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NMF105
Algebra Linear Notas de aula
2010-rev1
Prof. Fabio Lacerda Prof. Fabio Lacerda
Prof. Ronaldo Pimentel
ÍNDICE UNIDADE 1 – MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES .................................. 1
1.1 INTRODUÇÃO..................................................................................................................................... 1
1.2 TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZ ............................................................................................................. 2
1.2.1 Matriz quadrada .......................................................................................................................... 2
1.2.2 Matriz nula .................................................................................................................................. 2
1.2.3 Matriz coluna ............................................................................................................................... 2
1.2.4 Matriz linha.................................................................................................................................. 2
1.2.5 Matriz diagonal ............................................................................................................................ 2
1.2.6 Matriz identidade ........................................................................................................................ 3
1.2.7 Matriz triangular .......................................................................................................................... 3
1.2.8 Matriz triangular .......................................................................................................................... 3
1.2.9 Matriz simétrica ........................................................................................................................... 3
1.3 OPERAÇÕES BÁSICAS COM MATRIZES .............................................................................................. 4
1.3.1 Adição .......................................................................................................................................... 4
1.3.2 Multiplicação ............................................................................................................................... 4
1.3.3 Transposição ................................................................................................................................ 5
1.4 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES ......................................................................................................... 8
1.5 OPERAÇÕES ELEMENTARES COM LINHAS DE MATRIZ .................................................................... 11
1.6 MATRIZ INVERSA ............................................................................................................................. 12
1.6.1 Cálculo da matriz inversa pelo método de Gauss-Jordan ......................................................... 12
1.7 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ................................................................................................ 13
1.7.1 Definições básicas ..................................................................................................................... 13
1.7.2 Método de Gauss ...................................................................................................................... 15
1.7.3 Usando matriz inversa ............................................................................................................... 16
LISTA DE EXERCÍCIOS 1 ............................................................................................................................ 17
UNIDADE 2 – DETERMINANTES ............................................................................................ 27
2.1 DETERMINANTE ............................................................................................................................... 27
2.2 MENOR COMPLEMENTAR ................................................................................................................ 29
2.3 COFATOR ou COMPLEMENTO ALGÉBRICO ...................................................................................... 30
2.4 DEFINIÇÃO DE DETERMINANTE (GERAL) .......................................................................................... 30
2.5 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES ............................................................................................ 33
2.6 CÁLCULO DE DETERMINANTES (REGRA DE CHIÓ) ............................................................................ 34
LISTA DE EXERCÍCIOS 2 ............................................................................................................................ 38
UNIDADE 3 – ESPAÇOS VETORIAIS ...................................................................................... 40
3.1 ESPAÇOS VETORIAIS REAIS ............................................................................................................... 40
3.2 SUBESPAÇOS VETORIAIS REAIS ........................................................................................................ 43
3.3 COMBINAÇÃO LINEAR ...................................................................................................................... 46
3.4 ESPAÇOS GERADOS .......................................................................................................................... 51
3.5 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR ....................................................................................... 55
3.6 BASES E DIMENSÃO .......................................................................................................................... 62
3.6.1 Base de um Espaço Vetorial ...................................................................................................... 62
3.6.2 Dimensão de um Espaço Vetorial .............................................................................................. 71
3.7 MUDANÇA DE BASE .......................................................................................................................... 75
LISTA DE EXERCÍCIOS 3 ............................................................................................................................ 81
UNIDADE 4 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES ................................................................... 91
LISTA DE EXERCÍCIOS 4 ............................................................................................................................ 95
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.......................................................................................... 96
NMF105 – Notas de aula 1
NMF105 – ALGEBRA LINEAR Prof. Emerson Costa (responsável pela disciplina) Prof. Fabio Lacerda (flacerda@fumec.br)
UNIDADE 1 – MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARE S Notas de Aula
11..11 IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO Matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Sua utilização passa a ser indispensável quando o número de variáveis e observações em um problema torna-se muito grande. Por exemplo, seja a composição de uma carteira de ações e a sua evolução ao longo do primeiro semestre:
Movimentação (em número de ações)
Ação Mês Jan Fev Mar Abr Mai Jun
PETR4 (Petrobras) 200 262 180 85 0 167 VALE5 (Vale) 0 0 343 203 150 110 USIM5 (Usiminas) 50 0 162 215 400 300 GVTT3 (GVT) 0 160 40 0 420 480
Poderia ser abstraída para:
Generalizando, tem-se:
���� = ���� ��� ⋯ ������ ��� ⋯ ���⋮ ⋮ ⋱ ⋮��� ��� ⋯ ���
� = [���]���
NMF105 – Notas de aula 2
11..22 TTIIPPOOSS EESSPPEECCIIAAIISS DDEE MMAATTRRIIZZ
1.2.1 Matriz quadrada � O número de linhas é igual ao número de colunas (m = n).
Exemplos:
���� = � 2 −7 8
5 3 5
−1 2 4
� ∴ ���� = �2� ∴ ���� = 1 2
3 4
1.2.2 Matriz nula � Todos os elementos da matriz são nulos (��� para todo i e j).
Exemplos:
���� = 0 0 0 0
0 0 0 0 ∴ ���� = �0� ∴ ���� = �0 0
0 0
0 0
�
1.2.3 Matriz coluna � Possui uma única coluna (n=1).
Exemplos:
���� = � 1
−2
3
� ∴ ���� = 0� ∴ ���� = ��2 ��
1.2.4 Matriz linha � Possui uma única linha (m=1).
Exemplos: ���� = �1 −2 3� ∴ ���� = �0 �� ∴ ���� = �� 2 ��
1.2.5 Matriz diagonal � Matriz quadrada (m=n) onde ��� = 0 para � ≠ �. Ou seja, todos os
elementos fora da diagonal principal são nulos.
Exemplos:
���� = 2 0
0 0 ∴ ���� = �1 0 0
0 −5 0
0 0 � ∴ ���� = �1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 4
�
NMF105 – Notas de aula 3
1.2.6 Matriz identidade � Representada por I, matriz quadrada (m=n) onde ��� = 1 para
� = � e ��� = 0 para � ≠ �. Ou seja, possui “1” na diagonal
principal e “0” para todas as outras entradas.
Exemplos:
�� = 1 0
0 1 ∴ �� = �1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
� ∴ �� = �1 0 0
0 1 0
0 0 1
�
1.2.7 Matriz triangular � Matriz quadrada (m=n) onde ��� = 0 para � > �.
Exemplos:
���� = 1 1
0 1 ∴ ���� = �1 � 0 0
0 0 −2 2
0 0 0 0
0 0 0 1
� ∴ ���� = �0 0 −4
0 0
0 0 1
�
1.2.8 Matriz triangular � Matriz quadrada (m=n) onde ��� = 0 para � < �.
Exemplos:
���� = 1 0
1 0 ∴ ���� = � 0 0 0 0
0 0 0 0
10 −2 0 0
5 0 0
� ∴ ���� = � 2 0 0
−1 4 0
3 1�
1.2.9 Matriz simétrica � Matriz quadrada (m=n) onde ��� = ��� .
Exemplos:
���� = 0 7
7 0 ∴ ���� = � 1 −4 0
−4 5 0
0 0 � ∴ ���� = �� � � �� � � �� � ℎ �� � � � �
NMF105 – Notas de aula 4
11..33 OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS BBÁÁSSIICCAASS CCOOMM MMAATTRRIIZZEESS
1.3.1 Adição � a soma de duas matrizes de mesma ordem (���� = ����) é representada
por “ A+B ”, cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de
A e B. Ou seja,
� + � = � ��� + ��� ��� + ��� ⋯ ��� + ������ + ��� ��� + ��� ⋯ ��� + ���⋮ ⋮ ⋱ ⋮��� + ��� ��� + ��� ⋯ ��� + ���
�
Exemplos:
1 −1
2 3 + 0 4
3 −3 = 1 3
5 0 ∴ �1 2
3 4
5 6
� + � 7 8
9 10
11 12
� = � 8 10
12 14
16 18
� ∴ �2 � −3� + � −1 0� = �2 + � − 1 −3�
Propriedades:
i) A + B = B + A (comutatividade)
ii) A + (B + C) = (A + B) + C (associatividade)
iii) A + 0 = A , onde “0” é uma matriz nula
1.3.2 Multiplicação � representada por “ k.A ”, é obtida multiplicando-se A por k. Ou seja,
�� = ����� ���� ⋯ �������� ���� ⋯ ����
⋮ ⋮ ⋱ ⋮���� ���� ⋯ ����
�
Exemplos:
����� = −3�� = � 0 −1 2
2 4 1
−1 3 −2
� �� = −3. � 0 −1 2
2 4 1
−1 3 −2
� = � 0 3 −6
−6 −12 −3
3 −9 6
�
NMF105 – Notas de aula 5
����� = ��� = � 0 −� 2
0 2� 1
−1 0 −2
� �� = �. � 0 −� 2
0 2� 1
−1 0 −2
� = � 0 −�� 2�0 2�� �−� 0 −2��
Propriedades:
i) k.(A + B) = kA + kB
ii) (k1 + k2).A = k1 A + k2 A
iii) 0.A = 0, onde o primeiro “ 0 ” é um escalar e o segundo é uma matriz nula
iv) k1 ( k2 A) = (k1 k2 )A
1.3.3 Transposição � representada por “ �� ” ou por “�� ”, é obtida quando as linhas de A
passam a ser colunas de B (= ��). Ou seja, ��� = ���.
Exemplos:
� = 0 −1 2 4 8
���
� � = � 0 2
−1 4 8����
� = � �2
−1 ���
� � = �� 2 −1����
Propriedades:
i) Uma matriz (A) é simétrica somente se � = ��
ii) ��� = ���(��)� = �
iii) (� + �)� = �� + ��
iv) (��)� = ���
NMF105 – Notas de aula 6
Exemplo 1: Sendo � = �−3 0 2
0 4 −6
−7 1 1
�, calcule 2�
Solução:
2. �−3 0 2
0 4 −6
−7 1 1
� = �2. !−3" 2.0 2.2
2.0 2.4 2. !−6"2. !−7" 2.1 2.1
� = � −6 0 4
0 8 −12
−14 2 2
� Conclusão: 2� = −6 0 4
0 8 −12−14 2 2
Exemplo 2: Sendo � = � 1 2 3
−2 0 4
−3 0 2
�, calcule 2�
Solução:
2. � 1 2 3
−2 0 4
−3 0 2
� = 2. �1 −2 −3
2 0 0
3 4 2
� = �2.1 2. !−2" 2. !−3"2.2 2.0 2.0
2.3 2.4 2.2
� = �2 −4 −6
4 0 0
6 8 4
�
Conclusão: 2� = �2 −4 −6
4 0 0
6 8 4
�
Exemplo 3: Dadas � = �−3 0 2
0 4 −6
−7 1 1
�, � = � 2 4 6
6 4 2
−3 −4 0
� e � = � 1 2 3
−2 0 4
−3 0 2
�, calcule X
para # − $% = & − $'
Solução 1:
( − 2� = � − 2� ⇨ ( = � − 2� + 2�
aproveitando os cálculos dos exemplos 1 e 2, tem-se,
NMF105 – Notas de aula 7
( = � 2 4 6
6 4 2
−3 −4 0
� + �−2 +4 +6
−4 0 0
−6 −8 −4
� + � −6 0 4
0 8 −12
−14 2 2
� ⇨
( = � 2 − 2 − 6 4 + 4 + 0 6 + 6 + 4
6 − 4 + 0 4 − 0 + 8 2 − 0 − 12
−3 − 6 − 14 −4 − 8 + 2 0 − 4 + 2
� ⇨
( = � −6 8 16
2 12 −10
−23 −10 −2
�
Solução 2:
De forma mais direta, tem-se ( − 2� = � − 2� ⇨ ( = � − 2� + 2�
( = � 2 4 6
6 4 2
−3 −4 0
� − 2. �1 −2 −3
2 0 0
3 4 2
� + 2. �−3 0 2
0 4 −6
−7 1 1
� ⇨
( = � 2 − 2.1 + 2. !−3" 4 − 2. !−2" + 2.0 6 − 2. !−3" + 2.2
6 − 2.2 + 2.0 4 − 2.0 + 2.4 2 − 2.0 + 2. !−6"−3 − 2.3 + 2. !−7" −4 − 2.4 + 2.1 0 − 2.2 + 2.1
� ⇨
( = � −6 8 16
2 12 −10
−23 −10 −2
�
Conclusão: ( − 2� = � − 2� ⇨ ( = � −6 8 16
2 12 −10
−23 −10 −2
�
NMF105 – Notas de aula 8
11..44 MMUULLTTIIPPLLIICCAAÇÇÃÃOO DDEE MMAATTRRIIZZEESS
O produto de duas matrizes A e B, denotado por “AB”, só é possível se o número de colunas de
A for igual ao número de linhas de B. Cada elemento resultante ij é obtido pelo produto da
linha i de A pela coluna j de B. Ou seja, se � = ��,
��� = ������ + ������ +⋯+ �� � � = ) ������
���
Assim, por exemplo, ����.���� = ���� ∴ ����.���� = ����
����.���� = ���� ∴ ����.���� = ����
Propriedades:
i) �� = �� = �
ii) �� ≠ ��(�*����+) iii) �!� + �" = �� + ��
iv) !� + �"� = �� + ��
v) !��"� = �(��) vi) (��) = ��
vii) 0.� = 0��. 0 = 0
Exemplo 1: Resolver ��, onde ���������
��� ��� ������ ��� ��� . ���� ������ ������ ���� = ,(������ + ������ + ������) (������ + ������ + ������)
(������ + ������ + ������) (������ + ������ + ������)-
Exemplo 2: Resolver � = ��, onde � = 1 3
2 −1 �� = 2 0 −4
5 −2 6
� = 1 3
2 −1 . 2 0 −4
5 −2 6 =
, (1.2 + 3.5) (1.0 + 3. (−2)) (1. !−4" + 3.6)
(2.2 + !−1". 5) (2.0 + !−1". (−2)) (2. !−4" + !−1". 6)- =
� � = 17 −6 14
−1 2 −14
NMF105 – Notas de aula 9
Dicas: é comum, enquanto não se pratica bastante o produto entre matrizes, que se faça confusão com a
posição certa de cada um dos elementos da matriz resultante. Para se minimizar erros por falta
de atenção, vale a pena realizar um “double check” usando a própria matriz resultante para
validação do resultado. Em primeiro lugar, deve-se checar se a dimensão da matriz está correta
(por exemplo, o produto entre matrizes ��.�� deve ter como resultado uma matriz com
dimensão “��”). Além disso, observe que, para o caso da matriz C do exemplo 2, os elementos
resultantes em C são definidos de acordo com a posição da linha da matriz A e a posição da
coluna da matriz B. Assim,
Exemplo 3: Encontrar x e y sabendo que �� = . � e � = � −4
2 −3� �� = �.� = � −4
2 −3� . � −4
2 −3� = , (�. � + (−4).2) �. !−4" + (−4). (−3�)(2. � + !−3�". 2) 2. (−4) + !−3�". (−3�)-
� �� = ,(�� − 8) (8�)(−4�) (9�� − 8)
-
Como . � = . 1 0
0 1 = , 0
0 -, então ,(�� − 8) (8�)(−4�) (9�� − 8)
- = , 0
0 -
Assim, . �� − 8 = 8� = 0
−4� = 0
9�� − 8 = / Resolvendo o sistema, encontra-se � = 0� = −8.
NMF105 – Notas de aula 10
Exemplo 4: Encontrar a movimentação financeira mensal (em valor presente) de uma carteira
de ações a partir do valor atual de cada ação e da tabela que mostra a
movimentação dessa carteira, em número de ações (exemplo dado no item 1.1).
Para isso, sabe-se que:
Ação Valor presente
PETR4 (Petrobras) R$33,80 VALE5 (Vale) R$42,74 USIM5 (Usiminas) R$46,15 GVTT3 (GVT) R$56,45
Ou seja, � = �200 262 180 85 0 167
0 0 343 203 150 110
50 0 162 215 400 300
0 160 40 0 420 480
� e � = �33,8042,74
46,15
56,45
�
(matriz A extraída do item 1.1)
Como ∄����.����, pode-se fazer ����� .����. Logo, ���� = ����
� .����
� = [ 33,80.200 + 0 + 46,15.50 + 0� 33,80.262 + 0 + 0 + 56,45.160�
33,80.180 + 42,74.343 + 46,15.162 + 56,45.40� 33,80.85 + 42,74.203 + 46,15.215 + 0� 0 + 42,74.150 + 46,15.400 + 56,45.420�
(33,80.167 + 42,74.110 + 46,15.300 + 56,45.480)]
� = �9067,50 17887,60 30478,12 21471,47 48580 51287�
Ou seja,
Movimentação (em valor presente)
Jan Fev Mar Abr Mai Jun
R$9.067,50 R$17.887,60 R$30.478,12 R$21.471,47 R$48.580,00 R$51.287,00
NMF105 – Notas de aula 11
11..55 OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS EELLEEMMEENNTTAARREESS CCOOMM LLIINNHHAASS DDEE MMAATTRRIIZZ Uma matriz elementar é obtida por meio de operações elementares nas linhas de uma matriz identidade.
i) Troca de ordem de duas linhas da matriz (exemplo 1);
ii) Multiplicação de uma linha da matriz por uma constante diferente de zero (exemplo 2);
iii) Substituição de uma linha da matriz por sua soma com outra linha multiplicada por uma constante diferente de zero (exemplo 3).
Exemplo 1: �� →� →� →
1 0 00 1 00 0 1
⇨ 01 ↔ 02 ⇨ 0 1 01 0 00 0 1
Exemplo 2: �� →� →� →
1 0 00 1 00 0 1
⇨ 03 = −403 ⇨ 1 0 00 1 00 0 −4
Exemplo 3: �� →� →� →
1 0 00 1 00 0 1
⇨ 02 = 02−203 ⇨ 1 0 00 1 −20 0 1
Exemplo 4: �1 0 0
0 1 0
0 0 1
� ⇢ 0� = 30�0� ↔ 0� ⇢ �3 0 0
0 0 1
0 1 0
� ⇢ 0� = 0�−40�0� = 0�+30� ⇢ � 3 0 0
9 0 1
−12 1 0
�
Exemplos de operações possíveis:
Exemplos de operações que NÃO são possíveis:
NMF105 – Notas de aula 12
11..66 MMAATTRRIIZZ IINNVVEERRSSAA
Uma matriz quadrada (m=n) A é chamada inversível se existe uma matriz B tal que �� = �� = � Nesse caso, a matriz inversa de A é indicada por ���. Ou seja, �.��� = ���.� = �.
