ník bakalá ského studia, p ednášky Janas 2010,2011 Téma...

Preview:

Citation preview

1

Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Pružnost a plasticita II., 3.ročník bakalářského studia, přednášky Janas 2010,2011

Téma 4,plošné konstrukce, desky

• Plošné konstrukce, desky• Rozdělení desek• Předpoklady a řešení tenkých desek• Metody řešení tenkých desek

2

DeskyIdealizují se jako rovinný obrazec (nejčastěji ve vodorovnérovině), může mít otvoryZatížení působí pouze kolmo ke střednicové rovině a může být vyvoláno � idealizovanými bodovými silami (momenty)� idealizovanými liniovými silami (momenty)� idealizovanými plošnými silami� vlastní tíhou� změnou teploty

Vazby působí kolmo ke střednicové rovině a mohou být � bodové (proti posunům)� liniové (proti posunům a pootočením)� plošné

3

Desky, příklady

4

Desky, příklady podpor desek

5

Desky, příklady

6

Pravoúhlé desky, volba souřadného systému

7

Desky, rozděleníDesky lze rozdělit dle rozměrů :� membrány h/l < 1/80,� velmi tenké desky h/l = 1/50 až 1/80,� tenké desky h/l = 1/10 až 1/50,� hrubé desky h/l = 1/5 až 1/10,� prostorová tělesa h/l > 1/5.Dle deformace:� s malými deformacemi |wmax| <1/300 a současně |wmax| <h/4 a

|ϕmax| < π/60 � se středními, případně velkými deformacemi |wmax| > 1/300,

řešení patří k nelineárním úlohám pružnosti

8

Desky, tenké desky s malými deformacemi, předpoklady řešení

Autorství lineární teorie desek se přisuzuje Kirchhoffovi.Je založeno na těchto předpokladech:1. Deformace střednicové plochy jsou malé.2. Normálová napětí σz jsou v porovnání s napětím σx a σy malá a

zanedbávají se.3. Body ležící před deformaci na normále ke střednici leží na ní i po

deformaci (tzv. špendlíková hypotéza). Nemění se také jejich vzdálenost εz =0. Důsledkem je, že

� přetvoří lze vyjádřit jako funkci ohybové plochy w(x,y), � γxz=γyz=0. 4. Body na střednicové ploše desky mají nulové normálové napětí a

přemísťují se pouze ve směru osy z (podmínkou je symetrie tvaru a materiálu desky.

9

Desky, příklady reálného průběhu napětí σz

Schéma rozložení napětí při plošném zatížení a),

reálný průběh napětí σz na obr. b).

10

Tenké desky, předpoklady o deformaci

Střednice desky se pohybuje pouze ve směru osy z.

Normála ke střednici n před zatížením zůstává normálou i po zatížení n´.

Posunutí bodu K v rovině xyležícího mimo střednici do bodu K´ lze vyjádřit jako funkci u=f1(w), obdobně v=f2(w).

11

Tenké desky, řešení

0

0

0

: vztahyéGeometrick

2

2

=∂∂

∂−=∂∂+

∂∂−

∂∂=

∂∂+

∂∂=

=∂∂

∂−=∂∂+

∂∂−

∂∂=

∂∂+

∂∂=

=∂∂=

∂∂−=−=

∂∂−=−=

zy

wz

y

w

y

wz

zy

w

z

v

zx

wz

x

w

x

wz

zx

w

z

u

z

w

y

wzzv

x

wzzu

yz

xz

x zy

γ

γ

εϑϑ

. funkcí průhybovou vyjádřenoje deformacesložek Šest

2 2

2

2

2

2

w(x,y)

yx

wz

x

v

y

u

y

wz

y

v

x

wz

x

uxyx y ∂∂

∂−=∂∂+

∂∂=

∂∂−=

∂∂=

∂∂−=

∂∂= γεε

12

Tenké desky, řešení, pokračování

( ) ( )

( )

( )

yx

wzEE

x

w

y

wzEE

y

w

x

wzEE

GEE

xyxy

xyy

xx

xyxyxyyyxx

y

∂∂∂

+⋅−=

+=

∂∂+

∂∂

−⋅−=+

−=

∂∂+

∂∂

−⋅−=+

−=

=−=−=

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

22

1)1(2

,11

,11

,1

,1

: vztahyFyzikální

µγ

µτ

µµ

µεεµ

σ

µµ

µεεµ

σ

τγµσσεµσσε

Z těchto rovnic a z geometrických vztahů lze odvodit:

13

Tenké desky, řešení, pokračování

( )

( )

( )

