported But Not Settled); - rezerva pro vyřízené, ale doposud neproplacené pojistné události (někdy jsou již definitivně stanovené platby pojistného plnění z nejrůznějších důvodů odloženy až na další pojistná období).

Výchozí data

Předpokládejme, že v období s došlo k pojistné události.V tomto období bylo vyplaceno pojistné plnění xs,0 . V následujícím období s+1 bylo vyplaceno xs,1 , atd., Poslední částka byla vyplacena v období s+T ve výši xs,T , T je maximální počet období, ve kterých je vypláceno pojistné plnění.

Časové rozložení vyplácených částek v obdobích vzniku pojistné události a následujících obdobích po vzniku je popsáno hodnotami

xs,0 , xs,1 , xs,2 , …, xs,T ,

kde s = 0, 1, 2, …, T.

Výchozí data - pokračování

Obecně platba hodnoty xs,i se uskutečnív období t+s+i.

Protože období je určité délky vyjadřujeme hodnotu plateb v dohodnutém okamžiku v rámci období.

Zpravidla je tímto okamžikem střed období.

Schéma platebData známá v období t+T

Období t t+1 t+2 t+T-1 t+T t+T+1 t+T+2 t+T+3

t x0,0 x0,1 x0,2 … x0,T-1 x0,T

t+1 x1,0 x1,1 … x1,T-2 , x1,T-1 x1,T

t+2 x2,0 … x2,T-3 x2,T-2 x2,T-1 x2,T

… … … … … … … … … …

t+T-1 xT-1,0 xT-1,1, xT-1,2 xT-1,3 xT-1,4

t+T xT,0 xT,1 xT,2 xT,3

Data a jejich uspořádání

Na konci období t+T jsou známa data uvedená sloupcích t, t+1, t+2, …, t+T-1, t+T. Tabulka je vhodná např. k úpravě hodnot přihlížejících k inflaci.

Hodnoty upravíme do trojúhelníkového schématu.Ve schématu jsou celková doposud vyplacená pojistná plnění uspořádána do tabulky podle roku vzniku příslušné pojistné události a zároveň podle počtu let, která od vzniku pojistné události uplynula.

Trojúhelníkové schéma

Období 0 1 2 … T-2 T-1 T

t x0,0 x0,1 x0,2 … x0,T-2 x0,T-1 x0,T

t+1 x1,0 x1,1 x1,2 … x1,T-2 x1,T-1

t+2 x2,0 x2,1 x2,2 … x2,T-2

… … … … … … … …

t+T-1 xT-

1,0

xT-1,1 …

t+T xT,0 …

Význam hodnot v tabulce

.

Hodnoty ve sloupcích 0, 1, 2, …, T odpovídají částkám, které jsou vypláceny v obdobích od vzniku pojistné události.

Vznikla-li pojistná událost v období t+s , potom částka xs,j , kde i splňuje 0 j T-s značí částku vyplacenou v období t+s+j.

Z tabulky vidíme, že v období t+T se vyplatí částka

xT,0 , xT-1,1 , xT-2,2 , …, x0,T

Kumulované trojúhelníkové schéma

Obd. 0 1 2 … T-2 T-1 T

t y0,0 y0,1 y0,2 … y0,T-2 y0,T-1 y0,T

t+1 y1,0 y1,1 y1,2 … y1,T-2 y1,T-1

t+2 y2,0 y2,1 y2,2 … y2,T-2

… … … … … … …

t+T-1 yT-1,0 yT-1,1 …

t+T yT,0 …

Význam hodnot y

.

yi,0 = xi,0 pro i=0, 1, …, T

y0,2 = y0,1 + x0,2 y1,2 = y1,1 + x1,2 y2,2 = y2,1 + x2,2 …yT-2,2 = yT-2,1 + xT-1,2

y0,1 = y0,0 + x0,1 y1,1 = y1,0 + x1,1 y2,1 = y2,0 + x2,1 …yT-2,1 = yT-2,0 + xT-2,1 yT-1,1 = yT-1,0 + xT-1,1

atd.

Metoda Chain-Ladder

.

Uvedeme nejjednodušší variantu jedné z nejpoužívanějším metod, která se nazývá

Chain-Ladder (stupňová metoda)

Z tabulky kumulovaných hodnot vytvoříme tabulku „indexů“

Tabulka „indexů“

.

Období 1/0 2/1 3/2 … (T-1)/(T-2) T/(T-1)

t a0,1 a0,2 a0,3 … a0,T-1 a0,T

t+1 a1,1 a1,2 a1,3 … a1,T-1

t+2 a2,1 a2,2 a2,3 …

… … … … … … …

t+T-2 aT-2,1 aT-2,2 …

t+T-1 aT-1,1 …

Určení rezervy - 1

.