Exemplo: encontrar a inversa da matriz � = 2 3
1 4
2 3
1 4 . � �� � = 1 0
0 1 � 2� + 3� 2� + 3�� + 4� � + 4� = 1 0
0 1 � .2� + 3� = 1� + 4� = 0
2� + 3� = 0� + 4� = 1
/ �
� = 451 ∴ � = −3
51 ∴ � = −151 ∴ � = 2
51
��� = � 451 −3
51−1
51 251 �
1.6.1 Cálculo da matriz inversa pelo método de Gau ss-Jordan
Se uma matriz A pode ser reduzida à matriz identidade por uma sequência de operação elementares com linhas, então A é inversível e a matriz inversa de A é obtida a partir da matriz identidade aplicando-se a mesma sequência de operações com linhas. � ⋮ �� → (� ⋮ ���)
Exemplo: Achar a inversa da matriz � = �−1 2 1
1 2 1
−1 2 3
�
� ⋮ �� = −1 2 1 ⋮ 1 0 01 2 1 ⋮ 0 1 0−1 2 3 ⋮ 0 0 1
⇢ 01 ↔ 02 ⇢ 1 2 1 ⋮ 0 1 0−1 2 1 ⋮ 1 0 0−1 2 3 ⋮ 0 0 1
⇢ 0� = 0� + 0� ⇢⇢ 0� = 0� + 0� ⇢ �1 2 1 ⋮ 0 1 0
0 4 2 ⋮ 1 1 0
0 4 4 ⋮ 0 1 1
�
⇢ 0� =1
40� ⇢ �1 2 1 ⋮ 0 1 0
0 1�
�⋮
�
�
�
�0
0 4 4 ⋮ 0 1 1
�
NMF105 – Notas de aula 13
⇢ 0� = 0� − 20� ⇢⇢ 0� = 0� − 40� ⇢ �1 0 0 ⋮ �
�
�
�
�0
0 1�
�⋮
�
�
�
�0
0 0 2 ⋮ −1 0 1
�
⇢ 0� =1
20� ⇢ 233
341 0 0 ⋮ ��
�
�
�0
0 1�
�⋮
�
�
�
�0
0 0 1 ⋮ ��
�0
�
�56667
⇢ 0� = 0� − 1
20� ⇢ 233
341 0 0 ⋮ ��
�
�
�0
0 1 0 ⋮�
�
�
�−
�
�
0 0 1 ⋮ ��
�0
�
� 56667
� ��� = ���
�
�
�0
�
�
�
�−�
�
��
�0 �
�
� Observação: Se |�| = 0, então A não é inversível. Além disso, lembre-se que |�| =
�
|���|. Essa
informação poderá ajudar a validar se o cálculo da matriz inversa foi realizado corretamente.
11..77 SSIISSTTEEMMAASS DDEE EEQQUUAAÇÇÕÕEESS LLIINNEEAARREESS 1.7.1 Definições básicas
Um sistema de equações lineares com “m” equações e “n” incógnitas é um conjunto de equações do tipo:
� ����� + ����� +⋯+ ����� = ������� + ����� +⋯+ ����� = ��⋮⋮⋮⋮����� + ����� +⋯+ ����� = ���
Pode ser escrita numa forma matricial:
NMF105 – Notas de aula 14
Sendo definida ���� ��� ⋯ ��� ����� ��� ⋯ ��� ��⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮��� ��� ⋯ ��� ��� como a “matriz ampliada do sistema”.
NMF105 – Notas de aula 15
Exemplo: 8 2�� + �� = 3�� − 4�� = −1
/ 2 1
1 −4 . ���� = 3
−1 � 2 1 3
1 −4 1
A . X = B matriz ampliada do sistema 1.7.2 Método de Gauss
Reduz por linha equivalência a matriz ampliada do sistema a uma matriz triangular. Pode ser dividido em duas etapas: Etapa1 : (eliminação direta) redução passo a passo do sistema levando, ou a uma equação
degenerada sem solução, ou a um sistema mais simples na forma triangular ou reduzida;
Etapa2 : (eliminação retroativa) substituições retroativas determinam a solução de novo sistema
mais simples.
Exemplo 1: Encontrar os valores de x, y e z a partir do sistema 9 � + 2 − 3� = 1
2� + 5 − 8� = 4
3� + 8 − 13� = 7
/
�1 2 −3 1
2 5 −8 4
3 8 −13 7
�⇢⇢
0� = 0� − 20� ⇢0� = 0� − 30� ⇢ �1 2 −3 1
0 1 −2 2
0 2 −4 4
� ⇢
0� = 0� − 20� ⇢ �1 2 −3 1
0 1 −2 2
0 0 0 0
� ⇢
� 8� + 2 − 3� = 1 − 2� = 2/
Logo, se : = ;, então x= −<− ; e � = $+ $;
(o sistema admite infinitas soluções)
NMF105 – Notas de aula 16
Exemplo 2: Encontrar os valores de x, y e z a partir do sistema 9 � + 2 − 4� = −4
2� + 5 − 9� = −10
3� − 2 + 3� = 11
/
�1 2 −4 −4
2 5 −9 −10
3 −2 3 11
�⇢⇢
0� = 0� − 20� ⇢0� = 0� − 30� ⇢ �1 2 −4 −4
0 1 −1 −2
0 −8 15 23
� ⇢
0� = 0� + 80� ⇢ �1 2 −4 −4
0 1 −1 −2
0 0 7 7
� ⇢
� 9� + 2 − 4� = −4 − � = −2
7� = 7
/
Logo, se : = =, então > = −= e � = $
1.7.3 Usando matriz inversa
Se �( = � admitir solução única (A for inversível), então: ���.�( = ���.� �
(����).( = ���.� � �( = ���.� �
� = �.
NMF105 – Notas de aula 17
LLIISSTTAA DDEE EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS 11
Operações básicas com matrizes
1. Determine x e y de modo que se tenha
++
=
43
21
43
32
y
yxyx.
2. Dadas
=1193
751A ,
=12108
642B e
−−=
741
510C , calcule:
a) CBAX ++=1 b) ( )TBAX −=2 c) CBAX 33 +−=
3. Dadas as matrizes
−−
=
=
=25
71 e
67
50 ,
32
21CBA determine a matriz X tal que
.CBAX −=+
4. As tabelas a seguir mostram as vendas dos carros GOL e PÁLIO, nas cores Azul, Branco e Verde, de uma agência automobilística, nos meses de Janeiro e Fevereiro de 2000.
Vendas do mês de Janeiro Vendas do mês de Fevereiro
Modelo
Cor
Gol
Pálio
Azul 20 45 Verde 44 23 Branco 61 36
Modelo
Cor
Gol
Pálio
Azul 37 24 Verde 21 17 Branco 76 53
Qual foi a venda bimestral realizada por esta loja em relação a esses carros?
Produto de matriz 5. Calcule os seguintes produtos:
a)
⋅
=32
74
01
10A
b)
⋅
−=
11
13
12
11
1732
0511B
NMF105 – Notas de aula 18
c)
−⋅
−=
154
321
43
22
11
C
d)
⋅
=021
100
741
430
022
110
D
6. Resolva as seguintes equações:
a)
−=
⋅
− 95
75
22
31
dc
ba b)
=
⋅
−−
3
9
21
12
y
x
7. Sendo 01
12 e
210
121
−=
−−
= BA , determine o valor de:
a) BAM T ⋅=1
b) BAM ⋅=2
c) 2
3 BM =
8. Uma indústria fabrica três modelos diferentes de televisores. A Tabela I mostra o número de
teclas e alto-falantes usados em cada aparelho A, B e C, e a Tabela II mostra a produção que a fábrica planeja fazer para os meses de Abril e Maio:
Tabela I Tabela II
Modelo
Componentes
A
B
C
Teclas 10 12 15 Alto-Falantes 2 2 4
Mês
Modelo
Abril
Maio
A 800 200 B 1000 1500 C 500 1000
Quantas teclas e quantos alto-falantes serão necessários para a produção dos dois meses?
9. Uma montadora de carretas de São Bernardo precisa de eixos e rodas para os três
modelos que produz. A Tabela I mostra a relação dos componentes para cada um dos modelos:
Modelo
Componentes A B C
Eixos 3 4 4 Rodas 4 6 8
A Tabela II mostra uma previsão de quantas carretas a fábrica deverá produzir em Julho e Agosto de 2000:
Mês
Modelo Julho Agosto
A 15 25 B 30 20 C 18 15
NMF105 – Notas de aula 19
Pergunta-se: a) Quantos eixos e quantas rodas são necessários em cada um dos meses para que a
montadora atinja produção desejada? b) Se a produção de Agosto se mantiver até Dezembro, quantas rodas a montadora
utilizará no segundo semestre?
10. Uma rede de de comunicação tem cinco locais com transmissores de potências distintas. Estabeleceu-se, na matriz abaixo, que se:
• 1=ija significa que a estação i pode transmitir diretamente à estação j;
• 0=ija significa que a estação i não alcança a estação j.
Observe que a diagonal principal é nula, significando que uma estação não transmite diretamente para si mesma.
=
01000
10100
01010
01101
11110
A
Se [ ]ijbA =2 , o elemento ∑=
=++++==5
12442 100100
kkk aab . Note que a única parcela
não nula veio de 1.13243 =aa . Isto significa que a estação 4 transmite para a estação 2
através de uma retransmissão pela estação 3, embora exista uma transmissão direta de 2 para 4. Com base nessas informações, responda os itens a seguir: a) Calcule 2A
b) Qual o siginificado de 213 =b ?
c) Discuta os significados dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1 de modo a
justificar a afirmação: “A matriz 2A representa o número de caminhos disponíveis para se ir de uma estação a outra com uma única retransmissão”.
d) Qual o significado das matrizes 2AA + , 3A e 32 AAA ++ ?
e) Se A fosse simétrica, o que significaria?
Sistemas de Equações Lineares
11. Uma refinaria de petróleo processa dois tipos de petróleo: com alto teor de enxofre e com baixo teor de enxofre. Cada tonelada de petróleo de baixo teor necessita de 5 minutos no setor de mistura e 4 minutos no setor de refinaria; já o petróleo com alto teor são necessários 4 minutos no setor de mistura e 2 minutos no setor de refinaria. Se o setor de mistura está disponível por 3 horas, e o setor de refinaria por 2 horas, quantas toneladas de cada tipo de combustível devem ser processadas de modo que os dois setores não fiquem ociosos?
NMF105 – Notas de aula 20
12. Um determinado produto é vendido em embalagens de 30g e 50g. Na embalagem de 30g,
o produto é comercializado a R$ 10,00 e na embalagem de 50g. a R$ 15,00. Gastando R$ 100,00, qual é a quantidade de cada tipo de embalagem para uma pessoa adquirir precisamente 310g desse produto?
13. Um vinhateiro deseja produzir 1000 litros de vinho tipo A de 15% de teor alcoólico misturando vinho tipo B de 10% de teor alcoólico com vinho C de 35%. Determine as quantidades de vinho B e C necessárias para se obter a mistura desejada.
14. Necessitando construir casas de madeira, alvenaria e mistas em uma propriedade, quanto será gasto de material em cada tipo de construção considerando as seguintes especificações:
tábuas Tijolos (mil) Telhas (mil) Tinta (litro) Mão de obra (dias) Madeira 200 1 5 80 12 Mista 10 10 5,5 60 9 Alvenaria 80 4 5 70 10
Tendo-se 2030 tábuas, 123 mil tijolos, 123.5 mil telhas, 1660 litros de tinta e 243 dias para construir, quantas construções de casa tipo poderão ser feitas?
15. Um estádio de futebol tem capacidade para 14.000 espectadores. Em dois jogos realizados em dois dias diferentes foram vendidos todos os lugares. No primeiro cobrou-se R$ 5,00 dos homens, R$ 3,00 das mulheres e R$ 2,00 das crianças. No segundo cobrou-se R$ 4,00 dos homens, R$ 2,00 das mulheres e R$ 1,00 das crianças. A renda do primeiro jogo foi de R$ 56.000,00 e a do segundo jogo de R$ 42.000,00. Quantos homens, mulheres e crianças, em grupos inteiros de mil (milhares), compareceram a cada jogo.
16. Determine os valores de a, de modo que o sistema
=++=++
=−+
23
332
1
zayx
azyx
zyx
tenha:
a) Nenhuma solução
b) Mais de uma solução
c) Uma única solução
17. Resolva os sistemas abaixo e classifique-os quanto ao número de soluções:
a)
−=+−=−=−
642
963
1284
yx
yx
yx
b)
=++=−−+−
=+−+−=+−+
0
02
032
022
543
5321
54321
5321
xxx
xxxx
xxxxx
xxxx
NMF105 – Notas de aula 21
18. Considere a matriz � = � 1 1 −1
−1 0 1
0 1 1
� a) Determine o polinômio ( ) xIAxp −= sendo 3I , a matriz identidade de ordem 3 e ∈x
ℜ
b) Verifique que ( ) 0=Ap (matriz nula)
c) Calcular a inversa de A .
19. Um litro de creme contém suco de fruta, leite e mel. A quantidade de leite é o dobro da
quantidade de suco de fruta, e a quantidade de mel é a nona parte da quantidade dos outros dois líquidos juntos. Determine a quantidade de suco de fruta que contém esse litro de creme.
20. Uma indústria produz três produtos, A , B e C, utilizando dois tipos de insumos, X e Y. Para
a manufatura de cada quilo de A são utilizados 1 grama do insumo X e 2 gramas do insumo Y; para cada quilo de B, 1 grama do insumo X e 1 grama do insumo Y e, para cada quilo de C, 1 grama do insumo X e 4 gramas do insumo Y. O preço da venda do quilo de cada um dos produtos A, B e C é de R$ 2,00, R$ 3,00 e R$5,00, respectivamente. Determine quantos quilos de cada um dos produtos A, B e C foram vendidos se:
a) Com a venda de toda a produção de A, B e C, manufaturada com 1 quilo de X e 2
quilos de Y, essa indústria arrecadou R$ 2.500,00.
b) Em outro período, com a venda de toda a produção de A, B e C, manufaturada com 1
quilo de X e 2,1 quilos de Y, essa indústria arrecadou R$ 2.900,00.
Matriz inversa
21. Sendo A e B matrizes inversíveis de mesma ordem, encontre X em função de A e B a partir
das seguintes equações matriciais:
a) ( ) BXA T = b) BAXAT =
22. Uma maneira de codificar uma mensagem é através de multilpicação por matrizes. Seja a associação das letras do alfabeto com números, segundo a correspondência abaixo:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
NMF105 – Notas de aula 22
Assumindo que a mensagem que queira enviar de forma codificada seja “PUXA VIDA”.
Pode-se formar uma matriz 3×3 como:
−ADI
VA
XUP
, que usando a correspondência
numérica fica:
=149
2201
242116
M . Agora, seja C uma matriz qualquer 3×3 inversível,
como por exemplo:
−=110
131
101
C . Multiplicando a matriz da mensagem M por C,
obtem-se
−=⋅
14135
23221
61875
CM . O que se transmitiria seria esta nova matriz CM ⋅ (na
prática, envia-se a cadeia de números ). Quem recebe a mensagem, decodifica-a através da multiplicação pela inversa de C, isto é, fazendo ( ( ) MCCM =⋅⋅ −1 ) e posterior transcrição dos números para letras. C é chamada de matriz chave para o código. a) Foi recebida a mensagem [1 16 12 -6 39 27 8 18 21]. Utilizando a mesma chave,
traduza a mensagem.
b) Foi recebida a mensagem [15 21 35 -1 11 8 -5 57 33]. Utilizando a mesma chave, traduza a mensagem.
23. Calcule, pelo método de sistema de equações e por Gauss-Jordan, as inversas das
seguintes matrizes:
=
=
−−
=
−−
=175
013
001
D
300
020
001
93
62 B
510
27CA
NMF105 – Notas de aula 23
RESPOSTAS
1. 01 == yx
2. 20112-
14-2-1- M
11
11
51
M302312
883321
=
−−−−
=
=M
3.
−=
50
40X
4.
Vendas do bimestre Modelo
Cor
Gol
Pálio
Azul 57 69 Verde 65 40 Branco 137 89
5. a)
74
32 b)
1330
514 c)
−−
−
131419
8610
273
d)
384
1682
121
6. a) 8
25=a :: 8
13−=b :: 8
5=c :: 8
23=d b) 57 −=−= yx
7. a)
10
23
12
M1
−−
= b) Não existe 2M c)
−−
=12
233M
8.
Mes
Componentes
Abril
Maio
Teclas 27.500 35.000 Altos-falantes 5.600 7.400
9. a)
Mes
Componentes
Julho
Agosto
Eixos 237 215 Rodas 384 340
b) 2084 rodas
NMF105 – Notas de aula 24
10. a)
=
10100
02010
11201
22220
13211
2A
b) 213 =c indica que existem 2 caminhos disponíveis para se ir da estação 1 a
estação 3 usando uma única retransmissão. c) Para discutir (representa o número de caminhos possíveis para se alcançar o
destino usando uma retransmissão). d) Para discutir (representa o número de caminhos possíveis para se alcançar o
destino, incluindo uma retransmissão ou incluindo até duas retransmissões). e) Se A fosse simétrica, significaria que se a estação i conseguisse transmitir
diretamente para a estação j, então necessariamente a estação j seria capaz de transmitir diretamente para a estação i.
11. 20 toneladas de cada tipo
12. 7 embalagens de 30g e 2 embalagens de 50g
13. 800 l do vinho B e 200 l do vinho C
14. 5 casas de madeira
7 casas mistas 12 casas de alvenaria
15. 8000 homens, 4000 mulheres e 2000 crianças ou
9000 homens, 1000 mulheres e 4000 crianças
16. a) 3−=a b) 2=a c) 2≠a e 3−≠a
17. a) Infinitas soluções: ay = e ax 23+=
b) Infinitas soluções: 01 =x , ax −=2 , ax −=3 , 04 =x e ax =5
18. a) ���� = −�� + 2�� + 1 b) 0)( =−=−= AAAIAAp
c) ��� = �−1 −2 1
1 1 0
−1 −1 1
�
19. 300 ml de suco de fruta
20. a) Foram vendidos 700 quilos de A, 200 quilos de B e 100 quilos de C; b) Foram vendidos 500 quilos de A, 300 quilos de B e 200 quilos de C.
NMF105 – Notas de aula 25
***********
MODELAGENS PARA AS QUESTÕES DE 11 A 20 (estrutura para se chegar às repostas)
11. �5� + 4 = 180
4� + 2 = 120
12. �30� + 50 = 310
10� + 15 = 100
13. �10� + 35 = 15(� + )� + = 1000
14.