∞⇒====

≠≠≠−−=

∂∂∂

+⋅−=

+=

∂∂+

∂∂

−⋅−=+

−=

∂∂+

∂∂

−⋅−=+

−=

≠≠≠−

GGG

E

yx

wzEE

x

w

y

wzEE

y

w

x

wzEE

xzyz

xzyzyxz

xyxy

xyy

xx

xyx

xzyz

y

y

pro 0 ,0 rovnováhy.podmínky li-platí

,0 ,0 dále a 01

takéje

,1)1(2

,11

,11

0 ,0 ,0 liJe

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

22

τγτ

γ

ττµσµσε

µγ

µτ

µµ

µεεµ

σ

µµ

µεεµ

σ

τσσ

Je zde určitý nesoulad s Kirchhofovou teorií

14

Tenké desky, řešení, pokračování

( ) ( )

( ) )(412

platí obdobně

)(412

)(212

1)1(

1

)1( ,

1 Protože

0 rovnováhy rovnice Z

22

2

22

2

2

2

22

3

2

3

3

3

2

2

33

3

3

2

2/

2/2

2

2

2

2/

2

2/

wy

zhE

wx

zhE

wx

zE

y

w

x

w

x

Ezdz

yx

w

yx

w

x

wEz

yx

wEz

yxy

w

x

wEz

x

σ

dzyxyxz

zyx

zy

zx

zx

yxx

yxxzx

yxxzx

zxyxx

z

h

z

h

z

h

z

h

∆∂∂

−−

−=

∆∂∂

−−

−=∆∂∂

−=

∂∂+

∂∂

∂∂

∂∂∂−+

∂∂∂+

∂∂

−=

∂∂∂

+−=

∂∂

∂∂∂+

∂∂

−−=

∂∂

∂∂

−∂

∂−=⇒∂

∂−

∂∂−=

∂∂

=∂

∂+∂

∂+

∂∂

−−

∫=∫

µτ

µµτ

µµµ

µτ

µτ

µµ

τσττστ

ττσ

15

Desky, průběh složek napětí a složek měrných vnitřních sil

Kladný smysl vnitřních sil je zřejmý z obr. Na tzv. kladných ploškách jsou orientovány ve směru kladných os x,y (ohybové momenty vyvolávají tah ve spodních vláknech a kladné kroutící momenty majísměr kladných tečných napětí). Na záporně orientovaných ploškách je to opačně.

16

Desky, odvození složek měrných vnitřních sil

Měrné vnitřní síly mají význam intenzity vnitřních sil, jsou vztaženy k jednotkovédélce příslušného řezu. Označují se malými písmeny. Je jich celkem pět. Dva měrné ohybové momenty – mx, my, jeden měrný kroutící moment mxy a dvěměrné posouvající síly qx, qy.

tuhostdesková )1(12

)1(

, ,

2

3222/

2/

2/

2/

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22/

2/

3

22

2

2

22/

2/

2

2

2/

2/

3

3

1

311

⇒−

=∂∂

∂−−=∂∂

=

∂∂+

∂∂−=

∂∂+

∂∂−=

=

=

−−

−−−

+−=∫

∂∂+

∂∂

−−

∂∂+

∂∂

∫−

−=∫

µµτ

µµ

σ

µ

µµ

µµ

EhD

yx

wD

yx

wm

x

w

y

wDm

y

w

x

wDm

dzzm

h

h

h

hxy

yx

h

h

h

h

h

hxx

zEzdz

y

w

x

wzE

y

w

x

wEzdz

xy

17

Desky, odvození složek měrných (posouvajících) vnitřních sil

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

tuhostdesková )1(12

412

612248812

3412

412

2

3

332/

2/

2/

2/

2

3

3

3

23

2

2

2

3

2

3333

2

2/

2/

32

2

2/

2/

22

2

2/

2/

⇒−

=

∂∂∂+

∂∂−=∆

−−

−==

∂∂∂+

∂∂−=∆

∂⋅

−−=∆

+−+−

−=

=∆∂

−−=

=∆∂

−−

−=

==

∫∫

−−

µ

µτ

µµ

µ

µ

τ

EhD

yx

w

y

wDdzw

yz

hEdzq

yx

w

x

wDw

x

hEw

x

hhhhEq

wx

zzhEq

dzwx

zhE

q

dzq

h

h

h

hyzy

x

x

x

xzx

h

h

h

h

h

h

18

Desky, transformace složek měrných vnitřních sil, hlavní momenty

2/

2/

2/

2/

2/

2/

zdzmzdzmzdzmh

hxyxy

h

hyy

h

hxx ∫∫∫

−−−=== τσσ

Měrné momenty byly odvozeny integrací složek napětí

, což lze maticově zapsat:

[ ] zdzmm

mm

mh

hyyx

xyx

yyx

xyx

∫−

=

=2/

2/

000

0

0

000

0

0

στ

τσ

Pootočíme-li souřadné osy x a y a úhel a, dostaneme osy x´a y´.