Pro jednotlivé sloupce získáme průměry, které se využijí při dopočítávání předpokládaných hodnot v budoucnosti vyplácených.

Období 1/0 2/1 3/2 (T-1)/(T-2) T/(T-1)

Průměr a1/0 a2/1 a3/2 a(T-1)/(T-2) aT/(T-1)

Získané průměry použijeme pro odhad údajů pod hlavní diagonálou tabulky kumulovaného

trojúhelníkového schématu

Určení rezervy - 2

Obd. 0 1 2 … T-2 T-1 T

t y0,0 y0,1 y0,2 … y0,T-2 y0,T-1 y0,T

t+1 y1,0 y1,1 y1,2 … y1,T-2 y1,T-1

t+2 y2,0 y2,1 y2,2 … y2,T-2

… … … … … … …

t+T-1 yT-1,0 yT-1,1 …

t+T yT,0 …

y1,T = aT/(T-1) y1,(T-1)

Určení rezervy - 3

Obd. 0 1 2 … T-2 T-1 T

t y0,0 y0,1 y0,2 … y0,T-2 y0,T-1 y0,T

t+1 y1,0 y1,1 y1,2 … y1,T-2 y1,T-1 y1T

t+2 y2,0 y2,1 y2,2 … y2,T-2 y2,T-1 y2,T

… … … … … … …

t+T-1 yT-1,0 yT-1,1 …

t+T yT,0 …y2,T-1 = a(T-1)/(T-2) y2,(T-2)

y2,T = aT/(T-1) y2,(T-1)

Určení rezervy - 4

Obd. 0 1 2 … T-2 T-1 T

t y0,0 y0,1 y0,2 … y0,T-2 y0,T-1 y0,T

t+1 y1,0 y1,1 y1,2 … y1,T-2 y1,T-1 y1T

t+2 y2,0 y2,1 y2,2 … y2,T-2 y2,T-1 y2,T

… … … … … … …

t+T-1 yT-1,0 yT-1,1 …

t+T yT,0 …y3,T-2 = a(T-2)/(T-3) y2,(T-3)

y3,T-1 =a(T-1)/(T-2) y3,(T-2)

y3,T = aT/(T-1) y3,(T-1) atd.

Určení rezervy - 5

S využitím rekonstruovaných hodnot lze vyčíslit odhad dosud nezaplaceného pojistného plnění, které vyjadřuje výši netto rezerv, které je nutno vytvořit. Rekonstruujeme-li hodnoty v posledním sloupci, dostanemey1,T = aT/(T-1) y1,(T-1) = kT-1 y1,

(T-1)y2,T = aT/(T-1) a(T-1)/(T-2) y2,(T-2) = kT-2

y2,(T-2)y3,T = aT/(T-1) a(T-1)/(T-2) a(T-2)/(T-3) y3,(T-3) =

kT-3 y3,(T-3)…

yT,T = aT/(T-1) a(T-1)/(T-2) … a1/0 yT,0 = k0 yT,0 ,

Rekonstrukce hodnot sloupce T

y1,T = aT/(T-1) y1,(T-1) = kT-1 y1,(T-1)

y2,T =aT/(T-1) a(T-1)/(T-2) y2,(T-2) = kT-2 y2,(T-2)

y3,T = aT/(T-1) a(T-1)/(T-2) a(T-2)/(T-3) y3,(T-3) = kT-3 y3,(T-3)

…yT,T = aT/(T-1) a(T-1)/(T-2) … a1/0 yT,0 = k0 yT,0 ,

Definice hodnot k

kT-1 = aT/(T-1)

kT-2 = a(T-1)/(T-2) kT-1 = a(T-1)/(T-2) aT/(T-1)

kT-3 = a(T-2)/(T-3) kT-2 = a(T-2)/(T-3) a(T-1)/(T-2) aT/(T-1) . . .k1 = a2/1 k2 = aT/(T-1) a(T-1)/(T-2) … a2/1

k0 = a1/0 k1 = aT/(T-1) a(T-1)/(T-2) … a1/0 .

Výpočet celkové rezervyPo odečtení diagonálních hodnot od posledního sloupce doplněného trojúhelníkového schématu a po sečtení těchto rozdílů se získá hledaný odhad rezervy. Označíme-li rs rezervu pro pojistné události, které vznikly v období s, vidíme, že platí r0 = 0 r1 = (kT-1-1) y1,(T-1)

r2 = (kT-2-1) y2,(T-2)

r3 = (kT-3-1) y3,(T-3) … rT = (k0-1) yT,0 .

Celkovou rezervu získáme součtem hodnot rs .

Modifikace metody

Modifikace Chain-Ladder metody např. zohledňují- předpokládaný vývoj inflace (zpravidla je-li uvažovaným jednotkovým obdobím jeden rok)- další aspekty, např. přidání sloupce T+1, který obsahuje odhadnuté budoucí platby.