� � �200� + 10 + 80� = 2030
1� + 10 + 4� = 123
5� + 5,5 + 5� = 123,5
80� + 60 + 70� = 1660
12� + 9 + 10� = 243
15. � � + + � = 14000
5� + 3 + 2� = 56000
4� + 2 + � = 42000
16. �1 1 −1 1
2 3 a 3
1 a 3 2
�
17. a) � 4 −8 12
3 −6 9
−2 4 −6
�
b) � 2 2 −1 0 1 0
1 −1 2 −3 1 0
−1 1 −2 0 −1 0
0 0 1 1 1 0
�
18. ---
19. � � = 2� =�
�(� + )� + + � = 1
20. a) �� + � + � = 1000(������������� �)2� + � + 4� = 2000(��������!���� �)2� + 3� + 5� = 2500(��������çã ) ��� = "##
#$ 7 5% 25% −3
5%25% −3
5% 25%
−45% 1
5% 15% &'''(
b) � � + � + � = 1000
2� + � + 4� = 2100
2� + 3� + 5� = 2900
***********
NMF105 – Notas de aula 26
21. a) 1−= ABX T
b) ( ) 11 −−= TABAX
22. ☺ ::
−−−−
=−
311
211
3121C
23.
=−
15
7
3
2152
31
1A :: 1−B não existe. 0=B . ::
=−
3
100
02
10
0011C ::
−−=−
1716
013
0011D
NMF105 – Notas de aula 27
NMF105 – ALGEBRA LINEAR Autor: Prof. Ronaldo Abrão Pimentel
UNIDADE 2 – DETERMINANTES Notas de Aula
22..11 DDEETTEERRMMIINNAANNTTEE O determinante de uma matriz quadrada nA , indicado por nADet ou nA é um número
associado a esta matriz, obtido mediante operações específicas com seus elementos, a saber:
1 - Se A é de ordem 1=n , então AADet = é o único elemento de A . Ou seja, se
[ ] 111111 aaAADetaA ===⇒=
Exemplo: [ ] 333 =⇒=A
2 - Se A é de ordem 2=n , então AADet = é a diferença entre o produto dos
elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Ou seja, se
211222112221
1211
2221
12112 .. aaaa
aa
aaAADet
aa
aaA −===⇒
=
Exemplo 1: ( ) 111.34.243
12
43
12−=⇒−−=⇒
−=⇒
−= MMMM
Exemplo 2: ( )basenAasenbbsenaAba
senbsenaA −=⇒−=⇒
= cos.cos.
coscos
3 - Se é de ordem n = 3 , ou seja,
⇒=⇒
=
333231
232221
131211
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
aaa
aaa
aaa
A
332112322311312213322113312312332211 ............ aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −−−++=
NMF105 – Notas de aula 28
Exemplo: ⇒
−−
−=
121
112
011
M
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1.2.112.11.1.02.2.01.1.11.1.1 −−−−−−−+−−+=M
6−=M ou seja, 6−=MDet .
Dispositivo prático de Sarrus:
Podemos obter o
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A = usando o dispositivo prático de Sarrus, que consiste no
seguinte: anotamos a matriz A , repetindo à direita a primeira e a segunda colunas, e somando os produtos indicados pelas setas contínuas e subtraindo os produtos indicados pelas retas pontilhadas, como no esquema abaixo:
A
a a a
a a a
a a a
A
a a a
a a a
a a a
a
a
a
a
a
a
= ⇒ =11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11
21
31
12
22
32
- - - + + + OBS: Este dispositivo só se aplica a determinantes de 3a ordem
Observe que o
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A = poderia ser calculado também da seguinte forma:
332112322311312213322113312312332211 ............ aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −−−++=
312213322113332112312312322311332211 ............ aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −+−+−=
( ) ( ) ( )312232211333213123123223332211 ...... aaaaaaaaaaaaaaaA −+−+−=
( ) ( ) ( )A a a a a a a a a a a a a a a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
= − − − + −11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31
21 22
31 32
22 23
32 33
21 23
31 33
. . . . . .1 24444 34444 1 24444 34444 1 2444 3444
Então, podemos dizer que:
434214342143421
13
3231
222113
12
3331
232112
11
3332
232211 ...
M
aa
aaa
M
aa
aaa
M
aa
aaaA +−= ou seja,
NMF105 – Notas de aula 29
131312121111 ... MaMaMaA +−= , onde o termo 11M foi conseguido calculando o determinante
obtido ao se eliminar a linha 1 e a coluna 1 de A , o termo 12M foi conseguido calculando o
determinante obtido ao se eliminar a linha 1 e a coluna 2 de A , e o termo 13M foi conseguido
calculando o determinante obtido ao se eliminar a linha 1 e a coluna 3 de A .
Veja que, com este artifício, um determinante que era de 3a ordem foi calculado através de operações com determinantes de 2a ordem. A este processo chamaremos por enquanto de Rebaixamento de Ordem. Exemplo: Calcular
( ) ⇒
−−−+
−−
−=⇒
−−
−=
21
10.3
21
20.2
22
21.1
221
210
321
AA
11.32.26 −=⇒−−= AA
Com isto já temos definidos determinantes para matrizes de ordem 3≤n . Para matrizes de ordem maior, necessitamos de alguns outros elementos que veremos a seguir: Veja que no exemplo anterior trabalhamos com os determinantes .e, 131211 MMM A estes
determinantes daremos o nome de MENOR COMPLEMENTAR. 22..22 MMEENNOORR CCOOMMPPLLEEMMEENNTTAARR Seja nA de ordem 2≥n e seja jia um elemento genérico de nA . Definiremos Menor
Complementar do elemento jia , denotado por jiM , como sendo o determinante da matriz que
se obtém suprimindo a linha i e a coluna j de nA .
Exemplo 1: Dada a matriz
−−
−=
221
210
321
3A , calcular 3211 e MM
11M é o determinante que se obtém suprimindo a linha 1 e a coluna 1 de 3A :
;422
211111 =⇒
−= MM
32M é o determinante que se obtém suprimindo a linha 3 e a coluna 2 de 3A :
220
313232 =⇒
−= MM
NMF105 – Notas de aula 30
Exemplo 2:
−−−
−=
1211
0103
1002
0011
Se 4X , calcular 34M .
34M é o determinante que se obtém suprimindo a linha 3 e a coluna 4 de 4X
Então 4
211
002
011
3434 −=⇒
−= MM
22..33 CCOOFFAATTOORR oouu CCOOMMPPLLEEMMEENNTTOO AALLGGÉÉBBRRIICCOO Seja a matriz nA de ordem jian e2≥ ∈ nA . Definimos como COFATOR de jia e indicamos
por jiC como sendo o número ( ) jiji
ji MC .1 +−=
Exemplo: Se
−−
−=
221
210
321
3A , calcular 3222 e CC :
( ) ( ) ( ) 132.121
31.1.1 2222
42222
2222 −=⇒−=⇒
−−
−=⇒−= + CCCMC
( ) ( ) 22.120
31.1.1 3232
53232
2332 −=⇒−=⇒
−−=⇒−= + CCCMC
Tendo conhecimento destes elementos podemos agora dar uma definição de determinante de qualquer ordem: 22..44 DDEEFFIINNIIÇÇÃÃOO DDEE DDEETTEERRMMIINNAANNTTEE ((GGEERRAALL)) Seja nA uma matriz quadrada de ordem n . Definimos o nADet da seguinte forma:
i) Se A n é de ordem n = 1, então [ ] 1111 aADetaA nn =⇒= ;
ii) Se A n é de ordem 2≥n , seu determinante é a soma dos produtos dos elementos
de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. (Teorema fundamental de Laplace) .
Método para se calcular o determinante segundo Lapl ace:
NMF105 – Notas de aula 31
Seja
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
1) Escolhemos uma fila qualquer (linha ou coluna);
2) Calculamos os cofatores de todos os elementos desta fila;
3) Calculamos a soma dos produtos destes elementos por seus respectivos cofatores.
Vamos escolher, por exemplo, a linha 1 e encontremos os cofatores de seus elementos:
( ) ( ) ( )3231
22213113
3331
23212112
3322
23221111 111
aa
aaC
aa
aaC
aa
aaC +++ −=−=−=
então 131312121111 ... CaCaCaDetA ++=
ou seja 3231
222113
3331
232112
3322
232211 ..
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaaADet +−=
A este método de cálculo de determinante chamamos de Método de Expansão por cofatores em termos da linha i (ou coluna j). Veja que este método nos permite calcular um determinante de qualquer ordem pois podemos fazer o rebaixamento da ordem dos determinantes a serem calculados quantas vezes forem necessárias.
Exemplo: Seja
−−−
=
1001
0101
1220
2001
4A . Calcular 4ADet
Como podemos expandir o ADet em termos de qualquer linha ou coluna, é conveniente escolhermos a linha ou coluna que tenha o maior número de zeros, para nos facilitar o cálculo. A coluna 2 é a mais indicada neste exemplo. Como a coluna 2 é formada pelos elementos 42322212 e,, aaaa , então teremos que encontrar os cofatores
42322212 e,, CCCC :
( ) ( )101
011
201
1
101
011
120
1 2222
2112 −−=−
−−= ++ CC
NMF105 – Notas de aula 32
( ) ( )011
120
201
1
101
120
201
1 2442
2332
−−−=−−= ++ CC
Então 42423232222212124 .... CaCaCaCaADet +++=
Mas, no nosso exemplo, 00,2,0 42322212 ==−== aeaaa , logo
( ) ( ) ( )
( ) ( )011
120
201
1.0
101
120
201
1.0
101
011
201
1.2
101
011
120
1.0
2423
22214
−−−+−−+
−−−+−−
−=
++
++ADet
101
011
201
200
101
011
201
.20 44 −−=⇒++−−= DetAADet
Agora, ou calculamos o determinante de terceira ordem usando Sarrus ou então poderemos fazer nova expansão e trabalhar com determinante de segunda ordem, que é o que faremos: Tomemos novamente a coluna 2 (que é a que contem mais zeros)
( ) ( ) ( )
−−+−+
−−−= +++
01
21.1.0
11
21.1.1
11
01.1.02 232221
4ADet
( ) 221.2011
2102 444 =⇒−−=⇒
++−= ADetADetADet
Exercícios:
1) Calcule 4ADet usando agora a linha 3 e confira que vai dar o mesmo resultado.
2) Calcule
1211
0103
1002
0011
−−−
−=B Resp. 6−=B
NMF105 – Notas de aula 33
22..55 PPRROOPPRRIIEEDDAADDEESS DDOOSS DDEETTEERRMMIINNAANNTTEESS
1) O determinante de uma matriz é igual ao determinante da transposta desta matriz ( )tAA =
2) Se uma matriz tem uma fila (linha ou coluna) toda nula, seu determinante é zero. 3) Se multiplicarmos toda uma fila de uma matriz por um escalar, o seu determinante fica
multiplicado por este escalar. 4) Se trocarmos a ordem de duas filas paralelas de uma matriz, o seu determinante muda de
sinal. 5) Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais, seu determinante é nulo. 6) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, seu determinante é nulo. 7) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos de sua diagonal
principal. 8) Teorema de Binet : O determinante de um produto de duas matrizes é igual ao produto de
seus determinantes. ( )nnnn BABA .. =
9) Teorema de Jacobi : Adicionando-se a uma fila de uma matriz nA uma outra fila paralela,
previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova matriz nB tal que
.DetBDetA =
Exemplo: 2
212
624
221
=−
−−
Se substituirmos a linha 2 pela soma dela com a linha 1, prèviamente multiplicada por -4, encontraremos uma outra matriz cujo determinante será também igual a 2 . Veja:
2
212
260
221
4
212
624
221
122 =−
−−
⇒−=⇒
−−−
LLL e mais:
2
250
260
221
2
212
260
221
133 =−
−−
⇒+=⇒
−−
−LLL
Obs: Esta propriedade facilita muito o cálculo de determinantes pelo Teorema
Fundamental de Laplace. 10) Se uma matriz quadrada A tem uma fila que é Combinação Linear de outras filas
paralelas, então o 0=ADet .
NMF105 – Notas de aula 34
Exemplo: 0
645
914
132
=⇒
−= DetAA
pois a coluna 3 é igual à coluna 1 multiplicada por 2 mais a coluna 2 multiplicada por -1. Ou seja,
( ) 213 .1.2 CCC −+=
22..66 CCÁÁLLCCUULLOO DDEE DDEETTEERRMMIINNAANNTTEESS ((RREEGGRRAA DDEE CCHHIIÓÓ)) Utilizando os teoremas de Laplace, Jacobi e outras propriedades. 1o passo: Escolhemos uma coluna qualquer do determinante, preferivelmente uma que tenha o maior número de zeros e, se possível, que contenha o número 1. (No ex. abaixo, escolhemos a coluna 2). 2o passo: Utilizando a linha que contém este número 1(no ex., a linha 3) e, aplicando o teorema de Jacobi, fazemos operações com as outras linhas de modo a zerar todos os elementos da coluna escolhida (no ex., a coluna 2), exceto o elemento da linha utilizada (no ex., a linha 3). 3o passo: Aplicamos o teorema de Laplace, para rebaixar a ordem do determinante. Executamos estes processos até conseguirmos um determinante de 3a ordem e então o resolvemos pelo método de Sarrus, ou então fazemos o rebaixamento até conseguirmos um determinante de 2a ordem e o calculamos. Exemplo 1:
( ) =−−−=−
−−=
+−=+=
−
−−
+
232
642
141
.1.1
2302
2213
6402
1401
3
2302
2213
0237
3212
23232
131
lLL
LLL
( ) ( ) 40400.105
84.1.1
050
840
141
2
2
232
642
14111
313
212 −=+−=−
−−=−
−=+−=
+=−−−= +
LLL
LLL
NMF105 – Notas de aula 35
Fazer:
4 1 2 0
3 1 0 2
5 3 2 2
1 0 2 1
= Resp. = 30
Obs: Se, por acaso, não houver nenhum zero nem o número 1, não tem importância, conseguimos este número 1 (neste caso é aconselhável que seja no elemento a11) através de
Jacobi ou de qualquer outra das propriedades dos determinantes. Exemplo 2:
=
−
=
+=+=+=
−−−−−
−−−=
+−=
−−−
−−
1250
9380
25110
3421
2
2
4231
3542
4372
3421.1
4232
3542
4375
3423
414
313
212
121
LLL
LLL
LLLCCC
( ) ( ) =−−
−−=
−−−=
+−=+−=
−=
+−=
−−=
33
57.1.1
330
570
251
1
2
121
932
2512
125
938
2511
.11 2
313
212
1212
LLL
LLL
CCC
( ) 36152133
57=+=
−−−
=
REGRA DE CHIÓ SIMPLIFICADA Usando operações elementares, consiga o número 1 na posição a11
1 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
21 12 22 21 13 23 21 1 2
31 12 32 31 13 33 31 1 3
1 12 2 1 13 3 1
a a a
a a a a
a a a a
a a a a
m
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a
m
m
m
m m m mm
m m
m m
m m m m m
....
....
....
....
. . .... .
. . .... .
. . .... .M M M M M
1 244444 344444
M M M M
matriz de ordem
=
− + − + − +− + − + − +
− + − + − 1
1
m mma
m
+
−matriz de ordem1 2444444444444 3444444444444
NMF105 – Notas de aula 36
JUSTIFICATIVA:
1 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
2 21 1 2
3 31 1 3
1 1
a a a
a a a a
a a a a
a a a a
L a L L
L a L L
L a L L
m
m
m
m
m m m mm m m m
....
....
....
....
.
.
.
M M M M M M
1 244444444444 344444444444
= − += − +
= − +
⇒
matriz de ordem
⇒
− + − + − +− + − + − +
− + − + − +
⇒
1
0
0
0
12 13 1
21 12 22 21 13 23 21 1 2
31 12 32 31 13 33 31 1 3
1 12 2 1 13 3 1 1
a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
m
m
m m
m m
m m m m m m mm
... .
. . ... . .
. . ... . .
. . ... . .
.
M M M M M
1 244444444444444 344444444444444matriz de ordem
⇒
− + − + − +− + − + − +
− + − + − +
−
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
m
m m
m m
m m m m m m mm
21 12 22 21 13 23 21 1 2
31 12 32 31 13 33 31 1 3
1 12 2 1 13 3 1 1
1
. . .... .
. . .... .
. . .... .
M M M M
1 24444444444444 34444444444444matriz de ordem
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
Ex
L L
L L
:
. . . .
. . . .
. . . .
. .
−−
− −−− − −
==
= −
−−− −
−− − −
= −
− − − + − − + − − + − − +− − − + − − + − − + − − + −− − + − − + − + − +− − + − − + −
2 1 2 3 1
1 2 0 2 3
1 0 1 2 2
2 2 3 0 0
0 3 2 0 4
1 2 0 2 3
2 1 2 3 1
1 0 1 2 2
2 2 3 0 0
0 3 2 0 4
2 2 1 2 0 2 2 2 3 2 3 1
1 2 0 1 0 1 1 2 2 1 3 2
2 2 2 20 3 22 0 23 0
0 2 3 00
1 2
2 1
( ) ( )2 02 0 03 4− + − + −. .
=
NMF105 – Notas de aula 37
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= −
−−
− −− − −
= − +
= −
−−
− −− − −
= −− − + − − − + − − +− + − − + − − + −
− − + − − − − + − − + −
3 2 7 7
2 1 4 1
2 3 4 6
3 2 0 4
2 1 0 1 5
2 1 4 1
2 3 4 6
3 2 0 4
2 0 1 2 1 4 2 5 1
20 3 2 1 4 25 6
3 0 2 3 1 0 3 5 4
1 2 1L L L. . .
. . .
. . .
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )= − − −
− −= −
− + − − + −− − + − − − +
= −− −
= − − + =1 2 11
3 2 16
2 3 11
3 2 2 311 16
2 2 3 2 11 11
8 49
1 33264 49 215
. .
. .
NMF105 – Notas de aula 38
LLIISSTTAA DDEE EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS 22
Determinantes 1. Calcule os determinantes das matrizes abaixo:
−−=
=
=
−−=
152
201
231
D
110
010
011
511
713
2
12
23CBA
2. Calcule os determinantes das matrizes abaixo, utilizando o teorema de Laplace.
−=
=
d
c
b
a
A
0000
2000
3200
1310
54321
B
3301-
0400
2-1-05
1243
3. Determine x tal que 0
113
122
1
=+x
x
xx
4. Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos da diagonal principal.
Sabendo que o traço vale 9 e o determinante 15, calcule os elementos x e y da matriz:
y
zx
00
0
321
5. Sejam A, B e C, matrizes reais de ordem 3, satisfazendo a seguintes relações: AB=C-1,
B=2A. Se o determinante da matriz C vale 32, qual é o módulo do valor do determinante da matriz A?