Těm budou odpovídat složky napětí σx´,σy´a τxy´a momenty mx´, my´a mxy´.

19

Desky, transformace složek měrných vnitřních sil, hlavní momenty

22 2

2

1

1

2

2

2,1

y

xy

y

xy

xy

yxyx

mm

mtgα

mm

mtgαm

mmmmm

−=

−=+

−±

+=

( ) αα

αααααα

2sin21

2cos

2sincossin

2sinsincos

´´

22

´

22

´

yxy

xyyx

xyyx

mmmm

mmmm

mmmm

xyx

y

x

−−=

++=

++=

Hlavní momenty a směry normál k plochám, kde působí jsou:

Pro transformaci složek napětí a momentů můžeme použít identické vztahy:

Maximální měrné krouticí momenty m3,4, se kterými spolupůsobíohybové momenty (mx+my)/2 jsou:

221

4,3

mmm

−±=

20

Výpočet složek napětí v descePlatí-li pro výpočet momentu mx a napětí σx:

( )( )

( ) zh

m

Eh

zEz

D

E

m

y

w

x

wz

E

y

w

x

wDm

xx

x

x

x

x

332

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

121

1121

je 1

=⇒−

−⋅⋅=−

=

∂∂+

∂∂

−−=

∂∂+

∂∂−=

σµ

µµ

σ

µµ

σ

µ

Složky napětí v desce lze vypočíst dle vztahů:

zh

m

zh

m

zh

m

xy

xy

y

y

xx

3

3

3

12

12

12

=

=

=

τ

σ

σ

21

Desky, složky měrných vnitřních sil na okraji desky

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕ

sincos

2sin)(21

2cos

2sinsincos 22

yxn

yxn

xyyxn

qqq

mmmm

mmmm

xyt

+=

−−=

++=

22

Desky, podmínky rovnováhy

xyy

qqQxqQ

yxx

qqQyqQ

xyy

mmKxmK

yxx

mmKymK

xyy

mmMxmM

yxx

mmMymM

yyy

xxx

xyxyxy

xyxyxy

yy

xxx

dd ,d

dd2 ,d1

dd ,d3

dd2 ,d1

dd3 ,d3

dd ,d1

43

4

y

2

∂∂

+==

∂∂+==

∂∂

+==

∂∂

+==

∂∂

+==

∂∂+==

yxpF dd=

23

Desky, podmínky rovnováhy, pokračování

04 2 1

02

d42

d32143

02

d22

d14321

3 =++−+−

=++−+−

=++−+−

FQQQQ

yQ

yQKKMM

xQ

xQKKMM

24

Desky, podmínky rovnováhy, pokračování, desková rovnice

D

yxpyxw

D

p

y

w

yx

w

x

w

py

ym

yxxm

x

m

py

q

x

q

x

m

y

m

y

m

x

m

FQQQQ

yQ

yQKKMM

xQ

xQKKMM

yx

yxxyyxyx

),(),( respektive ,

4

4

22

42

4

4

obdržíme úpravě po a 2

222

2

2

:dostaneme třtředo rovnicdvou prvních Dosazením

0 ,q ,q

:je 04 2 1

02

d42

d32143

02

d22

d14321 rovnic úpravě Po

yx

3

=∆∆=∂

∂+∂∂

∂+∂

−=∂

∂+

∂∂∂

+∂

=+∂∂

+∂∂

∂∂

+∂

∂=

∂∂

+∂

∂=

=++−+−

=++−+−

=++−+−

25

Desky, desková rovnice pro pravoúhlé desky

je ),(

),( respektive ,

24

4

22

4

4

4

D

yxpyxw

D

p

y

w

yx

w

x

w =∆∆=∂∂+

∂∂∂+

∂∂Desková rovnice

• parciální diferenciální rovnice 4. řádu,

• lineární

• nehomogenní (má pravou stranu)

• eliptického typu

Pro p=0 jde o biharmonickou rovnici. Každá biharmonickáfunkce odpovídá průhybové ploše desky zatížené jen na okrajích.

26

Okrajové podmínky deskyŘešení rovnice desky musí odpovídat daným okrajovým podmínkám (vždy dvě na okraji).Okraj vetknutý: na okraji nulový průhyb i pootočení

xyx

xy

i

i

mx

wDm

x

wDm

m

yx

w

y

w

y

w

y

w

x

ww

µµ

ϑ

=∂∂−=

∂∂−=

=∂∂

∂=∂∂==

∂∂=

∂∂

=∂∂==

2

2

2

2

2

2

2

x

nulový jemoment kroutící

0 a 0...

platí také,0 ,0

27

Okrajové podmínky desky,okraj prostě podepřený

Na okraji nulový průhyb a nulový moment mx.