NMF105 – Notas de aula 39
RESPOSTAS
1. 25=A :: 12−=B :: 1=C :: 9−=D
2. 208−=A :: abcdB =
3. 21=x
4. 53 == yx ou vice-versa
5. =Adet 1/16
NMF105 – Notas de aula 40
NMF105 – ALGEBRA LINEAR Prof. Emerson Costa (responsável pela disciplina) Prof. Fabio Lacerda (flacerda@fumec.br)
UNIDADE 3 – ESPAÇOS VETORIAIS Notas de Aula
Trata-se de uma ferramenta poderosa para estender nossa visualização geométrica a uma larga classe de importantes problemas matemáticos, nos quais normalmente não poderíamos contar com nossa intuição geométrica. Assim, parte-se do princípio que podemos visualizar os vetores �� e �� como flechas, o que nos permite desenhar ou formar figuras mentais que nos ajudam a resolver problemas. Como os axiomas que definem os nossos novos tipos de vetores serão baseados nas propriedades dos vetores de �� e ��, os novos vetores terão muitas propriedades familiares. Consequentemente, quando quisermos resolver um problema envolvendo nossos novos tipos de vetores, como matrizes ou funções, poderemos utilizar como ponto de apoio uma visualização do problema correspondente em �� ou �� (Anton, 2001). 33..11 EESSPPAAÇÇOOSS VVEETTOORRIIAAIISS RREEAAIISS “Visa estender o conceito de vetor extraindo as propriedades mais importantes dos vetores usuais e transformando-as em axiomas. Assim, quando um conjunto de objetos satisfizer estes axiomas, estes objetos automaticamente têm as mais importantes propriedades dos vetores usuais, o que torna razoável considerar estes novos objetos como novos tipos de vetores.” (Anton, 2001). Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações de adição e multiplicação por escalar, isto é: ∀�, � ∈ �, �+ � ∈ �
∀ ∈ � e ∀� ∈ �, � ∈ � Onde � e � são elementos do conjunto V e podem ser do tipo:
• Vetores do �� • Matrizes ���� • Polinômios �� (polinômios de graus ≤ n) • Números complexos (espaço vetorial complexo)
O conjunto V é chamado espaço vetorial se forem verificados os seguintes axiomas:
A) Em relação à adição ∀�, �, ∈ �, tem-se ��) ��+ �� +� = �+ (�+�) associativa da adição ��) �+ � = �+ � cumulativa
��) ∃0 ∈ �, ∀� ∈ �,�+ � = �+ � = � elemento neutro ��) ∀� ∈ �, ∃�−�� ∈ �,�+ �−�� = � elemento simétrico
NMF105 – Notas de aula 41
M) Em relação à multiplicação por escalar
∀�, �, ∈ � e ∀,� ∈ �, tem-se ��) (�)� = (��) ��) �+ ��� = �+ ��
��) (�+ �) = �+ �
��) �� = �
Propriedades dos Espaços Vetoriais
a) Existe um único vetor nulo em V (elemento neutro da adição); b) Cada vetor � ∈ � admite apenas um simétrico �−�� ∈ �; c) Para quaisquer �, �, ∈ �, se � + = � + , então � = �; d) Qualquer que seja � ∈ �, tem-se: −�−�� = �, isto é, o oposto de −� é �; e) Quaisquer que sejam �, � ∈ �, existe um e somente um x, tal que � + � = �; f) Qualquer que seja � ∈ �,0� = 0; g) Qualquer que seja � ∈ �,0 = 0; h) � = 0, implica = 0 ou � = 0; i) Qualquer que seja � ∈ �,�−1�� = −�; j) Quaisquer que sejam � ∈ �, ∈ �, �−�� = �−�� = −���;
Exemplo 1: O conjunto � = �� = ���,��/�,� ∈ � é um espaço vetorial com as operações de
adição e multiplicação por escalar assim definidas: ����,��� + ���,��� = (�� + ��,�� + ��)����,��� = ����,���� � Essas operações são denominadas operações usuais. Para verificar os oito axiomas de espaço vetorial (condição necessária), tomemos os vetores genéricos (sempre) = ���,���,� = ���,����� = ���,��� ��)� + ��+� = ����,���+ ���,����+ ���,���
= ��� + ��,�� + ���+ ���,��� = ���� + ��) + ��, (�� + ���+ ��� = ��� + ��� + ��),�� + (�� + ���� = (��,��) + ��� + ��,�� + ��� = (��,��) + ���� + ���, ��� + ���� = + �� +��
��) + � = ���,��� + ���,��� = ��� + ��,�� + ��� = ��� + ��,�� + ��� = ���,���+ ���,��� = � +
NMF105 – Notas de aula 42
��)∃0 = �0,0� ∈ ��, ∀ ∈ ��, + 0 = ���,���+ �0,0� = ��� + 0,�� + 0� = ���,��� =
��)∀ = ���,��� ∈ ��, ∃�− � = �−��, −��� ∈ ��, + �− � = ���,���+ �−��, −��� = ��� − ��,�� − ��� = �0,0� = 0
Em relação à multiplicação, ∀�,� ∈ �, tem-se: ��)���� = �������,��� = �������, ������� = �������,������� = �����,���� = ������,���� = ��� �
��)�� + �� = �� + �����,��� = ��� + ����, �� + ����� = ���� + ���,��� + ���� = ����,����+ ����,���� = ����,���+ ����,��� = � + � ��)�� + �� = �����,���+ ���,���� = ���� + ��,�� + ��� = ����� + ���,���� + ���� = ���� + ���,��� + ���� = ����,����+ ����,���� = ����,���+ ����,��� = � + �� ��)1 = 1���,��� = �1��, 1��� = ���,��� = Exemplo 2: O conjunto � = �� = ���,��/�,� ∈ � é um espaço vetorial com as operações de
adição e multiplicação por escalar assim definidas: ����,��� + ���,��� = (�� + ��,�� + ��)����,��� = ����,������� ∈ � � Como a adição aqui definida é uma operação usual, todos os axiomas (como visto) serão verificados (verdadeiros). Logo, não devem se verificar alguns (ou algum) dos axiomas da multiplicação. Sejam = ���,���, � = ���,��� vetores de V e �,� ∈ �
NMF105 – Notas de aula 43
��)���� = �������,��� = �������,��� = �������,��� = �����,��� = ������,���� = ��� � ��)�� + �� = � + � = ����,���+ ����,��� = ����,���+ ����,��� = ���� + ���,�� + ��� = ��� + ����, 2��� ≠ � + �
Logo, não é espaço vetorial.
33..22 SSUUBBEESSPPAAÇÇOOSS VVEETTOORRIIAAIISS RREEAAIISS “É possível para um espaço vetorial estar contido em outro espaço vetorial.” (Anton, 2001). Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não vazio de V. O subconjunto S é um subespaço vetorial de V se forem satisfeitas as seguintes condições:
I. ∀�, � ∈ � � � + � ∈ � (adição) II. ∀ ∈ �, ∀� ∈ � � �� ∈ � (multiplicação por escalar)
Todo espaço � ≠ �0 admite, pelo menos, dois subespaços:
- o conjunto {0}, chamado subespaço zero ou subespaço nulo; - e o próprio espaço vetorial V.
Esses dois são os subespaços triviais de V. Os demais são denominados subespaços próprios de V.
NMF105 – Notas de aula 44
Exemplo 1: Identificar quais são os subespaços triviais e próprios de ��.
Solução:
Subespaços triviais do ��: ��0,0�� e ��; Subespaços próprios do ��: retas que passam pela origem do sistema de
referência.
W é um subespaço vetorial (subespaço próprio) do ��
Note que ��� ∈ � e: � + � ∈ � �� ∈ � Exemplo 2: Identificar quais são os subespaços triviais e próprios de �.
Solução:
Subespaços triviais do �: ��0,0,0�� e �; Subespaços próprios do �: retas e planos que passam pela origem do sistema
de referência.
NMF105 – Notas de aula 45
Exemplo 3: Verificar se W é subespaço vetorial de � sabendo que
� = ��0, ��, �, ��, ��; �� ∈ ��. Ou seja, W é o conjunto dos vetores de �, cuja primeira coordenada é nula.
Solução:
Verificação das condições (i) e (ii) i) � = �0, ��, �, ��, �� e v= �0, ��, �, ��, �� ∈�
Então � + � = �0, �� + ��, � + �, �� + ��, � + ��, que ainda pertence a W, pois tem a primeira coordenada nula.
ii) �� = �0, ���, ��, ���, ��� ∈ �, pois a primeira coordenada é nula para todo � ∈ �.
Conclusão: W é um subespaço vetorial de �.
Exemplo 4: Se � = ��, verificar se W é um subespaço vetorial de �, onde
� = ���, �� ∈ ��/� = 4 − 2��.
Solução:
Verificação das condições (i) e (ii) i) Se � = �1,2� e v= �3, −2�, então � + � = �4,0� �
Conclusão: W não é um subespaço vetorial de �.
NMF105 – Notas de aula 46
Exemplo 5: Se � = ����, verificar se W é um subespaço vetorial de V, sendo W o
subconjunto das matrizes triangulares superiores.
Solução:
Conclusão: W é um subespaço vetorial de �, pois a soma de matrizes triangulares superiores ainda é uma matriz triangular superior, assim como o produto de uma matriz triangular superior por um escalar.
33..33 CCOOMMBBIINNAAÇÇÃÃOO LLIINNEEAARR Definição: Um vetor � é uma Combinação Linear dos vetores � ,��, ⋯ ,�� se � pode ser
escrito na forma
� = ���� + ���� +⋯+ ���� ,
onde � , ��, ⋯ , �� são escalares.
Exemplo 1: Sendo o espaço vetorial � dos polinômios de grau ≤ 2, expressar o polinômio � = 7�� + 11� − 26 como Combinação Linear dos polinômios: �� = 5�� − 3� + 2 e �� = −2�� + 5� − 8
Solução: � = ��� + ���
7�� + 11� − 26 = ��5�� − 3� + 2�+ �−2�� + 5� − 8� = �5��� − 3�� + 2�� + �−2 �� + 5 � − 8 � = 5��� − 3�� + 2� − 2 �� + 5 � − 8 = �5� − 2 ��� + �−3� + 5 �� + �2� − 8 �
comparando os polinômios termo a termo, tem-se:
! 5� − 2 = 7
−3� + 5 = 11
2� − 8 = −26
� � � = 3 = 4
Conclusão: " = #"� + $"�
Observação: Para se encontrar os valores dos escalares a e b, também pode-se resolver as equações usando o método de Gauss (ver 1.7.2), ou escalonamento, através da matriz ampliada do sistema. Esta alternativa mostra-se mais indicada para sistemas mais complexos. Assim:
! 5� − 2 = 7
−3� + 5 = 11
2� − 8 = −26
� � % 5 −2 7
−3 5 11
2 −8 −26
&
NMF105 – Notas de aula 47
% 5 −2 7
−3 5 11
2 −8 −26
& ⇢ '� =�
�'� ⇢ % 5 −2 7
−3 5 11
1 −4 −13
& ⇢ '� ↔ '� ⇢
% 1 −4 −13
−3 5 11
5 −2 7
& ⇢ '� = '� + 3'� ⇢⇢ '� = '� − 5'� ⇢ %1 −4 −13
0 −7 −28
0 18 72
& ⇢ '� = −1
7'� ⇢
⇢ '� =1
18'� ⇢
%1 −4 −13
0 1 4
0 1 4
& ⇢ '� = '� + 4'� ⇢ %1 0 3
0 1 4
0 1 4
& = !� = 3 = 4 = 4
� � � = 3 = 4
� " = #"� + $"�
Exemplo 2: Considere os vetores � = �1,2, −1� e � = �6,4,2� em ��. Verifique se (� = �9,2,7� e (� = �4,−1,8� são Combinações Lineares de � e �.
Solução: (� = �� + �� �9,2,7� = ��1,2, −1�+ �6,4,2�
= ��, 2�, −��+ �6 , 4 , 2 � = �� + 6 , 2� + 4 , −� + 2 �
comparando os vetores termo a termo, tem-se:
! � + 6 = 9
2� + 4 = 2
−� + 2 = 7
� � % 1 6 9
2 4 2
−1 2 7
&
% 1 6 9
2 4 2
−1 2 7
& ⇢ '� = '� − 2'� ⇢⇢ '� = '� + '� ⇢ %1 6 9
0 −8 −16
0 8 16
& ⇢ '� = −�
�'� ⇢⇢ '� =
�
�'� ⇢
%1 6 9
0 1 2
0 1 2
& ⇢ '� = '� − 6'� ⇢ %1 0 −3
0 1 2
0 1 2
& = !� = −3 = 2 = 2
� � � = −3 = 2
Conclusão 1: (� = −#� + )� ((� é uma Combinação Linear de � e �)
(� = �� + �� �4,−1,8� = ��1,2, −1�+ �6,4,2� = ��, 2�, −��+ �6 , 4 , 2 � = �� + 6 , 2� + 4 , −� + 2 �
comparando os vetores termo a termo, tem-se:
! � + 6 = 4
2� + 4 = −1
−� + 2 = 8
� � % 1 6 4
2 4 −1
−1 2 8
&
NMF105 – Notas de aula 48
% 1 6 4
2 4 −1
−1 2 8
& ⇢ '� = '� − 2'� ⇢⇢ '� = '� + '� ⇢ %1 6 9
0 −8 −9
0 8 12
& ⇢ '� = −�
�'� ⇢⇢ '� =
�
�'� ⇢
*1 6 9
0 1 98+
0 1 128+ , ⇢ '� = '� − '� ⇢ *1 6 9
0 1 98+
0 0 38+ , � 0 = 3
8+ ‼! � Inconsistente
Conclusão2: Como não existe solução, (� não é uma Combinação Linear de � e �.
Exemplo 3: Considere os vetores �� = �1,2,1�, �� = �1,0,2� e �� = �1,1,0� em ��. Encontre a
Combinação Linear de ��, �� e �� que resulte no vetor ( = �2,1,5�.
Solução: ( = ��� + ��� + -�� �2,1,5� = ��1,2,1�+ �1,0,2�+ ��1,1,0� �2,1,5� = ��, 2�,�� + � , 0,2 �+ ��, �, 0� �2,1,5� = �� + + �, 2� + �,� + 2 � comparando os vetores termo a termo, tem-se:
!� + + � = 2
2� + � = 1� + 2 = 5
� � %1 1 1 2
2 0 1 1
1 2 0 5
&
%1 1 1 2
2 0 1 1
1 2 0 5
& ⇢ '� = '� − 2'� ⇢⇢ '� = '� − '� ⇢ %1 1 1 2
0 −2 −1 −3
0 1 −1 3
& ⇢ '� ↔ '� ⇢
%1 1 1 2
0 1 −1 3
0 −2 −1 −3
& ⇢ '� = '� − '� ⇢⇢ '� = '� + 2'� ⇢ %1 0 2 −1
0 1 −1 3
0 0 −3 3
& ⇢ '� = −�
�'� ⇢
%1 0 2 −1
0 1 −1 3
0 0 1 −1
& ⇢ '� = '� − 2'� ⇢⇢ '� = '� + '� ⇢ %1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 −1
& = ! � = 1 = 2� = −1
� Conclusão: ( = �� + )�� − ��.
NMF105 – Notas de aula 49
Exemplo 4: Escreva a matriz . = /3 1
1 −10 como Combinação Linear das matrizes
� = /1 1
1 00 :: 1 = /0 0
1 10 :: 2 = /0 2
0 −10
Solução:
. = 3� + 41 + 52 /3 1
1 −10 = � /1 1
1 00+ � /0 0
1 10+ 6 /0 2
0 −10
/3 1
1 −10 = /� �� 0
0+ 70 0� �8+ /0 260 −60 /3 1
1 −10 = 7 � � + 26� + � � − 6 8
comparando os vetores termo a termo, tem-se:
9 � = 3� + 26 = 1� + � = 1� − 6 = −1
� � *1 0 0 3
1 0 2 1
1 1 0 1
0 1 −1 −1
,
*1 0 0 3
1 0 2 1
1 1 0 1
0 1 −1 −1
, ⇢ '� = '� − '� ⇢⇢ '� = '� − '� ⇢ *1 0 0 3
0 0 2 −2
0 1 0 −2
0 1 −1 −1
, ⇢ '� =�
�'� ⇢⇢ '� = −'� + '� ⇢
*1 0 0 3
0 0 1 −1
0 1 0 −2
0 0 1 −1
, ⇢ '� ↔ '� ⇢ *1 0 0 3
0 1 0 −2
0 0 1 −1
0 0 1 −1
, = ! � = 3� = −26 = −1
� Conclusão: . = 3� − 21 − 2
Exemplo 5: Escrever o vetor 0 ∈ �� como Combinação Linear dos vetores:
a) �� = �1,3� e �� = �2,6� b) �� = �1,3� e �� = �2,5�
Solução: a) �0,0� = ��1,3�+ �2,6�
= �1�, 3�� + �2 , 6 � = �1� + 2 , 3� + 6 �
comparando os vetores termo a termo, tem-se: : � + 2 = 0
3� + 6 = 0� � /1 2 0
3 6 00
/1 2 0
3 6 00 ⇢ '� = '� − 3'� ⇢ /1 2 0
0 0 00 = �� + 2 = 0 �
Conclusão: ��� + �� = 0∀� = 2
NMF105 – Notas de aula 50
b) �0,0� = ��1,3�+ �2,5�
= �1�, 3�� + �2 , 5 � = �1� + 2 , 3� + 5 �
comparando os vetores termo a termo, tem-se: : � + 2 = 0
3� + 5 = 0� � /1 2 0
3 5 00
/1 2 0
3 5 00 ⇢ '� = '� − 3'� ⇢ /1 2 0
0 −1 00 ⇢ '� = '� + 2'� ⇢⇢ '� = −'� ⇢
/1 0 0
0 1 00 = :� = 0 = 0
� Conclusão: 0�� + 0�� = 0
Exemplo 6: Expressar o vetor � = �−1,4,−4,6� ∈ �� como Combinação Linear dos vetores �� = �3,−3,1,0�, �� = �0,1, −1,2� e �� = �1,−1,0,0�.
Solução: � = ��� + ��� + -�� �−1,4,−4,6� = ��3,−3,1,0�+ �0,1, −1,2�+ ��1,−1,0,0� = ��3,−3,1,0�+ �0,1,−1,2�+ ��1,−1,0,0�
= �3�, −3�,�, 0� + �0, , − , 2 �+ ��, −�, 0,0� = �3� + �, −3� + − �,� − , 2 �
comparando os vetores termo a termo, tem-se:
9 3� + � = −1
−3� + − � = 4� − = −4
2 = 6
� � * 3 0 1 −1
−3 1 −1 4
1 −1 0 −4
0 2 0 6
,
* 3 0 1 −1
−3 1 −1 4
1 −1 0 −4
0 2 0 6
, ⇢ '� ↔ '� ⇢ * 1 −1 0 −4
−3 1 −1 4
3 0 1 −1
0 2 0 6
, ⇢ '� = '� + 3'� ⇢⇢ '� = '� − 3'� ⇢
⇢ '� =�
�'� ⇢
*1 −1 0 −4
0 −2 −1 −8
0 3 1 11
0 1 0 3
, ⇢ '� = '� + '� ⇢⇢ '� = '� + 2'� ⇢
⇢ '� = '� − 3'� ⇢ *1 0 0 −1
0 0 −1 −2
0 0 1 2
0 1 0 3
, ⇢ '� = −'� ⇢⇢ '� ↔ '� ⇢
*1 0 0 −1
0 1 0 3
0 0 1 2
0 0 1 2
, = !� = −1 = 3� = 2
� Conclusão: -1� = −�� + 3�� + 2��
NMF105 – Notas de aula 51
33..44 EESSPPAAÇÇOOSS GGEERRAADDOOSS Se ��,��,⋯ ,�� são vetores em um espaço vetorial �, então:
(a) O conjunto � de todas as combinações lineares de ��,��, ⋯ ,�� é um subespaço de �.
(b) � é o menor subespaço de � que contém ��,��,⋯ ,��, no seguinte sentido: qualquer subespaço de � que contém ��,��,⋯ ,�� também contém �.
Definição: Se � = �� , ��, ⋯ , ��� é um conjunto de vetores de um espaço vetorial �, então o
subespaço � de � que consiste de todas as combinações lineares dos vetores em ; é chamado de espaço gerado por � , ��, ⋯ , �� e nós dizemos que os vetores � , ��, ⋯ , �� geram �. Para indicar que � é o espaço gerado pelos vetores do conjunto � = �� , ��, ⋯ , ���, nós escrevemos
� = !"��� ou � = !"�� , ��, ⋯ , ��� Exemplo 1: Verificar se o conjunto ��2,1,1�, �−1,0,2�, �1,2,1� gera o espaço ��.
Solução:
Para isso deve-se provar que todo vetor ��,�, 6� de �� pode ser escrito na forma ��2,1,1�+ �−1,0,2�+ ��1,2,1�. Assim, ��,�, 6� = ��2,1,1�+ �−1,0,2�+ ��1,2,1�
= �2�, 1�, 1��+ �−1 , 0 , 2 �+ �1�, 2�, 1�� = �2� − 1 + 1�, 1� + 0 + 2�, 1� + 2 + 1��
Comparando os vetores termo a termo, tem-se,
!2� − 1 + 1� = �1� + 0 + 2� = �1� + 2 + 1� = 6 � �� %2 −1 1
1 0 2
1 2 1
& . <� �= = <��6= Para que o sistema tenha solução única a primeira matriz (dos coeficientes) deve ser inversível, isto é, seu determinante deve ser diferente de zero. Calculando,
>2 −1 1
1 0 2
1 2 1
> = −7
Como esse determinante é diferente de zero, o sistema possui solução única. Ou seja, existem valores de �, e � que satisfazem a igualdade ��,�, 6� = ��2,1,1�+ �−1,0,2�+ ��1,2,1�. Conclusão: O sistema possui solução única porque o determinante da matriz dos
coeficientes é diferente de zero. Logo, todos os vetores de �� podem ser escritos como combinação linear dos vetores dados.
NMF105 – Notas de aula 52
Exemplo 2: Verificar se o conjunto ��2,1,3�, �3,1,2�, �5,2,5� gera o espaço ��.
Solução:
Para isso deve-se provar que todo vetor ��,�, 6� de �� pode ser escrito na forma ��2,1,3�+ �3,1,2�+ ��5,2,5�. Assim, ��,�, 6� = ��2,1,3�+ �3,1,2�+ ��5,2,5�
= �2�, 1�, 3��+ �3 , 1 , 2 �+ �5�, 2�, 5�� = �2� + 3 + 5�, 1� + 1 + 2�, 3� + 2 + 5��
Comparando os vetores termo a termo, tem-se,
!2� + 3 + 5� = �1� + 1 + 2� = �3� + 2 + 5� = 6 � �� %2 3 5
1 1 2
3 2 5
& . <� �= = <��6= Calculando o determinante da matriz de coeficientes, tem-se
>2 3 5
1 1 2
3 2 5
> = 0
Como este determinante é zero, o conjunto não gera ��. Neste caso, o conjunto irá gerar um subconjunto de ��. Para determinar tal subconjunto, pode-se utilizar escalonamento da matriz ampliada do sistema. Assim,
%2 3 5 �1 1 2 �3 2 5 6& ⇢ '� ↔ '� ⇢ %1 1 2 �
2 3 5 �3 2 5 6& ⇢ '� = '� − 2'� ⇢⇢ '� = '� − 3'� ⇢
%1 1 2 �0 1 1 � − 2�0 −1 −1 6 − 3�& ⇢ '� = '� + '� ⇢ %1 1 2 �
0 1 1 � − 2�0 0 0 � − 5� + 6&
Para que o sistema não seja inconsistente, é necessário que � − 5� + 6 = 0. Conclusão: O sistema só terá validade para vetores ��,�, 6� que satisfaçam a
relação � − 5� + 6 = 0. Ou seja, ���, �, 6� ∈ ��/� − 5� + 6 = 0. Exemplo 3: Mostrar que �� = �1,1,1�, �� = �0,1,1� e �� = �0,0,1� geram o ��.
Solução: ��,�, 6� = ��� + ��� + -�� ��,�, 6� = ��1,1,1�+ �0,1,1�+ ��0,0,1�
= ��,�,�� + �0, , �+ �0,0, �� = ��,� + ,� + + ��
Comparando os vetores termo a termo, tem-se,
NMF105 – Notas de aula 53
? � = �� + = �� + + � = 6� � %1 0 0 �1 1 0 �1 1 1 #
&
%1 0 0 �1 1 0 �1 1 1 #
& ⇢ '� = '� − '� ⇢⇢ '� = '� − '� ⇢ %1 0 0 �0 1 0 � − �0 0 1 #− �
& = ! � = � = � − �� = 6 − � � Conclusão: ��,�, 6� = 3�� + �4 − 3��� + �5 − 4���
Exemplo 4: Seja o Espaço Vetorial ���. Determine os subespaços gerados por: �� = /−1 0
0 10, �� = /1 −1
0 00 e �� = /0 1
1 00
Solução: ��� = /� �6 @0 = ��� + ��� + -��
/� �6 @0 = � /−1 0
0 10+ /1 −1
0 00+ � /0 1
1 00
= /−� 0
0 �0+ / − 0 0
0+ /0 �� 00
= /−� + − + �� � 0
Comparando os vetores termo a termo, tem-se,
9−� + = �− + � = �� = 6$ = %
� � *−1 1 0 �0 −1 1 �0 0 1 #1 0 0 %
,
*−1 1 0 �0 −1 1 �0 0 1 #1 0 0 %
, ⇢ '� ↔ '� ⇢ * 1 0 0 @0 −1 1 �0 0 1 #−1 1 0 �
, ⇢ '� = −'� + '� ⇢⇢ '� = '� + '� ⇢
*1 0 0 @0 1 0 6 − �0 0 1 #0 1 0 �+ %
, ⇢ '� = '� − '� ⇢ *1 0 0 @0 1 0 6 − �0 0 1 #0 0 0 �+ �− #+ %
,
Conclusão: ; = :/� �6 @0/�+ �− #+ % = 0A
NMF105 – Notas de aula 54
Exemplo 5: Determinar o subespaço de � gerado pelos vetores B� = �� + 2�� − � + 3 e B� = −2�� − �� + 3� + 2
Solução: B = ��� + �� + �� + C = DB� + EB� ��� + �� + �� + C = ���� + 2�� − � + 3� + ��−2�� − �� + 3� + 2� = ��� + 2��� − �� + 3� − 2��� − ��� + 3�� + 2� = ��� − 2��� + 2��� − ��� − �� + 3�� + 3� + 2� = �� − 2���� + �2� − ���� + �−� + 3��� + �3� + 2�� Comparando os vetores termo a termo, tem-se,
9 � − 2� = �2� − � = −� + 3� = �3� + 2� = &
� � * 1 −2 �2 −1 −1 3 �3 2 C,
* 1 −2 �2 −1 −1 3 �3 2 C,
⇢ '� = '� − 2'� ⇢⇢ '� = '� + '� ⇢⇢ '� = '� − 3'� ⇢ *1 −2 �
0 3 − 2�0 1 � + �0 8 C − 3�,
⇢ '� = '� − 3'� ⇢⇢ '� = '� − 8'� ⇢⇢ '� = '� + 2'� ⇢
*1 0 3� + 2�0 0 −5� + − 3�0 1 � + �0 0 −11� − 8� + C, � −5� + − 3� = 0
−11� − 8� + C = 0
Conclusão: ; = ����� + �� + �� + C�/ = 5� + 3��C = 11� + 8�
NMF105 – Notas de aula 55
33..55 DDEEPPEENNDDÊÊNNCCIIAA EE IINNDDEEPPEENNDDÊÊNNCCIIAA LLIINNEEAARR
Definição: Se ' = �� ,��, ⋯ ,��� é um conjunto não vazio de vetores, então a equação vetorial
���� + ���� +⋯+ ���� = 0
admite pelo menos a solução trivial � = �� = ⋯ = �� = 0.
Se esta é a única solução, então o conjunto � é chamado linearmente independente. Se existem outras soluções, então � é um conjunto linearmente dependente.
Teorema 1
Um conjunto � de dois ou mais vetores é:
(a) Linearmente dependente se, e somente se, pelo menos um dos vetores de � pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores de �.
(b) Linearmente independente se, e somente se, nenhum vetor em � pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores de �.
Teorema 2
(a) Um conjunto finito de vetores que contém o vetor nulo é linearmente dependente.
(b) Um conjunto de exatamente dois vetores é linearmente independente se, e somente se, nenhum dos dois vetores é um múltiplo escalar do outro.
Teorema 3
Seja � = �� , ��, ⋯ , ��� um conjunto de vetores em ��. Se " > (, então � é linearmente dependente.
NMF105 – Notas de aula 56
Interpretação Geométrica da Independência Linear em F� e F. Para dois vetores em �� e ��: os vetores são linearmente independentes se, e somente se, os
vetores não estão numa mesma reta quando colocados com seus pontos iniciais na origem.
Linearmente dependente Linearmente independente
Linearmente dependente
NMF105 – Notas de aula 57
Para três vetores em ��: os vetores são linearmente independentes se, e somente se, os
vetores não estão nem um mesmo plano quando colocados com seus pontos iniciais na origem.
Linearmente dependente Linearmente independente
Linearmente dependente
NMF105 – Notas de aula 58
Exemplo 1: Determine se os vetores �� = �1,0,0�, �� = �0,1,0� e �� = �0,0,1� em �� são ou não
linearmente dependentes.
Solução: 3�� + 4�� + 5�� = 0 �0,0,0� = ��1,0,0�+ ��0,1,0�+ 6�0,0,1� = ��, 0,0�+ �0,�, 0�+ �0,0, 6� = ��,�, 6�
comparando os vetores termo a termo, tem-se:
!� = 0� = 06 = 0
� Conclusão: O conjunto de vetores ; = ���,��,�� é linearmente independente
porque o sistema admite apenas a solução trivial (� = � = 6 = 0). Exemplo 2: Determine se os vetores B�, B� e B� sao ou não linearmente dependentes, onde: B� = �� + � + 2 :: B� = 2�� + � :: B� = 3�� + 2� + 2
Solução 1:
�B� + �B� + -B� = 0 ���� + � + 2�+ �2�� + ��+ ��3�� + 2� + 2� = 0 ���� + �� + 2�� + �2 �� + ��+ �3��� + 2�� + 2�� = 0 ��� + �� + 2� + 2 �� + � + 3��� + 2�� + 2� = 0 �� + 2 + 3���� + �� + + 2��� + �2� + 2�� = 0 comparando os vetores termo a termo, tem-se:
!� + 2 + 3� = 0� + + 2� = 0
2� + 2� = 0
� � %1 2 3 0
1 1 2 0
2 0 2 0
&
%1 2 3 0
1 1 2 0
2 0 2 0
& ⇢ '� = '� − '� ⇢⇢ '� = '� − 2'� ⇢ %1 2 3 0
0 −1 −1 0
0 −4 −4 0
& ⇢ '� = −'� ⇢
%1 2 3 0
0 1 1 0
0 −4 −4 0
& ⇢ '� = '� + 4'� ⇢ %1 2 3 0
0 1 1 0
0 0 0 0
& = :� + 2 + 3� = 0 + � = 0�
Conclusão: O conjunto de vetores ; = �B�,B�,B� é linearmente dependente porque o sistema admite infinitas soluções (duas equações e três incognitas). Ou seja, o sistema admite outra solução além da solução trivial (� = = � = 0).
NMF105 – Notas de aula 59
Solução 2:
De acordo com o “teorema 2” os vetores são linearmente dependentes e um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Assim:
B� = �B� + �B� �� + � + 2 = ��2�� + ��+ �3�� + 2� + 2� = �2��� + ���+ �3 �� + 2 � + 2 � = 2��� + �� + 3 �� + 2 � + 2 = �2� + 3 ��� + �� + 2 �� + �2 �
comparando os vetores termo a termo, tem-se:
!2� + 3 = 1� + 2 = 1
2 = 2
� � resolvendo diretamente, tem-se :� = −1 = 1�
Conclusão: Como B� é uma combinação linear de B� e B� (B� = −B� + B�) então o conjunto de vetores ; = �B�,B�,B� é linearmente dependente.
Exemplo 3: Determine se os vetores �� = �1,−2,1�, �� = �2,1,−1� e �� = �7,−4,1� em �� são
ou não linearmente dependentes.
Solução 1: 3�� + 4�� + 5�� = 0 �0,0,0� = ��1,−2,1�+ ��2,1,−1�+ 6�7,−4,1� = ��, −2�, ��+ �2�,�, −��+ �76, −46, 6� = �� + 2� + 76, −2� + � − 46, � − � + 6�
comparando os vetores termo a termo, tem-se:
! � + 2� + 76 = 0
−2� + � − 46 = 0� − � + 6 = 0
� � % 1 2 7 0
−2 1 −4 0
1 −1 1 0
&
% 1 2 7 0
−2 1 −4 0
1 −1 1 0
& ⇢ '� = '� + 2'� ⇢⇢ '� = '� − '� ⇢ %1 2 7 0
0 5 10 0
0 −3 −6 0
& ⇢ '� =�
�'� ⇢
%1 2 7 0
0 1 2 0
0 −3 −6 0
& ⇢ '� = '� + 3'� ⇢ %1 2 7 0
0 1 2 0
0 0 0 0
& = �� + 2� + 76 = 0� + 26 = 0�
Conclusão: O conjunto de vetores ; = ���,��,�� é linearmente dependente
porque o sistema admite infinitas soluções (duas equações e três incognitas). Ou seja, o sistema admite outra solução além da solução trivial (� = � = 6 = 0).
NMF105 – Notas de aula 60
Solução 2:
De acordo com o “teorema 2” os vetores são linearmente dependentes e um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Assim:
�� = ��� + ��� �1,−2,1� = ��2,1, −1�+ �7,−4,1� = �2�,�, −��+ �7 , −4 , � = �2� + 7 ,� − 4 , −� + � comparando os vetores termo a termo, tem-se:
!2� + 7 = 1� − 4 = −2
−� + = 1
� � % 2 7 1
1 −4 −2
−1 1 1
&
% 2 7 1
1 −4 −2
−1 1 1
& ⇢ '� ↔ '� ⇢ % 1 −4 −2
2 7 1
−1 1 1
& ⇢ '� = '� − 2'� ⇢⇢ '� = '� + '� ⇢
%1 −4 −2
0 15 5
0 −3 −1
& ⇢ '� =�
��'� ⇢ G1 −4 −2
0 1 13+
0 −3 −1
H ⇢ '� = '� + 4'� ⇢⇢ '� = '� + 3'� ⇢
*1 0 −23+
0 1 13+
0 0 0
, = !� = −23+ = 13+ �
Conclusão: Como �� é uma combinação linear de �� e �� (�� =
��
��� + �
���)
então o conjunto de vetores ; = ���,��,�� é linearmente dependente.
Exemplo 4: Seja � o espaço vetorial das matrizes 2�2 sobre �. Determine se as matrizes �,1,2 ∈ � são linearmente dependentes, onde: � = /1 1
1 10 :: 1 = /1 0
0 10 :: 2 = /1 1
0 00
Solução: 3� + 41 + 52 = 0
� /1 1
1 10+ � /1 0
0 10+ 6 /1 1
0 00 = /0 0
0 00
/� �� �0+ 7� 0
0 �8+ /6 60 0
0 = /0 0
0 00
/� + � + 6 � + 6� � + �0 = /0 0
0 00
NMF105 – Notas de aula 61
comparando os vetores termo a termo, tem-se:
9� + � + 6 = 0� + 6 = 0� = 0� + � = 0
� � resolvendo diretamente, tem-se !� = 0� = 0
# = 0�
Conclusão: As matrizes �,1 e 2 são linearmente independentes porque o sistema admite apenas a solução trivial (� = � = 6 = 0).
Exemplo 5: Determine se os vetores �� = �2,−1,0,3�, �� = �1,2,5,−1� e �� = �7,−1,5,8� em ��
são ou não linearmente dependentes.
Solução: 3�� + 4�� + 5�� = 0 �0,0,0� = ��2,−1,0,3�+ ��1,2,5,−1�+ 6�7,−1,5,8� = �2�, −�, 0,3��+ ��, 2�, 5�, −��+ �76, −6, 56, 86� = �2� + � + 76, −� + 2� − 6, 5� + 56, 3� − � + 86�
comparando os vetores termo a termo, tem-se:
92� + � + 76 = 0
−� + 2� − 6 = 0
5� + 56 = 0
3� − � + 86 = 0
� � * 2 1 7 0
−1 2 −1 0
0 5 5 0
3 −1 8 0
,
* 2 1 7 0
−1 2 −1 0
0 5 5 0
3 −1 8 0
, ⇢ '� ↔ '� ⇢ *−1 2 −1 0
2 1 7 0
0 5 5 0
3 −1 8 0
, ⇢ '� = −'� ⇢
*1 −2 1 0
2 1 7 0
0 5 5 0
3 −1 8 0
, ⇢ '� = '� − 2'� ⇢⇢ '� = '� − 3'� ⇢ *1 −2 1 0
0 5 5 0
0 5 5 0
0 5 5 0
, ⇢ '� =�
�'� ⇢
*1 −2 1 0
0 1 1 0
0 5 5 0
0 5 5 0
, ⇢ '� = '� − 5'� ⇢⇢ '� = '� − 5'� ⇢ *1 −2 1 0
0 5 5 0
0 0 0 0
0 0 0 0
, = �� − 2� + 6 = 0� + 6 = 0�
Conclusão: O conjunto de vetores ; = ���,��,�� é linearmente dependente
porque o sistema admite infinitas soluções. Ou seja, o sistema admite outra solução além da solução trivial (� = � = 6 = 0).
NMF105 – Notas de aula 62
33..66 BBAASSEESS EE DDIIMMEENNSSÃÃOO
3.6.1 Base de um Espaço Vetorial
Em geral, tenta-se usar a mesma escala em cada eixo e com a mesma unidade de distância em cada eixo.
(exemplo) No entanto, isto nem sempre é prático ou adequado: pode ser necessário o uso de escalas diferentes, ou unidades distintas num mesmo sistema de coordenadas. Por exemplo, a representação de grandezas físicas, como o tempo – em horas – em um dos eixos e temperatura – em centenas de graus Celsius – no outro eixo.