0. ,0

0 proto a 0,

0...

platí také,0 ,0

2

2

2

2

2

2

2

2

x

=∂∂=

=∂∂=

∂∂−=

=∂∂==

∂∂=

∂∂

==

x

ww

x

w

x

wDm

y

w

y

w

y

w

mw

x

i

i

Deformační vyjádření OP:

28

Okrajové podmínky desky,okraj prostě podepřený, pokračování

Desková rovnice umožňuje plnit na okraji pouze dvěpodmínky. Mělo by zde být ještě třetí podmínka mxy=0.Řeší se tzv. doplněnou posouvající silou.

y

m

y

yxmyyxmqqym xyxyxy

yxxxy ∂

∂=

∆−∆+

=∆⇒=∆⋅∆+→∆

),(),(0 lim

0

∂∂∂−+

∂∂−=

∂∂

+=

2

3

3

2

)2(

:je síla Tato

yx

w

x

wDq

y

mqq

x

xyxx

µ

29

Okrajové podmínky desky, okraj volný

Na nezatíženém okraji by měly být splněny tři podmínky, a to:

0 ,0 ,0 === xyxx mqm

Předepisujeme však jen dvěpodmínky:

0 ,0 == xx qm

30

Desky, metody řešeníPřímé řešení deskové rovnice v uzavřeném tvaru neexistuje. Aplikují se přibližné metody, ke kterým např. patří: � Navierovo řešení, založené na rozvoji funkce zatížení a průhybu do Fourierových řad� Metoda sítí� Metoda konečných prvků

31

Deskový pásJe nejjednodušší případ deskové konstrukce

32

Desky, příklady

33

Desky kruhové

34

Tlusté desky, Mindlinova teoriePředpoklady σz=εz=0 a u(x,y,0)=v u(x,y,0)=0 zůstávají v platnosti.

Body normály ke střednicové rovině zůstávají po deformaci na přímce. Ta již obecně není normálou ke střednicové rovině. Platí:

),(),(

),(),(

yxy

wyx

yxx

wyx

yy

xx

ϕϑ

ϕϑ

+∂∂=

+∂∂=

Vedle neznáme w, jsou zde ještě neznámé ϕx a ϕy, respektive ., yx ϑϑ

35

Tlusté desky, Mindlinova teorie, pokračování

Místo jedné neznámé máme dle Mindlinovy teorie neznámé tři. Pro tenké desky se momenty počítaly dle vztahů:

( )yx

wDyxm

x

w

y

wDyxm

y

w

x

wDyxm xyyx ∂∂

∂−−=

∂∂+

∂∂−=

∂∂+

∂∂−=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1),( ),( ),( µµµ

Pro tlusté desky se počítají:

∂∂+

∂∂−−=

∂∂+

∂∂

−=

∂∂

+∂

∂−=

yxDm

xyDm

yxDm

xyxy

xyy

yxx

ϑϑµ

ϑµϑϑ

µϑ

2

1

Měrné posouvající síly jsou:

∂∂=

−∂∂= yyxx y

wGhq

x

wGhq ϑϑ

2,1

2,1

36

Tlusté desky, Mindlinova teorie, pokračování

Místo jedné deskové rovnice, v níž vystupovala jediná neznámáw(x,y), máme nyní z podmínek rovnováhy tři rovnice

( ) ( )

( ) ( )

kde

2,1

06,0

11

06,0

11

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

yx

pGhy

w

x

w

y

w

D

Gh

yyx

x

w

D

Gh

xyx

yx

yyy

xxx

∂∂

+∂

∂=Φ

−=Φ−

∂∂+

∂∂

=

∂∂+

∂Φ∂++

∂∂

+∂∂

=

−∂∂+

∂Φ∂++

∂∂+

∂∂−

ϑϑ

ϑµϑϑ

µ

ϑµϑϑµ

37

Tlusté desky, okrajové podmínky

Prosté podepření:

• okraj x= konst: w=mx=mxy=0

• okraj y= konst: w=my=mxy=0

Vetknutí:

• okraj x=y= konst: w=ϑx= ϑy=0

Volný okraj:

•okraj x= konst: mx=mxy=qx=0

• okraj y= konst: my=mxy=qy=0

Doplňkové posouvající síly se zde nezavádějí

38

Použitá literatura[1] Teplý, B., Šmiřák, S., Pružnost a plasticita II. Nakladatelství VUT Brno,

1993.