(exemplo) Assim, quando um sistema de coordenadas é especificado por um conjunto de vetores base, é o sentido dos vetores de base que define o sentido positivo nos eixos coordenados e o comprimento dos vetores de base é que estabelece a escala de medida.
NMF105 – Notas de aula 63
(exemplos)
Além disso, embora os eixos coordenados perpendiculares sejam os mais comuns, pode-se usar quaisquer duas retas não-paralelas para definir um sistema de coordenadas no plano.
(exemplo) De forma prática, interessa encontrar, dentro de um espaço vetorial �, um conjunto finito de vetores onde qualquer outro vetor de � seja uma combinação linear deles. Ou seja, a base de um espaço vetorial.
Definição: Se� é um espaço vetorial qualquer e ' = �� ,��, ⋯ ,��� é um conjunto de vetores em �, dizemos que � é uma base de � se valerem as seguintes condições:
(a) � é linearmente independente;
(b) � gera �.
Teorema
Se � = �� , ��, ⋯ , ��� é uma base de um espaço vetorial �, então cada vetor em � pode ser expresso da forma � = ) � + )��� +⋯+ )��� de uma única maneira.
NMF105 – Notas de aula 64
Notas: [1] Bases canônicas
Os vetores e� = �1,0� e e� = �0,1� formam uma base para R�; os vetores e� = �1,0,0�, e� = �0,1,0� e e� = �0,0,1� formam uma base para R�; em geral, os vetores e�,e�,...,e formam uma base para R . Cada um desses vetores é chamado de base natural ou base canônica para R�, R� e R respectivamente.
[2] Coordenadas em relação a uma base
Se S = �v�, v�, … , v é uma base de um espaço vetorial � e se � = ) � + )��� +⋯+ )��� é a expressão de um vetor � em termos desta base �, então os escalares ) , )�, … , )� são chamados de coordenadas de � em relação à base ;. Assim, o vetor �)1, )2, … , )� é chamado vetor de coordenadas de " em relação a I e é denotado por ���� = �) , )�, … , )��. Em muitos casos é conveniente listar as coordenadas como entradas de uma matriz (�1. Assim, é definido J�K� como a matriz de coordenadas de � em relação a S, onde
J�K� = *)1)2⋮)�,
Exemplo 1: Sejam �� = �1,2,1�, �� = �2,9,0� e �� = �3,3,4�. Mostre que o conjunto I =�"�,"�,"� é uma base de ��.
Solução:
(a) Para mostrar que � é linearmente independente, então 3�� + 4�� + 5�� = 0 só deve admitir a solução trivial � = � = 6 = 0. Logo, �0,0,0� = ��1,2,1�+ ��2,9,0�+ 6�3,3,4� = ��, 2�, ��+ �2�, 9�, 0�+ �36, 36, 46� = �� + 2� + 36, 2� + 9� + 36, � + 46� comparando os vetores termo a termo, tem-se:
! � + 2� + 36 = 0
2� + 9� + 36 = 0� + 46 = 0
� � %1 2 3 0
2 9 3 0
1 0 4 0
& (matriz ampliada)
Obs.: Uma forma mais prática de se chegar na matriz ampliada seria usando
a matriz de coordenadas. Dessa forma,
JJ��K�J��K�J��K�K. <��6= = %00
0
& �
NMF105 – Notas de aula 65
A matriz ampliada então seria: %1 2 3 0
2 9 3 0
1 0 4 0
& (b) Para mostrar que um dado vetor � pode ser expresso como uma combinação
de �, tem-se: 3�� + 4�� + 5�� = � ���,��,��� = ��1,2,1�+ ��2,9,0�+ 6�3,3,4� = ��, 2�, ��+ �2�, 9�, 0�+ �36, 36, 46� = �� + 2� + 36, 2� + 9� + 36, � + 46�
comparando os vetores termo a termo, tem-se:
! � + 2� + 36 = ��2� + 9� + 36 = ��� + 46 = �� � � %1 2 3 ��
2 9 3 ��1 0 4 ��&
Observa-se que os sistemas (a) e (b) possuem a mesma matriz de coordenadas. Assim, pode-se provar que � é linearmente independente e que gera �� demonstrando que a matriz de coeficientes de (a) e (b) possui determinante diferente de zero. Logo, sendo a matriz dos coeficientes
� = %1 2 3
2 9 3
1 0 4
& então |�| = >1 2 3
2 9 3
1 0 4
> = −1
Conclusão: Como o determinante da matriz de coeficientes é diferente de zero,
então o conjunto I = �"�,"�,"� é uma base de ��.
Prova de (a):
%1 2 3 0
2 9 3 0
1 0 4 0
& ⇢ '� = '� − 2'� ⇢⇢ '� = '� − '� ⇢ %1 2 3 0
0 5 −3 0
0 −2 1 0
& ⇢ '� =�
�'� ⇢
G1 2 3 0
0 1 −35+ 0
0 −2 1 0
H ⇢ '� = '� − 2'� ⇢⇢ '� = '� + 2'� ⇢ MN
NO1 0 215+ 0
0 1 −35+ 0
0 0 −15+ 0PQ
QR ⇢ '� =��
�'� ⇢
*1 0 215+ 0
0 1 −35+ 0
0 0 1 0
, ⇢ '� = '� − ��
�'� ⇢⇢ '� = '� + �
�'� ⇢ %1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
& = !� = 0� = 06 = 0
� O conjunto de vetores ; = ���,��,�� é linearmente independente porque o sistema admite apenas a solução trivial (� = � = 6 = 0).
NMF105 – Notas de aula 66
Exemplo 2: Para que valores de � ∈ � o conjunto ; = ��1,��, ��, 4� é base de �� ?
Solução:
Para mostrar que � é linearmente independente, e ao mesmo tempo mostrar que um dado vetor � pode ser expresso como uma combinação de �, deve-se demonstrar que a matriz de coeficientes possui determinante diferente de zero. Para se obter a matriz de coeficientes, pode-se fazer “3�� + 4�� = �” ou “3�� +4�� = 0”. ���,��� = ��1,��+ ���, 4�
= ��,���+ ���, 4�� = �� + ��, �� + 4��
comparando os vetores termo a termo, tem-se: � � + �� = ���� + 4� = �� � � �S = 1 � /1 �� 4
0 . /��0 = /����0 � = /1 �� 4
0 � |�| ≠ 0 � T1 �� 4T ≠ 0 � 4 − �� ≠ 0 � �� − 4 ≠ 0
� ≠ ��±√������
�� � � ≠
±���.�.����
�.� � � ≠ ±2
Conclusão: � ≠ ±2 Exemplo 3: Sejam �� = �1,2,1�, �� = �2,9,0� e �� = �3,3,4�, onde o conjunto I = �"�,"�,"� é
uma base de ��.
a) Encontre o vetor de coordenadas de � = �5,−1,9� em relação a ; 1.
b) Encontre o vetor � em �� cujo vetor de coordenadas em relação à base ; é J�K� = J−132K�.
Solução:
a) 3�� + 4�� + 5�� = � �5,−1,9� = ��1,2,1�+ ��2,9,0�+ 6�3,3,4� = ��, 2�, ��+ �2�, 9�, 0�+ �36, 36, 46� = �� + 2� + 36, 2� + 9� + 36, � + 46� comparando os vetores termo a termo, tem-se:
! � + 2� + 36 = 5
2� + 9� + 36 = −1� + 46 = 9
� � %1 2 3 5
2 9 3 −1
1 0 4 9
&
1 Como já mencionado, um vetor de coordenadas de , denotado por ��, especifica os valores que devem ser multiplicados aos vetores da base de � = �, �, … , �� de forma que o vetor correspondente possa ser expresso como combinação linear desses vetores. Ou seja, = ��� + ��� +⋯+ ���, onde ��, ��, … , �� são as coordenadas de .
NMF105 – Notas de aula 67
Obs.: Já tratado no Exemplo 1, uma forma mais prática de se chegar na matriz ampliada seria usando a matriz de coordenadas.
JJ��K�J��K�J��K�K. <��6= = � � %1 2 3 5
2 9 3 −1
1 0 4 9
&
%1 2 3 5
2 9 3 −1
1 0 4 9
& ⇢ '� = '� − 2'� ⇢⇢ '� = '� − '� ⇢ %1 2 3 5
0 5 −3 −11
0 −2 1 4
& ⇢ '� =�
�'� ⇢
G1 2 3 5
0 1 −35+ −11
5+0 −2 1 4
H ⇢ '� = '� − 2'� ⇢⇢ '� = '� + 2'� ⇢ MNNO1 0 21
5+ 475+
0 1 −35+ −11
5+0 0 −1
5+ −25+ PQQR
⇢ '� =��
�'� ⇢ *1 0 21
5+ 475+
0 1 −35+ −11
5+0 0 1 2
, ⇢ '� = '� − ��
�'� ⇢⇢ '� = '� + �
�'� ⇢
%1 0 0 1
0 1 0 −1
0 0 1 2
& = ! � = 1� = −16 = 2
�
Conclusão: J�K� = % 1
−1
2
&.
b) 3�� + 4�� + 5�� = �, onde J�K� = %−132
&. Ou seja, � = −1,� = 3 e 6 = 2.
" = −U�� + #�� + )�� � = −1�1,2,1�+ 3�2,9,0�+ 2�3,3,4� � = �−1,−2,−1�+ �6,27,0�+ �6,6,8� � = �11,31,7�
Conclusão: � = �11,31,7�.
Exemplo 4: Seja I = �"�,"�,"�,"� uma base para ��, onde �� = �1,1,0,0�, �� = �2,0,1,0�, �� = �0,1,2,−1� e �� = �0,1, −1,0�. Se � = �1,2,−6,2�, calcule J�K�.
Solução:
���� + ���� + ���� + ���� = �
NMF105 – Notas de aula 68
JJ��K�J��K�J��K�J��K�K. *��������, = � � *1 2 0 0 1
1 0 1 1 2
0 1 2 −1 −6
0 0 −1 0 2
,
*1 2 0 0 1
1 0 1 1 2
0 1 2 −1 −6
0 0 −1 0 2
, ⇢ '� = '� − '� ⇢ *1 2 0 0 1
0 −2 1 1 1
0 1 2 −1 −6
0 0 −1 0 2
,
⇢ '� ↔ '� ⇢ *1 2 0 0 1
0 1 2 −1 −6
0 −2 1 1 1
0 0 −1 0 2
, ⇢ '� = '� − 2'� ⇢⇢ '� = '� + 2'� ⇢⇢ '� = −'� ⇢
*1 0 −4 2 13
0 1 2 −1 −6
0 0 5 −1 −11
0 0 1 0 −2
, ⇢ '� ↔ '� ⇢ *1 0 −4 2 13
0 1 2 −1 −6
0 0 1 0 −2
0 0 5 −1 −11
,
⇢ '� = '� + 4'� ⇢⇢ '� = '� − 2'� ⇢⇢ '� = '� − 5'� ⇢ *1 0 0 2 5
0 1 0 −1 −2
0 0 1 0 −2
0 0 0 −1 −1
, ⇢ '� = −'� ⇢
*1 0 0 2 5
0 1 0 −1 −2
0 0 1 0 −2
0 0 0 1 1
, ⇢ '� = '� − 2'� ⇢⇢ '� = '� + '� ⇢ *1 0 0 0 3
0 1 0 0 −1
0 0 1 0 −2
0 0 0 1 1
,
= 9 �� = 3�� = −1�� = −2�� = 1
�
Conclusão: J�K� = * 3
−1
−2
1
,.
Exemplo 5: Seja � o espaço vetorial �� de todos os polinômios de grau ≤ 1, e sejam ; =�"�,"� e V = �(�,(� duas bases distintas para ��, onde �� = � :: �� = 1 :: (� = � + 1 :: (� = � − 1
Seja � = B��� = 5� − 2
a) Calcule J�K�.
b) Calcule J�K�.
NMF105 – Notas de aula 69
Solução:
a) � = ��� + ��
5� − 2 = ����+ �1� 5� − 2 = �� +
comparando os vetores termo a termo, tem-se: : � = 5 = −2
�
Conclusão: J�K� = / 5−2
0.
b) � = �(� + (�
5� − 2 = ��� + 1�+ �� − 1� 5� − 2 = �� + � + � −
5� − 2 = �� + �� + � −
comparando os vetores termo a termo, tem-se:
: � + = 5� − = −2� � !� = 3
2+ = 72+ �
Conclusão: J�K� = %3 2+72+ &.
Exemplo 6: Seja I = �W�,W�,W�,W�,W� um conjunto de vetores em ��. Encontre um subconjunto de � que seja base para � = J;K, onde �� = �1,2,−2,1� :: �� = �−3,0,−4,3� :: �� = �2,1,1,−1�, �� = �−3,3,−9,6� :: �� = �9,3,7,−6�
Solução:
Para mostrar que � é linearmente independente, então -��� + -��� + -�� + -��� + -��� = 0
só deve admitir a solução trivial �� = �� = �� = �� = �� = 0. Logo,
JJ��K�J��K�J��K�J��K�J��K�K. MNNNO����������PQQ
QR=
MNNNO000
0
0PQQQR , que tem como matriz ampliada
NMF105 – Notas de aula 70
* 1 −3 2 −3 9 0
2 0 1 3 3 0
−2 −4 1 −9 7 0
1 3 −1 6 −6 0
, �� 9 � − 3� + 26 − 3X + 9@ = 0
2� + 6 + 3X + 3@ = 0
−2� − 4� + 6 − 9X + 7@ = 0� + 3� − 6 + 6X − 6@ = 0
�
* 1 −3 2 −3 9 0
2 0 1 3 3 0
−2 −4 1 −9 7 0
1 3 −1 6 −6 0
, ⇢ '� = '� − 2'� ⇢⇢ '� = '� + 2'� ⇢⇢ '� = '� − '� ⇢ *1 −3 2 −3 9 0
0 6 −3 9 −15 0
0 −10 5 −15 25 0
0 6 −3 9 −15 0
,
⇢ '� =�
�'� ⇢ *1 −3 2 −3 9 0
0 1 −12+ 3
2+ −52+ 0
0 −10 5 −15 25 0
0 6 −3 9 −15 0
, ⇢ '� = '� + 3'� ⇢⇢ '� = '� + 10'� ⇢⇢ '� = '� − 6'� ⇢
MNNNO1 0 1
2+ 32+ 3
2+ 0
0 1 −12+ 3
2+ −52+ 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0PQQQR
Conclusão: As linhas não-nulas são '� e '�. Nelas, os primeiros elementos não-nulos das linhas aparecem nas colunas 1 e 2 (2� e 2�), que correspondem aos vetores W� e W�. Logo, o conjunto �W�,W� é uma base para � = J;K.
Exemplo 7: Encontre uma base para �� que contenha os vetores �� = �1,0,1,0� e �� = �−1,1,−1,0� Solução:
Para isso é preciso associar ao conjunto ���,�� a base natural (ou base canônica) de ��.
A base canônica de �� pode ser dada por ���, ��, ��, ��, onde �� = �1,0,0,0�, �� = �0,1,0,0�, �� = �0,0,1,0� e �� = �0,0,0,1�
Assim, considera-se inicialmente o conjunto ; = ���,��, ��, ��, ��, ��. Então, -��� + -��� + -�� + -��� + -��� + -��� = 0. Ou seja,
JJ��K�J��K�J��K�J��K�J��K�J��K�K.MNNNNO������������PQQQQR=
MNNNNO0
0
0
0
0
0PQQQQR, que tem como matriz ampliada
NMF105 – Notas de aula 71
*1 −1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0
1 −1 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0
, �� 9�� − �� + �� = 0�� + �� = 0�� − �� + �� = 0�� = 0
�
*1 −1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0
1 −1 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0
, ⇢ '� = '� − '� ⇢ *1 −1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0
0 0 −1 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0
,
⇢ '� = '� + '� ⇢ *1 0 1 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0
0 0 −1 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0
, ⇢ '� = −'� ⇢
*1 0 1 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0
0 0 1 0 −1 0 0
0 0 0 0 0 1 0
, ⇢ '� = '� − '� ⇢ *1 0 0 1 1 0 0
0 1 0 1 0 0 0
0 0 1 0 −1 0 0
0 0 0 0 0 1 0
,
Conclusão: Todas as quatro linhas não são nulas. Nelas, os primeiros elementos não-nulos das linhas aparecem nas colunas 1, 2, 3 e 6 (2�,2�,2� e 2�), que correspondem aos vetores W�,W�,Y� e Y�. Logo, o conjunto �W�,W�,Y�,Y� é uma base para �� que contem W� e W�.
3.6.2 Dimensão de um Espaço Vetorial
Um espaço vetorial não-nulo � é chamado de dimensão finita se contém um conjunto finito ���,��, … , �� de vetores que constitui uma base de �. Se não existir esse conjunto, dizemos que � é de dimensão infinita .
Definição: A dimensão de um espaço vetorial de dimensão finita � é dada pelo número de vetores em uma base para � e denotada por dim���. Além disso, o espaço vetorial nulo é definido como tendo dimensão zero.
Nota: Se � é um subespaço de uma espaço vetorial � de dimensão finita, então dim�W� ≤dim�V�; além disso, se dim�W� =dim�V�, então � = �.
Exemplo 1: Dimensões de alguns espaços vetoriais
dim���� = ( (pois a base canônica possui Z vetores)
dim���� = ( + 1 (pois a base canônica de um polinômio possui Z + 1 vetores)
dim����� = *.( (pois a base canônica de uma matriz possui �. Z vetores)
NMF105 – Notas de aula 72
Exemplo 2: Ache uma base e a dimensão de �, onde � é o subespaço de �� gerado pelos vetores �� = �1,−2,5,−3�, �� = �2,3,1,−4� e �� = �3,8,−3,−5�.
Solução:
Para mostrar que � é linearmente independente, então 3�� + 4�� + 5�� = 0
�0,0,0,0� = ��1,−2,5,−3�+ ��2,3,1,−4�+ 6�3,8,−3,−5� = ��, −2�, 5�, −3��+ �2�, 3�,�, −4��+ �36, 86, −36, −56� = �� + 2� + 36, −2� + 3� + 86, 5� + � − 36, −3� − 4� − 56�
comparando os vetores termo a termo, tem-se:
9 � + 2� + 36 = 0
−2� + 3� + 86 = 0
5� + � − 36 = 0
−3� − 4� − 56 = 0
� � * 1 2 3 0
−2 3 8 0
5 1 −3 0
−3 −4 −5 0
,
* 1 2 3 0
−2 3 8 0
5 1 −3 0
−3 −4 −5 0
, ⇢ '� = '� + 2'� ⇢⇢ '� = '� − 5'� ⇢⇢ '� = '� + 3'� ⇢ *1 2 3 0
0 7 14 0
0 −9 −18 0
0 2 4 0
, ⇢ '� =�
�'� ⇢
*1 2 3 0
0 1 2 0
0 −9 −18 0
0 2 4 0
, ⇢ '� = '� − 2'� ⇢⇢ '� = '� + 9'� ⇢⇢ '� = '� − 2'� ⇢ *1 0 −1 0
0 1 2 0
0 0 0 0
0 0 0 0
, Conclusão: As linhas não-nulas são '� e '�. Nelas, os primeiros elementos não-
nulos das linhas aparecem nas colunas 1 e 2 (2� e 2�), que correspondem aos vetores W� e W�. Logo, o conjunto �W�,W� é uma base para � = J;K. Assim, em particular, dim��� = 2.
Exemplo 3: Ache uma base e a dimensão do subespaço � de ��, onde:
a) � = ���, , ��:� + + � = 0 b) � = ���, , ��:� = = � c) � = ���, , ��:� = 3� Solução:
a) Note que � ≠ ��, pois por exemplo, �1,1,1� �. Assim, dim��� < 3.
Arbitrariamente, �� = �1,0, −1� e �� = �0,1,−1� são dois vetores independentes em �. Assim, dim��� = 2 e ���,�� formam uma base de �.
b) O vetor �1,1,1� ∈ �. Qualquer vetor � ∈ � tem a forma � = ��,�,��. Logo, � = ��. Assim, � gera � e dim��� = 1.
NMF105 – Notas de aula 73
c) � ≠ ��, pois, por exemplo, �1,1,1� �. Assim, dim��� < 3. Os vetores �� = �1,0,3� e �� = �0,1,0� são dois vetores independentes em �. Assim,
dim��� = 2 e ���,�� formam uma base de �. Exemplo 4: Seja � o subespaço de �� gerado pelos vetores �� = �1,−2,0,3� :: �� = �2,−5,−3,6� :: �� = �0,1,3,0�, �� = �2,−1,4,−7� :: �� = �5,−8,1,2�
a) Ache uma base e a dimensão do subespaço �;
b) Expresse cada vetor que não está na base como uma combinação linear dos vetores da base;
c) Estenda a base de � a uma base de todo o espaço ��.
Solução:
a) -��� + -��� + -�� + -��� + -��� = 0. Ou seja,
JJ��K�J��K�J��K�J��K�J��K�K. MNNNO����������PQQ
QR=
MNNNO000
0
0PQQQR, que tem como matriz ampliada
* 1 2 0 2 5 0
−2 −5 1 −1 −8 0
0 −3 3 4 1 0
3 6 0 −7 2 0
, �� 9 �� + 2�� + 2�� + 5�� = 0
−2�� − 5�� + �� − �� − 8�� = 0
−3�� + 3�� + 4�� + �� = 0
−3�� + 6�� − 7�� + 2�� = 0
�
* 1 2 0 2 5 0
−2 −5 1 −1 −8 0
0 −3 3 4 1 0
3 6 0 −7 2 0
, ⇢ '� = '� + 2'� ⇢⇢ '� = '� − 3'� ⇢ *1 2 0 2 5 0
0 −1 1 3 2 0
0 −3 3 4 1 0
0 0 0 −13 −13 0
,
⇢ '� = −'� ⇢ *1 2 0 2 5 0
0 1 −1 −3 −2 0
0 −3 3 4 1 0
0 0 0 −13 −13 0
, ⇢ '� = '� − 2'� ⇢⇢ '� = '� + 3'� ⇢
*1 0 2 8 9 0
0 1 −1 −3 −2 0
0 0 0 −5 −5 0
0 0 0 −13 −13 0
, ⇢ '� =��
�'� ⇢ *1 0 2 8 9 0
0 1 −1 −3 −2 0
0 0 0 1 1 0
0 0 0 −13 −13 0
,
⇢ '� = '� − 8'� ⇢⇢ '� = '� + 3'� ⇢⇢ '� = '� + 13'� ⇢ *1 0 2 0 1 0
0 1 −1 0 1 0
0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 0 0
,
NMF105 – Notas de aula 74
Numa forma escalonada, ⇢ '� ↔ '� ⇢ *1 0 2 0 1 0
0 1 −1 0 1 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 0
,
Conclusão: As linhas não-nulas são '�, '� e '�. Nelas, os primeiros elementos não-nulos das linhas aparecem nas colunas 1, 2 e 4 (2�, 2� e 2�), que correspondem aos vetores W�, W� e W�. Logo, o conjunto �W�,W�,W� é uma base para �. Assim, em particular, dim��� = 3.
b) No item anterior, observou-se que a matriz ampliada
Foi reduzida à matriz ampliada resultante
Sendo o conjunto �W�,W�,W� a base para �, que consequentemente pode ser representado como �[�,[�,[�, que é a base canônica de �. Assim, pode-se expressar os vetores [� e [� (que não formam uma base) como combinação linear de �[�,[�,[�. Para isso, basta extrair tais informações da própria matriz ampliada resultante:
� [� = )(� − U(�
[� = U(� + U(� + U(�
Logo, as relações correspondentes são: W� = )�� − U�� W� = U�� + U�� + U��
Conclusão: W� = 2�� − �� W� = �� + �� + ��
c) No item (a) o que foi encontrado foi uma base para �, que é um subespaço
de ��. Para se encontrar uma base para ��, são necessários 4 vetores ao invés de apenas 3 (como no caso do item supracitado). Afinal, no Exemplo 1 já foi mencionado que dim���� = 4.
NMF105 – Notas de aula 75
Recorrendo à matriz escalonada resultante da base de �
* 1 2 2 0
−2 −5 −1 0
0 −3 4 0
3 6 −7 0
, � *1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
, observa-se que pode-se fazer uso de um dos vetores da base canônica de �� de modo que se forme uma matriz escalonada perfeita. O vetor em questão seria Y� = �0,0,1,0�, que dessa forma teríamos
* 1 2 0 2 0
−2 −5 0 −1 0
0 −3 1 4 0
3 6 0 −7 0
, � reduzindo à forma escalonada � *1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
, e por isso mostra serem linearmente independentes.
Conclusão: Uma base para �� seria �W�,W�,W�,Y�, onde �� = �1,−2,0,3� :: �� = �2,−5,−3,6� �� = �2,−1,4, −7� :: Y� = �0,0,1,0� 33..77 MMUUDDAANNÇÇAA DDEE BBAASSEE Muitas vezes, para a resolução de um problema, torna-se muito mais simples se for adotado um referencial mais conveniente para descrevê-lo. Por exemplo, em um problema em que um corpo se move no plano ��, cuja trajetória é uma elipse, a descrição do movimento torna-se muito mais simples se for utilizado um referencial que se apoia nos eixos principais da elipse (plano ����), como ilustrado na figura abaixo.
NMF105 – Notas de aula 76
Em uma situação desse tipo, é preciso se definir:
1. Qual deve ser o novo referencial;
2. Qual a relação entre as coordenadas de um ponto no antigo referencial e suas coordenadas no novo referencial.
Bases diferentes conduzem a diferentes matrizes. Daí, uma escolha adequada das bases é de fundamental importância. Naturalmente, como mencionado anteriormente é desejável trabalhar, sempre que possível, com as matrizes mais simples possíveis. Escolher corretamente as bases não é uma tarefa trivial. Definição: Ao mudar a base de um espaço vetorial � de alguma base velha ; = ���,��, … ,��
para uma base nova V = �(�,(�, … ,(�, então a velha matriz de coordenadas J�K� de um vetor � está relacionado com a nova matriz de coordenadas J�K� do mesmo vetor � pela equação
+�,� = ��←�+�,�
onde
��←� = ++- ,�+-�,� ⋯ +-�,�,2,
sendo ��←� chamada de matriz de transição de \ para I 3.
Para o caminho inverso, tem-se, +�,� = ��←�+�,�
onde
��←� = ��←��
Exemplo 1: (Kolman, 2008) Seja � = �� e ; = �W�,W�,W� e V = �(�,(�,(� duas bases distintas para��, onde �� = �2,0,1� :: �� = �1,2,0� :: �� = �1,1,1� (� = �6,3,3� :: (� = �4,−1,3� :: (� = �5,5,2�
a) Calcule a matriz de transição ��←�
b) Sendo � = �4,−9,5�, encontre as coordenadas J�K�.
c) Com base nas informações obtidas nos itens anteriores (��←� e J�K�), calcule J�K�
2 w�
��, por exemplo, representa as coordenadas usadas para que w� possa ser expresso como combinação linear
dos vetores da base S. 3 Alguns livros preferem chamar P�←� como matriz de mudança de base da base � para a base �.
NMF105 – Notas de aula 77
Solução:
a) Para encontrar ��←�, é preciso encontrar ��,��,�� tais que ���� + ���� + ���� = (�
Isso nos leva a matriz ampliada J�� �� �� (�K. Ou seja,
%2 1 1 6
0 2 1 3
1 0 1 3
& De forma análoga, é preciso encontrar �, �, � e ��, ��, ��, tais que ��� + ��� + ��� = (� ���� + ���� + ���� = (�
Que nos leva às respectivas matrizes ampliadas J�� �� �� (�K J�� �� �� (�K Como a matriz de coeficientes de todos os três sistemas lineares é J�� �� ��K, podemos transformar as três matrizes ampliadas para a forma escalonada reduzida por linha simultaneamente, transformando a matriz em blocos J�� �� �� ⋮ (� (� (�K Para a forma escalonada reduzida por linhas. Dessa maneira,
%2 1 1 ⋮ 6 4 5
0 2 1 ⋮ 3 −1 5
1 0 1 ⋮ 3 3 2
&
⇢ '� ↔ '� ⇢ %1 0 1 ⋮ 3 3 2
0 2 1 ⋮ 3 −1 5
2 1 1 ⋮ 6 4 5
& ⇢ '� = '� − 2'� ⇢
%1 0 1 ⋮ 3 3 2
0 2 1 ⋮ 3 −1 5
0 1 −1 ⋮ 0 −2 1
& ⇢ '� ↔ '� ⇢ %1 0 1 ⋮ 3 3 2
0 1 −1 ⋮ 0 −2 1
0 2 1 ⋮ 3 −1 5
&
⇢ '� = '� − 2'� ⇢ %1 0 1 ⋮ 3 3 2
0 1 −1 ⋮ 0 −2 1
0 0 3 ⋮ 3 3 3
& ⇢ '� =�
�'� ⇢
%1 0 1 ⋮ 3 3 2
0 1 −1 ⋮ 0 −2 1
0 0 1 ⋮ 1 1 1
& ⇢ '� = '� − '� ⇢⇢ '� = '� + '� ⇢ %1 0 0 ⋮ 2 2 1
0 1 0 ⋮ 1 −1 2
0 0 1 ⋮ 1 1 1
& Assim J(�K� = %21
1
& :: J(�K� = % 2−11
& :: J(�K� = %121
&
NMF105 – Notas de aula 78
Conclusão: Como ��←� = JJ(�K�J(�K�J(�K�K, então ��←� = %2 2 1
1 −1 2
1 1 1
&
b) J�K� indica que � é uma combinação linear dos vetores da base V. Assim, ��(� + ��(� + ��(� = � � J(� (� (� �K
%6 4 5 4
3 −1 5 −9
3 3 2 5
& ⇢ '� =�
�'� ⇢ G1 2
3+ 56+ 2
3+3 −1 5 −9
3 3 2 5
H ⇢ '� = '� − 3'� ⇢⇢ '� = '� − 3'� ⇢
MNNO1 2
3+ 56+ 2
3+0 −3 5
2+ −11
0 1 −12+ 3 PQ
QR ⇢ '� ↔ '� ⇢ MNNO1 2
3+ 56+ 2
3+0 1 −1
2+ 3
0 −3 52+ −11PQ
QR
⇢ '� = '� − �
�'� ⇢
⇢ '� = '� + 3'� ⇢ *1 0 76+ −4
3+0 1 −1
2+ 3
0 0 1 −2
, ⇢ '� = '� − �
�'� ⇢
⇢ '� = '� + �
�'� ⇢
%1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 −2
& = ! �� = 1�� = 2�� = −2
�
Conclusão: J�K� = % 1
2
−2
&
Prova: ��(� + ��(� + ��(� = � � �� %633
&+ �� % 4
−1
3
&+ �� %552
& = % 4−95
& � 1. %63
3
&+ 2. % 4
−1
3
&− 2. %552
& = % 4
−9
5
& � %633
&+ % 8
−2
6
&− %10104
& = % 4
−9
5
& � %6 + 8 − 10
3 − 2 − 10
3 + 6 − 4
& = % 4−95
&
NMF105 – Notas de aula 79
c) +�,� = ��←�+�,�
J�K� = %2 2 1
1 −1 2
1 1 1
& . % 1
2
−2
& � J�K� = G 2.1 + 2.2 + 1. �−2�1.1 + �−1�. 2 + 2. �−2�1.1 + 1.2 + 1. �−2� H
Conclusão: J�K� = % 4−51
&
Exemplo 2: Sendo um dado vetor de coordenadas J�K� = % 4−51
& e matriz de transição ��←� =
%2 2 1
1 −1 2
1 1 1
&, encontre o vetor correspondente à nova base J�K�
Solução:
J�K� = ��←�J�K� Como ��←� = ��←�
��, então J��←� ⋮ ]K � J] ⋮ ��←�
��K %2 2 1 ⋮ 1 0 0
1 −1 2 ⋮ 0 1 0
1 1 1 ⋮ 0 0 1
& ⇢ '� ↔ '� ⇢ %1 1 1 ⋮ 0 0 1
1 −1 2 ⋮ 0 1 0
2 2 1 ⋮ 1 0 0
&
⇢ '� = '� − '� ⇢⇢ '� = '� − 2'� ⇢ %1 1 1 ⋮ 0 0 1
0 −2 1 ⋮ 0 1 −1
0 0 −1 ⋮ 1 0 −2
& ⇢ '� = −2'� ⇢
⇢ '� = −'� ⇢
G1 1 1 ⋮ 0 0 1
0 1 −12+ ⋮ 0 −1
2+ 12+
0 0 1 ⋮ −1 0 2
H ⇢ '� = '� − '� ⇢
*1 0 32+ ⋮ 0 1
2+ 12+
0 1 −12+ ⋮ 0 −1
2+ 12+
0 0 1 ⋮ −1 0 2
, ⇢ '� = '� − �
�'� ⇢
⇢ '� = '� + �
�'� ⇢
*1 0 0 ⋮ 32+ 1
2+ −52+
0 1 0 ⋮ −12+ −1
2+ 32+
0 0 1 ⋮ −1 0 2
,
� ��←� = * 32+ 1
2+ −52+
−12+ −1
2+ 32+
−1 0 2
,
NMF105 – Notas de aula 80
J�K� = ��←�J�K�
J�K� = * 32+ 1
2+ −52+
−12+ −1
2+ 32+
−1 0 2
, . % 4
−5
1
&
� J�K� = * �3 2+ �. 4 + �1 2+ �. �−5�+ ^−5 2+ _. 1�−1 2+ �. 4 + �−1 2+ �. �−5�+ �3 2+ �. 1�−1�. 4 + 0. �−5�+ 2.1
,
Conclusão: J�K� = % 1
2
−2
&
NMF105 – Notas de aula 81
LLIISSTTAA DDEE EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS 33
Subespaço Vetorial Real 1. Verifique quais dos itens abaixo é subespaço vetorial do conjunto dado:
a) ; = ���,��/� = −2� do ��
b) ./$ 00 )1 $, 0, ) ∈ �2 do M2x2
c) � = ���, ��/� = � + 1� do ��
d) � = ���, ��/� + 7� = 0� do ��
e) � = ���, ��/� ≥ 0� do ��
f) � = ���, �, #�/� = 4�!# = 0� do �
g) � = ���, �, #�/# = 2� − �� do �
h) � = ���, �, #�/� = #�� do �
i) � = ���, −3�, 4��/� ∈ �� do �
j) � = ���, �, #�/� + � + # = 0� do �
Combinação Linear
2. Escreva o polinômio v = t2 +4t –3 sobre � = %� + 4% − 4 sobre R como combinação linear
aos polinômios:
! = %� − 2% + 5 :: !� = 2%� − 3% :: ! = % + 3
3. Para qual valor de k será o vetor � = �1, −2, �� em � uma combinação linear dos vetores � = �5,0, −2� e ( = �2,−1,−5�
4. Sejam os vetores � = �2,−3,2� e � = �−1,2,4� em �. Pede-se:
a) Escrever o vetor ( = �7,−11,2� como Combinação Linear de � e �.
b) Determinar uma condição entre �, , � para que o vetor ( = �$,0, )� seja Combinação Linear de � e �.
5. Consideremos no Espaço Vetorial � = `$%2 + 0%+ )/$,0, ) ∈ �a os vetores 3 = %� −
2% + 1, 3� = % + 2 e 3 = 2%� − 1. Pede-se: a) Escrever o vetor 3 = 5%� − 5% + 7 como Combinação Linear de 3 , 3� e 3.
b) Escrever o vetor 3 = 5%� − 5% + 7 como Combinação Linear de 3 e 3�.
NMF105 – Notas de aula 82
6. Seja S o subespaço do �� definido por ; = ���,�, 6, @� ∈ ��/� + 2� − 6 = 0�@ = 0.
Pergunta-se: a) � = �−1,2,3,0� ∈ ; ? Por que?
b) � = �3,1,4,0� ∈ ; ? Por que?
c) ( = �−1,1,1,1� ∈ ; ? Por que?
Subespaço Vetorial Gerado 7. Determinar os subespaços do � gerados pelos seguintes conjuntos:
a) � = ��2,−1,3� b) � = ��−1,3,2�, �2,−2,1� c) � = ��1,0,1�, �0,1,1�, �−1,1,0�
d) � = ��−1,1,0�, �0,1,−2�, �−2,3,1�
8. Seja o conjunto � = ���,��, onde �� = �−1,3,−1� e �� = �1,−2,4�. Determinar:
d) O subespaço b(�) e) O valor � ∈ � para que � = �5,�, 11� pertença a b(�)
9. Sejam os vetores �� = �1,1,1�, �� = �1,2,0� e �� = �1,3,−1�. Se � = �3,−1,�� ∈ J��,��,��K,
qual é o valor de �? 10. Determinar os subespaços de P (Espaço Vetorial dos polinômios de grau ≤ 2) gerados
pelos seguintes vetores:
a) B� = 2� + 2 :: B� = −�� + � + 3 :: B� = �� + 2�
b) B� = �� :: B� = �� + �
c) B� = 1 :: B� = � :: B� = �� 11. Determinar o Subespaço b(�), onde � = ��1,−2�, �−2,4�. O que representa
geometricamente este subespaço? 12. Seja o Espaço Vetorial ����. Determine os subespaços gerados por: �� = /−1 0
0 10, �� = /1 −1
0 00 e �� = /0 1
1 00
NMF105 – Notas de aula 83
Dependência e Independência Linear
13. Classificar os seguintes subconjuntos de em LI (Linearmente Independente) ou LD (Linearmente Dependente) a) ��1,3�
b) ��1,3�, �2,6� c) ��2,−1�, �3,5� d) ��1,0�, �−1,1�, �3,5�
14. Verificar se são LI ou LD os seguintes subconjuntos de :
a) ��2,−1,3� b) ��1,−1,1�, �−1,1,1� c) ��2,−1,0�, �−1,3,0�, �3,5,0� d) ��2,1,3�, �0,0,0�, �1,5,2�
e) ��1,2,−1�, �2,4,−2�, �1,3,0� f) ��1,−1,−2�, �2,1,1�, �−1,0,3� g) ��1,2,−1�, �1,0,0�, �0,1,2�, �3,−1,2�
15. Verificar se são LI ou LD os seguintes subconjuntos de :
a) �2 + � − ��, −4 − � + 4��, � + 2��� b) `1 − � + �2, �− �2,�2a c) `1 + 3� + �2, 2 − �− �2, 1 + 2�− 3�2, −2 + �+ 3�2a d) `�2 − �+ 1, �2 + 2�a
16. Quais dos seguintes conjuntos de vetores do são LD ?
a) ��2,1,0,0�, �1,0,2,1�, �−1,2,0,−1� b) ��0,1,0,−1�, �1,1,1,1�, �−1,2,0,1�, �1,2,1,0� c) ��1,−1,0,0�, �0,1,0,0�, �0,0,1,−1�, �1,2,1,−2� d) ��1,1,2,4�, �1,−1,−4,2�, �0,−1,−3,1�, �2,1,1,5�
17. Sendo M(2,3) o Espaço Vetorial das matrizes 2 × 3, verificar se é LI ou LD, onde:
−−
=
−−
=
−−
=301
501
012
210
423
121CBA
18. Determinar K ∈∈∈∈ IR para que seja LI o conjunto ( ) ( ) ( ){ }0,2,,1,1,1,2,0,1 −− K
NMF105 – Notas de aula 84
19. Determinar K ∈∈∈∈ IR para que
−
0
12,
00
11,
01
01
K seja LD.
Bases e Dimensão
20. Sendo ( )2,11 =v ∈ 2IR , determinar v2 ∈ 2IR tal que { }21,vv seja base de 2IR .
21. Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do 2IR :
a) ��1,2�, �−1,3� b) ��3,−6�, �−4,8� c) ��0,0�, �2,3�
d) ��3,−1�, �2,3�
22. Para que valores de k ∈ IR o conjunto ( ) ( ){ }4,,,1 kk=β
é base do 2IR ?
23. O conjunto � = ��2,−1�, �−3,2� é uma base do 2IR . Escrever o vetor genérico do 2IRcomo Combinação Linear de �.
24. Quais do seguintes conjuntos de vetores formam uma base do 3IR ?
a) ��1,1,−1�, �2,−1,0�, �3,2,0� b) ��1,0,1�, �0,−1,2�, �−2,1,−4� c) ��1,2,3�, �4,1,2� d) ��2,1,−1�, �−1,0,1�, �0,0,1� e) ��0,−1,2�, �2,1,3�, �−1,0,1�, �4,−1,−2�
25. Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base de 2P ?
a) 2t� + t − 4,t� − 3t + 1 b) 1,t,t�
c) 2,1 − x,1 + x�
d) 1 + x + x�,x + x�,x�
e) x − x�,1 + x,1 + 2x − x�
26. Determinar uma base do subespaço do 4IR gerado pelos vetores
�� = �1,−1,0,0� :: �� = �−2,2,2,1� :: �� = �−1,1,2,1� :: �� = �0,0,4,2�
NMF105 – Notas de aula 85
27. Seja 3IRV = e o conjunto B ( ) ( ) ( ){ } 31,2,1,0,1,1,1,1,0 IR⊂= ;
a) Mostrar que B não é base do ;3IR
b) Determinar uma base do 3IR que possua dois elementos de B.
28. Sejam os vetores ( ) ( ) ( )0,1,01,2,1,1,0,1 321 −==−= vevv do 3IR ;
a) Mostrar que B { }321 ,, vvv= é base do 3IR ;
b) Escrever cada um dos vetores ( ) ( ) ( )1,0,0,0,1,0,0,0,1 321 === eee como CL dos
vetores da base B.
29. Determinar uma dimensão para cada um dos seguintes subespaços vetoriais:
a) ( ){ zyxW ,,= ∈ }xyIR 3/3 =
b) ( ){ zyxW ,,= ∈ }05/3 == zexyIR
c) ( ){ yxW ,= ∈ }0/2 =+ yxIR
d) ( ){ zyxW ,,= ∈ }yzeyxIR −== 3/3
e) ( ){ zyxW ,,= ∈ }032/3 =+− zyxIR
f) ( ){ zyxW ,,= ∈ }0/3 =zIR 30. Determinar a dimensão para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de ����:
a)
=+=
= cdecabdc
baV /
b)
+=
= cabdc
baV /
c)
=−=
= 03/ debacdc
baV
d)
+=+
= cbdadc
baV /
31. Seja o subespaço
=+=
= adedacdc
baS / de ����. Pede-se:
a) Qual é a dimensão de S ?
b) O conjunto
−43
12,
10
11é uma base de S ? Justificar!
NMF105 – Notas de aula 86
32. Sejam os vetores ( ) ( ) ( )4,2,7,3,5,1,2,3,2,0,1,1 321 −−−=−=−−= vvv . Pede-se:
a) Encontre o Subespaço � de IR4 gerado por v v e v1 2 3, ;
b) O vetor ( )∈−−= 1,1,0,2u � ? Por que?
c) O vetor ( )∈−−= 1,5,6,3u � ? Por que?
d) Os vetores v v e v1 2 3, são LI ou LD ? Justificar!
e) Qual a dimensão de � (dim���) ? Por que?
f) Encontre uma base de �. Justificar!
33. Sejam os vetores ( ) ( ) ( )2,0,1,1,5,1,2,3,4,2,1,3 321 −−=−=−= vvv . Pede-se:
a) Encontre o Subespaço � de IR4 gerado por v v e v1 2 3, ;
b) O vetor ( )∈−−−= 5,1,3,2u � ? Por que?
c) O vetor ( )∈−= 0,2,1,1u � ? Por que?
d) Os vetores v v e v1 2 3, são LI ou LD ? Justificar!
e) Qual a dimensão de � (dim���) ? Por que?
f) Encontre uma base de �. Justificar!
Mudança de Base 34. Sejam as bases � = ���,��
� e � = ���,��� de �, onde
�� = �1,0� :: �� = �0,1� �� = �1,1� :: �� = �2,1� a) Calcule a matriz de transição ��←�
b) Sendo ��� = −3 5��, encontre as coordenadas ��
�.
35. Seja = � e � = ���,��,��
� e � = ���,��,��� duas bases distintas para�, onde
�� = �2,0,1� :: �� = �1,2,0� :: �� = �1,1,1� �� = �6,3,3� :: �� = �4,−1,3� :: �� = �5,5,2� a) Calcule a matriz de transição ��←�
b) Sendo � = �4,−9,5�, encontre as coordenadas ���.
c) Com base nas informações obtidas nos itens anteriores (��←� e ���), calcule ��
�
NMF105 – Notas de aula 87
36. Sendo um dado vetor de coordenadas ��� = � 4
−5
1
� e matriz de transição ��←� =
�2 2 1
1 −1 2
1 1 1
�, encontre o vetor correspondente à nova base ���
NMF105 – Notas de aula 88
RESPOSTAS
1. a) Sim :: b) Sim :: c) Não :: d) Sim :: e) Não
f) Sim :: g) Sim :: h) Não :: i) Sim :: j) Sim
2. � = −3�� + 2�� + 4��
3. � =���
�
4. a) � = 3� − �
b) 16� + 10� − �
5. a) � = 3�� + 2�� + �� b) Impossível
6. a) Sim, porque (� + 2� − � = −1 + 2.2 − 3 = 0) e �� = 0 = 0�
b) Não, porque �� + 2� − � = 3 + 2.1 − 4 ≠ 0� c) Não, porque �� = 1 ≠ 0�
7. a) ���,�, �� ∈ �/� = −2��� = −3�� b) ���,�, �� ∈ �/7� + 5� − 4� = 0� c) ���,�, �� ∈ �/� + � − � = 0� d) �
8. a) ���� = ���,�, �� ∈ �/10� + 3� − � = 0� b) � = −13
9. � = 7
10. a) � = ���� + �� + �/� = 2� + ��
b) � = ���� + ��/�,� ∈ � c) � = �
11. A reta � = −2�
12. � = � � �� !"/� + � − � + ! = 0#
13. a) LI
b) LD
c) LI
d) LD
14. a) LI b) LI
c) LD d) LD
e) LD f) LI
g) LD
15. a) LD
b) LI
c) LD
d) LI
16. Itens “b” e “d”
17. LI
18. $ ≠ 3
19. $ = 3
NMF105 – Notas de aula 89
20. �� ≠ ���∀� ∈ 21. Itens “a” e “d”
22. $ ≠ ±2
23. ��,�� = �2� + 3��2,−1�+ �� + 2���−3,2�
24. Itens “a” e “d”
25. Itens “b”, “c” e “d”
26. ���,���
27. a) %0 1 1
1 1 2
1 0 1
% = 0. Ou seja, B é LD.
b) ��0,1,1�, �1,1,0�, �0,0,1��
28. a) % 1 1 0
0 2 −1
−1 1 0
% ≠ 0. Ou seja, B é LI.
b) �� =�
��� + �
��� + �� :: �� = −�� :: �� = −
�
��� + �
��� + ��
29. a) dim�&� = 2
b) dim�&� = 1
c) dim�&� = 1
d) dim�&� = 1
e) dim�&� = 2
f) dim�&� = 2
30. a) dim� � = 2 b) dim� � = 3 c) dim� � = 2 d) dim� � = 3
31. a) dim��� = 2, porque o subespaço � é função de 2 variáveis � � = � �2� �"
b) Não é uma base porque 1 −1
0 1" � = � �
2� �" e 2 1
3 4" �.
32. a) � = ���,�, �, �� ∈ �/2� + � + � = 0�
b) Não. � �, porque � não satisfaz a condição 2� + � + � = 0.
c) Sim. � ∈ �.
d) LI, porque nenhum dos 3 vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros dois.
e) dim��� = 3
f) ���,��,��� porque esses vetores são LI.
33. a) � = ���,�, �, �� ∈ �/� + � + � = 0�� − � + � = 0�
b) Não. � �, porque � não satisfaz a condição � − � + � = 0.
c) Sim. � ∈ �.
d) LD, porque �� é CL de ���,���. �� =�
��� − �
���
e) dim��� = 2
NMF105 – Notas de aula 90
f) ���,��� porque, usando escalonamento, as linhas não-nulas são '� e '�. Ou seja, ���,��� são LI.
34. a) ��←� = 1 2
1 1"
b) ��� = 7 2��. Ou seja, −3�� + 5�� = 7�� + 2��.
35. a) ��←� = �2 2 1
1 −1 2
1 1 1
� c) ��
� = 1 2 −2��
d) ��� = 4 −5 1��
36. ��
� = 1 2 −2��
NMF105 – Notas de aula 91
NMF105 – ALGEBRA LINEAR Prof. Emerson Costa (responsável pela disciplina) Prof. Fabio Lacerda (flacerda@fumec.br)
UNIDADE 4 – TRANSFORMAÇÕES LINEARES Notas de Aula
Uma transformação linear é uma aplicação que leva vetores de um espaço vetorial em outro. Denota-se uma transformação linear como �:� → �, onde � é a transformação linear (uma aplicação, mapeamento, função, etc) de � em �, sendo � (um espaço vetorial) o domínio e � (um espaço vetorial) o contradomínio . Definição: Se �:� → � é uma função de um espaço vetorial � em um outro espaço vetorial
�, então � é chamada uma transformação linear de � em � se, para quaisquer vetores � e � em � e qualquer escalar valem
(i) �� + � = �� + �� ;
(ii) �� = �� . No caso especial em que � = �, a transformação linear é chamada um operador linear de .
Observações.
• Nós escrevemos �:� → � para indicar que � aplica vetores do espaço vetorial � em vetores do espaço vetorial �. Isto é, � é uma função com domínio �, contra domínio � e cuja imagem é um subconjunto de �;
• �� é lido "� de � ", de modo análogo à notação funcional (���, que é lida "( de �";
• No caso especial em que � = �, ou seja, uma transformação linear �:� → �, que tem
como domínio e contra domínio o mesmo espaço vetorial �, a transformação linear é chamada um operador linear de ;
• As duas condições (i) e (ii) da definição podem ser aglutinadas numa só:
�� + � = �� + �� .
NMF105 – Notas de aula 92
Exemplo: Dentre as transformações, verifique quais são lineares:
a) �:� → ,���,�� = 2� + 3�
b) �:� → �,���,�� = �2�, 3��
c) �:� → �,���,�� = �� + �, � − ��
d) �:� → �,���,�� = �� + �, 0,0�
e) �:� → ,���,�� = 2� + 3� + 4
f) �:� → �,���,�� = ����,���� g) �:� → �,���,�� = �� + �, 1,3�
Solução: Sendo � = ���,��� e � = ���,���...
a) �:� → ,���,�� = 2� + 3� (i) ��� + �� = �)���,��� + ���,���* = ���� + ��,�� + ���
Como ���,�� = �2�, 3��, faz-se “� = �� + ��” e “� = �� + ��”
���,�� = 2� + 3� = 2��� + ��� + 3��� + ��� = 2�� + 2�� + 3�� + 3�� = �2�� + 3��� + �2�� + 3��� = ����,��� + ����,��� = ���� + ����
(ii) ��+�� = �)+���,���* = ��+��,+��� ���,�� = 2� + 3� = 2+�� + 3+��
= +�2�� + 3��� = +����
Conclusão: ���,�� = 2� + 3� é uma transformação linear
b) �:� → �,���, �� = �2�, 3��
(i) ��� + �� = �)���,��� + ���,���* = ���� + ��,�� + ���
Como ���,�� = �2�, 3��, faz-se “� = �� + ��” e “� = �� + ��”
���,�� = �2�, 3�� = )2��� + ���, 3��� + ���* = �2�� + 2��, 3�� + 3��� = )�2��, 3��� + �2��, 3���* = ���� + ����
NMF105 – Notas de aula 93
(ii) ��+�� = �)+���,���* = ��+��,+��� ���,�� = �2�, 3�� = )2�+���, 3�+���* = �2+��, 3+���
= +�2��, 3��� = +����
Conclusão: ���,�� = �2�, 3�� é uma transformação linear
c) �:� → �,���, �� = �� + �, � − �� (i) ��� + �� = �)���,��� + ���,���* = ���� + ��,�� + ���
Como ���,�� = �2�, 3��, faz-se “� = �� + ��” e “� = �� + ��”
���,�� = �� + �, � − �� = )��� + ��� + ��� + ���, ��� + ��� − ��� + ���* = )��� + ��� + ��� + ���, ��� + ��� − ��� + ���* = )��� + ��, �� − ��� + ��� + ��, �� − ���* = ���� + ����
(ii) ��+�� = �)+���,���* = ��+��,+��� ���,�� = �� + �, � − �� = �+�� + +��,+�� − +���
= +��� + ��, �� − ��� = +����
Conclusão: ���,�� = �� + �, � − �� é uma transformação linear
d) �:� → �,���, �� = �� + �, 0,0� (i) ��� + �� = �)���,��� + ���,���* = ���� + ��,�� + ���
Como ���,�� = �2�, 3��, faz-se “� = �� + ��” e “� = �� + ��”
���,�� = �� + �, 0,0� = )��� + ���+ ��� + ���, 0,0* = )��� + ��, 0,0�+ ��� + ��, 0,0�* = ���� + ����
(ii) ��+�� = �)+���,���* = ��+��,+��� ���,�� = �� + �, 0,0� = �+�� + +��, 0,0�
= +��� + ��, 0,0� = +����
Conclusão: ���,�� = �� + �, 0,0� é uma transformação linear
NMF105 – Notas de aula 94
e) �:� → ,���,�� = 2� + 3� + 4
(i) ��� + �� = �)���,��� + ���,���* = ���� + ��,�� + ���
Como ���,�� = �2�, 3��, faz-se “� = �� + ��” e “� = �� + ��”
���,�� = 2� + 3� + 4 = 2��� + ��� + 3��� + ��� + 4 = 2�� + 2�� + 3�� + 3�� + 4 = �2�� + 3��� + �2�� + 3��� + 4 = ����,��� + ����,��� + 4 ≠ ���� + ����
Conclusão: ���,�� = 2� + 3� + 4 não é uma transformação linear porque ��0,0� = 4
f) �:� → �,���, �� = ����,���� (i) ��� + �� = �)���,��� + ���,���* = ���� + ��,�� + ���
Como ���,�� = �2�, 3��, faz-se “� = �� + ��” e “� = �� + ��”
���,�� = ����,���� = ����� + ����,���� + ����� = )���� + 2����� + ����,���� + 2����� + ����* = �����,�����+ )����,����* + �2�����, 2������ ≠ ���� + ����
Conclusão: ���,�� = ����,���� não é uma transformação linear
g) �:� → �,���, �� = �� + �, 1,3�
Conclusão: ���,�� = �� + �, 1,3� não é uma transformação linear porque ��0,0� = �0,1,3� ≠ �0,0,0�
NMF105 – Notas de aula 95
LLIISSTTAA DDEE EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS 44
Transformações Lineares 1. Dentre as transformações, verifique quais são lineares:
a) ( ) ( )yxyxyxTT 52;3;,: 22 +−=ℜ→ℜ
b) ( ) ( )2222 ;;,: yxyxTT =ℜ→ℜ
c) ( ) ( )0;;,: 22 yxyxTT −=ℜ→ℜ
d) ( ) ( )2;,: 2 xxTT =ℜ→ℜ
e) ( ) zyxzyxTT −+−=ℜ→ℜ 23;;,: 3
f) ( ) ( )
+−=→ℜ
yxy
xyyxTMT
2
32;,2,2: 2
g) ( ) ( )cbcadc
baTMT +−=
ℜ→ ;,2,2: 2
h) ( )
−−++
=ℜ→ℜzx
zyxzyxTT
2
32;;,: 23
RESPOSTAS
1. a) T é linear
b) T não é linear
c) T é linear
d) T não é linear
e) T é linear
f) T é linear
g) T é linear
h) T é linear
NMF105 – Notas de aula 96
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS (Anton, 2001) Anton, H; Rorres, C. Álgebra Linear com Aplicações. 8ª edição. Porto Alegre: Bookman, 2001. (Kolman, 2008) Kolman, B. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações. 8ª edição. LTC, 2008. (Lipschutz, 1994) Lipschutz, S. Álgebra Linear: 591 Problemas Resolvidos, 442 Problemas Suplementares. 3ª edição. Makron Books, 1994. (Boldrini, 1986) Boldrini, J. L. Álgebra Linear. 3ª edição. Harbra, 1986.
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